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第13课时二次函数综合探究——最值问题及存在性问题1．已知抛物线y1＝﹣x2+mx+n,直线y2＝kx+b,y1的对称轴与y2交于点A（﹣1,5）,点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大,且y1与y2都经过x轴上的同一点,求y2的解析式．2．如图,已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1,0）、B（3,0）、C（0,3）．（1）试求出抛物线的解析式；（2）问：在抛物线的对称轴上是否存在一个点Q,使得△QAC的周长最小,试求出△QAC 的周长的最小值,并求出点Q的坐标；（3）现有一个动点P从抛物线的顶点T出发,在对称轴上以1个单位长度每秒的速度向y 轴的正方向运动,试问,经过几秒后,△P AC是等腰三角形？3．如图,抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝﹣x+b交于A,C两点,与x轴交于点A,B．点P为直线AC下方抛物线上的一个动点（不包括点A和点C）,过点P作PN⊥AB交AC与点M,垂足为N,连接AP,CP．设点P的横坐标为m．（1）求b的值；（2）用含m的代数式表示线段PM的长并写出m的取值范围；（3）求△P AC的面积S关于m的函数解析式,并求使得△APC面积最大时,点P的坐标；（4）直接写出当△CMP为等腰三角形时点P的坐标．4．已知抛物线y＝﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α,0）,B（β,0）,且1α+1β=−2,（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l,与y轴的交点为C,顶点为D,点C关于l的对称点为E,是否存在x轴上的点M,y轴上的点N,使四边形DNME的周长最小？若存在,请画出图形（保留作图痕迹）,并求出周长的最小值；若不存在,请说明理由．（3）若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的坐标．5．如图,抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2,0）,D两点,与y轴交于点C,对称轴x＝3交x轴交于点B．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是x轴上方抛物线上一动点,过点M作MN⊥x轴于点N,交直线BC于点E．设点M的横坐标为m,用含m的代数式表示线段ME的长,并求出线段ME长的最大值．（3）若点P在y轴的正半轴上,连接P A,过点P作P A垂线,交抛物线的对称轴于点Q．是否存在点P,使以点P、A、Q为顶点的三角形与△BAQ全等？若存在,直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由．6．（2019•广州）已知抛物线G ：y ＝mx 2﹣2mx ﹣3有最低点．（1）求二次函数y ＝mx 2﹣2mx ﹣3的最小值（用含m 的式子表示）；（2）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线G 1．经过探究发现,随着m 的变化,抛物线G 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系,求这个函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H ,抛物线G 与函数H 的图象交于点P ,结合图象,求点P 的纵坐标的取值范围．7．已知抛物线y ＝mx 2+（1﹣2m ）x +1﹣3m 与x 轴相交于不同的两点A 、B（1）求m 的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P ,并求出点P 的坐标；（3）当14＜m ≤8时,由（2）求出的点P 和点A ,B 构成的△ABP 的面积是否有最值？若有,求出该最值及相对应的m 值．8．已知O 为坐标原点,抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴相交于点A （x 1,0）,B （x 2,0）,与y 轴交于点C ,且O ,C 两点间的距离为3,x 1•x 2＜0,|x 1|+|x 2|＝4,点A ,C 在直线y 2＝﹣3x +t 上．（1）求点C 的坐标；（2）当y 1随着x 的增大而增大时,求自变量x 的取值范围；（3）将抛物线y 1向左平移n （n ＞0）个单位,记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P ,直线y 2向下平移n 个单位,当平移后的直线与P 有公共点时,求2n 2﹣5n 的最小值．【参考答案】1．（1）∵抛物线y 1＝﹣x 2+mx +n ,直线y 2＝kx +b ,y 1的对称轴与y 2交于点A （﹣1,5）,点A 与y 1的顶点B 的距离是4．∴B （﹣1,1）或（﹣1,9）,∴−m 2×(−1)=−1,4×(−1)n−m 24×(−1)=1或9, 解得m ＝﹣2,n ＝0或8,∴y 1的解析式为y 1＝﹣x 2﹣2x 或y 1＝﹣x 2﹣2x +8；（2）①当y 1的解析式为y 1＝﹣x 2﹣2x 时,抛物线与x 轴交点是（0,0）和（﹣2,0）, ∵y 1的对称轴与y 2交于点A （﹣1,5）,∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点（﹣2,0）,把（﹣1,5）,（﹣2,0）代入得{−k +b =5−2k +b =0, 解得{k =5b =10, ∴y 2＝5x +10．②当y 1＝﹣x 2﹣2x +8时,解﹣x 2﹣2x +8＝0得x ＝﹣4或2,∵y 2随着x 的增大而增大,且过点A （﹣1,5）,∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点（﹣4,0）,把（﹣1,5）,（﹣4,0）代入得{−k +b =5−4k +b =0, 解得{k =53b =203； ∴y 2=53x +203．2．（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过点A （1,0）、B （3,0）、C （0,3）,∴把此三点代入得{a +b +c =09a +3b +c =0c =3,解得{a =1b =−4c =3,故抛物线的解析式为,y ＝x 2﹣4x +3；（2）点A 关于对称轴的对称点即为点B ,连接B 、C ,交x ＝2于点Q ,可得直线BC：y＝﹣x+3,与对称轴交点Q（2,1）,BC=3√2,可得△QAC周长为√10+3√2．（3）设t秒后△P AC是等腰三角形,因为P在对称轴上,所以P点坐标为（2,t﹣1）于是①当P A＝CA时；根据勾股定理得：（2﹣1）2+（t﹣1）2＝12+32；解得t＝4秒或t＝﹣2秒（负值舍去）．②PC＝P A时；根据勾股定理得：22+（t﹣4）2＝（2﹣1）2+（t﹣1）2；解得t＝3秒；③CP＝CA时；根据勾股定理得：22+（t﹣4）2＝12+32；解得t＝（4+√6）秒或t＝（4−√6）秒所以经过4秒,或3秒,或4+√6秒,或4−√6秒时,△P AC是等腰三角形．3．（1）令x2﹣2x﹣3＝0,解得：x1＝﹣1,x2＝3,即A＝（﹣1,0）,B（3,0）,把A（﹣1,0）代入y＝﹣x+b,得b＝﹣1,则一次函数解析式为y＝﹣x﹣1；（2）把x＝m代入抛物线解析式得：y＝m2﹣2m﹣3,把x＝m代入直线解析式得：y＝﹣m﹣1,∴NP＝﹣（m2﹣2m﹣3）,MN＝﹣（﹣m﹣1）,∴MP＝NP﹣NM＝﹣（m2﹣2m﹣3）+（﹣m﹣1）＝﹣m2+m+2,m 的取值范围是﹣1＜m ＜2；（3）过点作CE ⊥AB 于点E ,则S △APC ＝S △AMP +S △CMP =12MP •AN +12MP •NE =12MP •AE =−32m 2+32m +3, ∵﹣1＜0,开口向下,∴当m =−b 2a =12时,S △APC 面积最大,此时P （12,−154）；（4）分三种情况：①当P 为抛物线顶点时,此时MC ＝PC ,△CMP 为等腰三角形,P 点坐标为P 1（1,﹣4）；②当P 为C 关于抛物线对称轴对称的点时,此时MP ＝MC 时,△CMP 为等腰三角形,∵点C （2,﹣3）,对称轴为：x ＝1,∴点P 坐标为P 2（0,﹣3）；③当P 为MC 的垂直平分线上点时,此时PM ＝PC ,△CMP 为等腰三角形,P 3（√2−1,2﹣4√2）．4．（1）由题意可得：α,β是方程﹣mx 2+4x +2m ＝0的两根,由根与系数的关系可得, α+β=4m ,αβ＝﹣2,∵1α+1β=−2,∴α+βαβ=−2,即4m −2=−2,解得：m＝1,故抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x+2；（2）存在x轴上的点M,y轴上的点N,使得四边形DNME的周长最小,∵y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6,∴抛物线的对称轴l为x＝2,顶点D的坐标为：（2,6）,又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0,2）,点E与点C关于l对称,∴E点坐标为：（4,2）,作点D关于y轴的对称点D′,点E关于x轴的对称点E′,则D′的坐标为；（﹣2,6）,E′坐标为：（4,﹣2）,连接D′E′,交x轴于M,交y轴于N,此时,四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE,如图1所示：延长E′E,′D交于一点F,在Rt△D′E′F中,D′F＝6,E′F＝8,则D′E′=√D′F2+E′F2=√62+82=10,设对称轴l与CE交于点G,在Rt△DGE中,DG＝4,EG＝2,∴DE=√DG2+EG2=√42+22=2√5,∴四边形DNME的周长最小值为：10+2√5；（3）如图2,P为抛物线上的点,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,则△PHQ≌△DGE,∴PH＝DG＝4,∴|y|＝4,∴当y＝4时,﹣x2+4x+2＝4,解得：x1＝2+√2,x2＝2−√2,当y＝﹣4时,﹣x2+4x+2＝﹣4,解得：x3＝2+√10,x4＝2−√10,无法得出以DE为对角线的平行四边形,故P点的坐标为；（2−√2,4）,（2+√2,4）,（2−√10,﹣4）,（2+√10,﹣4）．5．（1）由题意得,点D 的坐标为（8,0）,把点A 、D 的坐标代入y ＝ax 2+bx +4{4a −2b +4=064a +8b +4=0, 解{a =−14b =32． 故抛物线解析式为y =−14x 2+32x +4．（2）由题意,点C ,点B 坐标分别为（0,4）,（3,0）,则直线CB 解析式y =−43x +4,点M 坐标为（m ,−14m 2+32m +4）,点E 坐标为（m ,−43m +4）,①当﹣2＜m ≤0时,ME =−43m +4﹣（−14m 2+32m +4）=14m 2−176m , m ＝﹣2时,ME =203,由二次函数性质可知,ME ＜203；②当0＜m ＜8时,ME =−14m 2+32m +4﹣（−43m +4）=14m 2−176m =−14（m −173）2+28936 当m =173时,ME 取得最大值,最大值为28936． 综上所述,当﹣2＜m ≤0时,ME =14m 2−176m ,当0＜m ＜8时,ME =−14m 2+176m ．当m =173时,ME 取得最大值,最大值为28936． （3）存在,∵P A ⊥PQ ,BQ ⊥x 轴∴∠APQ ＝∠ABQ ＝90°,∴△APQ 和△ABQ 中．点P 和点B 是对应点,∵以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△BAQ 全等,只有两种情况：设点P （0,c ）,Q （3,n ）（c ＞0）,∴AB ＝5,BQ ＝n ,P A =√4+c 2,PQ =√9+(c −n)2,①△P AQ ≌△BAQ ,∴P A ＝BA ,PQ ＝BQ ,∴√4+c 2=5,√9+(c −n)2=n ,∴c =√21或c =−√21（舍）,∴P （0,√21）,②△PQA ≌△BAQ ,∴P A ＝BQ ,PQ ＝AB ,∴√4+c 2=n ,√9+(c −n)2=5,∴c 1=32,n 1=−52或c 2=−32,n 2=52（舍）故点P 坐标为P 1（0,√21）,P 2（0,32）． 6．（1）∵y ＝mx 2﹣2mx ﹣3＝m （x ﹣1）2﹣m ﹣3,抛物线有最低点 ∴二次函数y ＝mx 2﹣2mx ﹣3的最小值为﹣m ﹣3（2）∵抛物线G ：y ＝m （x ﹣1）2﹣m ﹣3∴平移后的抛物线G 1：y ＝m （x ﹣1﹣m ）2﹣m ﹣3∴抛物线G 1顶点坐标为（m +1,﹣m ﹣3）∴x ＝m +1,y ＝﹣m ﹣3∴x +y ＝m +1﹣m ﹣3＝﹣2即x +y ＝﹣2,变形得y ＝﹣x ﹣2∵m ＞0,m ＝x ﹣1∴x ﹣1＞0∴x ＞1∴y 与x 的函数关系式为y ＝﹣x ﹣2（x ＞1）（3）法一：如图,函数H ：y ＝﹣x ﹣2（x ＞1）图象为射线x ＝1时,y ＝﹣1﹣2＝﹣3；x ＝2时,y ＝﹣2﹣2＝﹣4∴函数H 的图象恒过点B （2,﹣4）∵抛物线G ：y ＝m （x ﹣1）2﹣m ﹣3x ＝1时,y ＝﹣m ﹣3；x ＝2时,y ＝m ﹣m ﹣3＝﹣3∴抛物线G 恒过点A （2,﹣3）由图象可知,若抛物线与函数H 的图象有交点P ,则y B ＜y P ＜y A ∴点P 纵坐标的取值范围为﹣4＜y P ＜﹣3法二：{y =−x −2y =mx 2−2mx −3整理的：m （x 2﹣2x ）＝1﹣x∵x ＞1,且x ＝2时,方程为0＝﹣1不成立∴x ≠2,即x 2﹣2x ＝x （x ﹣2）≠0∴m =1−x x(x−2)＞0∵x ＞1∴1﹣x＜0∴x（x﹣2）＜0∴x﹣2＜0∴x＜2即1＜x＜2∵y P＝﹣x﹣2∴﹣4＜y P＜﹣37．（1）解：当m＝0时,函数为一次函数,不符合题意,舍去；当m≠0时,∵抛物线y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B,∴△＝（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）＝（1﹣4m）2＞0,∴1﹣4m≠0,∴m≠1 4,∴m的取值范围为m≠0且m≠1 4；（2）证明：∵抛物线y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m,∴y＝m（x2﹣2x﹣3）+x+1,抛物线过定点说明在这一点y与m无关,显然当x2﹣2x﹣3＝0时,y与m无关,解得：x＝3或x＝﹣1,当x＝3时,y＝4,定点坐标为（3,4）；当x＝﹣1时,y＝0,定点坐标为（﹣1,0）,∵P不在坐标轴上,∴P（3,4）；（3）解：|AB|＝|x A﹣x B|=√b2−4ac|a|=√(1−2m)2−4m(1−3m)|m|=√1−4m+4m2−4m+12m2m2=√(1−4m)2m2=|1−4mm|＝|1m−4|,∵14＜m ≤8, ∴18≤1m ＜4, ∴−318≤1m−4＜0, ∴0＜|1m−4|≤318, ∴|AB |最大时,|1m−4|=318, 解得：m ＝8,或m =863（舍去）,∴当m ＝8时,|AB |有最大值318,此时△ABP 的面积最大,没有最小值,则面积最大为：12|AB |y P =12×318×4=314． 8．（1）令x ＝0,则y ＝c ,故C （0,c ）,∵OC 的距离为3,∴|c |＝3,即c ＝±3,∴C （0,3）或（0,﹣3）；（2）∵x 1x 2＜0,∴x 1,x 2异号,①若C （0,3）,即c ＝3,把C （0,3）代入y 2＝﹣3x +t ,则0+t ＝3,即t ＝3, ∴y 2＝﹣3x +3,把A （x 1,0）代入y 2＝﹣3x +3,则﹣3x 1+3＝0, 即x 1＝1,∴A （1,0）,∵x 1,x 2异号,x 1＝1＞0,∴x 2＜0,∵|x 1|+|x 2|＝4,∴1﹣x 2＝4,解得：x 2＝﹣3,则B （﹣3,0）,代入y 1＝ax 2+bx +3得,{a +b +3=09a −3b +3=0, 解得：{a =−1b =−2,∴y 1＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4,则当x ≤﹣1时,y 随x 增大而增大．②若C （0,﹣3）,即c ＝﹣3,把C （0,﹣3）代入y 2＝﹣3x +t ,则0+t ＝﹣3,即t ＝﹣3, ∴y 2＝﹣3x ﹣3,把A （x 1,0）,代入y 2＝﹣3x ﹣3,则﹣3x 1﹣3＝0,即x 1＝﹣1,∴A （﹣1,0）,∵x 1,x 2异号,x 1＝﹣1＜0,∴x 2＞0∵|x 1|+|x 2|＝4,∴1+x 2＝4,解得：x 2＝3,则B （3,0）,代入y 1＝ax 2+bx ﹣3得,{a −b −3=09a +3b −3=0, 解得：{a =1b =−2, ∴y 1＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4,则当x ≥1时,y 随x 增大而增大,综上所述,若c ＝3,当y 随x 增大而增大时,x ≤﹣1； 若c ＝﹣3,当y 随x 增大而增大时,x ≥1；（3）①若c ＝3,则y 1＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4,y 2＝﹣3x +3, y 1向左平移n 个单位后,则解析式为：y 3＝﹣（x +1+n ）2+4, 则当x ≤﹣1﹣n 时,y 随x 增大而增大,y 2向下平移n 个单位后,则解析式为：y 4＝﹣3x +3﹣n , 要使平移后直线与P 有公共点,则当x ＝﹣1﹣n ,y 3≥y 4, 即﹣（﹣1﹣n +1+n ）2+4≥﹣3（﹣1﹣n ）+3﹣n , 解得：n ≤﹣1,∵n ＞0,∴n ≤﹣1不符合条件,应舍去；②若c ＝﹣3,则y 1＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4,y 2＝﹣3x ﹣3, y 1向左平移n 个单位后,则解析式为：y 3＝（x ﹣1+n ）2﹣4, 则当x ≥1﹣n 时,y 随x 增大而增大,y 2向下平移n 个单位后,则解析式为：y 4＝﹣3x ﹣3﹣n , 要使平移后直线与P 有公共点,则当x ＝1﹣n ,y 3≤y 4,即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n,解得：n≥1,综上所述：n≥1,2n2﹣5n＝2（n−54）2−258,∴当n=54时,2n2﹣5n的最小值为：−258．。
北师大版九年级下册数学第二章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、若抛物线经过点P（1，－3），则此抛物线也经过点（）A.PB.PC.P (1，3)D.P2、已知二次函数y=2(x+1)(x－a)，其中a>0，若当x≤2时，y随x增大而减小，当x≥2时y随x增大而增大，则a的值是A.3B.5C.7D.不确定3、二次函数图象上部分点的坐标满足下表：x…-3 -2 -1 0 1 …y…-3 -2 -3 -6 -11 …则该函数图象的顶点坐标为（）A.（－3，－3）B.（－2，－2）C.（－1，－3）D.（0，－6）4、如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y= x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A.0或2B.0或1C.1或2D.0，1或25、已知函数（m为常数）的图象上有三点，，，其中，，，则、、的大小关系是（）A. B. C. D.6、有一个二次函数y=x2+ax+b，其中a、b为整数．已知此函数在坐标平面上的图形与x轴交于两点，且两交点的距离为4．若此图形的对称轴为x=-5，则此图形通过下列哪一点？（）A.（-6，-1）B.（-6，-2）C.（-6，-3）D.（-6，-4）7、将抛物线y = x2向上平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为（）A. B. C. D.8、如图所示，抛物线的顶点为，与轴的交点在点和之间，以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（）A.①②B.③④C.②③D.①③9、将抛物线y＝ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移3个单位得抛物线y ＝﹣(x+2)2+3，则（）A. a＝﹣1，b＝﹣8，c＝﹣10B. a＝﹣1，b＝﹣8，c＝﹣16C. a＝﹣1，b＝0，c＝0D. a＝﹣1，b＝0，c＝610、如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A.﹣1B.﹣3C.﹣5D.﹣711、抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示有下列结论：①；②；③；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（）A.1B.2 C.3D.412、下表是满足二次函数的五组数据，是方程的一个解，则下列选项中正确的是（）x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y -0.80 -0.54 -0.20 0.22 0.2A. B. C. D.13、如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点在点与点之间（包含端点），顶点的坐标为.则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程没有实数根.其中结论正确的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个14、若函数y=a 是二次函数且图象开口向上，则a=（）A.﹣2B.4C.4或﹣2D.4或315、将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、二次函数的图像的顶点坐标是________.17、在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为________．18、把20cm长的铁丝剪成两段后，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值是________．19、如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是________．20、已知下列抛物线：①y=x2，②y=－2x2+1，③y= x2+2x－1，则开口最小的抛物线是________(填写序号).21、若将抛物线向左平移3个单位，则所得图象的函数表达式为________.22、二次函数y=2x2+3x﹣9的图象与x轴交点的横坐标是________．23、已知（﹣1，y1），（-2，y2），都在函数y=x2图象上，则y1， y2，的大小关系为________（用“＜”连接）．24、抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是________．25、抛物线y＝2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝1，则b的值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、一个二次函数y=（k﹣1）．求k值．27、若抛物线y=x2﹣2x﹣2的顶点为A，与y轴的交点为B，求过A，B两点的直线的函数解析式．28、已知抛物线与x轴交于点（﹣1，0），（2，0），且过点（1，3），求这条抛物线的解析式．29、如图，利用一墙面（墙的长度不超过45m）,用80m长的篱笆围成一个矩形场地，当宽AD为多长时，矩形场地的面积最大，最大值为多少？30、已知二次函数.（1）在给定的直角坐标系中,画出这个函数的图象;（2）根据图象,写出当y＜0时,x的取值范围;（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位,请写出平移后图象所对应的函数关系式．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、B3、B4、D5、A6、C7、A8、B9、D10、C11、B12、C13、B14、B15、A二、填空题(共10题，共计30分)17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、。
2.1二次函数——九年级数学北师大版(2012)下册课时优化训练1.下列函数中，属于二次函数的是( )A. B. C. D.2.某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋.经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋.已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）.则y与x，z与x满足的函数关系分别是( )A.一次函数关系，一次函数关系B.一次函数关系，二次函数关系C.二次函数关系，二次函数关系D.二次函数关系，一次函数关系3.在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是( )A. B. C. D.4.关于函数，下列说法不正确的是( )A.y是x的二次函数B.二次项系数是-1C.一次项是1D.常数项是205.长方形的周长为，其中一边长为，面积为，则这样的长方形中y与x 的关系可以写为( )A. B. C. D.6.若函数是二次函数，则m满足的条件为( ).A.m为常数，且B.m为常数，且C. D.m可以为任意实数7.对于关于x的函数，下列说法错误的是( )A.当时，该函数为正比例函数B.当时，该函数为一次函数C.当该函数为二次函数时，或D.当该函数为二次函数时，8.在同一平面直角坐标系中，已知两点坐标满足横纵坐标互反，如：和（）.若一个函数的图象恰好经过这样的两点，我们称这个函数是在上的“NY函数”.下列函数是在上的“NY函数”的有( )①；②；③；④.A.②B.①③C.②③D.②④9.已知函数，当该函数是二次函数时，m的值为_________.10.某果园有10棵苹果树，平均每棵苹果树可以结200个苹果.据经验估计，每多种1棵苹果树，平均每棵苹果树会少结5个苹果.现果园增种了x（）棵苹果树.若苹果树共结了y个苹果，则y与x之间的函数关系式为___________.（结果写成二次函数的一般形式）11.一个二次函数，当时，y的值为_________.12.如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长的栅栏，设总面积为，垂直于墙的一边长为.则S 关于x的函数表达式为_________（并写出自变量的取值范围）.13.已知函数.（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数？（2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数？14.已知二次函数，当时，；当时，.（1）求a，b的值；（2）当时，求二次函数的值.答案以及解析1.答案：C解析：A、是一次函数，故本选项错误；B、整理后是一次函数，故本选项错误；C、是二次函数，故本选项正确；D、是反比例函数，故本选项错误.故选C.2.答案：B解析：由题意得，y是x的一次函数。
第二章 二次函数一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面几节课已经学习过并能够独立作出一个二次函数的图像，掌握了二次函数y =ax 2和y=ax 2+c 的一般性质。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了二次函数y=ax 2和y=ax 2+c 的性质的探索过程，在探究过程中体会到了由特殊到一般的辩证规律，积累了解决数学问题的经验和方法。
学生愿意动手操作，乐于和同伴交流意见，形成不同的意见，积极参加探索解决问题的活动，在活动中感受数学的严密性、严谨性。
同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析第2.4节将讨论一般形式的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象和性质。
它和学生前面几节课学习的2ax y =、c ax y +=2的图象之间有什么区别和联系？如何在已经学习过的类型上通过变化学习新的类型？如何探索一般二次函数的性质等等都是这一节需要关注的。
具体的，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够作出y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象，并能够理解它与y=ax 2的图象的关系，理解a,h 和k 对二次函数图像的影响。
2．能正确说出y=a (x-h )2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法1．经历探索二次函数y=a (x-h )2+k 的图象的作法和性质的过程。
情感态度与价值观1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
教学难点：理解y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象与y=ax 2的图象的关系，理解a 、h 和k 对二次函数图像的影响。
教学重点：y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 与y=ax 2的图象的关系，y=a (x-h )2+k 的图象性质三、教学过程分析本课设计了5个教学环节：复习引入、合作探究、练习提高、课堂小结、布置作业。
北师大版九年级下册数学第二章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），对于下列命题：①abc＞0；②（a﹣b）c＞0；③b﹣c ＞0；④4a+3b+2c＞0；⑤b﹣2a=1；⑥a+b+c＜0；⑦4a﹣2b+c＜0．其中所有正确结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2、已知关于x的二次函数y=（x-h）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为（）A. B. 或2 C. 或6 D. 或2或63、若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（）A.x1=﹣3，x2=﹣1 B.x1=1，x2=3 C.x1=﹣1，x2=3 D.x1=﹣3，x2=14、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A. B. C. D.5、同时抛掷A，B两个均匀的小正方体（每个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6），设两个正方体朝上的数字分别是x，y，并以此确定点P（x，y），那么点P落在抛物线y=﹣x2+3x上的概率是（）A. B. C. D.6、如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m，篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心距离地面3m，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得（）A.比开始高0.8mB.比开始高0.4mC.比开始低0.8mD.比开始低0.4m7、在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，过C点作轴交抛物线于另一点D，，O为坐标原点，则（）A.4B.6C.3D.58、如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为；②若点在这个二次函数图象上，则；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为；④当时，，所有正确结论的序号是（）A.①③B.①④C.②③D.②④9、如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论正确的个数是（）①顶点是（﹣1，4）②方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣3，x2=1③4a+2b+c＞0④不等式ax2+bx+c＞0的解为﹣2＜x＜0．A.1B.2C.3D.410、若是二次函数,则m等于( )A.±2B.2C.-2D.不能确定11、若抛物线y=（x﹣a）2+（a﹣1）的顶点在第一象限，则a的取值范围为（）A.a＞1B.a＞0C.a＞﹣1D.﹣1＜a＜012、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②4a+2b+c＜0；③a﹣b+c＞0；④（a+c）2＜b2．其中正确的结论是（）A.①②B.①③C.①③④D.①②③④13、抛物线y=x2﹣6x+5的顶点坐标为（）A.（3，﹣4）B.（3，4）C.（﹣3，﹣4）D.（﹣3，4）14、如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个15、若m、n（m＜n）是关于x的一元二次方程2﹣（x﹣3）（x﹣a）＝0的两个根，且3＜a，则m、n，3，a的大小关系是（）A.m＜3＜a＜nB.3＜m＜n＜aC.m＜3＜n＜aD.3＜a＜m ＜n二、填空题(共10题，共计30分)16、函数是二次函数，则k=________；17、抛物线的图象先向右平移个单位再向下平移个单位，所得图象的解析式为，则________18、某大学的校门如图所示是抛物线形水泥建筑物，大门内侧的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，那么校门内侧距地面的高是________米.19、如图抛物线与x轴分别交于A、B两点，顶点C在y轴负半轴上，也在正方形ADEB的边上，已知正方形ADEB的边长为2，若正方形FGMN的顶点F、G落在x轴上，顶点M、N落在图中的抛物线上，则正方形FGMN的边长为________.20、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣2的根是________．x …-5 -4 -3 -2 -1 …y … 3 -2 -5 -6 -5 …21、将抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为________．22、如图，抛物线与轴交于点，，把抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点，，若直线与，共有个不同的交点，则的取值范围是________.23、已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x …0 1 2 3 4 …y … 3 4 3 0 ﹣5 …则此二次函数图象的对称轴为直线________；当y＞0时，x的取值范围是________．24、在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点．已知反比例函数y= （m＜0）与y=x2﹣4在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2，则实数m的取值范围为________．25、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1与x轴相交于A、B两点，且AB ＝2，求m的值．27、已知函数y= x2+x﹣．请用配方法写出这个函数的对称轴和顶点坐标．28、如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C．（1）分别求出点A、B、C的坐标;（2）设抛物线的顶点为M,求四边形ABMC的面积．29、已知抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)经过点(﹣1，0)，(3，0)，求a，b的值30、已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且该抛物线经过点A（3，3），求该抛物线解析式．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、C3、C4、D5、A6、A7、D8、C9、B10、C11、A12、C13、A14、D15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、29、。
数是a+s=2﹣=+．下列函数是二次函数的是（ ）＝．）+4C．a﹣=+2．下列关系式中，属于二次函数的是（为自变量）＝＝＝A．y=a+bx+c B．x2+y﹣2=0B．C．y2﹣ax=﹣2 D．﹣y2+1=014．下列函数中是二次函数的是（ ）A．y＝B．y＝（x+3）2﹣x2C．y＝D．y＝x（x﹣1）15．函数y=（m﹣n）+mx+n是二次函数的条件是（ ）A．m、n是常数，且m≠0B．m、n是常数，且m≠nC．m、n是常数，且n≠0D．m、n可以为任何常数16．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（ ）A．﹣2B．2C．±2D．0三、解答题17．当k为何值时，函数为二次函数？18．已知函数y＝（m﹣1）+3x为二次函数，求m的值．19．已知是二次函数，求m的值．20．当m为何值时，y＝（m+1）x+3x﹣2是二次函数？参考答案1．﹣2．2．﹣6．3．0．4．a＞1或a＜1．5．﹣1．6．﹣3．7．C．8．C．9．B．10．D．11．C．12．A．13．B．14．D．15．B．16．B．17．解: ∵函数为二次函数，∴k2+k=2，k﹣1≠0，∴k1=1，k2=﹣2，k≠1，∴k=﹣2．18．解：由题意：，解得m＝﹣1，∴m＝﹣1时，函数y＝（m﹣1）+3x为二次函数．19．解：∵是二次函数，∴m+1≠0且m2−m＝2解得m=2．20．解：∵y＝（m+1）x+3x﹣2是二次函数，∴m2﹣3m﹣2＝2，解得：m1＝4，m2＝﹣1，∵m+1≠0，∴m≠﹣1，故m＝4．。
