合肥学院2012-13学年第一学期期末线性代数试卷

安徽师范大学2012－2013学年第一学期化材学院专业基础课2012级《线性代数》课程期末考试试卷(A 卷 闭卷 120分钟)1. 设α, β, γ1, γ2均为3维列向量，3阶方阵A =(α, γ1, γ2), B =(β, γ1, γ2)，且已知行列式3=A , 2=B ，则行列式=+B A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) 5 (B) 10 (C) 20 (D) 402. 设A , B 均为n 阶方阵，则(A +B )(A -B )=A 2-B 2成立的充分必要条件是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) A =O (B)B =E (C) A =B (D) AB =BA3. 下列矩阵中为初等矩阵的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001001001001000(B) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100 (C) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-001010100 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100010021 3. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0021α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3002α，则下列向量中可以用α1, α2线性表示的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-403 (B)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010 (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110 5. 若矩阵A 与B 相似，则⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) 存在正交矩阵P ，使得P -1AP =B (B) 存在正交矩阵P ，使得P T AP =B (C) 存在可逆矩阵P 和Q ，使得A =PBQ (D) 存在可逆矩阵P ，使得A =P -1BP1. 已知3阶方阵A 中的元素全部为1，则A 2013 = .2. 已知矩阵()4 ,0 ,30201⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A ，则矩阵A 的秩等于 .3. 已知n 阶方阵A 的秩为n -1，且A 的各行元素之和均为零，则齐次线性方程组Ax =0 的通解是 .4. 已知2阶方阵A 的特征值是1和2，则伴随矩阵A * 的特征值是 和 .5. 二次型f (x 1,x 2,x 3)= x 12-2x 1x 2+x 22的矩阵是 .一、单项选择题（每小题4分，共20分）二、填空题（每小题4分，共20分）1. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200120112A ，求矩阵B ，使得A +B =AB2. 已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λ211α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=202λα,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1113α线性相关，求参数λ 的值.3. 设三维向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111λα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112λα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λ113α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112β，已知β 不能由α1, α2, α3线性表示， 求参数λ 的值.4. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111ξ是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量. 求：① 参数a , b 的值；② 特征向量ξ 所对应的特征值.三、计算题（每小题7分，共35分）5. 用施密特正交化方法，将向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1112α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0213α规范正交化1. 已知A 是n 阶方阵，B 是n ⨯s 矩阵(n ≤s )，并且B 是行满秩矩阵. ① 证明：R (AB )=R (A )； ②证明：如果AB =B ，则A =E .2. 已知向量组(I): α1, α2, α3与向量组(II): β1, β2, β3满足关系式⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++=32112113211 2 3 αααβααβαααβ.证明：向量组(I)和(II)等价.四、证明题（每小题8分，共16分）设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000111a A .① 求矩阵A 的特征值；② 参数a取何值时，矩阵A 可对角化，说明理由；③ 当A 可对角化时，求可逆矩阵P 和对角阵Λ，使得P -1AP =Λ.五、解答题（9分）。

__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _⋯⋯⋯⋯⋯⋯诚信应考 , 考试作弊将带来严重后果！⋯线性代数期末考试试卷及答案⋯⋯⋯号⋯注意事： 1.考前将密封内填写清楚；位⋯ 2.所有答案直接答在卷上( 或答上 ) ；座⋯3．考形式：开（）卷；⋯4.本卷共五大，分100 分，考 120分。

题号一二三四五总分⋯⋯得分⋯评卷人⋯⋯⋯⋯一、（每小 2 分，共 40 分）。

⋯业⋯专⋯1．矩A为2 2矩阵, B为23矩阵 ,C为32矩阵，下列矩运算无意的是⋯⋯【】⋯⋯)⋯封A B.ABCC. BCAD.CAB⋯. BAC2答⋯＋ E =0 ，其中 E是 n 位矩，必有【】2. n 方 A 足 A院不⋯A.矩 A 不是矩B. A=-EC. A=ED. det(A)=1⋯学内⋯⋯封⋯3. A n 方，且行列式det(A)= 1 ,det(-2A)=【】密⋯(⋯A. －2－2 n－2n⋯ B. C. D. 1⋯⋯4. A 3 方，且行列式det(A)=0，在 A的行向量中【】⋯⋯ A. 必存在一个行向量零向量⋯⋯ B. 必存在两个行向量，其分量成比例⋯C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的性合号⋯密D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的性合学⋯⋯5．向量a1, a2,a3性无关，下列向量中性无关的是【】⋯⋯A．a1a2 , a2a3 , a3a1 B.a1, a2 ,2a13a2⋯C. a2,2a3,2a2a3a1－ a3, a2 , a1⋯ D.⋯⋯名⋯6. 向量 (I):a1 ,, a m (m3)性无关的充分必要条件是【】姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1 个向量线性表出B.(I)中存在一个向量, 它不能由其余m-1 个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D. 存在不全为零的常数k1,, k m ,使 k1 a1k m a m 07．设a为m n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax 0存在非零解的充分必要条件是【】A．A的行向量组线性相关B. A 的列向量组线性相关C. A的行向量组线性无关D. A 的列向量组线性无关a1 x1a2 x2a3 x30 8. 设a i、b i均为非零常数（i =1， 2， 3），且齐次线性方程组b2 x2b3 x30b1 x1的基础解系含 2 个解向量，则必有【】a1a20 B.a1a20a1a2a3 D.a1 a3A.b3b1b2C.b2b3b1 b2b2b19. 方程组2 x1x2x31有解的充分必要的条件是【】x12x2x313 x13x22x3a1A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=110.设η1，η2，η3 是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是【】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B.与η 1，η2，η3 等秩的向量组C. η1－η2，η2－η3，η3－η1D.η1，η1-η3，η1-η2-η311.已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【】A.方程组有无穷多解B.方程组可能无解，也可能有无穷多解C.方程组有唯一解或无穷多解D.方程组无解12.n阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有n 个【】A. 互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C. 线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间n的子空间的是【】RA. {( a1, a2,, a n ) | a1a20}B.12n n i,) |a0}{( a ,a, aC. {( a1, a2,, a n ) | a i z, i 1,2,,n}D.i n1{( a1 ,a2 ,, a n ) |a i1}i 114. 若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B12 ,E 为 2 阶单位矩阵 , 则方阵 E – A 必相似于矩阵- 3【 】1 0 -10 0 - 1A.4B. - 4C.4D.11 - 2- 2 - 41 015. 若矩阵 A02a 正定 , 则实数 a 的取值范围是 【】0 a8A ． a < 8B. a ＞ 4C ． a ＜ -4D． -4 ＜ a ＜ 4二、填空题 （每小题 2 分，共 20 分）。

合肥学院20 13 至20 14 学年第 2 学期数据结构与算法设计 课程考试（ A ）卷系 级 专业 学号 姓名一、选择题：（2分×15=30分）1． 栈和队列的共同特点是( A )。

A 、只允许在端点处插入和删除元素B 、都是先进后出C 、都是先进先出D 、没有共同点2． 以下数据结构中哪一个是非线性结构？( D )A 、 队列B 、 栈C 、 线性表D 、 二叉树 3．下面程序的时间复杂为（ B ）。

for （i=1，s=0； i<=n ； i++） {t=1；for(j=1；j<=i ；j++) t=t*j ；s=s+t ；} A 、 O(n) B 、 O(n 2) C 、 O(n 3) D 、 O(n 4)4．在一个单链表中，已知q 结点是p 结点的前趋结点，若在q 和p 之间插入s 结点，则须执行（B ）。

A ．s->next=p->next; p->next=sB ．q->next=s; s->next=pC ．p->next=s->next; s->next=pD ．p->next=s; s->next=q5. 设一组初始记录关键字序列为(45，80，55，40，42，85)，则以第一个记录关键字45为基准而得到一趟快速排序的结果是（ C ）。

A 、 40，42，45，55，80，83B 、 42，40，45，80，85，88C 、 42，40，45，55，80，85D 、 42，40，45，85，55，80 6．设一个有序的单链表中有n 个结点，现要求插入一个新结点后使得单链表仍然保持有序，则该操作的时间复杂度为（ D ）。

A 、 O(log 2n)B 、 O(1)C 、 O(n 2)D 、 O(n)7. 设有6个结点的无向图，该图至少应有( A )条边才能确保是一个连通图。

A 、5B 、6C 、7D 、88．设连通图G 中的边集E={(a ，b)，(a ，e)，(a ，c)，(b ，e)，(e，d)，(d ，f)，(f ，c)}，则从顶点a 出发可以得到一种深度优先遍历的顶点序列为（ A ）。

,,s、向量组的秩为r，则向量组中三、计算题（每题12分，共60分）1、计算行列式：32142143143243212、已知=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111121X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛523231141，求矩阵X3、求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=+-+-=+-+=+-+261782314620324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。

4、求向量组1234(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(1,2,3)αααα====-的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.5、求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100010221A 的特征值与特征向量.分）若123,,ξξξ是方程组0AX =的基础解系，证明1323122,2,2ξ+ξξ+ξξ+ξ也是该方程组的基础解系.2012-2013-1线性代数A 参考答案与评分标准一、 判断题（每题2分，共20分）二、填空题（每空2分，共10分）1、-2；2、43、41； 4、1； 5、111,,632三、计算题（每题12分，共60分）1、解：原式=32110214101431043210……………………………………………（2分） =111022203110432110321121411431432110------= …………………………（6分） =11314021113112011111131120----=----=---- …………（10分）=160113140=- ……………………………………………………（12分）2、解：1141121132111325101X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦----------------------4分 121100121100111010012110101001022101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1310011031202201211001001100212111001122⎡⎤--⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦--⎢⎥⎣⎦--------------10分131221141223113201102232511465122⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦--------------------------12分 3、解：先对增广矩阵进行初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------000000000012210032112442012210122100321121611178231461203211--------------------6分同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-+1220324324321x x x x x x x ，一个特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011-----------------------8分选4x 为自由未知量，得到齐次线性方程组的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1105----------------------10分原方程组的通解为+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2101211k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11052k +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0011-------------------------12分 4、解:秩为 3，--------------------------6分一个极大线性无关组为123,,ααα. --------------------------10分412335αααα=-+-；--------------------------12分5、解:特征方程为|λE －A|=1010221---+λλλ=(λ+1) (λ－1)2 =0，------4分 ∴A 的全部特征值为λ1=－1，λ2=λ3=1。

2011－2012学年第一学期期末考试《线性代数》试卷 （A ）评阅人:_____________ 总分人：______________一、单项选择题。

(本大题共10小题，每小题3分,共30分) 1．设1111011x x x xx x++=+，则实数x =A ．1 ；B ．-1；C ．0；D ．4. 2.设A 为n 阶方阵，则kA =A ．A k n； B. A k ； C. A k ； D. nA k )(. 3.设B A ,均为n 阶矩阵，且AB =O ，则下列命题中一定成立的是( ) A. A =O 或B =O ； B. A ,B 都不可逆；C. A +B =O ；D. A ,B 至少有一个不可逆.4.下列矩阵中与矩阵123218001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭同秩的矩阵是 A ．()456； B.123456⎛⎫⎪⎝⎭； C.12111011⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； D.122101402⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 5.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A. A 2必为1； B. A 必为1； C. T A A=-1； D. A 的行（列）向量组是正交单位向量组.6．设非齐次线性方程组Ax =b 的导出组为Ax =0，则下列结论中正确的是（ ）A.若Ax =0仅有零解，则Ax =b 有唯一解；B.若Ax =0有非零解，则Ax =b 有无穷多解；C.若Ax =b 有无穷多解，则Ax =0仅有零解；D.若Ax =b 有唯一解，则Ax =0仅有零解。

__________________系__________专业___________班级 姓名_______________ 学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………27．已知λ=3是可逆矩阵A 的一个特征值，则1-A 有一特征值是（ ）A.49； B. 94； C. 13； D. 19 .8．设n 维向量α与β满足α,β()=0，则有（ ）A. α,β 全为零向量；B. α,β中至少有一个是零向量；C. α与β的对应分量成比例；D. α与β 正交. 9.设向量组A 与向量组B 等价，则有（ ）A. B A R R <B. B A R R >C. B A R R =D. 不能确定A R 和B R 的大小.10.设齐次线性方程组0AX =的系数矩阵A 为m n ⨯矩阵，()()R A s s n =<，则此方程组基础解系的秩为A ．m s - ； B. s n - ； C. n s - ； D. m n -.二、填空题。

根本概念1. 余子式ij M 与代数余子式ij A ，(1)i j ij ij A M +=-，(1)i j ij ij M A +=-。

2. 对称矩阵：T A A =。

3. 伴随矩阵，组成元素ij A ，书写格式：行元素的代数余子式写在列。

4. 逆矩阵AB BA E ==，称A 可逆。

假设A 可逆，那么11AA A A E --==.5. 分块对角阵，12A A A =⋅，。

6.初等行〔列〕变换：① 对换两行或两列；② 某行或某列乘以非零常数k ；③ 某行〔列〕的k 倍加到另一行〔列〕。

7.等价矩阵：① 初等变换得来的矩阵；② 存在可逆矩阵,P Q ，使得PAQ B =。

8.初等矩阵：初等变换经过一次初等变换得来的矩阵，① (,)E i j ；② (())E i k ；③(,())E j i k 。

9.矩阵的秩：最高阶非零子式的阶数。

1()0,0k k r A k D D +=⇔∃≠∀=。

10. 线性表示：存在12,,,n k k k 使得1122n n k k k βααα=+++，等价于非齐次方程组Ax β=有解12,,,n k k k 。

11. 线性相关：存在不全为0的数12,,,n k k k ，使得11220n n k k k ααα+++=，等价于齐次方程组0Ax =有非零解。

12. 线性无关：11220n n k k k ααα+++=成立120n k k k ⇒====，等价于齐次方程组0Ax =仅有零解。

13. 极大无关组：12,,,n ααα中r 个向量12,,,r βββ满足：① 线性无关；②12,,,n ααα中任意向量可由其表示或12,,,n ααα中任意1r +个向量线性无关，那么称12,,,r βββ为12,,,n ααα的极大无关组。

14. 向量组12,,,n ααα可由向量组12,,,m βββ表示：12,,,n ααα中任意一个向量可由12,,,m βββ表示，等价于BX A =有解，12(,,,)m B βββ=，12(,,,)n A ααα=。