苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 瞬时速度与瞬时加速度 同步检测(二)

第3课时瞬时速度与瞬时加速度教学过程一、问题情境在物理学中,运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度,它反映了物体在某段时间内运动的快慢程度,那么,如何精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度呢?先看实例.跳水运动员从10m跳台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的.假设t s后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定t=2s时运动员的速度.[1]二、数学建构问题1求出运动员在2s到2.1s(即t∈[2,2.1])的平均速度.解==-13.59(m/s).问题2:利用计算器,请分组算出更短的时间内的平均速度.解t∈[2,2.01],=-13.149;t∈[2,2.001],=-13.1049;t∈[2,2.0001],=-13.10049;t∈[1.9,2] ,=-12.61;t∈[1.99,2],=-13.051;t∈[1.999,2],=-13.0951.问题3观察所得的数据,你能发现当Δt无限逼近于0时,平均速度无限逼近于什么?[2]解-13.1.概念生成一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.问题4类比瞬时速度的概念,你能否概括出瞬时加速度的概念?解一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时加速度,也就是速度对于时间的瞬时变化率.[3]三、数学运用【例1】(教材第12页例2)已知一辆轿车在公路上作加速直线运动,假设t s时的速度为v(t)=t2+3,求当t=t0 s时轿车的瞬时加速度a.(见学生用书P5)[处理建议]利用瞬时加速度的定义,先求平均加速度.[规范板书]解在t0到t0+Δt的时间内,轿车的平均加速度为====2t0+Δt,当Δt→0时,→2t0,即a=2t0.所以,当t=t0 s时轿车的瞬时加速度为2t0.变式物体运动的速度v与时间t的关系是v(t)=t2+4t,求t=2时物体的瞬时加速度.解在2到2+Δt的时间内,轿车的平均加速度为===8+Δt,当Δt→0时,→8,即a=8.所以,当t=2时轿车的瞬时加速度为8.【例2】一作直线运动的物体,其位移S与时间t的关系式是S=3t-t2.(见学生用书P6)(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t=2时的瞬时速度;(3)求t=0到t=2的平均速度.[处理建议]初速度是t=0时的瞬时速度,本题需先求出平均速度,然后利用瞬时速度的定义进行求解.[规范板书]解在t0到t0+Δt的时间内,轿车的平均速度为===(3-2t0)-Δt,当Δt→0时,→3-2t0.所以,当t=t0时轿车的瞬时速度为3-2t0.(1)v(0)=3.(2)v(2)=-1.(3)==-2.[题后反思]本题应注意瞬时速度与平均速度的区别.变式一质点沿直线运动,运动方程为S=10+8t-4t2,其中t单位为s,S单位是m.(1)计算[t,t+Δt]内的平均速度;(2)求当t=0,1,2,3时刻的速度.[规范板书]解(1)在t到t+Δt的时间内,轿车的平均速度为===8-8t-4Δt.(2)由(1)知,当Δt→0时,→8-8t,所以t s时轿车的瞬时速度为8-8t(m/s).t=0s时的速度为8 m/s,t=1 s时的速度为0 m/s,t=2 s 时的速度为-8 m/s,t=3 s时的速度为-16 m/s.【例3】某容器里装有1 L纯酒精,现以每秒L的速度往容器里注水,求酒精浓度在某时刻t的变化率.(见学生用书P6)[处理建议]本题应找出浓度的瞬时变化率与瞬时速度的共同点,为导数的形式化定义作铺垫.[规范板书]解酒精浓度随时间变化的表达式为c(t)==,在t到t+Δt的时间内,酒精的平均浓度为===,当Δt→0时,→.所以,当t s时酒精的瞬时变化率为.[题后反思]通过本题的讲解,进一步让学生体会瞬时变化率的本质,更好地理解概念.变式设电量Q与时间t的函数关系为Q=2t2+3t+1,其中Q的单位为C,t的单位为s,求t=3s时的电流强度.[处理建议]赋予不同的实际背景,某时刻的电流强度即为电量的瞬时变化率.[规范板书]解在t到t+Δt的时间内,电量的平均变化率为===2Δt+4t+3.当Δt→0时,→4t+3.所以3s时的电流强度为15A.*【例4】若一物体的运动方程是S=5t+t2(位移单位:m;时间单位:s),则下述结论中正确的是①②④.(填序号)①物体在时间段[0,1]内的平均速度是m/s;②物体在t=1s时的瞬时速度是8 m/s;③物体在时间段[0,1]内经过的位移是8m;④物体在时间段[0,1]内经过的位移是m.[处理建议]本题需注意平均速度与瞬时速度是两个不同的概念.变式若作直线运动的物体的速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的关系为v(t)=t2,则在前3 s内的平均加速度是3 m/s2,在t=3 s的瞬时加速度是6 m/s2.提示前3s内的平均加速度是=3(m/s2).在t到t+Δt的时间内,物体的平均加速度为===2t+Δt,当Δt→0时,→2t.所以3s时的瞬时加速度为6 m/s2.[题后反思]易误以为前3 s内的平均加速度是=(m/s2).四、课堂练习1.若一质点沿直线运动的方程为y=-2x2+1(x表示时间,y表示位移),则该质点从x=1到x=2的平均速度为-6.提示==-6.2.已知一物体的运动方程是S=t3+2t(t(s)表示时间,S(m)表示位移),那么瞬时速度为14 m/s 的时刻是2s.提示在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===3tΔt+3t2+2.当Δt→0时,→3t2+2,所以,时刻t s的瞬时速度为3t2+2.由题意得3t2+2=14,t=2 s.3.若某物体的运动方程为S=t4-3(t(s)表示时间,S(m)表示位移),则t=5 s时该物体的瞬时速度为125 m/s.提示在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===t3+(Δt)3+t(Δt)2+t2Δt,当Δt→0时,→t3.所以,时刻t s的瞬时速度为t3,由题意,当t=5s时,瞬时速度为125 m/s.五、课堂小结1.平均速度的定义.2.瞬时速度的定义.3.求瞬时速度和瞬时加速度的方法和过程.[4]。

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．设函数f(x)在x＝x0处可导，当h无限趋近于0时，对于错误!的值，以下说法中正确的是_____________________________________．①与x0，h都有关；②仅与x0有关而与h无关；③仅与h有关而与x0无关；④与x0，h均无关．【解析】导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0处及其附近的函数值有关，与h无关．【答案】②2．函数f(x)＝x2在x＝3处的导数等于________．【解析】ΔyΔx＝错误!＝6＋Δx，令Δx→0，得f′(3)＝6. 【答案】 63．已知物体的运动方程为s＝－1 2t2＋8t(t是时间，s是位移)，则物体在t＝2时的速度为________．【解析】Δs＝－12(2＋Δt)2＋8(2＋Δt)－⎝⎛⎭⎪⎪⎫8×2－12×22＝6Δt－12(Δt)2，则ΔsΔt＝6－12Δt，当Δt→0时，ΔsΔt→6.【答案】 64．如图1-1-6，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6, 4)，则f(f(0))＝________，当Δx→0时，错误!→_______.图1-1-6【解析】f(f(0))＝f(4)＝2.由函数在某点处的导数的几何意义知，当Δx→0时，错误!→－2，即直线AB的斜率．【答案】 2 －25．抛物线y＝14x2在点Q(2,1)处的切线方程为________．【解析】ΔyΔx＝错误!＝1＋错误!Δx.当Δx→0时，ΔyΔx→1，即f′(2)＝1，由导数的几何意义知，点Q处切线斜率k＝f′(2)＝1.∴切线方程为y－1＝x－2.即x－y－1＝0.【答案】x－y－1＝06．已知函数y＝f(x)的图象如图1-1-7所示，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是________．(用“<”连接)图1-1-7【解析】由图象易知，点A，B处的切线斜率k A，k B满足k A<k B<0，由导数的几何意义得f′(A)<f′(B)．【答案】f′(A)<f′(B)7．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处切线斜率为16，则点P坐标为________．【解析】设点P的坐标为(x0，y0)，则错误!＝错误!＝4(x0＋1)＋2Δx，当Δx→0时，错误!→4(x0＋1)，即f′(x0)＝4(x0＋1)，由导数的几何意义知f′(x0)＝16，所以x0＝3，y0＝30，所以点P的坐标为(3,30)．【答案】(3,30)8．已知函数y＝f(x)的图象如图1-1-8所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是__________(填序号)．图1-1-8【解析】由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合．【答案】②二、解答题9．函数f(x)＝ax3－bx在点(1，－1)处的切线方程为y＝k(x＋2)，求a，b的值.【导学号：01580005】【解】因为点(1，－1)在切线y＝k(x＋2)上，所以k＝－1 3 .错误!＝错误!＝a(Δx)2＋3aΔx＋3a－b，当Δx→0时，错误!→3a－b，即f′(1)＝3a－b，所以3a－b＝－13①又由f(1)＝－1.得a－b＝－1②由①②得，a＝13，b＝43.10．若一物体运动方程如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)：s＝错误!求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．【解】(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵物体在t＝0附近的平均变化率为ΔsΔt＝错误!＝3Δt－18，当Δt→0时，ΔsΔt→－18，∴物体在t＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．∵物体在t＝1附近的平均变化率为ΔsΔt＝错误!＝3Δt－12，当Δt→0时，ΔsΔt→－12，∴物体在t＝1处的瞬时变化率为－12m/s.[能力提升]1．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么Δt趋于0时，下列命题正确的是________(填序号)．①ΔsΔt为从时间t到t＋Δt时物体的平均速度；②Δs Δt为在t 时刻物体的瞬时速度； ③Δs Δt为当时间为Δt 时物体的速度； ④Δs Δt为在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度． 【解析】 由瞬时速度的定义知，当Δt →0时，Δs Δt为在t 时刻物体的瞬时速度． 【答案】 ②2．若点(0,1)在曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 上，且f ′(0)＝1，则a ＋b ＝________.【解析】 ∵f (0)＝1，∴b ＝1.又Δy Δx＝错误!＝Δx ＋a . ∴当Δx →0时，Δy Δx →a ，则f ′(0)＝a ＝1.所以a ＋b ＝1＋1＝2.【答案】 23．设P 为曲线y ＝f (x )＝x 2＋2x ＋3上的一点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π4，则点P 的横坐标的取值范围是________． 【解析】 设P (x 0，y 0)，错误!＝错误!＝2x 0＋2＋Δx .当Δx →0时，错误!→2x 0＋2，即在点P 处切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π4，所以0≤k ≤1.即0≤2x 0＋2≤1.所以－1≤x 0≤－12. 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1，－12 4．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________.【解析】 Δy Δx ＝错误!＝2ax ＋a Δx ，当Δx→0时，2ax＋aΔx→2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，且y0＝x0－1＝ax20，解得x0＝2，a＝1 4 .【答案】1 45．已知曲线y＝1t－x上两点P(2，－1)，Q⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，12.求：(1)曲线在点P、Q处的切线的斜率；(2)曲线在点P、Q处的切线方程．【解】将P(2，－1)代入y＝1t－x，得t＝1，∴y＝11－x，设f(x)＝11－x，∵错误!＝错误!＝错误!＝错误!，∴当Δx→0时，错误!→错误!.∴f′(x)＝错误!.(1)由导数的几何意义，知曲线在点P处的切线斜率f′(2)＝1.曲线在点Q处的切线斜率f′(－1)＝1 4 .(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0，曲线在点Q处的切线方程为y－12＝14[x－(－1)]，即x－4y＋3＝0.。

1.1.2 瞬时变化率——导数学习目标 1.理解切线的含义.2.理解瞬时速度与瞬时加速度.3.掌握瞬时变化率——导数的概念，会根据定义求一些简单函数在某点处的导数．知识点一 曲线上某一点处的切线如图，P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4，…)，点P 的坐标为(x 0，y 0)．思考1 当点P n →点P 时，试想割线PP n 如何变化？答案 当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，即曲线上点P 处的切线位置． 思考2 割线PP n 的斜率是什么？它与切线PT 的斜率有何关系． 答案 割线PP n 的斜率k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0；当P n 无限趋近于P 时，k n 无限趋近于点P 处切线的斜率k .梳理 (1)设Q 为曲线C 上的不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线．随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 称为曲线在点P 处的切线． (2)若P (x ，f (x ))，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点Q (x ＋Δx ，f (x ＋Δx ))，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ，当Δx →0时，f (x ＋Δx )－f (x )Δx 无限趋近于点P (x ，f (x ))处的切线的斜率．知识点二 瞬时速度与瞬时加速度——瞬时变化率 1．平均速度在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S (t 0＋Δt )－S (t 0)Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率． 3．瞬时加速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率． 知识点三 导数 1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)． 2．导数的几何意义导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 3．导函数(1)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称为f (x )的导数．(2)f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．类型一 求曲线上某一点处的切线例1 已知曲线y ＝x ＋1x 上的一点A (2，52)，用切线斜率定义求：(1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． 解 (1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －(2＋12)＝－Δx 2(2＋Δx )＋Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2Δx (2＋Δx )＋ΔxΔx ＝－12(2＋Δx )＋1. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于34，即点A 处的切线的斜率是34.(2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.反思与感悟 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．跟踪训练1 (1)已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则点P 坐标为________． 答案 (3,30)解析 设点P 坐标为(x 0，y 0)， 则f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4Δx Δx＝4x 0＋4＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4， 因此4x 0＋4＝16，即x 0＝3， 所以y 0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即点P 坐标为(3,30)．(2)已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程． 解 设A (1,2)，B (1＋Δx,3(1＋Δx )2－(1＋Δx ))， 则k AB ＝3(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(3×12－1)Δx ＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5， 所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5. 切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0. 类型二 求瞬时速度例2 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．解 在1到1＋Δt 的时间内，物体的平均速度v ＝Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)Δt＝3＋Δt ，∴当Δt 无限趋近于0时，v 无限趋近于3， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s. 引申探究1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度．解 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt＝(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴当Δt →0时，1＋Δt →1，∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.2．若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解 设物体在t 0时刻的速度为9 m/s. 又Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(2t 0＋1)＋Δt .∴当Δt →0时，ΔsΔt →2t 0＋1.则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟 (1)求瞬时速度的题目的常见错误是不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率．(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． ②求平均速度v ＝Δs Δt. ③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于的常数v 即为瞬时速度．跟踪训练2 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度即为函数在t ＝2 s 处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2 s 附近的平均变化率为 Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt ＝4a ＋a Δt ， ∴当Δt →0时，ΔsΔt →4a ＝8，即a ＝2.类型三 求函数在某点处的导数 例3 已知f (x )＝x 2－3. (1)求f (x )在x ＝2处的导数；(2)求f (x )在x ＝a 处的导数． 解 (1)因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－3－(22－3)Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4. (2)因为Δy Δx ＝f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝(a ＋Δx )2－3－(a 2－3)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤 (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)令Δx 无限趋近于0，求得导数．跟踪训练3 (1)设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 答案 2解析 ∵f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝a (1＋Δx )＋4－a －4Δx ＝a ，∴f ′(1)＝a ，即a ＝2.(2)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h ，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．解 当x 从6变到6＋Δx 时，函数值从f (6)变到f (6＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为 f (6＋Δx )－f (6)Δx＝(6＋Δx )2－7(6＋Δx )＋15－(62－7×6＋15)Δx＝5Δx ＋(Δx )2Δx＝5＋Δx .当Δx →0时，平均变化率趋近于5，所以f ′(6)＝5，导数f ′(6)＝5表示当x ＝6时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h 时间，原油温度将升高5 ℃.1．一个做直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为________． 答案 －1解析 由于ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22) ＝3Δt －4Δt －(Δt )2＝－Δt －(Δt )2， 所以ΔS Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于常数－1.故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1.2．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为________． 答案 8解析 因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝2(2＋Δx )2－8Δx＝8＋2Δx ，当Δx →0时，8＋2Δx 趋近于8.即k ＝8. 3．函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数是________．答案 0解析 ∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x ，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝(Δx )21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx→0， 即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.4．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则f ′(x 0)的值为________． 答案 a解析 由导数定义，得f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝a Δx ＋b (Δx )2Δx＝a ＋b Δx ，故当Δx →0时，其值趋近于a ，故f ′(x 0)＝a .5．如果一个物体的运动方程S (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2，0≤t <3，29＋3(t －3)2，t ≥3，试求该物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度． 解 当t ＝1时，S (t )＝t 2＋2，则ΔS Δt ＝S (1＋Δt )－S (1)Δt ＝(1＋Δt )2＋2－3Δt ＝2＋Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，2＋Δt 无限趋近于2， 所以v (1)＝2； ∵t ＝4∈[3，＋∞)，∴S (t )＝29＋3(t －3)2＝3t 2－18t ＋56，∴ΔS Δt ＝3(4＋Δt )2－18(4＋Δt )＋56－3×42＋18×4－56Δt ＝3(Δt )2＋6Δt Δt＝3Δt ＋6，∴当Δt 无限趋近于0时，3Δt ＋6→6，即ΔSΔt →6，所以v (4)＝6.1．平均变化率和瞬时变化率的关系平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 无限趋近于0时，它所趋近于的一个常数就是函数在x ＝x 0处的瞬时变化率．即有：Δx 无限趋近于0是指自变量间隔Δx 越来越小，能达到任意小的间隔，但始终不能为0.即对于瞬时变化率，我们通过减小自变量的改变量以致无限趋近于零的方式，实现用割线斜率“逼近”切线斜率，用平均速度“逼近”瞬时速度．一般地，可以用平均变化率“逼近”瞬时变化率．2．求切线的斜率、瞬时速度和瞬时加速度的解题步骤(1)计算Δy .(2)求Δy Δx .(3)当Δx →0时，ΔyΔx 无限趋近于哪个常数．课时作业一、填空题1．函数f (x )＝x 2在x ＝3处的导数等于________． 答案 6解析 Δy Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx ，当Δx →0时，得f ′(3)＝6.2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 1解析 Δy Δx ＝(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝a ＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx→a .∵切线x －y ＋1＝0的斜率为1， ∴a ＝1.∵点(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1.3．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为________． 答案 45°解析 ∵y ＝12x 2－2，∴Δy Δx ＝12(x ＋Δx )2－2－⎝⎛⎭⎫12x 2－2Δx ＝12(Δx )2＋x ·Δx Δx＝x ＋12Δx .故当Δx →0时，其值无限趋近于x ，∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝⎛⎭⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°. 4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________. 答案 1解析 Δy Δx ＝a (1＋Δx )2－aΔx ＝2a ＋a Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →2a ，∴可令2a ＝2，∴a ＝1.5．已知曲线y ＝13x 3上一点P (2，83)，则该曲线在点P 处切线的斜率为________．答案4解析 由y ＝13x 3，得Δy Δx ＝13(x ＋Δx )3－13x 3Δx＝13[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]， 当Δx →0时，其值无限趋近于x 2. 故y ′＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4，结合导数的几何意义知，曲线在点P 处切线的斜率为4. 6．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点的坐标为________．答案 (12，14)解析 ∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，当Δx →0时，其值趋近于2x . ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12，∴y ＝⎝⎛⎭⎫122＝14，所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，14. 7．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则点P 坐标为________． 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝2(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx＝2Δx ＋4x 0＋4，当Δx →0时，其值无限趋近于4＋4x 0. 令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30)．8.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.答案 2解析 ∵点P 在切线上，∴f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝k ＝－1， ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.9．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 由在点M 处的切线方程是y ＝12x ＋2，得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.10．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________． 答案 4解析 设在点P 处切线的斜率为k ，∵Δy Δx ＝(－2＋Δx )2－(－2＋Δx )＋c －(6＋c )Δx ＝－5＋Δx ， ∴当Δx →0时，ΔyΔx →－5，∴k ＝－5，∴切线方程为y ＝－5x .∴点P 的纵坐标为y ＝－5×(－2)＝10， 将P (－2,10)代入y ＝x 2－x ＋c ，得c ＝4. 二、解答题11．已知质点运动方程是s (t )＝12gt 2＋2t －1(g 是重力加速度，常量)，求质点在t ＝4 s 时的瞬时速度(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)． 解Δs Δt ＝s (4＋Δt )－s (4)Δt＝[12g (4＋Δt )2＋2(4＋Δt )－1]－(12g ·42＋2×4－1)Δt＝12g (Δt )2＋4g ·Δt ＋2Δt Δt＝12g Δt ＋4g ＋2. ∵当Δt →0时，ΔsΔt→4g ＋2，∴S ′(4)＝4g ＋2，即v (4)＝4g ＋2，∴质点在t ＝4 s 时的瞬时速度为(4g ＋2) m/s.12．求曲线y ＝f (x )＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程．解 因为点(1,3)在曲线上，且f (x )在x ＝1处可导，Δy Δx ＝(1＋Δx )3－(1＋Δx )＋3－(1－1＋3)Δx＝(Δx )3＋3(Δx )2＋2Δx Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋2，当Δx →0时，(Δx )2＋3Δx ＋2→2，故f ′(1)＝2.故所求切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.13．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积．解 (1)Δy Δx ＝(1＋Δx )2＋(1＋Δx )－2－(12＋1－2)Δx＝Δx ＋3，当Δx →0时，Δy Δx→3， ∴直线l 1的斜率k 1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)，则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)．∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，解得x 0＝－23. ∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧ x ＝16，y ＝－52.又∵直线l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，(－223，0)， ∴所求三角形的面积为S ＝12×|－52|×(1＋223)＝12512.三、探究与拓展14．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎦⎤－1，－12 解析 ∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx＝(2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝Δx ＋2x ＋2. 故当Δx →0时，其值无限趋近于2x ＋2.∴可设点P 横坐标为x 0，则曲线C 在点P 处的切线斜率为2x 0＋2.由已知，得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，－12. 15．已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°；(2)切线平行于直线4x －y －2＝0.解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx＝4x 0＋2Δx ， 当Δx →0时，Δy Δx→4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，解得x 0＝14， ∴切点坐标为(14，98)． (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，解得x 0＝1，∴切点坐标为(1,3)．。

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．设函数f(x)在x＝x0处可导，当h无限趋近于0时，对于错误!的值，以下说法中正确的是_____________________________________．①与x0，h都有关；②仅与x0有关而与h无关；③仅与h有关而与x0无关；④与x0，h均无关．【解析】导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0处及其附近的函数值有关，与h无关．【答案】②2．函数f(x)＝x2在x＝3处的导数等于________．【解析】ΔyΔx＝错误!＝6＋Δx，令Δx→0，得f′(3)＝6. 【答案】 63．已知物体的运动方程为s＝－1 2t2＋8t(t是时间，s是位移)，则物体在t＝2时的速度为________．【解析】Δs＝－12(2＋Δt)2＋8(2＋Δt)－⎝⎛⎭⎪⎪⎫8×2－12×22＝6Δt－12(Δt)2，则ΔsΔt＝6－12Δt，当Δt→0时，ΔsΔt→6.【答案】 64．如图1-1-6，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6, 4)，则f(f(0))＝________，当Δx→0时，错误!→_______.图1-1-6【解析】f(f(0))＝f(4)＝2.由函数在某点处的导数的几何意义知，当Δx→0时，错误!→－2，即直线AB的斜率．【答案】 2 －25．抛物线y＝14x2在点Q(2,1)处的切线方程为________．【解析】ΔyΔx＝错误!＝1＋错误!Δx.当Δx→0时，ΔyΔx→1，即f′(2)＝1，由导数的几何意义知，点Q处切线斜率k＝f′(2)＝1.∴切线方程为y－1＝x－2.即x－y－1＝0.【答案】x－y－1＝06．已知函数y＝f(x)的图象如图1-1-7所示，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是________．(用“<”连接)图1-1-7【解析】由图象易知，点A，B处的切线斜率k A，k B满足k A<k B<0，由导数的几何意义得f′(A)<f′(B)．【答案】f′(A)<f′(B)7．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处切线斜率为16，则点P坐标为________．【解析】设点P的坐标为(x0，y0)，则错误!＝错误!＝4(x0＋1)＋2Δx，当Δx→0时，错误!→4(x0＋1)，即f′(x0)＝4(x0＋1)，由导数的几何意义知f′(x0)＝16，所以x0＝3，y0＝30，所以点P的坐标为(3,30)．【答案】(3,30)8．已知函数y＝f(x)的图象如图1-1-8所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是__________(填序号)．图1-1-8【解析】由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合．【答案】②二、解答题9．函数f(x)＝ax3－bx在点(1，－1)处的切线方程为y＝k(x＋2)，求a，b的值.【导学号：01580005】【解】因为点(1，－1)在切线y＝k(x＋2)上，所以k＝－1 3 .错误!＝错误!＝a(Δx)2＋3aΔx＋3a－b，当Δx→0时，错误!→3a－b，即f′(1)＝3a－b，所以3a－b＝－13①又由f(1)＝－1.得a－b＝－1②由①②得，a＝13，b＝43.10．若一物体运动方程如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)：s＝错误!求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．【解】(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵物体在t＝0附近的平均变化率为ΔsΔt＝错误!＝3Δt－18，当Δt→0时，ΔsΔt→－18，∴物体在t＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．∵物体在t＝1附近的平均变化率为ΔsΔt＝错误!＝3Δt－12，当Δt→0时，ΔsΔt→－12，∴物体在t＝1处的瞬时变化率为－12m/s.[能力提升]1．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么Δt趋于0时，下列命题正确的是________(填序号)．①ΔsΔt为从时间t到t＋Δt时物体的平均速度；②Δs Δt为在t 时刻物体的瞬时速度； ③Δs Δt为当时间为Δt 时物体的速度； ④Δs Δt为在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度． 【解析】 由瞬时速度的定义知，当Δt →0时，Δs Δt为在t 时刻物体的瞬时速度． 【答案】 ②2．若点(0,1)在曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 上，且f ′(0)＝1，则a ＋b ＝________.【解析】 ∵f (0)＝1，∴b ＝1.又Δy Δx＝错误!＝Δx ＋a . ∴当Δx →0时，Δy Δx →a ，则f ′(0)＝a ＝1.所以a ＋b ＝1＋1＝2.【答案】 23．设P 为曲线y ＝f (x )＝x 2＋2x ＋3上的一点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π4，则点P 的横坐标的取值范围是________． 【解析】 设P (x 0，y 0)，错误!＝错误!＝2x 0＋2＋Δx .当Δx →0时，错误!→2x 0＋2，即在点P 处切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π4，所以0≤k ≤1.即0≤2x 0＋2≤1.所以－1≤x 0≤－12. 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1，－12 4．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________.【解析】 Δy Δx ＝错误!＝2ax ＋a Δx ，当Δx→0时，2ax＋aΔx→2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，且y0＝x0－1＝ax20，解得x0＝2，a＝1 4 .【答案】1 45．已知曲线y＝1t－x上两点P(2，－1)，Q⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，12.求：(1)曲线在点P、Q处的切线的斜率；(2)曲线在点P、Q处的切线方程．【解】将P(2，－1)代入y＝1t－x，得t＝1，∴y＝11－x，设f(x)＝11－x，∵错误!＝错误!＝错误!＝错误!，∴当Δx→0时，错误!→错误!.∴f′(x)＝错误!.(1)由导数的几何意义，知曲线在点P处的切线斜率f′(2)＝1.曲线在点Q处的切线斜率f′(－1)＝1 4 .(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0，曲线在点Q处的切线方程为y－12＝14[x－(－1)]，即x－4y＋3＝0.。

瞬时速度与瞬时加速度-苏教版选修2-2教案教学目标1.学生理解速度和加速度的概念以及它们的区别。

2.学生能够计算瞬时速度和瞬时加速度。

3.学生能够应用瞬时速度和瞬时加速度的概念解决实际问题。

教学重点1.瞬时速度的概念和计算方法2.瞬时加速度的概念和计算方法3.瞬时速度和瞬时加速度的应用教学难点1.瞬时速度和平均速度的区别2.瞬时加速度和平均加速度的区别教学过程导入•导入目的–利用生活实例引起兴趣–引出本节课的学习内容1.引入瞬时速度和瞬时加速度的概念–生活实例：有人坐车经过一个路口时，看到红灯亮了，就决定拉住车速。

–引导学生思考：车速越大怎么样？需要多长时间停下来？2.展示与生活实例有关的公式–速度公式：v=ΔS/Δt–加速度公式：a=Δv/Δt体验•体验目的–让学生更加深入地理解瞬时速度和瞬时加速度的概念–观察和实践运用瞬时速度和瞬时加速度的计算方法1.小组讨论–配置实验器材：计时器、电池、细线和滑轮。

–活动：每个小组成员分别用实验器材记录下小球沿斜面下滑的时间和下落的距离，从而计算出瞬时速度和瞬时加速度。

探究•探究目的–学生独立思考瞬时速度和瞬时加速度的应用–学生运用所学的知识解决实际问题1.解决实际问题–生活实例：物理老师手上拿着一根金属棒，在一个平面上以1 m/s^2 的加速度向前运动。

–学生思考：•金属棒运动的速度是多少？•如果老师停止推动金属棒，金属棒会在多少时间内停止？2.计算问题–瞬时速度公式：v=ΔS/Δt–瞬时加速度公式：a=Δv/Δt–计算过程：•v=at•ΔS=1/2at^2归纳总结•归纳目的–帮助学生加深对本节课内容的理解–帮助学生解决自己的问题1.归纳瞬时速度和瞬时加速度的概念和计算公式。

课堂练习1.一辆汽车的速度上升从100km/h到160km/h，所用时间为8s，这次加速的瞬时加速度大小为多少？2.兔子在百米赛跑中冲过了终点，其路程和时间关系如下：0s 0m、2s 20m、4s 50m、6s 90m、8s 140m，求：在4秒时它的瞬时速度。

1.1.2瞬时变化率-导数（二)瞬时速度与瞬时加速度一、教学目标(1）理解瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时速度与瞬时加速度的过程.理解平均变化率的几何意义；理解△x 无限趋近于0的含义；（2）运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度。

二、例题分析例2：设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设()t s 时的速度为2()3v t t =+,求0()t t s =时轿车的加速度。

例3：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需对原油进行冷却和加热。

如果在第x h 时原油的温度)(C 为157)(2+-=x x x f )80(≤≤x 。

计算第2 h 和第6 h 时，原油的瞬时变化率，并说明意义。

四、课堂练习1、质点沿x 轴运动,设距离为()x m ，时间为()t s 时,2105x t =+,则当00t t t t ≤≤+∆时，质点的平均速度为 ；当0t t =时，位是1gt 例1:物体作自由落体运动,运动方程为：其中位移单m,时间单位是s,g=10m/s 2.求：(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；(3) 物体在t =2(s)时的瞬时速度.22s =质点的瞬时速度为 ；当00tt t t ≤≤+∆时，质点的平均加速度为 ；当0t t =时，质点的瞬时加速度为 。

2、一质点的运动方程为210s t =+（位移单位：m ，时间单位：s ),试求该质点在3t s =的瞬时速度。

3、自由落体运动的位移()s m 与时间()t s 的关系为212s gt =(g 为常数)。

（1）求0()t t s =时的瞬时速度； （2）分别求1,2,3t s =时的瞬时速度。

五、课堂小结六、课后作业1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2s s t gt ==若t 无限趋近于0时，(1)(1)s t s t+∆-∆无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ） A ．9.8/m s 是在0~1s 这一段时间内的速度 B ．9.8/m s 是在1～(1+t ）s 这段时间内的速度C ．9.8/m s 是物体在1t s =时刻的速度D ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ∆）s 时间内的平均速度.2．如果质点M 按规律23S t =+运动,则在一小段时间［2,2.1］中相应的平均速度等于（ ）A ．4B ．4.1C ．0.41D ．33．如果某物体的运动方程是22(1)s t =-，则在 1.2t =秒时的瞬时速度是（ ）A ．4B ．4-C ．4.8D ．0.84．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且32423s tt t =+-，则物体在运动开始的速度为（ ）A ．3/m sB ．－3/m sC ．0/m sD ．2/m s5．任一做直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=，则物体的初速度是（ ）A 0B 3C －2D t 23-6．枪弹在枪筒中可以看成是匀加速运动，如果它的加速度是525.010/m s ⨯。

第5课时瞬时变化率——导数(2)教学过程一、问题情境跳水运动员从10m跳台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的.假设t s后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定运动员在某个时刻t0的瞬时速度.如果将上述问题中的函数H(t)用y=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢?二、数学建构问题1高台跳水运动中,运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示?解如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移h(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.问题2将上述问题中的函数H(t)用y=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢?解如果当Δx无限趋近于0时,函数y=f(x)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为函数在x=x0处的瞬时变化率.概念生成设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称该常数A为f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0).[1]巩固概念问题3导数f'(x0)的几何意义是什么?解导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.问题4通过概念中导数的形式能否概括出求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤?解①求Δy;②求;③当Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则常数A即为f(x)在x=x0处的导数.问题5f'(x)是不是一个函数?解若函数y=f(x)在区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数,记作f'(x).在不引起混淆时,导函数f'(x)也称为f(x)的导数.问题6运动物体的位移S(t)对于时间t的导数是什么?运动物体的速度v(t)对于时间t的导数是什么?解瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t的导数,瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数.问题7如何理解f(x)在x=x0处的导数f'(x0)?解f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是函数f'(x)在x=x0处的函数值,而不是f(x0)的导数.三、数学运用【例1】(教材第13页例3)已知f(x)=x2+2.(见学生用书P9)(1)求f(x)在x=1处的导数;(2)求f(x)在x=a处的导数.[处理建议]本题要求学生表述格式规范化.[规范板书]解(1)因为===2+Δx,当Δx→0时,2+Δx→2,所以f(x)在x=1处的导数等于2.(2)因为===2a+Δx,当Δx→0时,2a+Δx→2a,所以f(x)在x=a处的导数等于2a.[题后反思]巩固强化导数的内涵,使学生理解导数概念的本质.通过此例,我们由函数f(x)在x=x0处的导数引出函数在区间(a,b)上的导函数的概念.变式求函数y=在x=2处的导数.[规范板书]解因为===-,当Δx→0时,-→-,所以f(x)在x=2处的导数等于-.【例2】在曲线y=x3上一点P处作切线,使该切线与直线y=--5垂直,求此切线的方程.(见学生用书P10)[处理建议]曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值,本题结合两垂直直线的斜率关系进行解题.[规范板书]解设点P(x,x3),===3x2+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+3xΔx+(Δx)2→3x2,所以f(x)在点P处的导数等于3x2.由题可知,3x2=3⇒x=1或-1,所以切线方程为3x-y-2=0或3x-y+2=0.[题后反思]本题应利用导数的几何意义解题.【例3】已知f(x)=x3-2x+1,求f'(x)及f'(2).(见学生用书P10)[处理建议]学生学习一种新的记号需要一个理解适应的过程,因此,对于本题,给予学生时间思考.[规范板书]解因为==3x2-2+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2-2+3xΔx+(Δx)2→3x2-2,所以f'(x)=3x2-2,f'(2)=10.[题后反思]f(x)在x=2处的导数f'(2)就是函数f'(x)在x=2处的函数值.变式已知成本c与产量q的函数关系式为c(q)=3q+4q2,则当产量q=6时,求边际成本c'(6).[规范板书]解==3+8q+4Δq,当Δq→0时,3+8q+4Δq→3+8q,即c'(q)=3+8q,c'(6)=51.[题后反思]c(x)在x=a处的导数c'(a)称为生产规模为a时的边际成本值.*【例4】已知f(-x)=f(x)对任意实数x都成立,且f'(-x0)=-k(k≠0),求f'(x0).[处理建议]本题利用导数的概念进行推导.[规范板书]解=.当Δx→0时,上式无限逼近于-f'(x0),所以f'(x0)=k.变式已知f(x+1)-f(1)=2x2+x,求f'(1).[规范板书]解=2x+1,当x→0时,2x+1→1,所以f'(1)=1.四、课堂练习1.设f(x)=ax2+3,若f'(1)=2,则a=1.提示f'(x)=2ax,由f'(1)=2得a=1.2.函数f(x)=2x2+3x的导数为f'(x)=4x+3.提示因为==4x+3+2Δx.当Δx→0时,4x+3+2Δx→4x+3,即f'(x)=4x+3.3.若函数y=f(x)在点x∈(-1,1)内的导函数为f'(x),则下列说法正确的是④.(填序号)①在x=x0处的导数为f'(x0);②在x=1处的导数为f'(1);③在x=-1处的导数为f'(-1);④在x=0处的导数为f'(0).五、课堂小结1.导数的几何意义.2.导数的物理意义.3.由定义求导数的步骤.。

学业分层测评(二)(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．设函数()在＝处可导，当无限趋近于时，对于的值，以下说法中正确的是．①与，都有关；②仅与有关而与无关；③仅与有关而与无关；④与，均无关．【解析】导数是一个局部概念，它只与函数＝()在＝处及其附近的函数值有关，与无关．【答案】②．函数()＝在＝处的导数等于．【解析】＝＝＋Δ，令Δ→，得′()＝.【答案】．已知物体的运动方程为＝－＋(是时间，是位移)，则物体在＝时的速度为．【解析】Δ＝－(＋Δ)＋(＋Δ)－＝Δ－(Δ)，则＝－Δ，当Δ→时，→.【答案】．如图--，函数()的图象是折线段，其中，，的坐标分别是()，()，()，则(())＝，当Δ→时，→.图--【解析】(())＝()＝.由函数在某点处的导数的几何意义知，当Δ→时，→－，即直线的斜率．【答案】－．抛物线＝在点()处的切线方程为．【解析】＝＝＋Δ.当Δ→时，→，即′()＝，由导数的几何意义知，点处切线斜率＝′()＝.∴切线方程为－＝－.即－－＝.【答案】－－＝．已知函数＝()的图象如图--所示，则′()与′()的大小关系是．(用“<”连接)图--【解析】由图象易知，点，处的切线斜率，满足<<，由导数的几何意义得′()<′()．【答案】′()<′()．已知曲线＝()＝＋在点处切线斜率为，则点坐标为．【解析】设点的坐标为(，)，则＝＝(＋)＋Δ，当Δ→时，→(＋)，即′()＝(＋)，由导数的几何意义知′()＝，所以＝，＝，所以点的坐标为()．【答案】()．已知函数＝()的图象如图--所示，则函数＝′()的图象可能是(填序号)．。

瞬时变化率—导数教学目的：知识与技能：掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义.过程与方法：会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 情感、态度与价值观：理解足够小、足够短的含义教学重点：知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度.教学难点：理解物体的瞬时速度的意义教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。

教学过程：学生探究过程： 我们物理中学习直线运动的速度时，已经学习了物体的瞬时速度的有关知识，现在我们从数学的角度重新来认识一下瞬时速度一、复习引入：１．曲线的切线如图，设曲线c 是函数()y f x 的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线y=f(x)β∆x ∆yQM Px O y00(,)P x y 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α,即tan α=0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x 0x∆ 二、讲解新课：1.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.2. 确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法：要确定物体在某一点A 处的瞬时速度，从A 点起取一小段位移AA 1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度.当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度了.我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s =s (t )，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t 0，t 0+Δt ，现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为Δs =s (t 0+Δt )－s (t 0)(Δt 称时间增量) 平均速度tt s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00 根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t 来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.现在是从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度 瞬时速度tt s t t s v v t t ∆-∆+==→∆→∆)()(lim lim 0000 所以当Δt →0时，平均速度的极限就是瞬时速度三、讲解X 例：例1物体自由落体的运动方程s =s (t )=21gt 2，其中位移单位m ，时间单位s ，g =9.8 m/s 2. 求t =3这一时段的速度. 解：取一小段时间［3，3+Δt ］，位置改变量Δs =21g (3+Δt )2－21g ·32=2g (6+Δt )Δt ，平均速度21=∆∆=t s v g (6+Δt )瞬时速度m/s 4.293)(21lim lim 00==∆+==→∆→∆g t t g v v t t 由匀变速直线运动的速度公式得v =v 0+at =gt =g ·3=3g =29.4 m/s例2已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，(1)当t =2，Δt =0.01时，求ts ∆∆.(2)当t =2，Δt =0.001时，求ts ∆∆. (3)求质点M 在t =2时的瞬时速度.分析：Δs 即位移的改变量，Δt 即时间的改变量，ts ∆∆即平均速度，当Δt 越小，求出的ts ∆∆越接近某时刻的速度. 解：∵tt t t t t s t t s t s ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)32(3)(2)()(22=4t +2Δt ∴(1)当t =2，Δt =0.01时，ts ∆∆=4×2+2×0.01=8.02 cm/s (2)当t =2，Δt =0.001时，ts ∆∆=4×2+2×0.001=8.002 cm/s (3)v =00lim lim →∆→∆=∆∆t t t s (4t +2Δt )=4t =4×2=8 cm/s 四、巩固练习：1.一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t∆→∆∆为（ ）Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均2．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s =s (t )=t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在t =5时的瞬时速度解：瞬时速度v =2200(5)(5)(5)5lim lim t t s t s t t t∆→∆→+∆-+∆-=∆∆lim t ∆→=(10+Δt )=10 m/s. ∴瞬时速度v =2t =2×5=10 m/s.M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，求质点M 在t =2时的瞬时速度.解：瞬时速度v =tt t s t s t t ∆+⋅-+∆+=∆-∆+→∆→∆)322(3)2(2lim )2()2(lim 2200 =0lim →∆t (8+2Δt )=8 cm/s. 点评：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容五、教学反思 ：这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均速度的极限来定义的，主要记住公式瞬时速度v =tt ∆→∆lim。

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．设函数f (x )在x ＝x 0处可导，当h 无限趋近于0时，对于f (x 0＋h )－f (x 0)h 的值，以下说法中正确的是_____________________________________．①与x 0，h 都有关；②仅与x 0有关而与h 无关； ③仅与h 有关而与x 0无关；④与x 0，h 均无关．【解析】 导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f (x )在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与h 无关．【答案】 ②2．函数f (x )＝x 2在x ＝3处的导数等于________．【解析】 Δy Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx ，令Δx →0，得f ′(3)＝6. 【答案】 63．已知物体的运动方程为s ＝－12t 2＋8t (t 是时间，s 是位移)，则物体在t ＝2时的速度为________．【解析】 Δs ＝－12(2＋Δt )2＋8(2＋Δt )－⎝ ⎛⎭⎪⎫8×2－12×22＝6Δt －12(Δt )2，则Δs Δt ＝6－12Δt ， 当Δt →0时，ΔsΔt→6. 【答案】 64．如图1-1-6，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx→_______.图1-1-6【解析】 f (f (0))＝f (4)＝2.由函数在某点处的导数的几何意义知，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx→－2，即直线AB 的斜率．【答案】 2 －25．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为________． 【解析】 Δy Δx ＝14(2＋Δx )2－14×22Δx ＝1＋14Δx . 当Δx →0时，ΔyΔx →1，即f ′(2)＝1，由导数的几何意义知，点Q 处切线斜率k ＝f ′(2)＝1. ∴切线方程为y －1＝x －2.即x －y －1＝0. 【答案】 x －y －1＝06．已知函数y ＝f (x )的图象如图1-1-7所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是________．(用“<”连接)图1-1-7【解析】 由图象易知，点A ，B 处的切线斜率k A ，k B 满足k A <k B <0，由导数的几何意义得f ′(A )<f ′(B )．【答案】 f ′(A )<f ′(B )7．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处切线斜率为16，则点P 坐标为________．【解析】 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝2(x0＋Δx)2＋4(x0＋Δx)－2x20－4x0Δx＝4(x0＋1)＋2Δx，当Δx→0时，f(x0＋Δx)－f(x0)Δx→4(x0＋1)，即f′(x0)＝4(x0＋1)，由导数的几何意义知f′(x0)＝16，所以x0＝3，y0＝30，所以点P的坐标为(3,30)．【答案】(3,30)8．已知函数y＝f(x)的图象如图1-1-8所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是__________(填序号)．图1-1-8【解析】由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合．【答案】②二、解答题9．函数f(x)＝ax3－bx在点(1，－1)处的切线方程为y＝k(x＋2)，求a，b的值.【导学号：01580005】【解】因为点(1，－1)在切线y＝k(x＋2)上，所以k＝－1 3.f(1＋Δx)－f(1)Δx＝a(1＋Δx)3－b(1＋Δx)－a＋bΔx＝a(Δx)2＋3aΔx＋3a－b，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx→3a －b ，即f ′(1)＝3a －b ，所以3a －b ＝－13 ① 又由f (1)＝－1.得a －b ＝－1 ② 由①②得，a ＝13，b ＝43.10．若一物体运动方程如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)：s ＝{ 3t 2＋2， t ≥3，＋3(t －3)2， 0≤t ＜3.求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．【解】 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3×(0＋Δt －3)2－29－3×(0－3)2Δt ＝3Δt －18，当Δt →0时，ΔsΔt →－18，∴物体在t ＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2Δt＝3Δt －12，当Δt →0时，ΔsΔt →－12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12m/s.[能力提升]1．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么Δt 趋于0时，下列命题正确的是________(填序号)．①ΔsΔt 为从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度； ②ΔsΔt 为在t 时刻物体的瞬时速度； ③ΔsΔt 为当时间为Δt 时物体的速度； ④ΔsΔt 为在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度．【解析】 由瞬时速度的定义知，当Δt →0时，ΔsΔt 为在t 时刻物体的瞬时速度．【答案】 ②2．若点(0,1)在曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 上，且f ′(0)＝1，则a ＋b ＝________. 【解析】 ∵f (0)＝1，∴b ＝1. 又Δy Δx ＝f (0＋Δx )－f (0)Δx＝Δx ＋a .∴当Δx →0时，ΔyΔx →a ，则f ′(0)＝a ＝1. 所以a ＋b ＝1＋1＝2. 【答案】 23．设P 为曲线y ＝f (x )＝x 2＋2x ＋3上的一点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 的横坐标的取值范围是________．【解析】设P (x 0，y 0)，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝(x 0＋Δx )2＋2(x 0＋Δx )＋3－(x 20＋2x 0＋3)Δx＝2x 0＋2＋Δx .当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx→2x 0＋2，即在点P 处切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以0≤k ≤1.即0≤2x 0＋2≤1.所以－1≤x 0≤－12.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－124．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________.【解析】 Δy Δx ＝a (x ＋Δx )2－ax2Δx＝2ax ＋a Δx ，当Δx →0时，2ax ＋a Δx →2ax ， 设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1， 且y 0＝x 0－1＝ax 20，解得x 0＝2，a ＝14. 【答案】 14 5．已知曲线y ＝1t －x上两点P (2，－1)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.求：(1)曲线在点P 、Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P 、Q 处的切线方程． 【解】 将P (2，－1)代入y ＝1t －x， 得t ＝1，∴y ＝11－x ，设f (x )＝11－x， ∵f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx＝Δx[1－(x ＋Δx )](1－x )Δx＝1(1－x －Δx )(1－x )，∴当Δx →0时，1(1－x －Δx )(1－x )→1(1－x )2.∴f ′(x )＝1(1－x )2.(1)由导数的几何意义，知曲线在点P 处的切线斜率f ′(2)＝1. 曲线在点Q 处的切线斜率f ′(－1)＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0，1 2＝14[x－(－1)]，即x－4y＋3＝0.曲线在点Q处的切线方程为y－。

1.1.2 瞬时变化率——导数(二)一、填空题1．当h 无限趋近于0时，(3＋h )2－32h无限趋近于________． 2．若f (x ＋h )－f (x )＝2hx 2＋5h 2x ＋3h 3，则f ′(x )＝________.3．在曲线y ＝x 3－3x 的切线中，平行于x 轴的切线与曲线的切点是________．4．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)＝________.5．已知成本y 与产量x 的函数关系式为y ＝14x 2，则当产量x ＝2时，边际成本为________．(边际成本＝总成本的变化量产量的变化量) 6．y ＝f (x )，y ＝g (x )，y ＝α(x )的图象如图①所示．图①而图②是其对应导数的图象：图②则y ＝f (x )的导数图象对应__________；y ＝g (x )的导数图象对应__________；y ＝α(x )的导数图象对应__________．7．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[π4，π2)，则点P 横坐标的取值范围为________． 8．若曲线y ＝12x 2在点(a ，12a 2)处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为27，求a ＝________.9．若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋ax 的切线，则实数a ＝________.二、解答题10．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．11．求抛物线y ＝x 2过点⎝⎛⎭⎫－52，－6的切线方程．12．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．答案精析1．62．2x 2解析 由f (x ＋h )－f (x )＝2hx 2＋5h 2x ＋3h 3，得f (x ＋h )－f (x )h＝2x 2＋5hx ＋3h 2，当h 无限趋近于0时，f (x ＋h )－f (x )h无限趋近于2x 2，所以f ′(x )＝2x 2. 3．(1，－2)或(－1,2)解析 因为y ＝x 3－3x ，Δy Δx ＝(x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )－x 3＋3x Δx ＝3x Δx ＋3x 2＋(Δx )2－3，所以当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于3x 2－3，故切线斜率k ＝3x 2－3.由3x 2－3＝0解得x ＝1或x ＝－1，从而代入曲线方程得点为(1，－2)或(－1,2)．4.985．1解析 总成本的变化量Δy ＝14(x ＋Δx )2－14x 2 ＝14(Δx )2＋12x Δx . 边际成本＝Δy Δx ＝12x ＋14Δx ，当x ＝2时，Δy Δx ＝1＋14·Δx ， 当Δx →0时，Δy Δx→1，所以边际成本为1. 6．B C A解析 由导数的几何意义，y ＝f (x )上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变，则y ＝f (x )的导数图象对应B.y ＝g (x )上任一点处的切线斜率均小于零，且在起始部分斜率值近负无穷，故y ＝g (x )的导数图象对应C.y ＝α(x )图象上任一点处的切线斜率都大于零，且先小后大，故y ＝α(x )对应A.7．[－12，＋∞) 解析 设点P 的横坐标为x 0，则由导数的几何意义可得点P 处的切线倾斜角α与x 0的关系为tan α＝f ′(x 0)＝2x 0＋2，∵α∈[π4，π2)，∴tan α∈[1，＋∞)， ∴2x 0＋2≥1，即x 0≥－12. ∴x 0的取值范围为[－12，＋∞)． 8．±6解析 Δy Δx ＝12(x ＋Δx )2－12x 2Δx ＝x ＋12Δx ， 当Δx →0时，Δy Δx→x . ∴曲线y ＝12x 2在点(a ，12a 2)处切线的斜率为a ， 则该切线方程为y －12a 2＝a (x －a )， 令y ＝0，则x ＝12a ；令x ＝0， 则y ＝－12a 2. ∴S Δ＝12×⎪⎪⎪⎪12a ×⎪⎪⎪⎪－12a 2＝27， 即|a 3|＝8×27，则a ＝±6.9．1或134解析 因为y ＝x 3－3x 2＋ax ，设切点为(x 0，y 0)，所以Δy Δx＝ (x 0＋Δx )3－3(x 0＋Δx )2＋a (x 0＋Δx )－(x 30－3x 20＋ax 0)Δx＝(Δx )2＋(3x 0－3)Δx ＋3x 20－6x 0＋a .所以当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于常数3x 20－6x 0＋a .所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋a ＝1，x 0＝x 30－3x 20＋ax 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，a ＝1， 或⎩⎨⎧x 0＝32，a ＝134. 10．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9. 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9，∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23. 当x 0＝－a 3时， f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12，解得a ＝±3， 又a <0，∴a ＝－3.11．解 设切点(x 0，x 20)，Δy Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x ＋Δx ， 当Δx →0时，Δy Δx→2x ， ∴切线斜率为2x 0，则2x 0＝－6－x 20－52－x 0， 即x 20＋5x 0－6＝0.解得：x 0＝－6或1.∴切线斜率为－12或2，则切线方程为y ＋6＝－12(x ＋52)或y ＋6＝2(x ＋52)， 即12x ＋y ＋36＝0或2x －y －1＝0.12．解 (1)Δy Δx＝ (x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－(x 2＋x －2)Δx＝2x ＋1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx→2x ＋1， ∴l 1的斜率为3.∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即3x －y －3＝0. 设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)， 则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)．∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，解得x 0＝－23， ∴直线l 2的方程为3x ＋9y ＋22＝0.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，3x ＋9y ＋22＝0， 得⎩⎨⎧ x ＝16，y ＝－52.又∵直线l 1，l 2与x 轴的交点分别为(1,0)，(－223，0)， ∴所求三角形的面积为S ＝12×⎪⎪⎪⎪－52×(1＋223)＝12512.。

课时跟踪训练(二) 瞬时速度与导数1．若f (x )＝1x，则f ′(1)等于( ) A ．1B ．－1 C.12D ．－12 2．下列各式中正确的是( )A ．f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)ΔxB ．f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0－Δx )＋f (x 0)ΔxC ．f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )＋f (x 0)ΔxD ．f ′(x 0)＝li m Δx →0f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx 3．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2(t ≥0)，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么该物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m /sB ．6 m/sC ．5 m /sD ．8 m/s 4．函数y ＝f (x )＝－1x 在点x ＝4处的导数是( ) A.18B ．－18 C.116 D ．－1165．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________.6．一物体的运动方程为s ＝7t 2－13t ＋8，且在t ＝t 0时的瞬时速度为1，则t 0＝________.7．已知函数f (x )＝13－8x ＋2x 2，且f ′(x 0)＝4，求x 0的值．8．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ，时间：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度；(3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．答案1．选B ∵Δy Δx ＝11＋Δx －1Δx ＝－11＋Δx， ∴f ′(1)＝li m Δx →0Δy Δx ＝li m Δx →0－11＋Δx ＝－1. 2．选D 对于D ，li m Δx →0 f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋(－Δx ))－f (x 0)－Δx＝f ′(x 0)，故D 正确． 3．选C ∵Δs Δt ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝Δt ＋5，li m Δx →0(Δt ＋5)＝5， ∴该物体在3 s 末的瞬时速度是5 m/s.4．选C ∵Δy ＝－14＋Δx＋14 ＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx 24＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴Δy Δx ＝124＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0124＋Δx (4＋Δx ＋2) ＝12×4×(4＋2)＝116. ∴f ′(4)＝116. 5．解析：∵f (x )＝ax ＋4，∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝a . 又∵f ′(1)＝2，∴a ＝2.答案：26．解析：∵Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t20＋13t0－8 ＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2.∴lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1.∴t0＝1. 答案：17．解：∵f′(x0)＝li mΔx→0Δy Δx＝li mΔx→0[13－8(x0＋Δx)＋2(x0＋Δx)2]－(13－8x0＋2x20)Δx＝li mΔx→0－8Δx＋2 2x0Δx＋2(Δx)2Δx＝li mΔx→0(－8＋2 2x0＋2Δx) ＝－8＋2 2x0，∴－8＋2 2x0＝4.解得x0＝3 2.8．解：(1)初速度v0＝li mΔx→0s(Δt)－s(0)Δt＝li mΔx→03Δt－(Δt)2Δt＝li mΔx→0(3－Δt)＝3(m/s)．即物体的初速度为3 m/s.(2)v＝li mΔx→0s(2＋Δt)－s(2)Δt＝li mΔx→03(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－4)Δt＝li mΔx→0－Δt2－ΔtΔt＝li mΔx→0(－Δt－1)＝－1(m/s)，即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．(3)v＝s(2)－s(0)2－0＝6－4－02＝1(m/s)，即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.。

自我小测1．已知f (x )＝kx ＋5，则f (x )在x ＝2处的导数为__________．2．已知f (x )＝2x 2，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为__________．3．曲线y ＝x 2的一条切线斜率为－6，则切点坐标为__________．4．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则当Δx →0时，00f x x f x x (-∆)-()∆→__________.5．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于__________．6．曲线y ＝x 2在其上一点P 处的切线的倾斜角为π4，则点P 的坐标为__________．7．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点P 3)，则该曲线在P 点的切线方程是__________．8．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__________.9．已知点M (0，－1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行，求直线l 的方程．10．已知直线l 1为曲线f (x )＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2，求直线l 2的方程．参考答案1答案：k 解析：Δy ＝k (2＋Δx )＋5－k ×2－5＝k Δx ，y x∆∆＝k ， ∴当Δx →0时，y x∆∆＝k ，∴f ′(2)＝k . 2答案：4 解析：Δy ＝2(1＋Δx )2－2×12＝4Δx ＋2(Δx )2，y x ∆∆＝4＋2Δx ， ∴当Δx →0时，y x ∆∆→4， 即f ′(1)＝4，∴切线斜率为4.3答案：(－3,9) 解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，∵Δy ＝(x 0＋Δx )2－x 02＝2Δxx 0＋(Δx )2， ∴y x ∆∆＝2x 0＋Δx ，当Δx →0时，y x∆∆→2x 0， 即f ′(x 0)＝2x 0＝－6，∴x 0＝－3，∴y 0＝9.4答案：－11 解析：由导数定义得()00f x f x x x-(-∆)∆，当Δx →0时，无限趋近于f ′(x 0)， ∴当Δx →0时，00f x x f x x(-∆)-()∆ ＝－()00f x f x x x-(-∆)∆＝－f ′(x 0)＝－11. 5答案：1 解析：由题意知切线的斜率为2.∵y ＝ax 2在x ＝1处的导数为2a ，∴2a ＝2.∴a ＝1.6答案：11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ 解析：∵πtan 4k ＝＝1，且y x ∆∆＝()2200x x x ∆+∆-∆＝2x 0＋Δx ，当Δx →0时，f ′(x 0)＝2x 0＝k ＝1， ∴012x ＝，014y ＝.7答案：4x －y －1＝0 解析：∵y ＝2ax 2＋1过点P 3)，∴3＝2a 2＋1,2a 2＝2，a ＝1或a ＝－1(舍去)，∴P(1,3).∴y＝2x2＋1，Δy＝2(1＋Δx)2＋1－2×12－1＝4Δx＋2(Δx)2，则yx∆∆＝4＋2Δx.当Δx→0时，yx∆∆→4，∴f′(1)＝4，即切线斜率为4，由点斜式可得切线方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0.8答案：3解析：由导数几何意义知f′(1)＝k＝1 2 .又f(1)＝12×1＋2＝52，于是f(1)＋f′(1)＝52＋12＝3.9答案：解：因为y x ∆∆＝3311(2)4(2)42424 33x xx⎛⎫+∆-+∆+⨯-⨯+⎪⎝⎭∆＝2Δx＋13(Δx)2，当Δx→0时，yx∆∆→0，所以直线l的斜率为0，其直线方程为y＝－1.10答案：解：∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(Δx)2＋2Δx·x＋Δx，∴yx∆∆＝Δx＋2x＋1，∴Δx趋于0时，yx∆∆趋于2x＋1，即f′(x)＝2x＋1，则f′(1)＝3.∴切线l1的斜率为3.。