小学五年级竞赛 .第十讲 格点与面积

面积计算公式：皮克公式:格点多边形面积=多边形一周的格点数÷2+多边形内部格点数-1
设格点多边形的面积为s，它各边上格点的个数和为x。

格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出s与x之间的关系式。

格点的起源
格点问题起源于以下两个问题的研究：
1、狄利克雷除数问题，即求x>1时D2（x）=区域{1≤u≤x，1≤v≤x，uv≤x}上的格点数。

1849年，狄利克雷证明了D2（x）=xlnx+（2ν一1）x+△（x），这里ν为欧拉常数，△（x）=O（x0.5）。

这一问题的目的是要求出使余项估计△（x）=O（x）成立的又的下确界θ0。

2、圆内格点问题，设x>1，A2（x）=圆内μ+ν≤x上的格点数。

高斯证明了A2（x）=πx+R（x），这里R（x）=O（x^1/2）,求使余项估计R（x）=O（x）成立的λ的下确界α的问题，称之为圆内格点问题或高斯圆问题。

格点和面积格点与面积是数学中重要的概念。

它的定义与应用都有着深远的影响。

本文将详细阐述格点与面积的定义，以及它们的作用和在实际生活中的应用。

格点定义格点是指将空间或面积等分割成小的方格，每个方格形成一个格点。

格点的大小一般以毫米为单位进行计算，例如，0.05mm*0.05mm 的格点就是一个毫米的四分之一。

换句话说，格点指的是将空间或面积分割成细小的四方形区域，每个四方形区域形成一个方格状，形成一个格点。

面积定义面积是指物体所占空间面积，是指一块物体上所覆盖的空间。

通常来说，面积是以平方米（m）或平方厘米（cm）为单位计算的。

它也可以以立方米（m）、立方厘米（cm）等体积单位计算。

格点与面积的作用格点与面积的作用是十分重要的。

格点可以用来测量和计算一个空间的大小，以及测量一个物体的形状。

它可以用来进行测量，用来分析物体之间的关系，以及进行三维模型的建模等。

同样，面积也是一个非常重要的概念，用来衡量物体的大小和形状。

面积可以用来计算物体的体积，测量两个物体之间的位置，以及测量地形面积的变化。

格点与面积的应用格点和面积在实际生活中有着广泛的应用，例如它们在建筑和土木工程方面有着应用。

建筑设计师可以使用格点来将建筑空间中的方格分割成细小的区域，以便精准控制建筑结构和尺寸，从而最大限度地发挥建筑物的优势。

此外，面积也可以用来计算建筑物的总面积，以便估计建筑物的实际成本。

此外，格点与面积在工业界也有重要的应用。

例如，在机械加工中，格点可以用来确定机体的几何尺寸，进而确定机体的外形及加工尺寸。

另外，在农业生产中，也可以利用面积的概念来计算农田的大小，并且可以根据面积的大小来估算物品的产量。

综上所述，格点与面积都是实用性十分重要的概念，它们在各种实际应用中发挥着重要作用，这些应用可以有效提高工作效率，提高生产力，从而改善我们的生活质量。

第十讲格点与切割备考导航格点面积及切割是竞赛考试的一个难点知识，本讲将学习正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题。

通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题。

利用格点求图形的面积有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。

当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。

格点面积公式=中间格点数+图形一周的格点数÷2﹢1典型例题【例1】图中相邻两格点问的距离均为1厘米，三个多边形的面积分别是多少平方厘米?【例2】图中每个小正方形的面积均为2平方厘米，阴影多边形的面积是多少平方厘米?【例3】如图所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米，四边形ABCD和三角形EFG的面积分别是多少平方厘米?【例4】如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH，已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米。

求长方形EFGH的面积。

【例5】如图所示，大正方形的边长为10厘米。

连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。

请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?【例6】如图，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，求阴影部分的面积。

【例7】如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD 中点，P是EF中点。

请问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?【例8】已知大的正六边形面积是72平方厘米，按图中不同方式切割(切割点均为等分点)，形成的阴影部分面积各是多少平方厘米?小试身手（1）下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为l平方厘米。

三个多边形的面积分别为多少平方厘米?（2）图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积（3）如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米?星级挑战（一）夯实基础★★★1、图中相邻两格点问的距离均为l厘米，三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米?2、图中每个小正方形的面积是2平方厘米，阴影部分面积是多少平方厘米?3、图中每个小正三角形的面积是4平方厘米，阴影部分面积是多少平方厘米?4、图中每个小正方形的边长为1厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米?5、下图的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。

第十讲格点与面积同学们，一看这个题目，你一定会有许多疑问：什么是格点?格点与面积之间又有什么关系等等．这一节我们就来探讨这些问题。

在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达?下面就让我们一起来探讨这些问题吧！一、正方形格点问题：正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.例1、判断以下图形哪些是格点多边形？分析：根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线，顶点要在格点上！所以只有(1)是格点多边形。

例2、如右图，计算各个格点多边形的面积.分析：此题所给的图形都是规那么图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.法一：第(1)图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16(面积单位)；第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15(面积单位)；第(3)图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10(面积单位)；第(4)图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15(面积单位)；第(5)图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位)；第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(3＋6)×4÷2=18(面积单位).注：如果两格点之间的距离是2，你能利用刚计算的结果说出相应面积么？分析：面积数值均扩大4倍。

法二：以上局部图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法〞或“扩展法〞分别转化成平置的长方形来求。

格点与面积公式数学是一门美妙的学科，它以精密的符号和准确的逻辑构成了一幅绚丽的画卷。

格点与面积公式便是其中的亮点之一，它们可以让我们对平面几何的结构和形式进行深入的探究。

在接下来的文章中，我们将对这两个概念进行详细的介绍和解析。

一、格点格点是平面上的一个十字交叉点，它的坐标通常用整数来表示。

我们可以将平面上的许多点组成一个格点图形，其中每个小正方形都是一个单独的格点。

这样的图形拥有明显的规则性和对称性，从而更容易被我们处理和分析。

在许多数学问题中，格点的定位和计算是非常重要的。

例如，在计算多边形内部的点数时，我们需要使用格点计数法，在寻找最短路径时，也需要用到最短路算法中的格点概念。

二、面积公式面积公式是平面几何中最基础和最重要的概念之一。

在不同的情境下，我们有多种面积公式可以使用。

其中最常见的有以下几种：1. 三角形面积公式： S = 1/2 * b * h，其中b为底边长，h为高。

2. 矩形面积公式：S = a * b，其中a和b分别为矩形的两条相邻边长。

3. 梯形面积公式：S = (a + b) * h / 2，其中a和b为梯形的两个底边长，h为高。

4. 圆的面积公式：S = π * r^2，其中π为圆周率，r为半径。

这些面积公式在我们日常生活和学术研究中都经常运用，它们是对平面几何形体面积的基本刻画和描述。

三、格点与面积公式的关系格点与面积公式可以相互结合，从而给我们带来更多的数学启示和理解。

例如，在计算一个多边形内部格点数时，我们既可以使用格点计数法，也可以根据多边形的面积和边界轮廓来计算。

此外，格点与面积公式也常常应用于数学竞赛中的难度较高的题目。

在解决这些问题时，我们需要有系统的数学思维和灵活的运算能力，从而才能得出正确的结论。

总之，格点与面积公式是平面几何中极具特色和魅力的概念，它们为我们开启了一扇通向无限数学世界的大门。

希望读者可以在这些概念的引领下，不断深入探究，开拓思维，从而更好地理解和应用数学知识。

格点求面积知识点一、格点的概念。

1. 定义。

- 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为格点。

例如，在坐标平面中，点(1,2)、( - 3,5)等都是格点，而像(1.5,3)就不是格点。

二、格点图形。

1. 定义。

- 顶点都是格点的多边形称为格点多边形。

比如一个三角形，它的三个顶点的坐标都是整数，这个三角形就是格点三角形；同样，四边形的四个顶点坐标都是整数时，它就是格点四边形。

三、格点求面积的方法。

1. 皮克定理（Pick's theorem）- 对于一个格点多边形，设其内部格点数为I，边界格点数为B，其面积S 满足公式S = I+(B)/(2)- 1。

- 例如，有一个格点三角形，经观察其内部格点数I = 3，边界格点数 B = 6，根据皮克定理，其面积S=3+(6)/(2)-1=3 + 3-1=5。

2. 分割法。

- 将格点多边形分割成若干个我们熟悉的图形，如三角形、矩形等。

- 比如一个格点五边形，可以通过连接格点将其分割成三个三角形。

分别求出这三个三角形的面积，然后将它们相加就得到了五边形的面积。

假设这三个三角形的面积分别为S_1 = 2，S_2=3，S_3 = 1，那么五边形的面积S = S_1+S_2+S_3=2 +3+1=6。

3. 补形法。

- 把格点多边形补成一个大的规则图形（如矩形），然后用大图形的面积减去补上去的小图形的面积。

- 例如，有一个格点凹四边形，我们可以把它补成一个矩形。

设矩形的面积为S_矩形=10，补上去的三个三角形的面积分别为S_1=1，S_2=2，S_3=1，那么凹四边形的面积S = S_矩形-S_1-S_2-S_3=10 - 1-2 - 1=6。

小学奥林匹克数学辅导————格点与面积请看下图，这是两个画在方格纸中的多边形，图（a）的多边形的所有顶点都在方格纸上的横、纵两组平行线垂直相交的交点上.图（b）中的多边形的顶点至少有一个顶点不在方格纸上那些横、纵两组平行线垂直相交的交点上.（比如A点）像图（a）这样的多边形，我们称它为格点多边形.什么是格点？平常我们用的方格纸的方格（每个小方格都是一个小正方形）都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的，其中相邻两条平行线的距离都是相等的（通常规定是1个单位），在这样的方格纸上，横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.像图（b）这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形.显然易见，格点多边形面积的大小，与格点数目（包括边界上的）的多少有着密切的关系.一般看来，格点多边形的面积越大（小），它所包含格点数目（包括边界上的）就越多（少）.是否存在这两者之间关系的精确的计算公式？通过它只计数格点数目（包括边界上的）的多少就能准确地计算出格点多边形面积的大小？下面让我们共同探索这个规律.例1 如下图，计算下列各个格点多边形的面积.例2 如下图（a），计算这个格点多边形的面积.例3 如右图（b），计算这个格点多边形的面积. 例4 如下页图，计算图（A）与图（B）的面积.例5 如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数.例6 如下图，将图中有关数据填入下表：以后，在我们求格点多边形面积时，可以直接应用公式：S=N+L/2-1这个公式表示：格点多边形的面积等于图形内的格点数加上周界上的格点数的一半减1.上述这个计算格点多边形的面积公式，是通过几个实例分析，归纳出来的，作为数学公式还须进行严格的证明.但限于同学们的知识水平，这个证明不在此进行了.例7 本讲开始提到的多边形如右图面积是多少？用上述公式很快就可以求出了.例8 如下页图（a），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角.形ABC的面积.例9 如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积.例10 如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的正三角形，计算四边形ABCD的面积.习题1.求下列各个格点多边形的面积.2.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.。

格点和面积（在书本讲解的基础上，该课件特意给学生复习的，要求每道题弄明白思路是怎么回事，总结下解题技巧，熟悉有什么题型，难易结合，意在锻炼学生的自学能力和拓展思维）邓同学所编制这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积，先来介绍什么叫“格点”。

见右图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线相交的点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。

借助小格点，我们可以很快地比较和计算图形的面积大小。

利用格点求图形的面积有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积（分割法）；二是将某些图形转化成长方形的面积来求（移位法）。

当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。

形象理解2种思路：先把求平置的长方形的面积视为基本的.对求至少有一边平置的简单图形（如三角形、平行四边形、梯形等）的面积，我们是通过“割、补”或“扩展”的手段转化成长方形去求解的.另外，对求斜置的简单图形的面积又是用同样的手段转化成长方形或有一边平置的图形去求解的.注意：至于格点面积公式是在找规律基础上推理出来的，学生不必要记忆。

格点面积公式=中间格点数+图形一周的格点数÷2﹢1【典型例题】例1：计算下列各图的面积。

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法，显然第一、三、五图可以直接数出包含多少个面积单位，而二、四、六显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形的面积来求这些图形的面积。

解：(1)图中长方形的面积包括了3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6个面积单位。

(2)将图中的平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形的面积，所以平行四边形的面积是3×2=6（个）面积单位。