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2020年安徽省合肥市高考一模数学理一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合M={x|log 2x ＜1}，集合N={x|x 2-1≤0}，则M ∩N=( ) A.{x|1≤x ＜2} B.{x|-1≤x ＜2} C.{x|-1＜x ≤1} D.{x|0＜x ≤1}解析：集合M={x|log 2x ＜1}={x|0＜x ＜2}，集合N={x|x 2-1≤0}={x|-1≤x ≤1}， 则M ∩N={x|0＜x ≤1}. 答案：D.2.已知复数z=21ii+-(i 为虚数单位)，那么z 的共轭复数为( ) A.3322i + B.1322i - C.1322i + D.3322i - 解析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 答案：B.3.要想得到函数y=sin2x+1的图象，只需将函数y=cos2x 的图象( )A.向左平移4π个单位，再向上平移1个单位 B.向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C.向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D.向右平移2π个单位，再向上平移1个单位解析：利用诱导公式化简成同名函数，在平移变换(左加右减，上加下减)即可. 答案：B.4.执行如图的程序框图，则输出的n 为( )A.9B.11C.13D.15解析：算法的功能是求满足11111352017Sn=⋅⋅⋯＜的最大的正整数n+2的值，验证S=1·3·…·13＞2017，从而确定输出的n值. 答案：C.5.已知双曲线24y-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p＞0)的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为1，则p的值为( ) A.1D.4解析：求出双曲线24y-x2=1的两条渐近线方程与抛物线y2=2px(p＞0)的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由△AOB的面积为1列出方程，由此方程求出p的值.答案：B.6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，bcosA+acosB=2，则△ABC的外接圆的面积为( )A.4πB.8πC.9πD.36π 解析：由余弦定理化简已知等式可求c 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC 的值，进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径R 的值，利用圆的面积公式即可计算得解. 答案：C.7.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，p ：A 、B 的体积不相等，q ：A 、B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由p ⇒q ，反之不成立. ∴p 是q 的充分不必要条件. 答案：A.8.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C 的方程为x 2-y=0)的点的个数的估计值为( )A.5000B.6667C.7500D.7854解析：由题意，阴影部分的面积S=()12310013|213xdx x x ⎛⎰⎫⎪⎝⎭-=-=，正方形的面积为1，利用正方形中随机投掷10000个点，即可得出结论.答案：B.9.一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A.72+6πB.72+4πC.48+6πD.48+4π解析：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为为底面的柱体，由柱体表面积公式，可得答案. 答案：A.10.已知(ax+b)6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与-18，则(ax+b)6展开式所有项系数之和为( ) A.-1 B.1 C.32 D.64解析：由题意先求得a 、b 的值，再令x=1求出展开式中所有项的系数和. 答案：D.11.已知函数f(x)=(x 2-2x)sin(x-1)+x+1在[-1，3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M+m=( ) A.4 B.2 C.1 D.0解析：把已知函数解析式变形，可得f(x)=[(x-1)2-1]sin(x-1)+x-1+2，令g(x)=(x-1)2sin(x-1)-sin(x-1)+(x-1)，结合g(2-x)+g(x)=0，可得g(x)关于(1，0)中心对称，则f(x)在[-1，3]上关于(1，2)中心对称，从而求得M+m 的值. 答案：A.12.已知函数f(x)=221012102x x x x x ⎧+⎪⎨-+≥⎪⎩，＜，，方程f 2(x)-af(x)+b=0(b ≠0)有六个不同的实数解，则3a+b 的取值范围是( )A.[6，11]B.[3，11]C.(6，11)D.(3，11)解析：作函数f(x)=221012102x x x x x ⎧+⎪⎨-+≥⎪⎩，＜，的图象，从而利用数形结合知t 2-at+b=0有2个不同的正实数解，且其中一个为1，从而可得-1-a ＞0且-1-a ≠1；从而解得. 答案：D.二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.命题：“∃x ∈R ，x 2-ax+1＜0”的否定为_____.解析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.答案：∀x ∈R ，x 2-ax+1≥0.14.已知a =(1，3)，b =(-2，k)，且(a +2b )∥(3a -b )，则实数k=_____.解析：利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出. 答案：-6.15.已知sin2α-2=2cos2α，则sin 2α+sin2α=_____.解析：利用同角三角函数的基本关系，求得cos α=0 或tan α=2，从而求得要求式子的值. 答案：1或85.16.已知直线y=b 与函数f(x)=2x+3和g(x)=ax+lnx 分别交于A ，B 两点，若|AB|的最小值为2，则a+b=_____.解析：设A(x 1，b)，B(x 2，b)，则2x 1+3=ax 2+lnx 2=b ，表示出x 1，求出|AB|，利用导数，结合最小值也为极小值，可得极值点，求出最小值，解方程可得a=1，进而得到b ，求出a+b. 答案：2.三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4=24，S 7=63. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若b n =2n a+(-1)n·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(Ⅰ)利用等差数列的求和公式及其通项公式即可得出.(Ⅱ)通过分类讨论，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出. 答案：(Ⅰ)因为{a n }为等差数列，所以4117143424327627632S a d a d S a d ⎧⎪⎧⎪⇒⇒⎨⨯=+==⨯=⎪⎩+=⎨⎩⎪=a n =2n+1.(Ⅱ)∵b n =2n a+(-1)n ·a n =22n+1+(-1)n ·(2n+1)=2×4n +(-1)n·(2n+1)∴T n =2(41+42+…+4n )+[-3+5-7+9-…+(-1)n(2n+1)]=()8413n -+G n ，当n=2k(k ∈N *)时，G n =2×2n =n ，∴T n =()8413n -+n当n=2k-1(k ∈N *)时，G n =2×12n --(2n+1)=-n-2， ∴T n =()8413n --n-2，∴T n =()()**841238412213()()n n n n k k N n n k k N ⎧-⎪+=∈⎪⎨-⎪--=-∈⎪⎩，，.18.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择. 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元.方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获得奖金400元. (Ⅰ)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；(Ⅱ)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？ 解析：(Ⅰ)利用相互独立事件的概率计算公式即可得出. (Ⅱ)利用数学期望计算公式、二项分布列的性质即可得出. 答案：(Ⅰ)P(X=0)=14117552525+⨯⨯=，P(X=500)=412525⨯=，P(X=1000)=414852525⨯⨯=， 所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金X 的均值E(X)=500×25+1000×825=520， 若选择方案乙进行抽奖中奖次数ξ～B(3，25)，则E(ξ)=3×25=65， 抽奖所获奖金X 的均值E(X)=E(400ξ)=400E(ξ)=480，故选择方案甲较划算.19.如图所示，在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，∠BAD=120°，AB=AA 1=2A 1B 1=2.(Ⅰ)若M 为CD 中点，求证：AM ⊥平面AA 1B 1B ； (Ⅱ)求直线DD 1与平面A 1BD 所成角的正弦值.解析：(Ⅰ)推导出AM ⊥CD ，AM ⊥AB ，AM ⊥AA 1，由此能证明AM ⊥平面AA 1B1B .(Ⅱ)分别以AB ，AM ，AA 1为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，利用向量法能求出直线DD 1与平面A 1BD 所成角θ的正弦值. 答案：(Ⅰ)∵四边形为菱形，∠BAD=120°，连结AC ， ∴△ACD 为等边三角形，又∵M 为CD 中点，∴AM ⊥CD ， 由CD ∥AB 得，∴AM ⊥AB ，∵AA 1⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ，∴AM ⊥AA 1， 又∵AB ∩AA 1=A ，∴AM ⊥平面AA 1B 1B解：(Ⅱ)∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD=120°，AB=AA 1=2A 1B 1=2， ∴DM=1，AM=3，∠AMD=∠BAM=90°， 又∵AA 1⊥底面ABCD ，分别以AB ，AM ，AA 1为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则A 1(0，0，2)、B(2，0，0)、D(-10)、D 1(-12，2，2)，∴1DD =(12，2)，BD =(-30)，1A B =(2，0，-2)， 设平面A 1BD 的一个法向量n =(x ，y ，z)，则有1·030220·0n BD x y x z n A B ⎧⎧=-+=⎪⎪⇒⇒==⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩，令x=1，则n =(11)，∴直线DD 1与平面A 1BD 所成角θ的正弦值：sin θ=|cos ＜n ，1DD ＞|=11||15n DD n DD ⋅=⋅.20.已知点F 为椭圆E ：2222x y a b+=1(a ＞b ＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线42x y+=1与椭圆E 有且仅有一个交点M. (Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)设直线42x y+=1与y 轴交于P ，过点P 的直线与椭圆E 交于两不同点A ，B ，若λ|PM|2=|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围.解析：(Ⅰ)由题意可得a ，b 与c 的关系，化椭圆方程为222243x y c c+=1，联立直线方程与椭圆方程，由判别式为0求得c ，则椭圆方程可求；(Ⅱ)由(Ⅰ)求得M 坐标，得到|PM|2，当直线l 与x 轴垂直时，直接由λ|PM|2=|PA|·|PB|求得λ值；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=kx+2，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式大于0求得k 的取值范围，再由根与系数的关系，结合λ|PM|2=|PA|·|PB|，把λ用含有k 的表达式表示，则实数λ的取值范围可求.答案：(Ⅰ)由题意，得a=2c ，，则椭圆E 为：222243x y c c+=1，联立22243142y c x x y ++⎧=⎪⎨=⎪⎪⎪⎩，得x 2-2x+4-3c 2=0，∵直线42x y+=1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴△=4-4(4-3c 2)=0，得c 2=1，∴椭圆E 的方程为2243x y +=1； (Ⅱ)由(Ⅰ)得M(1，32)， ∵直线42x y +=1与y 轴交于P(0，2)，∴|PM|2=54， 当直线l与x 轴垂直时，|PA|·， 由λ|PM|2=|PA|·|PB|，得λ=45，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=kx+2，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 联立22234120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，得(3+4k 2)x 2+16kx+4=0，依题意得，x 1x 2=2434k+，且△=48(4k 2-1)＞0， ∴|PA||PB|=(1+k 2)x 1x 2=(1+k 2)·2434k +=1+2134k +=54λ，∴λ=45(1+2134k +)， ∵k 2＞14，∴45＜λ＜1，综上所述，λ的取值范围是[45，1).21.已知函数f(x)=e x-12ax 2(x ＞0，e 为自然对数的底数)，f ′(x)是f(x)的导函数. (Ⅰ)当a=2时，求证f(x)＞1；(Ⅱ)是否存在正整数a ，使得f ′(x)≥x 2lnx 对一切x ＞0恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，说明理由.解析：(Ⅰ)求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；(Ⅱ)求出函数的导数，得到a ≤e ，问题转化为证明当a=2时，不等式恒成立，设g(x)=22x e x x--lnx ，根据函数的单调性证明即可.答案：(Ⅰ)证明：当a=2时，f(x)=e x -x 2，则f ′(x)=e x-2x ，令f 1(x)=f ′(x)=e x -2x ，则f ′1(x)=e x-2，令f ′1(x)=0，得x=ln2，故f ′(x)在x=ln2时取得最小值， ∵f ′(ln2)=2-2ln2＞0，∴f(x)在(0，+∞)上为增函数， ∴f(x)＞f(0)=1；(Ⅱ)f ′(x)=e x-ax ，由f ′(x)≥x 2lnx ，得e x -ax ≥x 2lnx 对一切x ＞0恒成立，当x=1时，可得a ≤e ，所以若存在，则正整数a 的值只能取1，2. 下面证明当a=2时，不等式恒成立，设g(x)=22x e x x --lnx ，则g ′(x)=()()()3232221xx x e x x e x x x x---+-=，由(Ⅰ)e x ＞x 2+1≥2x ＞x ，∴e x-x ＞0(x ＞0)，∴当0＜x ＜2时，g ′(x)＜0；当x ＞2时，g ′(x)＞0， 即g(x)在(0，2)上是减函数，在(2，+∞)上是增函数， ∴g(x)≥g(2)=14(e 2-4-4ln2)＞14(2.72-4-4ln2)＞14(3-ln16)＞0， ∴当a=2时，不等式恒成立，所以a 的最大值是2.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩(t 为参数)以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的方程为sin θcos 2θ=0.(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标.解析：(Ⅰ)利用极坐标与直角坐标互化方法，求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)将112x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，代入2=0(1+12t)2=0，求出交点坐标，即可直线l 与曲线C 交点的一个极坐标.答案：(Ⅰ)∵sin θρcos 2θ=0，∴ρsin θρ2cos 2θ=0，即2=0；(Ⅱ)将112x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，代入=012t)2=0，即t=0，从而，交点坐标为(1， 所以，交点的一个极坐标为(2，3π).[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x-m|-|x+3m|(m ＞0). (Ⅰ)当m=1时，求不等式f(x)≥1的解集；(Ⅱ)对于任意实数x ，t ，不等式f(x)＜|2+t|+|t-1|恒成立，求m 的取值范围. 解析：(Ⅰ)将m=1的值带入，得到关于x 的不等式组，求出不等式的解集即可； (Ⅱ)问题等价于对任意的实数xf(x)＜[|2+t|+|t-1|]min 恒成立，根据绝对值的性质求出f(x)的最大值以及[|2+t|+|t-1|]min ，求出m 的范围即可.答案：(Ⅰ)f(x)=|x-m|-|x+3m|=422343m x mx m m x m m x m-≥---≤-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＜＜，当m=1时，由22131xx--≥⎧⎨-⎩＜＜或x≤-3，得到x≤-32，∴不等式f(x)≥1的解集为{x|x≤-32 }；(Ⅱ)不等式f(x)＜|2+t|+|t-1|对任意的实数t，x恒成立，等价于对任意的实数xf(x)＜[|2+t|+|t-1|]min恒成立，即[f(x)]max＜[|2+t|+|t-1|]min，∵f(x)=|x-m|-|x+3m|≤|(x-m)-(x+3m)|=4m，|2+t|+|t-1|≥|(2+t)-(t-1)|=3，∴4m＜3又m＞0，所以0＜m＜34.。
2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−3x−10≤0}，B={x|3−x≤0}，则A∪B=()A. {x|−2≤x≤3}B. {x|x≥−2}C. {x|3≤x≤5}D. {x|x≥−5}2.已知复数z=2+i2018(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于()1+iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明、清朝两代皇宫及其宫廷收藏的基础上建立起来的中国综合性博物馆，每年吸引着大批游客参观游览．下图是从2012年到2017年每年参观人数的折线图．根据图中信息，下列结论中正确的是()A. 2013年以来，每年参观总人次逐年递增B. 2014年比2013年增加的参观人次不超过50万C. 2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多D. 2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次超过160万4.若a=log23，b=log32，c=log46，则下列结论正确的是()A. b<a<cB. a<b<cC. b<c<aD. c<b<a5.在等差数列{a n}中，若a3+a11=6，则其前13项的和S13的值是()A. 32B. 39C. 46D. 786.执行如图的程序框图，如果输入的x为3，那么输出的结果是()A. 8B. 6C. 1D. −17.函数f(x)=|2x−2|2x+2的图象大致为()A. B.C. D.8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f(x)的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；③f(0)=1；；．其中正确的是()A. ①②③B. ②③④C. ①④⑤D. ②③⑤9.若双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线和圆x2+y2−4x+3=0相切，则该双曲线的离心率为()A. 2√33B. 43C. √2D. 210.某工厂生产某种产品的月产量y和月份x满足关系y=a⋅0.5x+b.现已知该厂1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品的产量为()A. 1.75万件B. 1.7万件C. 2万件D. 1.8万件11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E,F分别为AD,AA1的中点，则以下说法错误的是()A. 平面EFC截正方体所的截面周长为2√5+3√2B. 存在BB1上一点P使得C1P⊥平面EFCC. 三棱锥B−EFC和D−FB1C体积相等D. 存在BB1上一点P使得AP//平面EFC12.若函数f(x)={ln (x+1)−x,x≥0,2x2+2x,x<0,则函数f(x)的零点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(−1,k)，若a⃗//b⃗ ，则k等于______ ．14.已知直线y=x−1与抛物线y2=4x交于A，B两点，则弦AB的长为__________．15.有个座位连成一排，现有4人就坐，则恰有个空座位相邻的不同坐法有_________种.(用数字作答)三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知命题1：设x i，a i=(i=1,2)均为正实数，若x1+x2=1，则a1x1+a2x2≤(√a1+√a2)2；命题2：x i，a i(i=1,2，3)均为正实数，若x1+x2+x3=1，则a1x1+a2x2+a3x3≤(√a1+√a2+√a3)2；由上述两个命题可知，设x i，a i(i=1,2，3，…，n)均为正实数，若(1)，则(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2=a2+√3bc，acosB=bcosA(1)求角A，B，C的大小；(2)若BC边上的中线AM的长为√7，求△ABC的面积．18.已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球，一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出3个球，将3个球对应的分值相加后记为该局得分，计算完得分后将球放回袋中，当出现第n局得n分(n∈N∗)的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．(1)求在一局游戏中得3分的概率；(2)求游戏结束时局数X的分布列和数学期望E(X)．19.如图，在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AD//BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．(1)求AB的长，并证明：AD1⊥B1D；(2)求平面AA1B1与平面ACD1所成角的余弦值．20.已知F1、F2分别是椭圆C：x2+y2=1的左、右焦点．4(1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−54，求点P 的坐标；(2)若直线l 与圆O ：x 2+y 2=14相切，交椭圆C 于A 、B 两点，是否存在这样的直线l ，使得OA ⊥OB ？21. 设函数f(x)=lnx −ax 2+ax ，a 为正实数．(1)当a =2时，求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求证：f(1a )≤0；(3)若函数f(x)有且只有1个零点，求a 的值．22. [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为{x =2t y =12+√3t (t 为参数)，曲线C 1：{x =2sinφy =2(1+cosφ)(φ为参数)． (1)求直线l 及曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C2：θ=π3(ρ∈R)与直线l和曲线C1分别交于异于原点的A，B两点，求|AB|的值．23.若a>0，b>0，且12a+b +1b+1=1，求a+2b的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查一元二次不等式的解法以及并集的运算．可解出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：A={x|−2≤x≤5}，B={x|x≥3}；∴A∪B={x|x≥−2}．故选：B．2.答案：A解析：解：∵z=2+i 20181+i =2+(i4)504⋅i21+i=11+i=1−i(1+i)(1−i)=12−12i，∴z=12+12i．∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为：(12,12)，位于第一象限．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得：在A中，2013年以来，2015年参观总人次比2014年参观人次少，故A错误；在B中，2014年比2013年增加的参观人次超过50万，故B错误；在C中，2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多，故C正确；在D 中，2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次不超过160万，故D 错误．故选：C ．由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多．本题考查命题真假的判断，考查折线图的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 4.答案：C解析：a >1，0<b <1，c >1，又a c =log 23log 46=log 2312log 26=2log 63=log 69>1，∴b <c <a ．5.答案：B解析：解：∵等差数列{a n }中，a 3+a 11=6，∴其前13项的和：S 13=132(a 1+a 13)=132×6=39．故选：B ．由等差数列前n 项和公式及通项公式得S 13=132(a 3+a 11)，由此能求出结果．本题考查等差数列的前13项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6.答案：D解析：本题考查了循环结构的程序框图，属于基础题．模拟程序运行即可求解．解：由程序框图知：程序第一次运行x =3−2=1；第二次运行x =1−2=−1，满足x <0，∴执行y =(−1)3=−1．∴输出−1．故选：D ．7.答案：B解析：解：当x=0时，f(0)=2−11+2=13，当x=1时，f(1)=0，故排除A，由于f(x)≥0恒成立，故排除C，当x→+∞时，f(x)→1，故排除D，故选：B．利用函数值的变化趋势判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数值的变化趋势，考查计算能力．8.答案：C解析：解：由图可得：函数函数y=Asin(ωx+ϕ)的最小值−|A|=−2，令A>0，则A=2，又∵T4=7π12−π3，ω>0∴T=π，ω=2，∴y=2sin(2x+ϕ)将(7π12,−2)代入y=2sin(2x+ϕ)得sin(7π6+ϕ)=−1即7π6+ϕ=3π2+2kπ，k∈Z即ϕ=π3+2kπ，k∈Z∴f(x)=2sin(2x+π3 ).∴f(0)=2sinπ3=√3，f(x+π6)=2sin[2(x+π6)+π3]=2sin(2x+2π3).f(π4)=2sin(π2+π3)=1.对称轴为直线x=kπ2+π12，一个对称中心是(5π6,0)，故②③不正确；根据f(x)=2sin(2x+π3)的图象可知，④f(12π11)<f(14π13)正确；由于f(x)=2sin(2x+π3)的图象关于点(5π6,0)中心对称，故⑤f(x)=−f(5π3−x)正确．综上所述，其中正确的是①④⑤．故选C．9.答案：D解析：本题给出双曲线的渐近线与已知圆相切，求双曲线的离心率，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的简单性质等知识，属于基础题．根据圆方程，得到圆心坐标C(2,0)，圆x2+y2−4x+3=0与渐近线相切，说明C到渐近线的距离等于半径1，再根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，算出c=2a，即可得出该双曲线的离心率．解：圆x2+y2−4x+3=0可化为(x−2)2+y2=1∴圆心坐标C(2,0)∵双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为ax±by=0，圆x2+y2−4x+3=0与渐近线相切，∴C到渐近线的距离为|2a|√a2+b2=1，即c=2a因此该双曲线的离心率为e=ca=2故选：D10.答案：A解析：本题主要考查了函数模型的应用，属于基础题．将x=1，2分别带入y=a⋅0.5x+b，联立解出a，b的值，再将x=3代入方程即可求出三月份的产量．解析：解：由题意可得{1=0.5a+b1.5=0.25a+b，解得a=−2，b=2，所以y=−2×0.5x+2，将x=3代入y=−2×0.5x+2得，y=1.75，故选A．11.答案：B解析：本题考查了线面的位置关系的判断，考查了体积的运算，属于中档题．由面面垂直的判定定理结合正方体ABCD−A1B1C1D1的结构可得答案．解：若存在BB1上一点P使得平面EFC，由C1P⊂面BB1C1C，故可得平面EFC⊥面BB1C1C，然而面BB1C1C⊥面ABCD，面BB1C1C⊥面AA1B1B，面BB1C1C⊥面A1B1C1D1，面BB1C1C⊥面DCC1D1，故平面EFC不可能和面BB1C1C垂直，故可知不存在BB1上一点P使得平面EFC，故选B12.答案：C解析：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，利用导数求出函数单调性进而求出函数零点，属于基础题．解：根据函数可做出如下图像：−1，当x≥0时，f(x)=ln(x+1)−x，f′(x)=1x+1令f′(x)=0，得x=0，且f′(x)在x≥0恒小于零，∴f(x)在(0,+∞)单调递减，可知f(x)在x=0处取得最大值，最大值为f(0)=0，x=0是一个零点；当x<0时，f(x)=2x2+2x，是简单的一元二次方程，令f(x)=0，解得x=−1或x=0(舍去)，综上可知f(x)的零点有x=−1和x=0两个零点，故选C．13.答案：−12解析：解：∵向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(−1,k)，a⃗//b⃗ ，∴2k+1=0，．解得k=−12故答案为：−12根据向量平行列方程解出k．本题考查了向量平行与坐标的关系，属于基础题．14.答案：8解析：本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．解：将直线l：x−y−1=0过(1,0)即抛物线方程y2=4x的焦点坐标，联立直线与抛物线方程，消元y，可得x2−6x+1=0∴x1+x2=6，∴弦AB的长为x1+x2+p=6+2=8．故答案为8．15.答案：480解析：根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，安排在4个座位上，排好后，有5个空档可用，②，将3个空座位分成1、2的两组，将其安排在5个空档之中，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，安排在4个座位上，有A44=24种情况，排好后，有5个空档可用，②，将3个空座位分成1、2的两组，将其安排在5个空档之中，有A52=20种情况，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有24×20=480种；故答案为480．16.答案：x1+x2+x3+⋯+x n=1a1 x1+a2x2+⋯…+a nx n≤(√a1+√a2+⋯…+√a n)2解析：本题考查归纳推理的应用，属于基础题目．解：由命题①②可归纳为若x1+x2+x3+⋯+x n=1，则a1x1+a2x2+⋯…+a nx n≤(√a1+√a2+⋯…+√a n)2．故答案为x1+x2+x3+⋯+x n=1；a1x1+a2x2+⋯…+a nx n≤(√a1+√a2+⋯…+√a n)2．17.答案：解：(1)在△ABC中，∵b2+c2=a2+√3bc，∴b2+c2−a2=√3bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =√32，又A∈(0,π)，∴A=π6．∵acosB=bcosA，∴sinAcosB −sinBcosA =0， 即sin(A −B)=0， ∴A −B =0， ∴B =A =π6． ∴C =π−A −B =2π3．(2)∵A =B ， ∴BC =AC ，设CM =x ，则AC =2x ， 又AM =√7， 在△ACM 中，由余弦定理得：AM 2=CM 2+AC 2−2CM ⋅AC ⋅cos 2π3，∴7=x 2+4x 2−4x 2⋅(−12)，解得x =1． ∴AC =BC =2x =2，∴S △ABC =12AC ⋅BC ⋅sin 2π3=12×2×2×√32=√3．解析：本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．(1)根据余弦定理求出A ，利用正弦定理将边化角得出A ，B 的关系求出B ，利用内角和求出C ； (2)设CM =x ，在△ACM 中，利用余弦定理列方程解出CM ，得出AC ，BC ，代入面积公式计算面积．18.答案：解：(1)设“在一局游戏中得3分”为事件A ，则P(A)=C 21C 21C 11C 53=25．(2)X 的所有可能取值为1，2，3，4，在一局游戏中得2分的概率为C 21C 22+C 22C 11C 53=310，P(X =1)=C 22C 21C 53=15，P(X =2)=45×310=625，P(X =3)=45×(1−310)×25=28125， P(X =4)=45×(1−310)×35=42125， ∴X 的分布列为X 12 3 4P156252812542125∴E(X)=1×15+2×625+3×28125+4×42125=337125．解析：本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题． (1)根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值;(2)由题意知随机变量X 的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值， 求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．19.答案：解：(1)由题意得AB ，AD ，AA 1两两垂直，如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =t ，则A(0,0，0)，B(t,0，0)，B 1(t,0，3)，C(t,1，0)，C 1(t,1，3)，D(0,3，0)，D 1(0,3，3)，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,1，0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,3，0)， ∵AC ⊥BD ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−t 2+3+0=0， 解得t =√3或t =−√3(舍去)，∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，3)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3,−3)， ∵AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD 1⊥B 1D . (2)由(1)得AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)， 设n⃗ =(x,y ，z)是平面ACD 1的一个法向量， 则{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0n ⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3y +3z =0，令x =1，得n ⃗ =(1,−√3,√3)， 平面AA 1B 1的法向量m⃗⃗⃗ =(0,1，0)， 平面AA 1B 1与平面ACD 1所成角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=√31×√7=√217． ∴平面AA 1B 1与平面ACD 1所成角的余弦值为√217．解析：(1)以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量能求出AB 的长，并证明AD 1⊥B 1D .(2)求出平面ACD 1的一个法向量和平面AA 1B 1的法向量，利用向量法能求出平面AA 1B 1与平面ACD 1所成角的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(1)由椭圆方程为x 24+y 2=1，可知：a =2，b =1，c =√3，∴F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，设P(x,y)，(x,y >0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3−x,−y)⋅(√3−x,−y)=x 2+y 2−3=−54，又x 24+y 2=1，联立解得：{x =1y =√32,∴P(1,√32)． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).①若l 的斜率不存在时，l ：x =±12，代入椭圆方程得：y 2=1516，容易得出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=14−1516=−1116≠0，此时OA ⊥OB 不成立．②若l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ， 则由已知可得√k 2+1=12，即k 2+1=4m 2．由{y =kx +m x 2+4y 2=4，可得：(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 则x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1⋅x 2=4(m 2−1)4k 2+1．要OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即x 1⋅x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=km(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1⋅x 2+m 2=0， 即5m 2−4k 2−4=0，又k 2+1=4m 2．∴k 2+1=0，此方程无实解，此时OA ⊥OB 不成立． 综上，不存在这样的直线l ，使得OA ⊥OB ．解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．(1)设P(x,y)，(x,y >0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3=−54，又x 24+y 2=1，联立解出即可得出．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).①若l 的斜率不存在时，l ：x =±12，代入椭圆方程得：y 2=1516，容易得出OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0，此时OA ⊥OB 不成立． ②若l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，则由已知可得√k 2+1=12.直线方程与椭圆方程联立可得：(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0，要OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即x 1⋅x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=km(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1⋅x 2+m 2=0，把根与系数的关系代入可得5m 2−4k 2−4=0，又k 2+1=4m 2.解出即可判断出结论．21.答案：(1)解：当a =2时，f(x)=lnx −2x 2+2x ，f′(x)=1x −4x +2，∴f′(1)=−1， ∵f(1)=0，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y =−x +1； (2)证明：f(1a )=−lna −1a +1(a >0)， 令g(x)=−lnx −1x +1(x >0)，则g′(x)=1−x x 2，∴0<x <1时，g′(x)>0，函数单调递增；x >1时，g′(x)<0，函数单调递减，∴x=1时，函数取得极大值，即最大值，∴g(x)≤g(1)=0，∴f(1a)≤0；(3)解：由题意可知，函数f(x)有且只有1个零点为1，则f′(1)=0，即1−2a+a=0∴a=1．解析：(1)求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程；(2)构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；(3)由题意可知，函数f(x)有且只有1个零点为(1,0)，则f′(1)=0，即可得出结论．本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)直线l的一般方程为√3x−2y+24=0，直线l的极坐标方程为，曲线C1的标准方程为x2+(y−2)2=4，所以曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ．(2)将θ=π3分别代入和ρ=4sinθ得ρA=16√3，ρB=2√3，所以|AB|=|ρA−ρB|=|16√3−2√3|=14√3．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，是中档题．(1)分别化直线与圆的参数方程为普通方程，进一步化为极坐标方程；(2)把曲线θ=π3分别代入直线l和曲线C1的极坐标方程，求出A，B的极径，得|AB|=|ρA−ρB|= |16√3−2√3|=14√3．23.答案：解：设a+2b=t，则a=t−2b，因为a>0，b>0，12a+b +1b+1=1，所以12(t−2b)+b +1b+1=1，即12t−3b +1b+1=1，所以12t−3b =1−1b+1=bb+1.从而2t−3b=b+1b =1+1b，即2t=3b+1b +1⩾2√3b×1b+1=2√3+1，当且仅当b=√33时取等号，所以t⩾2√3+12.故a+2b的最小值为2√3+12．解析：本题主要考查了利用基本不等式求最值，为中档题．设a+2b=t，则a=t−2b，代入12a+b +1b+1=1，得到2t=3b+1b+1，利用基本不等式进行求解即可．。
安徽省合肥一中2020届高三冲刺高考最后1卷数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数。
依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组。
得到的10组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353。
则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为（ ）A ．13,28B ．11,28C ．11,35 D ．12,392．下列四个命题:存在与两条异面直线都平行的平面;(2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行;(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行;(4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.其中正确的命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．43．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对于任意都有，则（ ） A ．B ．C ．D ．4．如果复数(2)()ai i a R +∈的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．-2D ．-15．设i 为虚数单位,m R ∈,“复数()1m m i -+是纯虚数”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．407．已知向量44sin,cos 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，向量()1,1b =r ，函数()f x a b =r r g ，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的一条对称轴为直线4x π=C ．()f x 的最小正周期为2πD ．()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数8．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（12n =L ，，），当点()x y ，分别在1Ω，2Ω，…上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M →+∞=（ ） A ．0B ．14 C ．2 D ．229．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a 的值是（ ）A ．1-B ．12 C ．1D ．210．已知集合{}|12A x a x a =-≤≤+，{}|35B x x =<<，则能使A B ⊇成立的实数a 的取值范围是（ ） A ．{}|34a a <≤B ．{}|34a a <<C ．{}|34a a ≤≤D ．∅11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个顶点分别为,A B ，点P 为双曲线上除,A B 外任意一点，且点P 与点,A B 连线的斜率分别为1k 、2k ，若123k k =，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A ．y x =± B ．2y x =C ．3y x =D ．2y x =±12．在区间[]0π，上随机取一个数x ，则事件2“sin cos 2x x +≥发生的概率为( ) A ．12 B ．13 C ．23 D ．712二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年安徽省合肥市高考数学模拟试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则()A.B.C.D.2.已知复数z 满足，则()A.5B. C.13D.3.已知在某竞赛中，天涯队、谛听队、洪荒队单独完成某项任务的概率分别为，，，且这3个队是否完成该任务相互独立，则恰有2个队完成该任务的概率为()A.B.C.D.4.已知抛物线C ：的焦点为F ，A 为x 轴上一点，若，且抛物线C 经过线段AF的中点，则()A.8B.C.4D.5.已知向量，，，若，，则在上的投影向量为()A.B.C.D.6.在长方体中，，过作平面，使得平面，若平面，则直线l 与所成角的余弦值为()A.B. C.D.7.已知函数，若，则直线与的图象的交点个数为()A.3 B.4C.5D.68.已知椭圆的左顶点为A ，左焦点为F ，P 为该椭圆上一点且在第一象限，若射线AF 上存在一点Q ，使得，线段PQ 的垂直平分线与射线AF 交于点H ，则()A.1B.2C.aD.2a二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某校高一年级的某次月考中，甲、乙两个班前10名学生的物理成绩单位：分，满分100分如表所示，则甲班67727683858788888990乙班70777777818384899394A.甲班前10名学生物理成绩的众数是88B.乙班前10名学生物理成绩的极差是24C.甲班前10名学生物理成绩的平均数比乙班前10名学生物理成绩的平均数低D.乙班前10名学生物理成绩的第三四分位数是8410.已知函数其中，的部分图象如图所示，则()A.B.C.D.11.下列不等式中正确的是()A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出一个同时具有下列性质①②③的函数______.①定义在R上的函数不是常值函数；②；③对任意的，均存在，使得成立.13.已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是______.14.已知半径为的球O的球心到正四面体ABCD的四个面的距离都相等，若正四面体ABCD的棱与球O 的球面有公共点，则正四面体ABCD的棱长的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。
合肥市2020年高三第一次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.-2 14.3π或23π 15.72 ，164n π-(第一空2分，第二空3分)三、解答题：大题共6小题，满分70分.17.(本小题满分12分)解：(1)在ABC ∆中，sin sin sin a b c A B C==，且cos cos cos 0a C c A B +=， ∴sin cos sin cos cos 0A C C A B B +=，∴()sin 10B B ⋅=，又∵sin 0B ≠，∴cos 2B =. ∵B 是三角形的内角， ∴34B π=. ………………………………5分 (2) 在ABM ∆中，31,,4BM AM B AB c π====， 由余弦定理得()2222cos AM c BM c BM B =+-⋅⋅，∴240c -=∵0c >,∴c =∵在ABC ∆中，2a =，34B π=, ∴ABC ∆的面积1sin 12S ac B ==. ………………………………12分 18.(本小题满分12分)(1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15， ∴这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，这两种类型都有学校选的概率为：2222332112185555125P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……………………………5分 (2)X 可能取值为0，1，2，3.则()30332705125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3332835125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴X ∴01231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………………12分 或解：题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D B A B A C C B∵随机变量X 服从23 5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∼，， ∴26355EX np ==⨯=. ……………………………12分 19.(本小题满分12分)(1)连结1AC .∵1AA AC =，四边形11AA C C 为菱形，∴11A C AC ⊥.∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AA C C 平面ABC AC =， BC ⊂平面ABC ，,BC AC ⊥∴BC ⊥平面11AA C C .又∵11//BC B C ，∴11B C ⊥平面11AA C C ，∴111B C A C ⊥.∵1111AC B C C = ，∴1A C ⊥平面11AB C ，而1AB ⊂平面11AB C ，∴1A C ⊥1AB . …………………………5分(2)取11A C 中点M ，连结CM .∵1AA AC =，四边形11AA C C 为菱形，160A AC ∠= ，∴11CM A C ⊥，CM AC ⊥. 又∵CM BC ⊥，∴以C 为原点，CA CB CM ，，为正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 设1CB =，22AC CB ==，1AA AC =，160A AC ∠= ，∴C (0，0，0)，1A)，A (2，0，0)，B (0，1，0)，1B). 由(1)知，平面11C AB的一个法向量为(110CA = ，.设平面1ABB 的法向量为()n x y z = ，，，则1 n AB n AB ⊥⊥ ，，∴100n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ . ∵()210AB =- ，，，(131AB =-，∴2030x y x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 令1x =，得2y z ==，12n ⎛= ⎝ ，.∴111cos ,4CA n CA n CA n ⋅<>===⋅ ， ∴二面角11C AB B --的余弦值为分 20.(本小题满分12分)(1)设椭圆的半焦距为c .2知，b c a ==，. 设圆C '的半径为r，则r ab =，2=，解得b =，∴a =，∴椭圆C 的方程为22163x y +=.……………………………5分 (2)∵M N ，关于原点对称，PM PN =，∴OP MN ⊥.设()11M x y ，，()22P x y ，.当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+.由直线和椭圆方程联立得()2226x kx m ++=，即()222124260k x kmx m +++-=，得12221224212621km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. 设()11OM x y = ，，()22OP x y = ，， ∴()()12121212OM OP x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()()()22222121222264112121m km k x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++()222322021m k k --==+ ∴22220m k --=，2222m k =+∴圆C '的圆心O 到直线PMr ==，∴直线PM 与圆C '相切. 当直线PM 的斜率不存在时，设00(,),M x y 则00(,)N x y -，由条件可知00(,)P x y -, 且2200x y =，又2200163x y +=, ∴202x =， ∴'PM C 与相切 . 同理可得，直线PN 与圆C '也相切.∴直线PM 、PN 与圆C '相切. …………………………12分 21.(本小题满分12分)(1)由()210x x f x e-==，得1x =±，∴函数的零点01x =±. ()221xx x f x e --'=，()12f e '-=，()10f -=. 曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()21y e x =+.()21f e'=-，()10f =， ∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()21y x e=--.………………………5分 (2)()221x x x f x e --'=.当(() 11x ∈-∞+∞ ，时，()0f x '>；当(()110x f x '∈<时，. ∴()f x的单调递增区间为(() 11-∞+∞，，，单调递减区间为(11. 又当1x <-或1x >时，()0f x <，当11x -<<时，()0f x >.下面证明：当()11x ∈-，时，()()21e x f x +>. 2(1)() (11)e x f x x +>-<< 212(1)0x x e x e-⇔++> 110 (11).2x x e x +-⇔+>-<< 易知，11()2x x g x e +-=+在[1,1]x ∈-上单调递增，而(1)0,g -= ∴()0(1,1)g x x >∀∈-对恒成立，即当()11x ∈-，时，()()21e x f x +>. 由()21y e x y m⎧=+⎪⎨=⎪⎩得12m x e =-.记112m x e '=-. 不妨设12x x <，则12111x x -<<<<， ∴121221212m x x x x x x x e ⎛⎫''-<-=-=-- ⎪⎝⎭.要证121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭，∴只要证2112122m x m e e ⎛⎫⎛⎫--≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证21x m ≤-. 又∵2221x x m e -=，只要证222211x x x e -≤-，即()()()222110x x e x -⋅-+≤.∵()211x ∈，即证()2210x e x -+≥. 令()()()11x x x e x x e ϕϕ'=-+=-，.当()10x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ为单调递减函数；当()01x ∈，时，()0x ϕ'>，()x ϕ为单调递增函数. ∴()()00x ϕϕ≥=，∴()2210x e x -+≥， ∴121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭. …………………………12分22.(本小题满分10分)(1)曲线C 的方程4cos 6sin ρθθ=+，∴24cos 6sin ρρθρθ=+，∴2246x y x y +=+， 即曲线C 的直角坐标方程为：()()222313x y -+-=. …………………………5分(2)把直线32:12x l y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线C得22121322⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，280t --=.∵(2320∆=+>，设12t t ，为方程的两个实数根，则12t t +=，128t t =-，∴12t t ，为异号，又∵点A （3，1）在直线l 上， ∴1212AM AN t t t t +=+=-===.…………………………10分23.(本小题满分10分) 解：(1)∵()2f x x m x =--+，∴()220f x x m x -=---≥的解集为(] 4-∞，， ∴2x m x --≥，解得28m +=，即6m =. …………………………5分(2) ∵6m =，∴212a b c ++=，又∵a > 0，b > 0，c > 3，∴()()()()()()12231132a b c a b c ++-++-= ()()()333122311211232232323a b c a b c ++++-⎡⎤++⎛⎫⎛⎫≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当1223a b c +=+=-，结合212a b c ++=解得3a =，1b =，7c =时，等号成立. ∴()()()113a b c ++-的最大值为32. …………………………10分。
2020年安徽省高考理科数学仿真模拟试题（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合A= {*∈-N x x x ,0<72},则B={A y N yy ∈*∈,6|}的子集个数是（ ） A.4 个 B.8 个 C.16 个 D.32 个2. 某食品的广告词为:“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果却大着呢，原来这句话的等价命题是（ ）A.不拥有的人们不一定幸福B.不拥有的人们可能幸福C.拥有的人们不一定幸福D.不拥有的人们不幸福3. 已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A. 64B. 32C. 16D. 44. 欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4i i e eππ表示的复数在复平面中位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差2d =，1a ，3a ，4a 成等比数列，则8S =（ ） A. -20B. -18C. -10D. -86. 如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.16B.2524C.34D.11127．直线 m,n 和平面βα, 则下列命题中，正确的是（ ）A ．m ∥n, m αβα⇒⊆⊆n ,∥βB ．m αβα⇒⊆⊥⊥n n m ,,∥β C.m ∥n,n ,β⊥m βαα⊥⇒⊆ D.m ∥n,m βαβα⊥⇒⊥⊥n , 8．已知函数()sin()(,0)4f x x x πωω=+∈>R 的最小正周期为π，为了得到函数()cos()4g x x πω=+的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度9. 下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A. 12B. 15C.D.10. 在平面区域，内任取一点，则存在，使得点的坐标满足的概率为（ ）A.B.C.D.11. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则||MN 的最小值为（ ） A. 1D.312. 已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（ ）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈） A. 5 B. 6C. 7D. 8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知zi=2−i，则复数z的虚部为()A. −iB. 2C. −2iD. −22.设集合，B={2,3}，则A∪B=()A. {−1,0，1，2，3}B. {1,2，3}C. [−1,2]D. [−1,3]3.执行如图所示的程序框图，则输出的i=()A. 4B. 5C. 6D. 74.设S n为等差数列{a n}的前n项和，且4+a5=a6+a4，则S9=()A. 72B. 36C. 18D. 95.“a=−2”是“函数f(x)=|x−a|在区间[−2,+∞)上为单调递增函数”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.下图为国家统计局发布的2014～2018年国内生产总值条形图．则下列说法错误的是()A. 2014年的增长率最高B. 从2014年到2018年生产总值逐年增长C. 2015年的增长率比上一年的增长率低一些D. 2018年在上一年生产总值基础上增加的数量大于2017年在上一年生产总值基础上增加的数量7.对于直线m，n与平面α，下列推理正确的是()A. m//n，n⊂α⇒m//αB. m⊥n，n⊂α⇒m⊥αC. m//α，n⊂α⇒m//nD. m⊥α，n⊂α⇒m⊥n−2x)9的展开式中，常数项是()8.在(√xA. C93B. −C93C. 8C93D. −8C939.如图是某几何体的三视图，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则该几何体的体积为()A. 4√3 B. 4 C. 4√3 D. 8√3310. 某商场通过转动如图所示的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动，当指针指向阴影区域时为中奖．规定每位顾客有3次抽奖机会，但中奖1次就停止抽奖．假设每次抽奖相互独立，则顾客中奖的概率是( ) A. 427 B. 13 C. 59 D. 1927 11. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，若双曲线上存在点M 满足|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 3C. √6D. √3 12. 若函数有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是( )A. a >1B. −1<a <0C. a <1D. 0<a <1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x ，y 满足约束条件{x +y ⩾2,2x +y ⩽4,4x −y ⩾−1,则z =y+2x+2的取值范围是________．14. 已知向量a ⃗ =(−1,3)，b ⃗ =(3,t)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|2a ⃗ +b ⃗ |=______．15. 在锐角△ABC 中，BC =1，B =2A ，则AC 的取值范围为_______．16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A i (2i ,i+(−1)i ⋅i 2)(i ∈N ∗)，记△A 2i−1A 2i A 2i+1的面积为S i ，则∑S i =n i=1________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知函数f(x)=sinxcosx +cos 2x.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)在区间[−3π8,m]上单调递增，求实数m 的最大值．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且AB⊥BC，AD//BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中点．(1)求证：DE⊥平面PBC；(2)求二面角A−PD−E的余弦值．19.为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度(单位：cm)，其频率分布直方图如图所示(1)求该植物样本高度的平均数x−和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)假设该植物的高度Z服从正态分布N(μ,a2)，其中μ近似为平均数x−，a2近似为样本方差s2，利用该正态分布求P(64.5<Z<96)附：√110≈10.5，若Z～N(μ,a2)，则P(μ−ɛ<Z<μ+ɛ)=0.6826，P(μ−2ɛ<Z<μ+2ɛ)=0.9544．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，若圆x 2+y 2=a 2被直线x −y −√2=0截得的弦长为2(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)已知点A 、B 为动直线y =k(x −1)，k ≠0与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点M ，使得MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值？若存在，试求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=x 2e −ax ，其中a >0，e 是自然对数的底数，e =2.71828…．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)求f(x)在[1,2]上的最大值．22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：{x=2+2cosθy=2sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α(ρ>0)．(1)将圆C的参数方程化为极坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1,√3)，射线l与圆C交于点B不同于点O)，求△OAB面积的最大值．23.已知函数f(x)=|x−2|+|3x+a|．(1)当a=1时，解不等式f(x)≥5；(2)若存在x0满足f(x0)+2|x0−2|<3，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由zi=2−i得z=2−ii =2i−1=−1−2i，则复数z的虚部为−2，故选：D．根据复数的运算法则进行化简，结合虚部的定义进行求解即可．本题主要考查复数的概念的应用，结合复数的运算法则是解决本题的关键．2.答案：B解析：【分析】本题考查并集的求法，考查并集、不等式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合，B={2,3}，∴A∪B={1,2，3}．故选B．3.答案：D解析：【分析】本题考查循环结构的程序框图，根据框图，模拟运行求解即可．【解答】解：由框图，第一次循环，a=4，i=3，第二次循环，a=43=64，i=5，第三次循环，a=45=1024，i=7，第四次循环，a=47>1024，此时退出循环，所以输出的i的值为7．故选D．4.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(a1+a9)，能求出结果．推导出4+a5=2a5，从而a5=4，再由S9=92【解答】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，且4+a5=a6+a4，∴4+a5=2a5，解得a5=4，∴S9=9(a1+a9)=9a5=36．2故选B．5.答案：A解析：解：要使函数f(x)=|x−a|在区间[−2,+∞)上为单调递增函数，则a≤−2，∴“a=−2”是“函数f(x)=|x−a|在区间[−2,+∞)上为单调递增函数”的充分不必要条件．故选：A．结合函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用绝对值函数的性质是解决本题的关键．6.答案：D解析：【分析】本题主要考查统计中条形图的应用，属于基础题．根据图表逐项判断即可．【解答】解：由国家统计局发布的2014～2018年国内生产总值条形图，A选项，2014年的增长率最高，正确；B选项，从2014年到2018年生产总值逐年增长，正确；C选项，2015年的增长率比上一年的增长率低一些，正确；D选项，2018年在上一年生产总值基础上增加的数量为900309−820754=79555，小于2017年在上一年生产总值基础上增加的数量820754−740061=80693，不正确．故选D．7.答案：D解析：【分析】本题考查命题真假的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．在A中，m//α或m⊂α；在B中，m与α相交、平行或m⊂α；在C中，m与n平行或异面；在D 中，由线面垂直的性质定理得m⊥n．【解答】解：在A中，m//n，n⊂α⇒m//α或m⊂α，故A错误；在B中，m⊥n，n⊂α⇒m与α相交、平行或m⊂α，故B错误；在C中，m//α，n⊂α⇒m与n平行或异面，故C错误；在D中，m⊥α，n⊂α，由线面垂直的性质定理得m⊥n，故D正确．故选D．8.答案：D解析：【分析】本题考查二项展开式通项公式的应用，属于基础题目．利用二项展开式的通项公式得出即可．【解答】解：(√x −2x)9的展开式的通项公式为Tk+1=C9k(√x)9−k(−2x)k=(−2)k C9k x3k−92，由3k−9=0可得k=3，∴(√x−2x)9的展开式的常数项为(−2)3C93=−8C93．故选D．9.答案：C解析：【分析】本题考查三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，属于基础题．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：底面为边长为2的正三角形，高为4的三棱柱，故：V =12⋅2⋅2⋅√32⋅4=4√3， 故选C ．10.答案：D解析：【分析】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，属于基础题．由相互独立事件的概率公式即可求解．【解答】解：顾客抽奖一次中奖的概率为26=13，顾客第一次就中奖的概率P 1=13，顾客第二次就中奖的概率P 2=23×13=29，顾客第三次就中奖的概率P 3=23×23×13=427，∴顾客中奖的概率是P =13+29+427=1927．故选D ． 11.答案：C解析：【分析】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查双曲线的离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，考查运算能力，属于中档题．过点M 作x 轴的垂线，利用双曲线的定义、方程和焦点三角形的性质以及勾股定理求解．【解答】解：过点M 作x 轴的垂线，垂足为A ，因为|MO|=|MF 2|，则A 为OF 2的中点，所以|AF 2|=c 2，|AF 1|=3c 2． 设|MF 2|=m ，则|MF 1|=2m ．在Rt △MAF 1中，|MA|2=4m 2−94c 2．在Rt △MAF 2中，|MA|2=m 2−c 24， 则4m 2−94c 2=m 2−c 24，即3m 2=2c 2．因为|MF 1|−|MF 2|=2a ，则m =2a ，所以3×(2a)2=2c 2，即c 2=6a 2，所以e =c a =√6．故选C ． 12.答案：D解析：【分析】本题考查利用导数研究函数的极值，是基础题．求导，根据原函数有两个极值点，则导函数在定义域内有两个异号零点，结合二次函数的性质可列关于a 的不等式组，即可得解．【解答】解：f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=x −2+=， 若函数f(x)有两个不同的极值点，则g(x)=x 2−2x +a 在(0,+∞)由2个不同的实数根，∵g(x)为二次函数，对称轴为x =1>0，∴{Δ=4−4a >0g(0)>0，解得：0<a <1， 故选D ．13.答案：[12,2]解析：【分析】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题．由线性约束条件可以作出可行域，再由目标函数的几何意义，即可行域内的动点与定点P(−2,−2)连线的斜率求解．【解答】解：作出不等式组满足约束条件的区域(阴影部分)如图所示，而z=y+2x+2表示区域内的点与定点P(−2,−2)连线的斜率的取值，数形结合可知，当过点P的直线过点A时，斜率最小，当过点P的直线过点B时，斜率最大，由{x+y=2,2x+y=4⇒{x=2,y=0,,所以A(2,0)，由{2x+y=4,4x−y=−1⇒{x=12,y=3,所以B(12,3)，所以z min=k AP=0+22+2=12，z max=k BP=3+212+2=2，所以z的取值范围是[12,2]．14.答案：5√2解析：解：∵向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(3,t)，a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =−3+3t=0，解得t=1，∴b⃗ =(3,1)，2a⃗+b⃗ =(1,7)，|2a⃗+b⃗ |=√1+49=5√2．故答案为：5√2．由向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(3,t)，a⃗⊥b⃗ ，求出t=1，从而b⃗ =(3,1)，2a⃗+b⃗ =(1,7)，由此能求出|2a⃗+b⃗ |.本题考查向量的模的求法，考查向量垂直、向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.答案：(√2,√3)解析：【分析】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．利用正弦定理及BC =1，B =2A 得到AC =2cosA ，然后根据锐角三角形以及B =2A ，求解A 的范围即可．【解答】由正弦定理：BC sinA =AC sinB ，∴BC sinA =AC sin2A =AC 2sinAcosA ，∴AC =2cosA ．∵A +B +C =π，∴3A +C =π，C =π−3A ，∴{ 0<A <π2,0<2A <π2,0<π−3A <π2,∴π6<A <π4, ∴√22<cos A <√32，又AC =2cosA ，∴√2<AC <√3．故答案为(√2,√3)．16.答案：(2n −23)⋅4n +23解析：【分析】本题考查数列的应用，根据已知条件求出面积S i 的通项公式，利用错位相减法求和即可．【解答】解：∵A 2i−1(22i−1,0)，A 2i (22i ,2i)，A 2i+1(22i+1,0)，∴S i =12(22i+1−22i−1)×2i =3i ·22i−1，∴∑S i n i=1=3×1×21+3×2×23+...+3×n ×22n−1， 4∑S i n i=1=3×1×23+3×2×25+...+3×(n −1)×22n−1+3×n ×22n+1， 两式相减得，−3∑S i n i=1=3×21+3×23+...+3×22n−1−3×n ×22n+1， 即−∑S i n i=1=21+23+...+22n−1−n ×22n+1=2(4n −1)4−1−2n ×4n =(23−2n)×4n −23， ∴∑S i n i=1=(2n −23)⋅4n +23． 故答案为(2n −23)⋅4n +23． 17.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)=sinxcosx +cos 2x ，=12sin2x +1+cos2x 2， =√22sin(2x +π4)+12，所以：函数的最小正周期为T =2π2=π． (Ⅱ)由于：f(x)=√22sin(2x +π4)+12，令：−π2+2kπ≤2x +π4≤2kπ+π2(k ∈Z)，解得：−3π8+kπ≤x ≤kπ+π8(k ∈Z)， 当k =0时，−3π8≤x ≤π8， f(x)在区间[−3π8,m]上单调递增， 故：[−3π8,m]⊂[−3π8,π8]， 所以：m 的最大值为π8．解析：(Ⅰ)首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的函数的关系式，进一步利用整体思想和函数的区间的子集关系求出结果． 1题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.答案：(Ⅰ)证明：∵PA ⊥底面ABCD ，且AB ⊥BC ，AD//BC ，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，AD ⊥AB ，以点A 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设PA =AB =BC =2AD =2，则P(0,0，2)，D(1,0，0)，B(0,2，0)，C(2,2，0)，E(1,1，1)，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，−2)， ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴DE ⊥PB ，DE ⊥PC ，∵PB ∩PC =P ，∴DE ⊥平面PBC ；(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知平面PAD 的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(0,2，0)．设平面PCD 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)，则 ∵PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−2)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，−2)， ∴{x −2z =02x +2y −2z =0， ∴取n ⃗ =(2,−1,1)，∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√6⋅2=−√66．解析：(Ⅰ)以点A 为坐标原点，建立坐标系，证明DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可证明DE ⊥平面PBC ；(Ⅱ)求出平面PAD 的一个法向量、平面PCD 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A −PD −E 的余弦值．本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解二面角的大小，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．19.答案：解：(1)根据频率分布直方图，得；该植物样本高度的平均数是x =55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.05=75，方差是s 2=(55−75)2×0.1+(65−75)2×0.2+(75−75)2×0.35+(85−75)2×0.3+(95−75)2×0.05=110；(2)由(1)知，Z ～N(75,110)，从而P(64.5<Z <75)=12×P(75−10.5<Z <75+10.5)=12×0.6826=0.3413，P(75<Z <96)=12×P(75−2×10.5<Z <75+2×10.5) =12×0.9544=0.4772；∴P(64.5<Z <96)=P(64.5<Z <75)+P(75<Z <96)=0.3413+0.4772=0.8185．解析：(1)根据频率分布直方图，求出数据的平均数与方差；(2)根据正态分布的概率特征，计算出P(64.5<Z <96)的值．本题考查了利用频率分布直方图求数据的平均数与方差的应用问题，也考查了正态分布的应用问题，是基础题目．20.答案：解：(I)圆x 2+y 2=a 2的圆心(0,0)到直线x −y −√2=0的距离d =√2|√2=1，∴2=2√a 2−12，解得a 2=2，又c a =√22，a 2=b 2+c 2， 联立解得：a 2=2，c =1=b ． ∴椭圆C 的标准方程为：x 22+y 2=1．(II)假设在x 轴上存在定点M(m,0)，使得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =k(x −1)x 22+y 2=1，化为：(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−2=0， 则x 1+x 2=4k 21+2k 2，x 1⋅x 2=2k 2−21+2k 2．MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−m,y 1)⋅(x 2−m,y 2)=(x 1−m)(x 2−m)+y 1y 2=(x 1−m)(x 2−m)+k 2(x 1−1)(x 2−1)=(1+k 2)x 1⋅x 2−(m +k 2)(x 1+x 2)+m 2+k 2=(1+k 2)⋅2k 2−21+2k 2−(m +k 2)4k 21+2k 2+m 2+k 2 =k 2(2m 2−4m+1)+m 2−22k 2+1，令2m 2−4m +1=2(m 2−2)，解得m =54．因此在x 轴上存在定点M(54,0)，使得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值−716．解析：(I)求出圆x 2+y 2=a 2的圆心(0,0)到直线x −y −√2=0的距离d ，利用2=2√a 2−d 2，解得a 2，又c a =√22，a 2=b 2+c 2，联立解出即可得出． (II)假设在x 轴上存在定点M(m,0)，使得MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线方程与椭圆方程联立化为：(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−2=0，利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k 2(2m 2−4m+1)+m 2−22k 2+1，令2m 2−4m +1=2(m 2−2)，解得m 即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、定值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.答案：解：(Ⅰ)f ′(x)=e −ax (−ax 2+2x)，令f ′(x)>0，∵e −ax >0，∴−ax 2+2x >0，解得0<x <2a ；令f ′(x)<0，∴−ax 2+2x <0，解得x <0或x >2a ，∴f(x)在(−∞,0)和(2a ,+∞)内是减函数，在(0,2a )内是增函数．(Ⅱ)①当0<2a ≤1，即a ≥2时，f(x)在[1,2]内是减函数，∴f(x)max =f(1)=e −a ；②当1<2a <2，即1<a <2时，f(x)在[1,2a )内是增函数，在(2a ,2]内是减函数，∴f(x)max =f(2a )=4a −2e −2； ③当2a ≥2，即0<a ≤1时，f(x)在[1,2]内是增函数，∴f(x)max =f(2)=4e −2a ．综上所述，当0<a ≤1时，f(x)在[1,2]上的最大值为4e −2a ；当1<a <2时，f(x)在[1,2]上的最大值为4a −2e −2；当a ≥2时，f(x)在[1,2]上的最大值为e −a ．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思想，属于中档题． (Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)通过讨论a 的范围，结合函数的单调性求出f(x)的最大值即可．22.答案：解：(1)∵圆C 的参数方程为：{x =2+2cosθy =2sinθ(θ为参数)，∴圆C 的普通方程为(x −2)2+y 2=4，即x 2+y 2−4x =0，∴圆C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．(2)∵射线l 的极坐标方程为θ=α，(ρ>0).射线l 与圆C 交于点B(不同于点O)，∴|OB|=4cosα，α≠π2，∵点A 的直角坐标为(1,√3)，∴|OA|=√1+3=2，S △OAB=12×|OA|×|OB|×sin(60°−α) =12×2×4cosα×sin(60°−α) =4cosα(√3cosα−1sinα) =2√3cos 2α−2sinαcosα=√3(1+cos2α)−sin2α=2sin(60°−2α)+√3=−2sin(2α−60°)+√3，∴当2α−60°=−90°，即α=−15°时，△OAB 面积取最大值S =2+√3．解析：(1)圆C 的参数方程消去参数，能求出圆C 的普通方程，由此能求出圆C 的极坐标方程．(2)求出|OB|=4cosα，α≠π2，|OA|=2，当α=−15°时，能求出△OAB 面积的最大值．本题考查圆的极坐标坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 23.答案：解：(1)当a =1时，f(x)=|x −2|+|3x +1|，①当x ≥2时，不等式等价于x −2+3x +1≥5，解得x ≥32，即x ≥2；②当−13<x <2时，不等式等价于2−x +3x +1≥5，解得x ≥1，即1≤x <2；③当x ≤−13时，不等式等价于2−x −3x −1≥5，解得x ≤−1，即x ≤−1．综上所述，原不等式的解集为{x|x ≤−1或x ≥1}；(2)由f(x 0)+2|x 0−2|<3，即3|x0−2|+|3x0+a|<3，得|3x0−6|+|3x0+a|<3，又|3x0−6|+|3x0+a|≥|(3x0−6)−(3x0+a)|=|6+a|，∴(f(x0)+2|x0−2|)min<3，即|a+6|<3，解得−9<a<−3．解析：本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．(1)分3种情况去绝对值解不等式，再求并集；(2)原不等式等价于|3x0−6|+|3x0+a|<3有解，即左边的最小值小于3，用绝对值不等式的性质可求得最小值．。
2020年安徽省合肥市高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知Z=−2+3i，求|Z|=()A. 1B. √2C. √13D. 32.设集合M={x∈R|0≤x≤2}，N={x∈Z|(x−3)(x+1)<0}，则M∩N=()A. [0,2]B. {1}C. {1}D. {0,1，2}3.若a=log3443，b=(34)43，c=(43)34，则()A. a<c<bB. b<a<cC. a<b<cD. c<a<b4.某公司举行抽奖活动，小明、小红、小李、小毛分别抽到了200元、300元、500元、800元四种红包的一种，且每人抽到的金额互不相同，现有如下说法：小明：我抽到的是200元的红包；小红：我抽到的是300元、500元、800元红包中的一种；小李：我抽到的是500元的红包；小毛：我抽到的是800元的红包．若上述4人中仅有1人的说法是错误的，则可能的情况有A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种5.函数f(x)=cos(πx)x2的图象大致是()A. B.C. D.6.某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10个人的样本，恰好抽到了4个男生、6个女生．给出下列命题：①该抽样可能是简单的随机抽样；②该抽样一定不是系统抽样；③该抽样女生被抽到的概率大于男生被抽到的概率．其中真命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 37.设向量a⃗=(4,3)，b⃗ =(6,x)，且a⃗⊥b⃗ ，则x的值为()A. −92B. −8 C. 92D. 88.已知tan(α−π3)=2，tan(π3+β)=25，则tan(α+β)=()A. 8B. 89C. 12D.439.执行如图所示的程序框图，若输入的x=4.5，则输出的i=()A. 3B. 4C. 5D. 610.已知椭圆x2a2+y2b2=1左右焦点分别为F1，F2，双曲线x2m2−y2n2=1的一条渐近线交椭圆于点P，且满足PF1⊥PF2，已知椭圆的离心率为e1=34，则双曲线的离心率e2=()A. √2B. 9√28C. 9√24D. 3√2211.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=30°且b=√3a，则角C等于()A. 30°B. 60°C. 90°D. 30°或90°12.设F1，F2为椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点，点M在椭圆Γ上．若△MF1F2为直角三角形，且|MF1|=2|MF2|，则椭圆Γ的离心率为()A. √33或√53B. √53或√63C. √63或√73D. √33或√5−14二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为________．14.设等比数列{a n}的前n项和为S n，且a5=S5，则S2014=______．15.函数f(x)=sin x2cos x2+cos2x2，当x∈(0,π2)时，f(x)的值域为______．16.在四棱锥S−ABCD中，SA⊥面ABCD，若四边形ABCD为边长为2的正方形，SA=3，则此四棱锥外接球的表面积为__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某公路段在某一时刻内监测到的车速频率分布直方图如图所示．(1)求纵坐标中h的值及第三个小长方形的面积；(2)求平均车速v的估计值．18.已知等差数列{a n}中，a2=6，a3+a6=27．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记数列{a n}的前n项和为S n，且T n=S n3⋅2n−1，若对于一切正整数n，总有T n≤m成立，求实数m的取值范围．19.如图，四棱锥P−ABCD的底面是直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，AD=2BC，PA⊥平面ABCD，E为线段PA的中点．(Ⅰ)求证：BE//平面PCD；(Ⅱ)若PA=AD=2，求点E到平面PCD的距离．20.设函数f(x)=lnx−ax(a∈R)(其中e=2.71828…)．(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性；(Ⅱ)函数f(x)<0在(0,+∞)上恒成立时，求a的取值范围；(Ⅲ)证明：当x∈(1,+∞)时，xe x−1⋅x1x−1<e．21.已知椭圆C：x22+y2=1，点A(1,12)，B(1,2)．(Ⅰ)若直线l与椭圆C交于M，N两点，且A为线段MN的中点，求直线MN的斜率；(Ⅱ)若直线l2：y=2x+t(t≠0)与椭圆C交于P，Q两点，求△BPQ面积的最大值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2cosα,(α为参数)，以坐标原点为极点，y=2+2sinα).x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为ρ2sin2θ=32(0<θ<π2(1)求曲线C的极坐标方程；(2)已知β为锐角，直线l：θ=β(ρ∈R)与曲线C的交点为A(异于极点)，l与曲线M的交点为B，若|OA|⋅|OB|=16√2，求l的直角坐标方程．23.设x>0，y>0，证明：不等式(x2+y2)12>(x3+y3)13．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵Z =−2+3i ， ∴|Z|=√(−2)2+32=√13． 故选：C ．直接由已知利用复数模的计算公式求解． 本题考查复数模的求法，是基础的计算题．2.答案：D解析：解：M ={x|0≤x ≤2}，N ={0,1，2}； ∴M ∩N ={0,1，2}． 故选：D ．可解出集合N ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算．3.答案：C解析： 【分析】本题考查指数函数和对数函数的性质，属于基础题． 利用指数函数和对数函数的性质即可求解． 【解答】 解：若，0<b =(34)43<(34)0=1， c =(43)34>(43)0=1，则a <b <c ． 故选C ．4.答案：B解析：本题考查了逻辑推理及分类讨论思想，属基础题． 通过假设法逐一验证即可求解． 【解答】解：小红的说法是正确的，否则小明和小红的说法都是错误的，小明的说法是正确的，否则小红、小李、小毛中至少有一人的说法也是错误的， 因此说法错误的可能是小李和小毛， 故选B ．5.答案：A解析：解：定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)， f(x)=cos(πx)x 2，f(−x)=cos(−πx)(−x)2=cos(πx)x 2=f(x)，∴f(−x)=f(x)，f(x)为偶函数，． ∴其图象关于y 轴对称，可排除C ，D ； 又当x →0时，cos(πx)→1，x 2→0， ∴f(x)→+∞.故可排除B ； 而A 均满足以上分析． 故选：A ． 由于函数f(x)=cos(πx)x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除C 、D ，利用极限思想(如x →0+，y →+∞)可排除B ，从而得到答案A ．本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题．6.答案：C解析： 【分析】本题主要考查简单抽样的理解和应用，比较基础． 根据简单抽样的定义，分别进行判断即可得到结论． 【解答】解：①该抽样可能是简单的随机抽样，正确； ②该抽样一定不是系统抽样，正确；③该抽样女生被抽到的概率等于男生被抽到的概率，故③错误．7.答案：B解析：【分析】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．根据a⃗⊥b⃗ 即可得出a⃗⋅b⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．【解答】解：∵a⃗⊥b⃗ ；∴a⃗⋅b⃗ =4×6+3x=24+3x=0；∴x=−8．故选：B．8.答案：C解析：解：∵已知tan(α−π3)=2，tan(π3+β)=25，则，故选C．根据tan(α+β)=tan[(α−π3)+(π3+β)]，再利用两角和的正切公式运算求得结果．本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于中档题．9.答案：B解析：解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=4.5，i=1，x=4.5−1=3.5；x≥1，i=2，x=3.5−1=2.5；x≥1，i=3，x=2.5−1=1.5；x≥1，i=4，x=1.5−1=0.5；x<1，终止循环，输出i=4．故选：B．根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的i值．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序的运行过程，是基础题目．解析：【分析】本题考查了椭圆的离心率，双曲线的渐近线与离心率，属于较难题．由椭圆离心率为e1=34，不妨设a=4，c=3，则b=√7，可得(7+16k2)x2−112=0，再根据弦长公式得k2=4932，由此可得答案．【解答】解：已知椭圆的离心率为e1=34，不妨设a=4，c=3，则b=√7，双曲线x2m2−y2n2=1的一条渐近线为y=nmx，令k=nm，y=kx与椭圆联立，{y=kxx216+y27=1得(7+16k2)x2−112=0，由PF1⊥PF2，可知渐进线被椭圆所截的弦长为2c=6，由弦长公式得6=√1+k2√0−4×−1127+16k2，得k2=4932，即(nm )2=4932，则e22=8132，e2=9√28．故选B．11.答案：D解析：解：∵在△ABC中，A=30°且b=√3a，∴由正弦定理asinA =bsinB得：sinB=bsinAa=√3a×12a=√32，∵b>a，∴B>A，∴B=60°或120°，当B=60°时，C=90°；当B=120°时，C=30°，综上，C=30°或90°．故选：D．根据题意，利用正弦定理求出sin B的值，进而确定出B的度数，即可求出C的度数．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．12.答案：A解析：【分析】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属设|MF2|=m，则|MF1|=2m，由椭圆的定义可得3m=2a，根据△MF1F2为直角三角形，分类讨论，即可求出椭圆Γ的离心率．【解答】解：设|MF2|=m，则|MF1|=2m，∴3m=2a，∵△MF1F2为直角三角形，∴m2+4c2=(2m)2或m2+(2m)2=4c2，∴c=√32m或c=√52m，∴e=ca =√33或√53．故选A．13.答案：y=3x解析：【分析】本题考查导数的几何意义，属于基础题．求导，令x=0求切线斜率，即可求得切线方程．【解答】解：由y=3(x2+x)e x，得y′=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3(x2+3x+1)e x，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率为3，所以切线方程为y=3x．故答案为y=3x．14.答案：0解析：解：∵等比数列{a n}，a5=S5，∴公比q≠1，且a1q4=a1(1−q5)1−q，∴q4−q5=1−q5，∴q4=1，∴q=−1∴S2014=a1(1−q2014)1−q=0．故答案为：0．先根据a5=S5求出公比q的值，再利用等比数列的求和公式可得结论．本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，考查学生的计算能力，属于基础题．15.答案：(1,√2+12]解析：【分析】本题考查了二倍角和辅助角化简能力和值域的求法．属于基础题．利用二倍角和辅助角化简，结合三角函数的性质即可求解x∈(0,)时，f(x)的值域．【解答】解：函数f(x)=sin x2cos x2+cos2x2=12sinx+12cosx+12=√22sin(x+π4)+12，当x∈(0,π2)时，(x+π4)∈(π4,3π4)，∴sin(x+π4)∈(√22,1]那么f(x)的值域为(1,√2+12].故答案：(1,√2+12].16.答案：17π解析：先求出四棱锥S−ABCD的外接球的半径R，如图所示，取SC的中点O，则点O就是四棱锥S−ABCD的外接球的球心，则2R=SC，由条件得SC2=SA2+AC2=9+(2√2)2=17，即4R2=17，所以此四棱锥外接球的表面积为，故答案应填17π．17.答案：解：(1)∵频率分布直方图中所有小长形面积之和为1，∴10ℎ+10×3ℎ+10×4ℎ+10×2ℎ=1，解得ℎ=0.01，∴第三个小长方形的面积为：10×4ℎ=10×0.04=0.4(2)由频率分布直方图得：平均车速v=0.01×10×45+0.03×10×55+0.04×10×65+0.02×10×75=62．解析：(1)由频率分布直方图中所有小长形面积之和为1，能求出ℎ=0.01，由此能求出第三个小长方形的面积．(2)利用频率分布直方图能求出平均车速v.的估计值．本题考查频率分布直方图等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．18.答案：解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由a2=6，a3+a6=27.可得a1+d=6，2a1+7d=27，解得a1=d=3，即有a n=a1+(n−1)d=3n；(2)T n=S n3⋅2n−1=12(3+3n)n3⋅2n−1=n(n+1)2n，T n+1=(n+1)(n+2)2n+1，由T n+1T n=n+22n，可得T1<T2≤T3>T4>T5>⋯>T n>⋯即有T2=T3=32，取得最大值．对于一切正整数n，总有T n≤m成立，则有m≥32．即有m的取值范围是[32,+∞)．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，计算即可得到；(2)由等差数列的求和公式和数列的单调性，可得T n的最大值，再由恒成立思想，即可得到m的范围．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用数列的单调性，考查运算能力，属于中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：设线段AD的中点为F，连接EF，FB．在△PAD中，EF为中位线，故EF//PD．又EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以EF//平面PCD．在底面直角梯形ABCD中，FD//BC，且FD=BC，故四边形DFBC为平行四边形，即FB//CD．又FB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以FB//平面PCD．又因为EF⊂平面EFB，FB⊂平面EFB，且EF∩FB=F，所以平面EFB//平面PCD．又BE⊂平面EFB，所以有BE//平面PCD．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知，点E到平面PCD的距离与点B到平面PCD的距离相等．连接AC，设点B到平面PCD的距离为h，因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC．根据题意，在Rt△PAD中，PD=2√2在Rt△ADC中，AC=2√2，在Rt△PAC中，PC=2√3，由于PD2+CD2=PC2，所以△PCD为直角三角形，S△PCD=2√2．V B−PCD=13S△PCD⋅ℎ=2√23ℎ.又V P−BCD=13S△BCD⋅AP=23，所以ℎ=√22．即点E到平面PCD的距离为√22．解析：(Ⅰ)设线段AD的中点为F，连接EF，FB.通过线面平行证明平面EFB//平面PCD，再证明：BE//平面PCD；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，点E到平面PCD的距离与点B到平面PCD的距离相等，利用，等体积方法求点E 到平面PCD的距离．本题考查直线与平面平行的证明，考查点E到平面PCD的距离、三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=1x−a，(x>0)，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)单调递增；当a>0时，f′(x)=−a(x−1 a )x，令f′(x)>0，解得0<x<1a ；令f′(x)<0，解得x>1a．∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1a )，单调递减区间为(1a,+∞)．综上可得：当a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)单调递增；当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1a )，单调递减区间为(1a,+∞)；(Ⅱ)lnx−ax<0在(0,+∞)上恒成立⇔a>(lnxx)max，x∈(0,+∞)．令g(x)=lnxx，x∈(0,+∞)．g′(x)=1−lnxx2，当0<x<e时，g′(x)>0，此时函数f(x)单调递增，当x>e时，g′(x)<0，此时函数f(x)单调递减，∴当x=e时，函数g(x)取得最大值，g(e)=1e，∴a>1e，∴a的范围是(1e,+∞)；(Ⅲ)证明：当x∈(1,+∞)时，要证明xe x−1⋅x1x−1<e，即证x1x−1+1<e x，即证x x x−1<e x，即证lnx x x−1<lne x．即证xx−1lnx<x，∵x>1即证lnx<x−1，令ℎ(x)=lnx−x+1，∵ℎ′(x)=1−xx<0，∴ℎ(x)在(1,+∞)上单调递减，∴ℎ(x)<ℎ(1)=0，即lnx<x−1，∴当x∈(1,+∞)时，xe x−1⋅x1x−1<e．解析：(Ⅰ)f′(x)=1x−a，(x>0)，对a分类讨论：a≤0，a>0，利用导数研究函数的单调性；(Ⅱ)lnx−ax<0在(0,+∞)上恒成立⇔a>(lnxx )max，x∈(0,+∞)，令f(x)=lnxx，x∈(0,+∞)，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；(Ⅲ)把要证明的不等式xe x−1⋅x1x−1<e转化为lnx<x−1，构造函数g(x)=lnx−x+1，由导数加以证明．本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，不等式的证明问题注意转化及运用已有结论，考查运算和推理能力，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，∵A为线段MN的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=1，∵{x122+y12=1 x222+y22=1，两式相减可得12(x 1+x 2)(x 1−x 2)+(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0， 即(x 1−x 2)+(y 1−y 2)=0，∴k MN =y 1−y 2x 1−x 2=−1；(Ⅱ)联立{y =2x +t x 22+y 2=1， 消去y 得，9x 2+8tx +2(t 2−1)=0，由△=(8t)2−4×9×2(t 2−1)>0，可得0<t 2<9，设P(x 3,y 3)，Q(x 4,y 4)，∴x 3+x 4=−8t 9，x 3x 4=2t 2−29，∴|PQ|=√1+22⋅√(x 3+x 4)2−4x 3x 4=√5⋅√64t 281−8(t 2−1)9=2√109⋅√9−t 2，又点B 到直线l 2的距离d =|2−2+t|√5=|t|√5， ∴△BPQ 的面积S =12×|PQ|×d =12×2√109⋅√9−t 2×|t|√5 =√29⋅√(9−t 2)t 2≤√29⋅9−t 2+t 22=√22， 当且仅当9−t 2=t 2，即t =±3√22时取等号，此时满足Δ>0，故△BPQ 面积的最大值为√22．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系，以及圆锥曲线中的面积和最值问题，属于较难题． (Ⅰ)根据点差法即可求出直线MN 的斜率；(Ⅱ)联立{y =2x +t x 22+y 2=1，利用韦达定理及基本不等式，即可求出△BPQ 面积的最大值． 22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα,(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4，即x 2+y 2=4y ，，∴曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ；(2)曲线M 的极坐标方程为ρ2sin2θ=32(0<θ<π2).，将θ=β代入得，∵曲线C的极坐标方程ρ=4sinθ，∴将θ=β代入得，，，则l的直角坐标方程y=2x．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用三角函数关系式的恒等变换，得时解题关键．23.答案：证明：方法1：(分析法)证明原不等式成立，即证(x2+y2)3>(x3+y3)2，即证x6+y6+3x2y2(x2+y2)>x6+y6+2x3y3，即证3x2y2(x2+y2)>2x3y3，因为x>0，y>0，xy．所以只需证x2+y2>23又因为x>0，y>0，xy．所以x2+y2≥2xy>23所以(x2+y2)12>(x3+y3)13．方法2：(综合法)因为x>0，y>0，所以(x2+y2)3=x6+y6+3x2y2(x2+y2)≥x6+y6+6x3y3>x6+y6+2x3y3=(x3+y3)2，所以(x2+y2)12>(x3+y3)13．解析：本题考查了不等式的证明，属于基础题．方法1：分析法：要证明原不等式成立，即证(x2+y2)3>(x3+y3)2，即证x6+y6+3x2y2(x2+xy. y2)>x6+y6+2x3y3，即证3x2y2(x2+y2)>2x3y3，因为x>0，y>0，所以只需证x2+y2>23即可利用基本不等式进行证明；方法2：综合法：因为x>0，y>0，所以(x2+y2)3=x6+y6+3x2y2(x2+y2)，利用基本不等式和完全平方公式进行证明．。
2020年安徽省合肥市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则M不可能为A. B. C. D.3.已知，，，则A. B. C. D.4.2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：“兴国之路”不是我制作的．若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是A. 小明B. 小红C. 小金D. 小金或小明5.函数在上的图象大致为A. B.C. D.6.为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加A、B、C三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有A. 24B. 36C. 48D. 647.已知向量，，若，则与夹角的余弦值为A. B. C. D.8.框图与程序是解决数学问题的重要手段．实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决．例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入，，，，，，，则图中空白框中应填入A. ，B. ，C. ，D. ，9.记等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则A. B. C. D.10.己知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点，在椭圆C上，其中，，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为A. B. C. D.11.关于函数，有下述三个结论：函数的一个周期为；函数在上单调递增；函数的值域为其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.12.已知四棱锥中，四边形ABCD为等腰梯形，，，是等边三角形，且，若点P在四棱锥的外接球面上运动，记点P到平面ABCD的距离为d，若平面平面ABCD，则d的最大值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______．14.设为数列的前n项和，若，则______．15.由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的平均数为m，中位数为n，则______．16.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l是双曲线C过第一、三象限的渐近线，记直线l的倾斜角为，直线：，，垂足为M，若M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，设．求tan A的值；若，且，求a的值．18.如图所示，在三棱柱中，为等边三角形，，，平面，D是线段上靠近的三等分点．求证：；求直线OD与平面所成角的正弦值．19.记抛物线C：的焦点为F，点D，E在抛物线C上，且直线DE的斜率为1，当直线DE过点F时，．求抛物线C的方程；若，直线DO与EG交于点H，，求直线HI的斜率．20.已知函数．当时，求证：；若函数，求证：函数存在极小值．21.为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在A市与B市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为2m，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为．现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如表所示：A市居民B市居民喜欢杨树300200喜欢木棉树250250是否有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有X个路口种植杨树，求X的分布列以及数学期望；在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为M，求证：．附：k22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；若直线l：与曲线、曲线在第一象限交于P，Q两点，且，点M 的坐标为，求的面积．23.已知，，．求证：；若，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，，依题意，，故故选：C．先分别求出集合M，N，由此能求出．本题考查一元二次不等式的解法、集合的运算，考查运算求解能力以及化归与转化思想．2.答案：C解析：解：设，由，得．．只有选项C对应的点代入方程不成立．故选：C．设，代入，求出其轨迹，再把选项代入检验即可．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：B解析：解：依题意，，所以，故选：B．本题考查指数函数的性质，对数函数的性质，比较大小，属于基础题．利用指数函数和对数函数的性质，即可求解．4.答案：B解析：解：假若”鸿福齐天”是小明做的，则小明说法正确，假设“国富民强”是小红做的，则小红说法也正确，故不合题意；假设“国富民强”小金做的，则小金说法也正确，故不合题意假若”鸿福齐天”是小红做的，则小明的说法错误，若小明做的“国富民强”，小金做的“兴国之路”，则小红说法正确，小金说法错误，故合题意；若小明做的“兴国之路”，小金做的“国富民强”，则小红说法错误，小金说法正确，故合题意；假若”鸿福齐天”是小金做的，则小金的说法正确，假若小明做的“国富民强”，小红做的“兴国之路”，则小明说法也错误，小红说法也正确，故不合题意；假若小明做的“兴国之路”，小红做的“国富民强”，则小明说法也错误，小红说法也正确，故不合题意；综上所述则“鸿福齐天”的制作者是小红，故选：B．分别假设”鸿福齐天”是三个人的一个人做的，再判断他们的说法是否正确，即可得到结论．本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，考查命题的真假判断及应用，是中档题．5.答案：A解析：解：根据题意，函数，则有，故函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除C；而，排除B，，排除D．故选：A．根据题意，分析可得为偶函数，其图象关于y轴对称，排除C，再利用特殊值分析、的值，排除B、D，由排除法分析可得答案．本题考查函数图象的分析，注意分析函数的奇偶性以及特殊值，属于基础题．6.答案：B解析：解：根据题意，分2步进行分析：先将5人分成3组，要求甲乙在同一组，若甲乙两人一组，将其他三人分成2组即可，有种分组方法，若甲乙两人与另外一人在同一组，有种分组方法，则有种分组方法；将分好的三组全排列，对应A、B、C三个贫困县，有种情况，则有种不同的派遣方案．故选：B．根据题意，分2步进行分析：先将5人分成3组，要求甲乙在同一组，将分好的三组全排列，对应A、B、C三个贫困县，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．7.答案：B解析：解：向量，，若，依题意，，而，即，解得，则．故选：B．利用向量坐标运算法则求出，再由向量垂直求出，由此能求出与夹角的余弦值．本题考查向量夹角的余弦值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算能力，是基础题．8.答案：A解析：解：程序框图是为了计算7个数的方差，即输出的，观察可知．故选：A．由题意知该程序的作用是求样本，，，的方差，模拟程序的运行，即可得解．本题考查方差的求法，以及程序的运行结果，考查运算能力，属于基础题．9.答案：D解析：解：由题，等差数列的公差为d，前n项和为，设该数列首项为，，解得选项A和选项B错误；，所以选项C错误；，所以选项D正确．故选：D．直接由题意列式，求得首项和公差，再依次判断选项正确与否即可．本题考查了等差数列的通项公式和前n项和，是基础题．10.答案：C解析：解：设，，由，，知，因为P，Q在椭圆C上，，所以四边形为矩形，；由，可得，由椭圆的定义可得，，平方相减可得，由得；令，令所以即，所以，所以，所以，解得；故选：C．设，，由，可得四边形为矩形，可得，再由，转化m，n的关系，由题意的定义可得a，c与m，n的关系，可得设参数t，注意t的范围，进而可得离心率的范围．考查椭圆的性质，椭圆上的点到左右焦点的距离之和为2a，再由矩形可得到焦点的距离的平方和为，换元注意辅助元的范围及题意可得a，c的关系，属于中档题．11.答案：C解析：解：因为，故错误；当时，，故，可知函数在上单调递增，故正确；函数的值域等价于函数的值域，易知故当时，，故正确．综上所述，正确；故选：C．利用函数的周期性的定义判断；利用函数的单调性判断；求解函数的值域判断，即可得到结果．本题考查三角函数的性质，考查推理论证能力以及分类讨论思想．12.答案：A解析：解：依题意，，取BC的中点E，则E是等腰梯形ABCD外接圆的圆心，F是的外心，作平面ABCD，平面SAB，则O是人锥的外接球的球心，且，，设四棱锥的外接球半径为R，则，则，当四棱锥的体积最大时，．故选：A．依题意，，取BC的中点E，作平面ABCD，平面SAB，则O是人锥的外接球的球心，且，，设四棱锥的外接球半径为R ，则，，由此当四棱锥的体积最大时，能求出当d的最大值．本题考查点到平面的距离最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．13.答案：解析：解：依题意，，，则，解得．故答案为：．先求出的导数，然后利用切点处的导数值等于切线的斜率列方程，解出m即可．本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力以及转化思想．14.答案：解析：解：当时，，即；当时，，，两式相减可得，即，即，故数列是以为首项，为公比的等比数列，故．利用公式，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求出．本题考查数列的前n项和与通项公式的关系，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．15.答案：360解析：解：第一块小矩形的面积，第二块小矩形的面积，故，而，故．第一块小矩形的面积，第二块小矩形的面积，求出n，再由频率分布直方图求出平均数m，由此能求出．本题考查频率分布直方图、样本的数字特征，考查运算求解能力以及数形结合思想．16.答案：解析：解：如图，设，，则，即，与联立，解得，，则，故，设M的坐标为，则，．即，代入双曲线的方程可得，解得．故答案为：．由题意画出图形，求解三角形把M的坐标用含有a，b，c的代数式表示，代入双曲线方程整理，即可求得双曲线C的离心率．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．17.答案：解：由正弦定理，得，即，得，而，又，解得，故．因为，则，因为，故，故，解得，故，则．解析：由正弦定理可得，再利用余弦定理可求出cos A，再求出sin A，从而求出tan A的值；对已知式子应用正弦定理角化边，结合三角形面积公式，求得，，再利用余弦定理即可求出a的值．本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．18.答案：证明：，，得四边形为菱形，而平面，故．，，≌，故A，即四边形为正方形，故AB；解：依题意，，．在正方形中，，故以O为原点，，OA，OC所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的平面直角坐标系．不妨设，则0，，，，，，又，．，．设平面的法向量为，由，令，则，，于是；又，设直线OD与平面所成角为，则，直线OD与平面所成角的正弦值为．解析：由，得，得四边形为菱形，再由平面，证得，即四边形为正方形，可得；以O为原点，，OA，OC所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，分别求出平面的一个法向量与的纵坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线OD与平面所成角的正弦值．本题考查空间线面的位置关系、线面成角，考查空间想象能力以及数形结合思想，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.答案：解：由抛物线的方程可得焦点，准线方程为，由题意可得直线DE的方程为：，设，，直线与抛物线联立，整理可得，所以，，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，所以，由题意可得，解得，所以抛物线的方程为：；由可得G在抛物线上，设直线DE的方程为，设，，由，可得I为DE的中点，联立直线DE与抛物线的方程：，整理可得，，，所以I的纵坐标为1，直线OD的方程为，即，所以直线GE的方程为：，即，由可得，即H的纵坐标，及直线轴所以直线HI的斜率为0．解析：由题意可得直线DE的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出弦长，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离可得p的值，进而求出抛物线的方程；设D，E的坐标，由，可得I是DE的中点，将直线DE的方程代入抛物线的方程，可得两根之和，可得I的纵坐标，求出直线OD，EG的方程，两个方程联立求出交点H的坐标，可得直线HI的斜率．本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的方程，属于中档题．20.答案：证明：依题意，，因为，且，故，故函数在上单调递减，故．依题意，，，令，则；而，可知当时，，故函数在上单调递增，故当时，；当时，函数单调递增，而，又，故，使得，故，使得，即函数单调递增，即单调递增；故当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，函数有极小值．解析：求导可知，由此函数在上单调递减，进而得证；，求导，再令，可知导函数在上单调递增，且，使得，进而得到函数在上单调递减，在上单调递增，由此求得函数的极小值．本题考查利用导数研究函数的性质，考查推理论证能力以及函数与方程思想，属于中档题．21.答案：解：本次实验中，，故没有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性．依题意，X的可能取值为0，1，2，3，4，故，，，X01234P故．证明：，要证，即证；首先证明：对任意m，，，有．证明：因为，所以．设2m个路口中有个路口种植杨树，当1，时，，因为，所以，于是．当时，，同上可得．当时，，设，当时，，显然，当即时，，当即时，，即；，因此，即．综上，，即．解析：求出k，即可判断是否有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性．判断X的可能取值为0，1，2，3，4，求出概率，得到分布列，然后求解期望利用分析法，要证，即证；对任意m，，，有推出设2m个路口中有个路口种植杨树，当1，时，当时，当时，转化求解推出结果即可．本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列以及期望、排列组合，考查运算求解能力以及必然与或然思想．是难题．22.答案：解：依题意，曲线即，故，即因为，故，即，即．将，代入，得，将，代入，得，由，得即，解得则，又，故，．故的面积．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．利用三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：证明：，，．，．，，，，又，，，当且仅当时，等号成立，．解析：根据可知，从而证明成立；根据条件可知，然后利用基本不等式可进一步得到．本题考查了利用作差法和综合法证明不等式，基本不等式，考查了转化思想，属中档题．。
2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{x|x2−x−2<0}，B＝{x|2x−1>0}，则A∪B＝（）A.(−1, +∞)B.(12,1) C.(12,2) D.(12,+∞)2.设复数z满足|z−1|＝|z−i|（i为虚数单位），z在复平面内对应的点为(x, y)，则（）A.y＝−xB.y＝xC.(x−1)2+(y−1)2＝1D.(x+1)2+(y+1)2＝13.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2013年以来，“一带一路”建设成果显著．如图是2013−2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是（）A.这五年，2013年出口额最少B.这五年，2013年出口总额比进口总额少C.这五年，出口增速前四年逐年增加D.这五年，2017年进口增速最快4.下列不等关系，正确的是（）A.log23<log34<log45B.log23>log45>log34C.log23<log45<log34D.log23>log34>log455.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝−3，2a4+3a7＝9，则S7的值等于（）A.21B.1C.−42D.06.若执行图的程序框图，则输出i的值为（）A.2B.3C.4D.5 7.函数y =2x −2−x |x|−cosx 的图象大致为（ ）A. B.C. D.8.若函数f(x)＝sin2x 的图象向右平移11π6个单位得到的图象对应的函数为g(x)，则下列说法正确的是（ ）A.g(x)的图象关于x =−π12对称B.g(x)在[0, π]上有2个零点C.g(x)在区间(π3,5π6)上单调递减 D.g(x)在[−π2,0]上的值域为[−√32,0] 9.已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，圆F 2与双曲线C 的渐近线相切，M 是圆F 2与双曲线C 的一个交点．若F 1M →⋅F 2M →=0，则双曲线C 的离心率等于（ ）A.√5B.2C.√3D.√210.射线测厚技术原理公式为I =I 0e −ρμt ，其中I 0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001）\A.0.110B.0.112C.0.114D.0.11611.已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，过对角线BD 1作平面α交棱AA 1于点E ，交棱CC 1于点F ，则： ①平面α分正方体所得两部分的体积相等；②四边形BFD 1E 一定是平行四边形；③平面α与平面DBB 1不可能垂直；④四边形BFD 1E 的面积有最大值．其中所有正确结论的序号为（ ）A.①④B.②③C.①②④D.①②③④12.已知函数f(x)={−e −x ,x ≤0xe x −x −1−lnx,x >0，则函数F(x)＝f （f(x)）−ef(x)的零点个数为（ ）（e 是自然对数的底数）．A.6B.5C.4D.3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.已知向量a →=(1, 1)，b →=(m,−2)，且a → // (a →+2b →)，则m 的值等于________．14.直线l 经过抛物线C:y 2＝12x 的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于_______．15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有________种．16.已知三棱锥A −BCD 的棱长均为6，其内有n 个小球，球O 1与三棱锥A −BCD 的四个面都相切，球O 2与三棱锥A −BCD 的三个面和球O 1都相切，如此类推，…，球O n 与三棱锥A −BCD 的三个面和球O n−1都相切(n≥2，且n∈N∗)，则球O1的体积等于________，球O n的表面积等于________．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，acosC+ccosA+√2bcosB=0．(1)求B；(2)若BC边的中线AM长为√5，求△ABC的面积．18.“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数404020该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）：（1）若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；（2）设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．19.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC．（1）证明：A1C⊥AB1；（2）设AC＝2CB，∠A1AC＝60∘，求二面角C1−AB1−B的余弦值．20.设椭圆C:x 2a +y2b=1(a>b>0)的左右顶点为A1，A2，上下顶点为B1，B2，菱形A1B1A2B2的内切圆C′的半径为√2，椭圆的离心率为√22．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P满足|PM|＝|PN|，试判断直线PM，PN 与圆C′的位置关系，并证明你的结论．21.已知函数f(x)=1−x 2e x（e为自然对数的底数）．（1）求函数f(x)的零点x0，以及曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程；（2）设方程f(x)＝m(m>0)有两个实数根x1，x2，求证：|x1−x2|<2−m(1+12e)．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程21.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3−√22t，y=1+√22t（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ=4cosθ+6sinθ．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C与直线l交于点M，N，点A的坐标为(3, 1)，求|AM|+|AN|．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲22.已知函数f(x)＝|x−m|−|x+2|(m∈R)，不等式f(x−2)≥0的解集为(−∞, 4]．（1）求m的值；（2）若a>0，b>0，c>3，且a+2b+c＝2m，求(a+1)(b+1)(c−3)的最大值．2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{x|x2−x−2<0}，B＝{x|2x−1>0}，则A∪B＝（）A.(−1, +∞)B.(12,1) C.(12,2) D.(12,+∞)【解答】∵A={x|−1<x<2},B={x|x>12}，∴A∪B＝(−1, +∞)．2.设复数z满足|z−1|＝|z−i|（i为虚数单位），z在复平面内对应的点为(x, y)，则（）A.y＝−xB.y＝xC.(x−1)2+(y−1)2＝1D.(x+1)2+(y+1)2＝1【解答】由z在复平面内对应的点为(x, y)，且|z−1|＝|z−i|，得|x−1+yi|＝|x+(y−1)i|，∴√(x2+y2=√x2+(y−1)2，整理得：y＝x．3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2013年以来，“一带一路”建设成果显著．如图是2013−2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是（）A.这五年，2013年出口额最少B.这五年，2013年出口总额比进口总额少C.这五年，出口增速前四年逐年增加D.这五年，2017年进口增速最快【解答】对于A，2013出口额最少，故A对；对于B，2013年出口额少于进口额，故B对；对于C，2013−2014出口速率在增加，故C错；对于D，根据蓝色线斜率可知，2017年进口速度最快，故D对．4.下列不等关系，正确的是（）A.log23<log34<log45B.log23>log45>log34C.log23<log45<log34D.log23>log34>log45【解答】∵log23−log34=lg3lg2−lg4lg3=lg23−lg2lg4lg2lg3>lg23−(lg2+lg42)2lg2lg3>lg23−(12lg9)2lg2lg3=0，∴log23>log34，同理log34>log45，∴log23>log34>log45．5.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝−3，2a4+3a7＝9，则S7的值等于（）A.21B.1C.−42D.0【解答】等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝−3，2a4+3a7＝9，∴2(−3+3d)+3(−3+6d)＝9，解得d＝1，∴S7＝7×(−3)+7×62d=0．6.若执行图的程序框图，则输出i的值为（）A.2B.3C.4D.5【解答】 模拟程序的运行，可得x ＝4，y ＝1，i ＝0x ＝8，y ＝1+1＝2满足条件x >y ，执行循环体，i ＝1，x ＝16，y ＝2+4＝6满足条件x >y ，执行循环体，i ＝2，x ＝32，y ＝6+16＝22满足条件x >y ，执行循环体，i ＝3，x ＝64，y ＝22+64＝86此时，不满足条件x >y ，退出循环，输出i 的值为3．7.函数y =2x −2−x |x|−cosx 的图象大致为（ ） A. B.C.D.【解答】 f(−x)=2−x −2x |−x|−cos(−x)=−2x −2−x |x|−cosx =−f(x)，即函数f(x)在定义域上为奇函数，故排除D ；又f(0)=0,f(1)=2−2−11−cos1>0，故排除B 、C ．8.若函数f(x)＝sin2x 的图象向右平移11π6个单位得到的图象对应的函数为g(x)，则下列说法正确的是（ ）A.g(x)的图象关于x =−π12对称B.g(x)在[0, π]上有2个零点C.g(x)在区间(π3,5π6)上单调递减D.g(x)在[−π2,0]上的值域为[−√32,0] 【解答】 函数f(x)＝sin2x 的图象向右平移11π6个单位得到的图象对应的函数为g(x)＝sin[2(x −11π6)]＝sin(2x −11π3)＝sin(2x +π3)，所以对于选项A ：当x =−π12时，g(x)≠±1，故A 错误．对于选项B ：当2x +π3=kπ(k ∈Z)，整理得x =kπ2−π6，(k ∈Z)，当k ＝1时，x =π3，当k ＝2时，x =5π6时，函数g(x)＝0，故选项B 正确．对于选项C:x ∈(π3,5π6)，所以2x +π3∈(π,2π)，故函数在该区间内有增有减，故错误． 对于选项D:x ∈[−π2,0]，所以2x +π3∈[−2π3,π3]，所以函数g(x)的值域为[−1, √32]，故错误． 故选：B ．9.已知双曲线C:x 2a −y 2b =1(a >0, b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，圆F 2与双曲线C 的渐近线相切，M 是圆F 2与双曲线C 的一个交点．若F 1M →⋅F 2M →=0，则双曲线C 的离心率等于（ ）A.√5B.2C.√3D.√2 【解答】双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左右焦点分别为F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，渐近线方程为bx −ay ＝0，bx +ay ＝0，可得F 2与双曲线C 的渐近线的距离为d =√22=b ， 可得圆F 2的方程为(x −c)2+y 2＝b 2，①若F 1M →⋅F 2M →=0，即有M(x, y)的方程为x 2+y 2＝c 2，②联立方程①②可得x =2c 2−b 22c，y 2=4b 2c 2−b 44c ， 代入双曲线的方程即为b 2⋅4c 4−4b 2c 2+b 44c a 2⋅4b 2c 2−b 44c =a 2b 2， 化简可得b 2＝4a 2，则e =c a =√1+b 2a =√5，10.射线测厚技术原理公式为I =I 0e −ρμt ，其中I 0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001）A.0.110B.0.112C.0.114D.0.116【解答】由题意可得，12=1×e−7.6×0.8μ，∴−ln2＝−7.6×0.8μ，即6.08μ≈0.6931，则μ≈0.114．∴这种射线的吸收系数为0.114．11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，过对角线BD1作平面α交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，则：①平面α分正方体所得两部分的体积相等；②四边形BFD1E一定是平行四边形；③平面α与平面DBB1不可能垂直；④四边形BFD1E的面积有最大值．其中所有正确结论的序号为（）A.①④B.②③C.①②④D.①②③④【解答】如图则：对于①：由正方体的对称性可知，平面α分正方体所得两部分的体积相等，故①正确；对于②：因为平面ABB1A1 // CC1D1D，平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BF，平面BFD1E∩平面CC1D1D ＝D1E，∴BF // D1E，同理可证：D1F // BE，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故②正确；对于③：当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB1D，又因为EF⊂平面BFD1E，所以平面BFD′E⊥平面BB′D，故③不正确；对于④：当F与A重合，当E与C1重合时，BFD1E的面积有最大值，故④正确．正确的是①②④，12.已知函数f(x)={−e−x,x≤0xe x−x−1−lnx,x>0，则函数F(x)＝f（f(x)）−ef(x)的零点个数为（）（e是自然对数的底数）．A.6B.5C.4D.3【解答】f2′(x)=e x+xe x−1−1x =(x+1)(e x−1x)，设g(x)=e x−1x(x>0)，由当x→0+时，g(x)→−∞，g(1)＝e−1>0，且函数g(x)在(0, +∞)上单增，故函数g(x)存在唯一零点x0∈(0, 1)，使得g(x0)＝0，即e x0−1x0=0，则x0e x0=1,lnx0+x0=0，故当x ∈(0, x 0)时，g(x)<0，f 2′(x)<0，f 2(x)单减；当x ∈(x 0, +∞)时，g(x)>0，f 2′(x)>0，f 2(x)单增，故f 2(x)min =f 2(x 0)=x 0e x 0−x 0−1−lnx 0=0，故f 2(x)≥0(1)令t ＝f(x)，F(t)＝f(t)−et ＝0， 当t ≤0时，−e −t −et ＝0，解得t ＝−1，此时易知f(x)＝t ＝−1有一个解（2）当t >0时，te t −t −1−lnt −et ＝0，即te t −t −1−lnt ＝et ，作函数f 2(t)与函数y ＝et 如下图所示，由图可知，函数f 2(t)与函数y ＝et 有两个交点，设这两个交点为t 1，t 2，且t 1>0，t 2>0， 而由图观察易知，f(x)＝t 1，f(x)＝t 2均有两个交点，故此时共有四个解（3）综上，函数F(x)＝f （f(x)）−ef(x)的零点个数为5． 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13.已知向量a →=(1, 1)，b →=(m,−2)，且a → // (a →+2b →)，则m 的值等于________． 【解答】根据题意，向量a →=(1, 1)，b →=(m,−2)， 则a →+2b →=(1+2m, −3)，若a → // (a →+2b →)，则有1+2m ＝−3，解可得：m ＝−2；14.直线l 经过抛物线C:y 2＝12x 的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于________π3或2π3． 【解答】直线l 经过抛物线C:y 2＝12x 的焦点F(3, 0)，斜率为k ，直线方程为：y ＝k(x −3)， 且与抛物线C 交于A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)两点，可得k 2(x −3)2＝12x ， 即k 2x 2−(6k 2+12)x +9k 2＝0，可得x 1+x 2=6k 2+12k ，弦AB 的长为16，6k 2+12k +6＝16，解得k ＝±√3．所以，直线的倾斜角为：π3或2π3．15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有________种． 【解答】根据题意，分2步进行分析：①，在4个视频中任选2个进行学习，有C 42＝6种情况，②，将选出的2个视频与2篇文章依次进行学习，有A 44＝24种情况，其中2篇文章学习顺序相邻的情况有A 22A 33＝12种情况，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有6×12＝72种；16.已知三棱锥A −BCD 的棱长均为6，其内有n 个小球，球O 1与三棱锥A −BCD 的四个面都相切，球O 2与三棱锥A −BCD 的三个面和球O 1都相切，如此类推，…，球O n 与三棱锥A −BCD 的三个面和球O n−1都相切(n ≥2，且n ∈N ∗)，则球O 1的体积等于________√6π，球O n 的表面积等于________6π4． 【解答】如图，设球O 1半径为r 1，…，球O n 的半径为r n ，E 为CD 中点，球O 1与平面ACD 、BCD 切于F 、G ，球O 2与平面ACD 切于H ，作截面ABE ，设正四面体A −BCD 的棱长为a 1√36a=√63a−r √32a ，解得r 1=√612a ， √63a−2r −r √63a−r 1=r2r 1，解得r 2=√624a ， 把a ＝6代入的r 1=√62，r 2=√64， 由平面几何知识可得数列{r n }是以r 1=√62为首项，公比为12的等比数列， 所以r n =√62(12)n−1，故球O 1的体积=43πr 13=43π(√62)3=√6π；球O n 的表面积＝4πr n 2＝4π×[√62(12)n−1]2=6π4，三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2，acosC +ccosA +√2bcosB =0． (1)求B ；(2)若BC边的中线AM长为√5，求△ABC的面积．【解答】解：(1)在△ABC中，asinA =bsinB=csinC，且acosC+ccosA+√2bcosB=0，∴sinAcosC+sinCcosA+√2sinBcosB=0，∴sinB⋅(1+√2cosB)=0，又∵sinB≠0，∴cosB=−√22．∵B是三角形的内角，∴B=3π4；(2)在△ABM中，BM=1,AM=√5,B=3π4,AB=c，由余弦定理得AM2=c2+(BM)2−2c⋅BM⋅cosB，∴c2+√2c−4=0，∵c>0，∴c=√2．在△ABC中，a=2，c=√2，B=3π4，∴△ABC的面积S=12acsinB=1．18.“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）：（1）若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；（2）设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．【解答】依题意，学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15， ∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：P =C 32(25)2(15)+C 32(15)2(25)=18125．X 可能取值为0，1，2，3．则P(X =0)=C 30(35)3=27125， P(X =1)=C 31(25)(35)2=54125， P(X =2)=C 32(25)2(35)=36125， P(X =3)=C 33(25)3=8125，∴X 的分布列为：∴EX =0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65． 或∵随机变量X 服从XB(3,25)，∴EX =np =3×25=65．19.如图，已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，AA 1＝AC ，AC ⊥BC ．（1）证明：A 1C ⊥AB 1；（2）设AC ＝2CB ，∠A 1AC ＝60∘，求二面角C 1−AB 1−B 的余弦值． 【解答】 证明：连结AC 1．∵AA 1＝AC ，四边形AA 1C 1C 为菱形，∴A 1C ⊥AC 1．∵平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ，BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面AA 1C 1C ．又∵BC // B 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，∴B 1C 1⊥A 1C ． ∵AC 1∩B 1C 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，而AB 1⊂平面AB 1C 1， ∴A 1C ⊥AB 1．取A 1C 1的中点为M ，连结CM ．∵AA 1＝AC ，四边形AA 1C 1C 为菱形，∠A 1AC ＝60∘，∴CM ⊥A 1C 1，CM ⊥AC ． 又∵CM ⊥BC ，以C 为原点，CA ，CB ，CM 为正方向建立空间直角坐标系，如图． 设CB ＝1，AC ＝2CB ＝2，AA 1＝AC ，∠A 1AC ＝60∘，∴C(0, 0, 0)，A 1(1, 0, √3)，A(2, 0, 0)，B(0, 1, 0)，B 1(−1, 1, √3)． 由（1）知，平面C 1AB 1的一个法向量为CA 1→=(1,0,√3)．设平面ABB 1的法向量为n →=(x,y,z)，则n →⋅AB →=0并且n →⋅AB 1→=0， ∴{−2x +y =0−3x +y +√3z =0．令x ＝1，得y =2,z =√3，即n →=(1,2,√3)．∴cos <CA 1→,n →>=CA 1→⋅n→|CA 1→||n →|=2×√163=√34， ∴二面角C 1−AB 1−B 的余弦值为：−√34．20.设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点为A 1，A 2，上下顶点为B 1，B 2，菱形A 1B 1A 2B 2的内切圆C ′的半径为√2，椭圆的离心率为√22． （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P 满足|PM|＝|PN|，试判断直线PM ，PN 与圆C ′的位置关系，并证明你的结论． 【解答】设椭圆的半焦距为c ．由椭圆的离心率为√22知，b =c,a =√2b ． 设圆C ′的半径为r ，则r ⋅√a 2+b 2=ab ， ∴√2⋅√3b =√2b 2，解得b =√3，∴a =√6， ∴椭圆C 的方程为x 26+y 23=1．∵M ，N 关于原点对称，|PM|＝|PN|，∴OP ⊥MN ． 设M(x 1, y 1)，P(x 2, y 2)．当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y ＝kx +m ．由直线和椭圆方程联立得x 2+2(kx +m)2＝6，即(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6＝0， ∴{x 1+x 2=−4km2k 2+1x 1x 2=2m 2−62k 2+1． ∵OM →=(x 1, y 1)，OP →=(x 2, y 2)，∴OM →⋅OP →=x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=(1+k 2)⋅2m 2−62k 2+1+km ⋅−4km2k 2+1+m 2 =3(m 2−2k 2−2)2k 2+1=0，∴m 2−2k 2−2＝0，m 2＝2k 2+2， ∴圆C ′的圆心O 到直线PM 的距离为√k 2+1=√2=r ，∴直线PM 与圆C ′相切．当直线PM 的斜率不存在时，依题意得N(−x 1, −y 1)，P(x 1, −y 1)．由|PM|＝|PN|得|2x 1|＝|2y 1|，∴x 12=y 12，结合x 126+y 123=1得x 12=2，∴直线PM 到原点O 的距离都是√2， ∴直线PM 与圆C ′也相切． 同理可得，直线PN 与圆C ′也相切． ∴直线PM 、PN 与圆C ′相切．21.已知函数f(x)=1−x 2e x（e 为自然对数的底数）．（1）求函数f(x)的零点x0，以及曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程；（2）设方程f(x)＝m(m>0)有两个实数根x1，x2，求证：|x1−x2|<2−m(1+12e)．【解答】由f(x)=1−x 2e x=0，得x＝±1，∴函数的零点x0＝±1，f′(x)=x2−2x−1e x，f′(−1)＝2e，f(−1)＝0．曲线y＝f(x)在x＝−1处的切线方程为y＝2e(x+1)，f′(1)=−2e，f(1)＝0，∴曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y=−2e(x−1)；证明：f′(x)=x2−2x−1e x，当x∈(−∞,1−√2)∪(1+√2,+∞)时，f′(x)>0；当x∈(1−√2,1+√2)时，f′(x)<0．∴f(x)的单调递增区间为(−∞,1−√2),(1+√2,+∞)，单调递减区间为(1−√2,1+√2)．由（1）知，当x<−1或x>1时，f(x)<0；当−1<x<1时，f(x)>0．下面证明：当x∈(−1, 1)时，2e(x+1)>f(x)．当x∈(−1, 1)时，2e(x+1)>f(x)⇔2e(x+1)+x 2−1e x>0⇔e x+1+x−12>0．易知，g(x)=e x+1+x−12在x∈[−1, 1]上单调递增，而g(−1)＝0，∴g(x)>g(−1)＝0对∀x∈(−1, 1)恒成立，∴当x∈(−1, 1)时，2e(x+1)>f(x)．由{y=2e(x+1)y=m得x=m2e−1．记x′1=m2e−1．不妨设x1<x2，则−1<x1<1−√2<x2<1，∴|x1−x2|<|x′1−x2|=x2−x′1=x2−(m2e−1)．要证|x1−x2|<2−m(1+12e )，只要证x2−(m2e−1)≤2−m(1+12e)，即证x2≤1−m．又∵m=1−x22e x2，∴只要证x2≤1−1−x22e x2，即(x2−1)⋅(e x2−(x2+1))≤0．∵x2∈(1−√2,1)，即证e x2−(x2+1)≥0．令φ(x)＝e x−(x+1)，φ′(x)＝e x−1．当x∈(1−√2,0)时，φ′(x)<0，φ(x)为单调递减函数；当x∈(0, 1)时，φ′(x)>0，φ(x)为单调递增函数．∴φ(x)≥φ(0)＝0，∴e x2−(x2+1)≥0，∴|x1−x2|<2−m(1+12e)．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3−√22t，y=1+√22t（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ=4cosθ+6sinθ．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C与直线l交于点M，N，点A的坐标为(3, 1)，求|AM|+|AN|．【解答】解：(1)曲线C的方程ρ=4cosθ+6sinθ，∴ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ，∴x2+y2=4x+6y，即曲线C的直角坐标方程为：(x−2)2+(y−3)2=13．(2)把直线l:{x=3−√22t，y=1+√22t代入曲线C得(1−√22t)2+(−2+√22)t2=13，整理得，t2−3√2t−8=0．∵Δ=(−3√2)2+32>0，设t1，t2为方程的两个实数根，则t1+t2=3√2，t1t2=−8，∴t1，t2为异号，又∵点A(3, 1)在直线l上，∴|AM|+|AN|=|t1|+|t2|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=√50=5√2．（本小题满分0分）选修4-5：不等式选讲23.已知函数f(x)＝|x−m|−|x+2|(m∈R)，不等式f(x−2)≥0的解集为(−∞, 4]．（1）求m的值；（2）若a>0，b>0，c>3，且a+2b+c＝2m，求(a+1)(b+1)(c−3)的最大值．【解答】∵f(x)＝|x−m|−|x+2|，∴f(x−2)＝|x−m−2|−|x|≥0的解集为(−∞, 4]，∴|x−m−2|≥|x|，解得m+2＝8，即m＝6．∵m＝6，∴a+2b+c＝12．又∵a>0，b>0，c>3，∴(a+1)(b+1)(c−3)=(a+1)(2b+2)(c−3)2≤12[(a+1)+(2b+2)+(c−3)3]3=12(a+2b+c3)3=12(123)3=32，当且仅当a+1＝2b+2＝c−3，结合a+2b+c＝12解得a＝3，b＝1，c＝7时，等号成立，∴(a+1)(b+1)(c−3)的最大值为32．。
2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科数学试卷（6月）-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第1题5分2019~2020学年3月天津河西区天津市实验中学高三下学期周测C卷第1题5分2020~2021学年12月广东深圳宝安区深圳市第七高级中学高三上学期月考第1题5分记全集U=R，集合A={x|x2⩾16}，集合B={x|2x⩾2}，则(∁U A)∩B=（）．A. [4,+∞)B. (1,4]C. [1,4)D. (1,4)2、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第2题5分若复数z的共轭复数满足(1−i)z=−1+2i，则|z|=（）．A. √22B. √102C. 32D. 123、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第3题5分2018年青海西宁高三二模文科第5题5分2017~2018学年辽宁大连高一下学期期末第7题5分2017年四川绵阳高三二模理科第6题5分2016~2017学年2月湖北荆门月考理科四地七校第8题5分宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n =（ ）．A. 5B. 4C. 3D. 24、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第4题5分 从区间[0,1]内随机抽取2n 个数x 1，x 2，⋯x n ，y 1，⋯，y n 构成n 个数对(x 1,y 1)，⋯，(x n ,y n )，其中两数的平方和不小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为（ ）．A. m nB.4m n C.n−m n D. 4(n−m)n5、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第5题5分已知x ，y 满足不等式组{2x +y −4⩾0x −y −2⩽0y −3=0，则z =y x 的最大值为（ ）．A. 0B. 35C. 53D. 66、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第6题5分 2018~2019学年11月四川成都武侯区成都石室外国语实验学校高三上学期月考理科第8题5分 2018年山西大同高三二模文科第9题5分2018年山西阳泉高三二模文科第9题5分2018年四川德阳高三二模文科第7题5分已知log 2x =log 3y =log 5z <0，则2x 、3y 、5z的大小排序为（ ）． A. 2x <3y <5zB. 3y <2x <5zC. 5z <2x <3yD. 5z <3y <2x7、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第7题5分 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1棱长为1，点M ，N 分别是棱BC ，CC 1的中点，动点P 在正方形BCC 1B 1（包括边界）内运动，且PA 1//面AMN ，则PA 1的长度范围为（ ）．A. [1,√52]B. [3√24,√52] C. [3√24,32] D. [1,32]8、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第8题5分已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率e =2√33，过焦点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为M ，直线MF 交另一条渐近线于N ，则|MF||NF|=（ ）．A. 2B. 12C. √32D. 2√339、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第9题5分 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)，(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则使f(2a +x)+f(−x)=0成立的a 的最小正值为（ ）．A. π6B. π4C. 5π12D. π210、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第10题5分已如数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n −2，若存在两项a n ，a m ，使得a n ⋅a m =64，则1m +2n 最小值为（ ）．A. 12+√23B. 1C. 3+2√2D. 7511、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第11题5分2016年辽宁葫芦岛高三二模理科第12题5分2018年河南洛阳高三二模理科第12题5分已知函数f (x )=e x−1，g (x )=12+lnx 2，若f (a )=g (b )成立，则b −a 的最小值为（ ）． A. ln2−12B. ln2+12C. 1+ln2D. 1−ln212、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第12题5分2020年广东广州高三零模理科第11题5分已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB |=1，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线2y −1=0相切，若存在定点P ，使得当A 运动时，|MA |−|MP |为定值，则点P 的坐标为（ ）．A. (0,14)B. (0,12)C. (0,−14)D. (0,−12)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第13题5分2017~2018学年广东广州荔湾区广东实验中学（高中）高一下学期期末第13题5分2019年北京海淀区高三三模第16题2016~2017学年辽宁沈阳和平区沈阳铁路实验中学高一下学期期中理科第14题5分2016~2017学年北京西城区北京市铁路第二中学高三上学期期中文科第10题5分设向量a→，b→不平行，向量λa→+b→与a→+2b→平行，则实数λ=.14、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第14题5分若圆(x−3)2+(y−4)2=1上存在两点A，B，使得∠APB=60°，P为圆外一动点，则P点到原点距离的最小值为．15、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第15题5分2019~2020学年9月湖北襄阳市襄城区襄阳市第四中学高三上学期月考文科第16题5分如图，在四棱锥P−ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且AB=2√2，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当|AN|+|MN|取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为．16、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第16题5分设数列{a n}的前n项和为S n，若存在实数A，使得对于任意的n∈N∗，都有|S n|<A，则称数列{a n}为“T数列”．则以下{a n}为“T数列”的是．①若{a n}是等差数列，且a1>0，公差d<0；②若{a n}是等比数列，且公比q满足|q|<1；③若a n=n+2n(n+1)2n；④若a1=1，a n+2+(−1)n a n=0．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第17题12分2020~2021学年5月广东广州番禺区广州大学附属中学大学城校区高二下学期月考第17题已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且9c−a=9bcosA．(1) 求cosB．(2) 若角B的平分线与AC交于点D，且BD=1，求1a +1c．18、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第18题12分某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9:30上传手机计步截图，对于步数超过10000的予以奖励，图1为甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图2为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图．(1) 在这一周内任选两天检查，求甲乙两人两天全部获奖的概率．(2) 请根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15000的人数，并估计全体职工在该天的平均步数．(3) 如果当天甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断图2是星期几的频率分布直方图．19、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第19题12分如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AA1=AC，∠ACB=90°．(1) 求证：平面AB1C1⊥平面A1B1C．(2) 若∠A1AC=60°，AC=2CB=2，求四棱锥A−BCC1B1的体积．20、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第20题12分2014年高考真题四川卷文科第20题2018~2019学年9月四川成都锦江区成都七中嘉祥外国语学校高二上学期周测C卷第22题已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为F(−2,0)，离心率为√63．(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 设O为坐标原点，T为直线x=−3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q．当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．21、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第21题12分已知函数f(x)=ln(x+1)+2ax+a(a>1)．(1) f(x)的导函数记作f′(x)，且f′(x)在(−1,+∞)上有两个不等根，求a的取值范围．(2) 若f(x)存在两个极值点，记作x1，x2，求证：f(x1)+f(x2)>4．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第22题10分2019~2020学年10月湖南长沙雨花区雅礼中学高三上学期月考文科第22题10分2018年湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学高三二模理科第22题10分2018~2019学年吉林长春朝阳区长春外国语学校高二下学期期末理科第25题10分2019~2020学年9月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期月考理科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√3+rcosφy=1+rsinφ（r>0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ−π3)=1，若直线l与曲线C相切．(1) 求曲线C的极坐标方程．(2) 在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足∠MON=π6，求面积△MON的最大值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年安徽合肥包河区合肥市第一中学高三下学期高考模拟文科（6月）第23题10分已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)．(1) a=2，b=0，解不等式f(x)>|4−x|．(2) m，n是f(x)的两个零点，若|a|+|b|<1，求证：|m|<1，|n|<1．1 、【答案】 C;2 、【答案】 B;3 、【答案】 B;4 、【答案】 D;5 、【答案】 D;6 、【答案】 A;7 、【答案】 B;8 、【答案】 B;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;11 、【答案】 C;12 、【答案】 C;13 、【答案】12;14 、【答案】3;15 、【答案】64π3;16 、【答案】②③;17 、【答案】 (1) 19．;(2) 2√53．;18 、【答案】 (1) 27．;(2) 80人，13.25千步．;(3) 星期二．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 2√33．;20 、【答案】 (1) x26+y22=1．;(2) 2√3．;21 、【答案】 (1) (1,2)．;(2) 证明见解析．;)．22 、【答案】 (1) 4sin(θ+π3;(2) 2+√3．;23 、【答案】 (1) {x|x<−4或x>1}．;(2) 证明见解析．;。
