【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第8篇 椭圆的定义与标准方程学案 理

第八章圆锥曲线的方程●网络体系总览圆锥曲线椭圆定义双曲线定义抛物线定义标准方程标准方程标准方程几何性质几何性质几何性质作图作图作图第二定义第二定义直线与圆锥曲线的位置关系统一定义●考点目标定位1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质;了解椭圆的参数方程.2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.4.能够根据具体条件利用各种不同的工具画椭圆、双曲线、抛物线的图形;了解它们在实际问题中的初步应用.5.结合所学内容;进一步加强对运动变化和对立统一等观点的认识.●复习方略指南本章主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义;标准方程;简单几何性质.它们作为研究曲线和方程的典型问题;成了解析几何的主要内容;在日常生活、生产实践和科学技术上有着广泛的应用.因此在高考中;圆锥曲线成为命题的热点之一.分析近几年高考试题;有下面几个显著特点：1.注重双基保持稳定圆锥曲线在题型、题量、难度等方面风格独特;每年的试卷中客观题2至3道;主观题1道;分值占全卷的15%左右;“难、中、易”层次分明;既有基础题;又有能力题.2.全面考查重点突出试题中;圆锥曲线的内容几乎全部涉及;考查的知识点约占圆锥曲线总知识点的四分之三;通过知识的重新组合;考查学生系统掌握课程知识的内在联系;重点仍在直线与圆锥曲线的位置关系上.3.考查能力探究创新试题具有一定的综合性;重点考查学生画图、数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理、合理运算以及综合运用知识的能力.在今后的高考中;圆锥曲线仍将考查圆锥曲线的概念和性质、求曲线方程、直线和圆锥曲线的位置关系、解析几何中的定值最值问题.其中直线和圆锥曲线的位置关系仍是命题的热点;解析几何中的定值及最值问题也会有所加强.圆锥曲线内容的“应用性问题”和“探索性问题”将会出现在今后的高考中.学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题.为此建议在学习中做到：1.搞清概念对概念定义应“咬文嚼字”；2.熟悉曲线会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线；3.熟练运用代数、三角、几何、向量的知识；4.处理问题时要在“大处着眼”即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想“小处着手”即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法.8.1 椭圆●知识梳理定义 1.到两个定点F 1、F 2的距离之和等于定长＞|F 1F 2|的点的轨迹 2.到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数e ∈0;1的点的轨迹方程1. 22a x +22b y =1a ＞b ＞0;c =22b a -;焦点是F 1－c ;0;F 2c ;02.22a y +22bx =1a ＞b ＞0;c =22b a -;焦点是F 10;－c ;F 20;c x =a cos θ;y =b sin θ性质E ：22a x +22by =1a ＞b ＞01.范围：|x |≤a ;|y |≤b2.对称性：关于x ;y 轴均对称;关于原点中心对称3.顶点：长轴端点A 1－a ;0;A 2a ;0；短轴端点B 10;－b ;B 20;b4.离心率：e =a c∈0;1 5.准线：l 1：x =－c a 2;l 2：x =ca 26.焦半径：Px ;y ∈Er 1=|PF 1|=a +ex ;r 2=|PF 2|=a －ex思考讨论对于焦点在y 轴上的椭圆22a y +22bx =1a ＞b ＞0;其性质如何 焦半径公式怎样推导●点击双基1.2003年北京宣武区模拟题已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两个焦点;过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点;则△MNF 2的周长为A.8B.16C.25D.32 解析：利用椭圆的定义易知B 正确. 答案：B3.参数方程θ为参数2.2004年湖北;6已知椭圆162x +92y =1的左、右焦点分别为F 1、F 2;点P 在椭圆上;若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点;则点P 到x 轴的距离为A.59 B.3 C.779 D.49解析：由余弦定理判断∠P <90°;只能∠PF 1F 2或∠PF 2F 1为直角.由a =4;b =3得c =7;∴|y P |=49. 答案：Dx =4+5cos ϕ; y =3sin ϕ A.0;0;0;－8 B.0;0;－8;0 C.0;0;0;8 D.0;0;8;0解析：消参数ϕ得椭圆25)4(2-x +92y =1;∴c =4.易得焦点0;0;8;0. 答案：D4.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆;那么实数k 的取值范围是____________. 解析：椭圆方程化为22x +ky 22=1.焦点在y 轴上;则k2>2;即k <1.又k >0;∴0<k <1. 答案：0＜k ＜15.点P 在椭圆252x +92y =1上;它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍;则点P 的横坐标是____________.解析：利用第二定义.答案：1225●典例剖析例1 已知F 1为椭圆的左焦点;A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点;P 为椭圆上的点;当PF 1⊥F 1A ;PO ∥ABO 为椭圆中心时;求椭圆的离心率.剖析：求椭圆的离心率;即求ac;只需求a 、c 的值或a 、c 用同一个量表示.本题没有具体数值;因此只需把a 、c 用同一量表示;由PF 1⊥F 1A ;PO ∥AB 易得b =c ;a =2b .解：设椭圆方程为22a x +22by =1a ＞b ＞0;F 1－c ;0;c 2=a 2－b 2;3.2003年春季北京椭圆 ϕ为参数的焦点坐标为则P －c ;b 221ac -;即P －c ;a b 2.∵AB ∥PO ;∴k AB =k OP ;即－ab =ac b 2-.∴b =c .又∵a =22c b +=2b ; ∴e =a c =bb 2=22.评述：由题意准确画出图形;利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.例2 如下图;设E ：22a x +22by =1a ＞b ＞0的焦点为F 1与F 2;且P ∈E ;∠F 1PF 2=2θ.求证：△PF 1F 2的面积S =b 2t an θ.剖析：有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题;设|PF 1|=r 1;|PF 2|=r 2;则S =21r 1r 2sin2θ.若能消去r 1r 2;问题即获解决. x y Or r F F PAB 1122证明：设|PF 1|=r 1;|PF 2|=r 2;则S =21r 1r 2sin2θ;又|F 1F 2|=2c ; 由余弦定理有2c 2=r 12+r 22－2r 1r 2cos2θ=r 1+r 22－2r 1r 2－2r 1r 2cos2θ=2a 2－2r 1r 21+cos2θ; 于是2r 1r 21+cos2θ=4a 2－4c 2=4b 2.所以r 1r 2=θ2cos 122+b .这样即有S =21·θ2cos 122+b sin2θ=b 2θθθ2cos 2cos sin 2=b 2t an θ. 评述：解与△PF 1F 2P 为椭圆上的点有关的问题;常用正弦定理或余弦定理;并结合|PF 1|+|PF 2|=2a 来解决.特别提示 我们设想点P 在E 上由A 向B 运动;由于△PF 1F 2的底边F 1F 2为定长;而高逐渐变大;故此时S 逐渐变大.所以当P 运动到点B 时S 取得最大值.由于b 2为常数;所以t an θ逐渐变大.因2θ为三角形内角;故2θ∈0;π;θ∈0;2π.这样;θ也逐渐变大;当P 运动到B 时;∠F 1PF 2取得最大值.故本题可引申为求最值问题;读者不妨一试.例3 若椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y =1交于A 、B 两点;M 为AB 的中点;直线OMO 为原点的斜率为22;且OA ⊥OB ;求椭圆的方程. 剖析：欲求椭圆方程;需求a 、b ;为此需要得到关于a 、b 的两个方程;由OM 的斜率为22.OA ⊥OB ;易得a 、b 的两个方程. 解：设Ax 1;y 1;Bx 2;y 2;M 221x x +;221y y +.x +y =1; ax 2+by 2=1; ∴221x x +=b a b +;221y y +=1－221x x +=b a a +.∴M b a b +;ba a +.∵k OM =22;∴b =2a . ①∵OA ⊥OB ;∴11x y ·22x y=－1. ∴x 1x 2+y 1y 2=0.∵x 1x 2=ba b +-1;y 1y 2=1－x 11－x 2; ∴y 1y 2=1－x 1+x 2+x 1x 2=1－b a b +2+b a b +-1=b a a +-1.∴b a b +-1+b a a +-1=0. ∴a +b =2.②由①②得a =22－1;b =222－1. ∴所求方程为22－1x 2+222－1y 2=1.评述：直线与椭圆相交的问题;通常采取设而不求;即设出Ax 1;y 1;Bx 2;y 2;但不是真的求出x 1、y 1、x 2、y 2;而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA ⊥OB 得x 1x 2+y 1y 2=0是解决本题的关键.●闯关训练 夯实基础1.2004年全国Ⅰ;7椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2;过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交;一个交点为P ;则|2PF |等于由 ∴a +bx 2－2bx +b －1=0.A.23 B. 3 C.27D.4 解法一：如下图设椭圆的右焦点为F 1;左焦点为F 2;过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .∵42x +y 2=1;∴a =2;b =1;c =3.∴F 13;0.设P 3;y P 代入42x +y 2=1;得y P =21;∴P 3;21;|PF 1|=21.又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4;∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27.解法二：椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23;∴|PF 2|=27. 解法三：由解法一得P 3;21; 又F 2－3;0;∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27.答案：C评述：解法一和解法三为基本解法.解法二使用第二定义甚为巧妙. 2.2003年昆明市模拟题设F 1、F 2为椭圆的两个焦点;以F 2为圆心作圆F 2;已知圆F 2经过椭圆的中心;且与椭圆相交于M 点;若直线MF 1恰与圆F 2相切;则该椭圆的离心率e 为A.3－1 B.2－3 C.22 D.23 解析：易知圆F 2的半径为c ;2a －c 2+c 2=4c 2;a c 2+2a c －2=0;ac=3－1.答案：A3.2005年春季北京;10椭圆252x +92y =1的离心率是____________;准线方程是____________.解析：由椭圆方程可得a =5;b =3;c =4;e =54;准线方程为x =±452=±425.答案：54 x =±425 4.已知P 是椭圆22a x ＋22by ＝1a ＞b ＞0上任意一点;P 与两焦点连线互相垂直;且P 到两准线距离分别为6、12;则椭圆方程为____________.解析：利用椭圆的两个定义结合勾股定理来求．答案：452x ＋202y ＝15.椭圆对称轴在坐标轴上;短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形;焦点到椭圆上的点的最短距离是3;求这个椭圆方程.解：由题设条件可知a =2c ;b =3c ;又a －c =3;解得a 2=12;b 2=9.∴所求椭圆的方程是122x +92y =1或92x +122y =1. 6.直线l 过点M 1;1;与椭圆42x +32y =1相交于A 、B 两点;若AB 的中点为M ;试求直线l的方程.解：设Ax 1;y 1、Bx 2;y 2;则421x +321y =1;①422x +322y =1.②①－②;得4))((2121x x x x +-+3))((2121y y y y +-=0.∴2121x x y y --=－43·2121y y x x ++.又∵M 为AB 中点; ∴x 1+x 2=2;y 1+y 2=2. ∴直线l 的斜率为－43. ∴直线l 的方程为y －1=－43x －1; 即3x +4y －7=0. 培养能力7.已知椭圆的中心在坐标原点O ;焦点在坐标轴上;直线y =x +1与椭圆相交于点P 和点Q ;且OP ⊥OQ ;|PQ |=210;求椭圆方程. 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1m >0;n >0;设Px 1;y 1;Qx 2;y 2;解方程组y =x +1; mx 2+ny 2=1.消去y ;整理得m +nx 2+2nx +n －1=0.Δ=4n 2－4m +nn －1>0;即m +n －mn >0;OP ⊥OQ ⇒x 1x 2+y 1y 2=0; 即x 1x 2+x 1+1x 2+1=0;2x 1x 2+x 1+x 2+1=0;∴nm n +-)1(2－n m n-2+1=0. ∴m +n =2.①由弦长公式得2·2)()(4n m mn n m +-+=2102;将m +n =2代入;得m ·n =43. ② m =21; m =23; n =23 n =21. ∴椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+22y =1.8.2003年南京市模拟题设x 、y ∈R ;i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正方向上的单位向量;若向量a =x i +y +2j ;b =x i +y －2j ;且|a |+|b |=8.1求点Mx ;y 的轨迹C 的方程.2过点0;3作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点;设OP =OA +OB ;是否存在这样的直线l ;使得四边形OAPB 是矩形 若存在;求出直线l 的方程；若不存在;试说明理由.1解法一：∵a =x i +y +2j ;b =x i +y －2j ;且|a |+|b |=8;∴点Mx ;y 到两个定点F 10;－2;F 20;2的距离之和为8.∴轨迹C 为以F 1、F 2为焦点的椭圆;方程为122x +162y =1.解法二：由题知;22)2(++y x +22)2(-+y x =8; 移项;得22)2(++y x =8－22)2(-+y x ; 两边平方;得x 2+y +22=x 2+y －22－1622)2(-+y x +64; 整理;得222)2(-+y x =8－y ; 两边平方;得4x 2+y －22=8－y 2;展开;整理得122x +162y =1.2∵l 过y 轴上的点0;3;若直线l 是y 轴;则A 、B 两点是椭圆的顶点.∵OP =OA +OB =0;解①②得 或∴P 与O 重合;与四边形OAPB 是矩形矛盾.∴直线l 的斜率存在.设l 方程为y =kx +3;Ax 1;y 1;Bx 2;y 2; y =kx +3;122x +162y =1; －21＞0恒成立;且x 1+x 2=－23418k k +;x 1x 2=－23421k +. ∵OP =OA +OB ;∴四边形OAPB 是平行四边形.若存在直线l ;使得四边形OAPB 是矩形;则OA ⊥OB ;即OA ·OB =0.∵OA =x 1;y 1;OB =x 2;y 2; ∴OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2=0; 即1+k 2x 1x 2+3kx 1+x 2+9=0; 即1+k 2·－23421k ++3k ·－23418k k ++9=0;即k2=165;得k =±45. ∴存在直线l ：y =±45x +3;使得四边形OAPB 是矩形. 探究创新9.已知常数a ＞0;在矩形ABCD 中;AB =4;BC =4a ; O 为AB 的中点;点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动;且BC BE =CD CF =DADG;P 为GE 与OF 的交点如下图.问是否存在两个定点;使P 到这两点的距离的和为定值 若存在;求出这两点的坐标及此定值；若不存在;请说明理由.y分析：根据题设条件首先求出P 点坐标满足的方程;据此可判断是否存在两点;使得点P 到两定点距离的和为定值.解：按题意;有A －2;0;B 2;0;C 2;4a ;D －2;4a .设BC BE =CD CF =DADG=k 0≤k ≤1; 由此有E 2;4ak ;F 2－4k ;4a ;G －2;4a －4ak . 直线OF 的方程为2ax +2k －1y =0. ① 直线GE 的方程为－a 2k －1x +y －2a =0. ②由①②消去参数k ;得点Px ;y 满足方程2a 2x 2+y 2－2ay =0.整理得212x +22)(aa y -=1. 由 消y 得4+3k 2x 2+18kx －21=0.此时;Δ=18k 2－44+3k 2当a 2=21时;点P 的轨迹为圆弧;所以不存在符合题意的两点. 当a 2≠21时;点P 的轨迹为椭圆的一部分;点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当a 2＜21时;点P 到椭圆两个焦点－221a -;a ;221a -;a 的距离之和为定值2.当a 2＞21时;点P 到椭圆两个焦点0;a －212-a ;0;a +212-a 的距离之和为定值2a .评注：本题主要考查根据已知条件求轨迹的方法;椭圆的方程和性质;利用方程判定曲线的性质;曲线与方程关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.在解题过程中蕴涵着方程思想、分类讨论思想和构造法.●思悟小结1.椭圆的定义是解决问题的出发点;尤其是第二定义;如果运用恰当可收到事半功倍之效如关于求焦半径的问题.2.要明确参数a 、b 、c 、e 的相互关系、几何意义及与一些概念的联系.灵活运用它们之间的关系可使问题顺利解决.3.椭圆参数的几何意义;如下图所示：1|PF 1|+|PF 2|=2a ;||||11PM PF =||||22PM PF =e ；2|A 1F 1|=|A 2F 2|=a －c ;|A 1F 2|=|A 2F 1|=a +c ； 3|BF 2|=|BF 1|=a ;|OF 1|=|OF 2|=c ；4|F 1K 1|=|F 2K 2|=p =c b 2;|PM 2|+|PM 1|=ca 22.●教师下载中心教学点睛本节的重点是椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a 、b 、c 、e 的关系;及利用第二定义解决问题;关键是注意数形结合;函数与方程的思想;等价转化的运用.为此建议在教学中注意以下几点：1椭圆中有一个十分重要的三角形OF 1B 2如下图;它的三边长分别为a 、b 、c .易见c 2=a 2－b 2;且若记∠OF 1B 2=θ;则cos θ=ac =e .2应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹;本质上;它与坐标系无关;而坐标系是研究的手段.实际上;人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系;从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系;这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的△OF 1B 2、公式cos θ=e 等;均不因坐标系的改变而改变.3椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和等于|F 1F 2|时;其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和小于|F 1F 2|时;其轨迹不存在.4椭圆标准方程中两个参数a 和b 确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中;总有a ＞b ＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2=a 2－b 2；在方程Ax 2+By 2=C 中;只要A 、B 、C 同号;就是椭圆方程.5当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离;焦点弦长相关时;常利用椭圆的第二定义;转化为点到准线的距离来研究;即正确应用焦半径公式.6使用椭圆的第二定义时;一定要注意动点P 到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e .若使用的焦点与准线不是对应的;则上述之比就不再是常数了.拓展题例例1 2003年太原市模拟题如下图;已知△OFQ 的面积为S ;且OF ·FQ=1.1若21＜S ＜2;求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围； 2设|OF |=cc ≥2;S =43c ;若以O 为中心;F 为一个焦点的椭圆经过点Q ;当|OQ |取最小值时;求椭圆的方程.解：1由已知;得|sin π－θ=S ; θ=1. ∴t an θ=2S .∵21＜S ＜2;∴1＜t an θ＜4. 则4π＜θ＜arc t an4. 2以O 为原点;OF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.设椭圆方程为22a x +22b y =1a ＞b ＞0;Qx ;y .OF =c ;0;则FQ =x －c ;y .∵21|OF |·y =43c ;∴y =23.又∵OF ·FQ =cx －c =1;∴x =c +c1. 则|OQ |=22y x +=49)1(2++c c c ≥2.可以证明：当c ≥2时;函数t =c +c1为增函数; ∴当c =2时;|OQ |min =49)212(2++=234;此时Q25;23.将Q 的坐标代入椭圆方程;2425a +249b =1; a 2=10; a 2－b 2=4. b 2=6.∴椭圆方程为102x +62y =1.例2 2002年春季全国已知某椭圆的焦点是F 1－4;0、F 24;0;过点F 2;并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ;且｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10．椭圆上不同的两点Ax 1;y 1、Cx 2;y 2满足条件：｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列.1求该椭圆的方程；2求弦AC 中点的横坐标；3设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ;求m 的取值范围.1解：由椭圆定义及条件知2a ＝｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10;得a ＝5.又c ＝4; 所以b ＝22c a -＝3．故椭圆方程为252x ＋92y ＝1．2解：由点B 4;y B 在椭圆上;得｜F 2B ｜＝｜y B ｜＝59． 方法一：因为椭圆右准线方程为x ＝425;离心率为54．根据椭圆定义;有｜F 2A ｜＝54425－x 1;｜F 2C ｜＝54425－x 2．由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列;得得解得54425－x 1＋54425－x 2＝2×59． 由此得出x 1＋x 2＝8． 设弦AC 的中点为Px 0;y 0;则x 0＝221x x +＝28＝4．方法二：由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列;得2121)4(y x +-＋2222)4(y x +-＝2×59;①由Ax 1;y 1在椭圆252x ＋92y ＝1上;得y 12＝25925－x 12;所以2121)4(y x +-=)25(25916821121x x x -++- ＝21)545(x -＝5125－4x 1.②同理可得2222)4(y x +-＝5125－4x 2． ③将②③代入①式;得5125－4x 1＋5125－4x 2＝518． 所以x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为Px 0;y 0;则x 0＝221x x +＝28＝4．3解法一：由Ax 1;y 1;Cx 2;y 2在椭圆上;得 9x 12＋25y 12＝9×25;④9x 22＋25y 22＝9×25．⑤由④－⑤得9x 12－x 22＋25y 12－y 22＝0; 即9221x x +＋25221y y +2121x x y y --＝0x 1≠x 2.将221x x +＝x 0=4;221y y +＝y 0;2121x x y y --＝－k1k ≠0代入上式;得9×4＋25y 0－k 1＝0k ≠0． 由上式得k ＝3625y 0当k ＝0时也成立.由点P 4;y 0在弦AC 的垂直平分线上;得 y 0＝4k ＋m ;所以m ＝y 0－4k ＝y 0－925y 0＝－916y 0．由P 4;y 0在线段BB ′B ′与B 关于x 轴对称的内部;得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516． 评述：在推导过程中;未写明“x 1≠x 2”“k ≠0”“k ＝0时也成立”及把结论写为“－516≤m ≤516”也可以. 解法二：因为弦AC 的中点为P 4;y 0; 所以直线AC 的方程为y －y 0＝－k1x －4k ≠0.⑥将⑥代入椭圆方程252x +92y ＝1;得9k 2＋25x 2－50ky 0＋4x ＋25ky 0＋42－25×9k 2＝0．所以x 1＋x 2＝259)4(5020++k ky ＝8． 解得k ＝3625y 0当k ＝0时也成立.以下步骤同解法一.。

第五十课时 椭圆的定义与标准方程课前预习案考纲要求1、掌握椭圆的定义，并会用椭圆定义解题；掌握求椭圆标准方程的基本步骤（定型、定位、定量）掌握求椭圆标准方程的基本方法（定义法和待定系数法）2、基础知识梳理1．定义：①平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数2a （122___a F F ），这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫 )． 两焦点间的距离叫做②定义的符号表示： 。

注意：当122a F F =时，轨迹是 ；当122a F F < 时， 。

③,,a b c 之间的关系 。

2．椭圆的标准方程（1）若椭圆的焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 。

（2）若椭圆的焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 。

预习自测1.已知椭圆的焦点为1F （-1，0）和2F （1，0），P 是椭圆上的一点，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则该椭圆的方程为（ ）A ．191622=+y x B ．1121622=+y x C ．13422=+y x D ．14322=+y x 2.已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>,它的两个焦点分别是F 1,F 2,且| F 1F 2|=8,弦AB 过F 1,则∆ABF 2的周长为( )A.10B.20C.241D.4412．P 是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若1230F PF ∠=，则12F PF ∆的面积等于（）A .3316 B .)32(4- C .)32(16+ D .16课内探究案典型例题考点1：椭圆的定义【典例1】下列说法中，正确的是（ ）A ．平面内与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆B ．与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹是椭圆C ．方程()2222210x y a c a a c +=>>-表示焦点在x 轴上的椭圆 D ．方程()222210,0x y a b a b+=>>表示焦点在y 轴上的椭圆【变式1】1F ，2F 是定点，126F F =，动点M 满足126MF MF +=，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆考点2．椭圆的标准方程【典例2】(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),求椭圆的方程;(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P 1(6,1),P 2(-3,-2),求椭圆的方程.【变式2】已知椭圆的中心在原点，且经过点(0,3)P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．考点3．椭圆的焦距【典例3】椭圆 63222=+y x 的焦距是（ ） A ．1B ．)23(2-C ．2D ．)23(2+【变式3】椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值是（ ）A ．5B ．3C ．5或3D ．不存在当堂检测1．如果方程222=+my x 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）2．若椭圆116222=+b y x 过点（－2，3），则其焦距为（ ） A.25 B.23 C. 43 D. 45 3.若椭圆的两焦点为(2,0)-和(2,0)，且椭圆过点53(,)22-，则椭圆方程是（ ）A ．22184y x += B ．221106y x += C ．22148y x += D ．221106x y += 4. （2019年高考广东）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是（ ） A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x课后拓展案A 组全员必做题1．（2019年高考大纲卷）已知()()1221,0,1,0,F F C F -是椭圆的两个焦点过且垂直于x 轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（ ）A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 2．设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,2BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为_______.3.如图所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形ABCD 的面积为8.求椭圆M 的标准方程.4．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,离心率为22，求椭圆C 的方程.5．已知圆22:(1)1M x y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程.1．（2019年高考安徽）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4,且过点(23)P ，，求椭圆C 的方程.2．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率32e =,a+b=3求椭圆C 的方程;3.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P(0,1)在C 1上．求椭圆C 1的方程.参考答案预习自测1.C2.D3.B典型例题【典例1】C 【变式1】C【典例2】（1）2219x y +=或221819y x +=；（2）22193x y +=. 【变式2】198122=+y x 或1922=+x y 【典例3】C【变式3】C当堂检测1.D2.C3.D4.DA 组全员必做题1.C2.4633.221 4xy+=4.221 2xy+=5.22143x y+=.B组提高选做题1.221 84x y+=2.221 4xy+=3.221 2xy+=。

椭圆的定义及标准方程主标题：椭圆的定义及标准方程副标题：为学生详细的分析椭圆的定义及标准方程的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：椭圆，椭圆的定义，椭圆标准方程难度：2重要程度：5考点剖析：1.理解椭圆的定义；2．掌握椭圆的标准方程及其几何性质，命题方向：1.从考查内容看，椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点，其中直线与椭圆位置关系的问题更是高考考查的热点．2．从考查形式看，对定义、标准方程和几何性质的考查常以选择题、填空题的形式出现，属中档题；直线与圆锥曲线位置关系的问题以及与向量、不等式、方程结合的问题常以解答题的形式出现，具有一定的综合性和难度．规律总结：椭圆的定义及标准方程规律总结：一条规律：椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系： 给出椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1时，椭圆的焦点在x 轴上⇔m ＞n ＞0；椭圆的焦点在y 轴上⇔n >m >0. 两种方法：求椭圆方程的两种方法：(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程；(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．知识梳理1．椭圆的概念在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫 椭圆 ．这两定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫做 焦距 ．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数：(1)若 22a c > ，则集合P 为椭圆；(2)若 22a c = ，则集合P 为线段；(3)若 22a c < ，则集合P 为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质。

椭圆的定义、方程及几何性质【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1) 若c a >，则集合P 为椭圆； (2) 若c a =，则集合P 为线段； (3) 若c a <，则集合P 为空集．3. 椭圆中常见的结论（1）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. （2）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为1P 、2P ，则切点弦1P 2P 的直线方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFS b γ∆=.（4）A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>长轴的端点，M ),(00y x 为椭圆上任意一点，则22MA MB b k k a ⋅=-， 方法规律总结1．求椭圆标准方程的方法(1) 定义法：根据椭圆定义，确定2a 、2b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2) 待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出2a 、2b ，从而写出椭圆的标准方程．2．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：(1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝ca求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b2＝a2－c2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．3.椭圆性质的运用一般策略（1）与椭圆双焦点焦点有关的问题，充分考虑椭圆的定义，单焦点的问题可连接另一个焦点。

第五十课时 椭圆的定义与标准方程课前预习案考纲要求1、掌握椭圆的定义，并会用椭圆定义解题；掌握求椭圆标准方程的基本步骤（定型、定位、定量）掌握求椭圆标准方程的基本方法（定义法和待定系数法）2、命题趋势：椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容；直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点。

定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不等式等的综合题常以解答题的形式考查，属中高档题目。

基础知识梳理1．定义：①平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数2a （122___a F F ），这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫 )． 两焦点间的距离叫做②定义的符号表示： 。

注意：当122a F F =时，轨迹是 ；当122a F F < 时， 。

③,,a b c 之间的关系 。

2．椭圆的标准方程（1）若椭圆的焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 。

（2）若椭圆的焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 。

预习自测1.已知椭圆的焦点为1F （-1，0）和2F （1，0），P 是椭圆上的一点，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则该椭圆的方程为（ ）A ．191622=+y x B ．1121622=+y x C ．13422=+y x D ．14322=+y x 2.已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>,它的两个焦点分别是F 1,F 2,且| F 1F 2|=8,弦AB 过F 1,则∆ABF 2的周长为( )A.10B.20C.241D.4412．P 是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若1230F PF ∠= ，则12F PF ∆的面积等于（）A .3316 B .)32(4- C .)32(16+ D .16课内探究案典型例题考点1：椭圆的定义【典例1】下列说法中，正确的是（ ）A ．平面内与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆B ．与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹是椭圆C ．方程()2222210x y a c a a c +=>>-表示焦点在x 轴上的椭圆 D ．方程()222210,0x y a b a b+=>>表示焦点在y 轴上的椭圆【变式1】1F ，2F 是定点，126F F =，动点M 满足126MF MF +=，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆考点2．椭圆的标准方程【典例2】(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),求椭圆的方程;(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P 1(6,1),P 2(-3,-2),求椭圆的方程.【变式2】已知椭圆的中心在原点，且经过点(0,3)P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．考点3．椭圆的焦距【典例3】椭圆 63222=+y x 的焦距是（ ） A ．1B ．)23(2-C ．2D ．)23(2+【变式3】椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值是（ ）A ．5B ．3C ．5或3D ．不存在当堂检测1．如果方程222=+my x 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）2．若椭圆116222=+by x 过点（－2，3），则其焦距为 （ ） A.25 B.23 C. 43 D. 45 3.若椭圆的两焦点为(2,0)-和(2,0)，且椭圆过点53(,)22-，则椭圆方程是（ ）A ．22184y x += B ．221106y x += C ．22148y x += D ．221106x y += 4. （2013年高考广东）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是（ ）A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x课后拓展案 A 组全员必做题1．（2013年高考大纲卷）已知()()1221,0,1,0,F F C F -是椭圆的两个焦点过且垂直于x 轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（ ）A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 2．设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,2BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为_______.3.如图所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形ABCD 的面积为8.求椭圆M 的标准方程.4．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,离心率为22，求椭圆C 的方程.5．已知圆22:(1)1M x y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程.1．（2013年高考安徽）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4,且过点(23)P ，，求椭圆C 的方程.2．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率32e =,a+b=3求椭圆C 的方程;3.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．求椭圆C 1的方程.参考答案预习自测1.C2.D3.B典型例题【典例1】C 【变式1】C【典例2】（1）2219x y +=或221819y x +=；（2）22193x y +=.【变式2】198122=+y x 或1922=+x y 【典例3】C【变式3】C当堂检测1.D2.C3.D4.DA 组全员必做题1.C2.4633. 2214x y += 4. 2212x y += 5. 22143x y +=.B 组提高选做题1. 22184x y += 2. 2214x y += 3. 2212x y +=。

高三数学第一轮复习：椭圆的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】椭圆的定义、性质及标准方程椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a bx a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距)0(221>=c c F F)0(221>=c c F F3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

推导过程：由第二定义得11PFe d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。

高三椭圆相关知识点椭圆是高中数学的重要内容之一，涉及到椭圆的定义、性质、参数方程等方面的知识。

在高三阶段，学生需要掌握围绕椭圆的基本概念和计算方法。

本文将重点介绍高三椭圆相关的知识点，以帮助学生加深对椭圆的理解和应用。

一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个定点称为焦点，两焦点间的距离称为焦距。

椭圆的形状由焦距和离心率决定，离心率是椭圆的一个重要参数，定义为离心率等于焦距与椭圆长轴的比值。

二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程是含有坐标的一次方程，其一般形式为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。

在该方程中，(h, k)表示椭圆的中心坐标，a 和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴长度。

三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程是由参数t的函数给出的，椭圆上的任意一点的坐标可以表示为x = a*cos(t)，y = b*sin(t)，其中0≤t≤2π。

四、椭圆的性质1. 焦点和准线：椭圆的焦点在椭圆的长轴上，且位于中心的左右两侧。

同时，每条过焦点和垂直于长轴的直线称为准线。

2. 圆和双曲线的特殊情况：当椭圆的长轴和短轴相等时，椭圆即为圆。

当离心率等于1时，椭圆退化成双曲线。

3. 对称性：椭圆具有对称性，对于任意一点P(x, y)在椭圆上，以中心O为对称中心，点P关于中心O的对称点也在椭圆上。

4. 焦半径的性质：从椭圆上的任意一点P到两焦点的距离之和等于椭圆的长半轴长度，即PF₁ + PF₂ = 2a。

5. 点到椭圆的判定：对于给定的点P(x, y)，可以通过计算(x-h)²/a² + (y-k)²/b²的值是否小于1来判断该点是否在椭圆上。

五、椭圆的方程变换椭圆的方程可以通过平移、缩放和旋转等方式进行变换。

具体来说，通过平移可以改变椭圆的中心位置，通过缩放可以改变椭圆的长短轴长度，通过旋转可以改变椭圆相对于坐标轴的方向。

高三知识点总结椭圆椭圆作为高中数学中的重要知识点之一，在几何学和代数学中都有广泛的应用。

它具有独特的性质和特点，需要我们掌握其定义、基本性质以及相关公式和定理。

接下来，我将对椭圆的知识点进行总结。

1. 椭圆的定义和相关术语椭圆是一个平面上的几何图形，由到两个定点的距离之和等于常数的点的集合组成。

其中，两个定点称为焦点，常数称为焦距。

椭圆的中心是焦点连线的中垂线的交点，椭圆的长轴是焦点连线的延长线段，短轴是长轴上截取的一段等于焦距的线段。

2. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示长轴和短轴的一半长度。

通过标准方程，我们可以确定椭圆的中心、长短轴和离心率。

3. 椭圆的离心率和焦距关系椭圆的离心率是一个衡量椭圆形状的重要指标。

离心率的计算公式为e = √(a²-b²)/a，其中a和b分别表示长轴和短轴的一半长度。

当离心率小于1时，椭圆是一个闭合曲线，当离心率等于1时，椭圆退化为一个抛物线。

4. 椭圆的焦点坐标和焦距的计算椭圆的焦点坐标可以通过中心坐标和离心率计算得到。

设横轴为x轴，纵轴为y轴，椭圆的焦点坐标为(F₁,0)和(-F₁,0)，其中F₁ = e * a。

椭圆的焦距为2F₁。

5. 椭圆的参数方程椭圆还可以通过参数方程来表示。

如果椭圆的焦点在原点上方，参数方程可表示为x = h + a * cosθ，y = k + b * sinθ，其中θ为参数。

6. 椭圆的性质和定理椭圆有许多重要的性质和定理，如椭圆离心率定理、椭圆三点共线定理、椭圆的切线方程等。

掌握这些性质和定理，对于解题和证明椭圆相关问题非常有帮助。

7. 椭圆的应用椭圆广泛应用于几何学、物理学、电子学等领域。

在几何学中，椭圆常用于描述行星的轨道、天体运动和地震波的传播等。

在物理学中，椭圆常用于描述光的偏振和电场的变化等。

椭圆的定义和标准方程的基本练习(包括答案)椭圆和标准方程1的定义。

选择题(共19题)1。

如果F1 (3，0)，F2 ({3，0)，从点p到F1，F2的距离之和是10，那么点p的轨迹方程是()a.b.c.d .或2。

移动圆内接圆x2 y2 6x 5=0，圆x2y2-6x-91=0。

那么运动圆的中心轨迹是()a。

椭圆b。

双曲线c。

抛物线d。

圆3。

从椭圆上的点p到一个焦点的距离是5，那么从点p到另一个焦点的距离是()。

已知坐标平面上的两点a ({1，0)和b (1，0 ),从移动点p到a和b的距离之和为常数2。

那么运动点p的轨迹是()a .椭圆b .双曲线c .抛物线d .线段5。

从椭圆上的移动点p到两个焦点的距离之和为()a. 10b.8c.6d。

已知两点f1 ({1，0)，F2 (1，0)，并且|f1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中值，则移动点p的轨迹方程为()a.b.c.d.7。

已知F1和F2是椭圆的两个焦点=1，并且穿过点F2的直线在点a和b处与椭圆相交。

如果|AB|=5，则|AF1| |BF1|等于()A.16B.11C.8D.3 8。

设a={1，2，3，4，5}，A，b∈A，则该方程表示焦点在y轴上的椭圆()A.5 B.10 C.20 D.25 9。

简化的结果是在平面上有一个长度为2的线段AB和一个移动点p(a . b . c . d . 10)。

如果满足|PA| |PB|=8，则|PA|的取值范围为()a. [1，4] b. [2，6] c. [3，5] d. [3，6] 11。

设定点F1(0，651233)，F2(0，3)并满足条件|PF1| |PF2|=6，则运动点P的轨迹是()a .椭圆b .线段c .椭圆或线段d .不存在。

12.已知△ABC的周长为20，顶点为B (0，651234)，C (0，4)，那么顶点a的轨迹方程为()a. (x ≠ 0) b. (x ≠ 0) c. (x ≠ 0) d. (x ≠ 0) 13。

[基本知识]1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数． (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆． (2)若a ＝c ，则集合P 为线段． (3)若a ＜c ，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程(1)焦点在x 轴上的椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2.(2)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点为F 1(0，－c )，F 2(0，c )，其中c 2＝a 2－b 2.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (3)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、填空题1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．答案：4 32．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．答案：(－6，－2)∪(3，＋∞)3．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为____________． 答案：x 216＋y 212＝1[全析考法]考法一 椭圆的定义及应用[例1] (1)(2019·衡水调研)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 (2)(2019·齐齐哈尔八中模拟)如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上的一点，若∠F 1PF 2＝60°，那么△PF 1F 2的面积为( )A.233B.332C.334D.433[解析] (1)由题意得|P A |＝|PB |，∴|P A |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2， ∴点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，∴b ＝2， ∴动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1，故选D.(2)设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则cos 60°＝m 2＋n 2－2c22mn＝2a2－2mn －2c22mn＝12，化简得，3mn ＝4(a 2－c 2)＝4b 2，∵b 2＝4，∴mn ＝163，∴S △PF 1F 2＝12mn sin 60°＝433.故选D.[答案] (1)D (2)D [方法技巧]椭圆焦点三角形中的常用结论以椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的 △PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a .(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.(3) S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值为bc .(4)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．考法二 椭圆的标准方程[例2] (1)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1B.x 230＋y 210＝1 C.x 236＋y 216＝1 D.x 245＋y 225＝1 (2)(2019·武汉调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为____________．[解析] (1)设F ′为椭圆的右焦点，连接PF ′，在△POF 中，由余弦定理，得cos ∠POF ＝|OP |2＋|OF |2－|PF |22|OP |·|OF |＝35，则|PF ′|＝|OP |2＋|OF ′|2－2|OP |·|OF ′|cos π－∠POF ＝8，由椭圆定义，知2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，又c ＝25，所以b 2＝16.故椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.(2)∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上， ∴可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝22，b ＝6，c ＝2， ∴椭圆方程为x 28＋y 26＝1.[答案] (1)C (2)x 28＋y 26＝1[方法技巧] 待定系数法求椭圆方程的思路[集训冲关]1.[考法二]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 216＋y 212＝1 解析：选B 由题意可得2c 2a ＝13，2a ＝6，解得a ＝3，c ＝1，则b ＝32－12＝8，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 28＝1.故选B.2.[考法一、二]已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )A.x 236＋y 29＝1 B.x 29＋y 236＝1 C.x 24＋y 29＝1 D.x 29＋y 24＝1 解析：选A 依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，∴2a ＝12，∴a ＝6，∵椭圆的离心率为32，∴e ＝ca ＝1－b 2a 2＝32，即1－b 236＝32，解得b 2＝9，∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1，故选A.3.[考法一]P 为椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左焦点和右焦点，过P 点作PH ⊥F 1F 2于点H ，若PF 1⊥PF 2，则|PH |＝( )A.254B.83 C ．8D.94解析：选D 由椭圆x 225＋y 29＝1得a 2＝25，b 2＝9，则c ＝a 2－b 2＝25－9＝4， ∴|F 1F 2|＝2c ＝8.由椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝82. ∴2|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|2＋|PF 2|2) ＝100－64＝36， ∴|PF 1|·|PF 2|＝18.又S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12|F 1F 2|·|PH |，∴|PH |＝|PF 1|·|PF 2||F 1F 2|＝94.故选D.突破点二 椭圆的几何性质[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长等于a .( )(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a －c .( ) (3)椭圆的离心率e 越小，椭圆越圆．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√二、填空题1．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．答案：322．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________． 答案：(0，±69)3．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________． 答案：x 245＋y 236＝1[全析考法]考法一 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个重要的基本量，在椭圆中有着极其特殊的作用，也是高考常考的知识点，主要考查两类问题：一是求椭圆的离心率；二是求椭圆离心率的取值范围．[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13D.14(2)(2019·江西临川二中、新余四中联考)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 上下两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1,1)C ．(0，3－1)D ．(3－1,1)[解析] (1)如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠P AB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14. (2)∵F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 上下两点，∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a ，∵△ABF 2是锐角三角形，∴∠AF 2F 1＜45°，∴tan ∠AF 2F 1＜1，∴b 2a2c ＜1，整理得b 2＜2ac ，∴a 2－c 2＜2ac ，两边同时除以a 2，并整理，得e 2＋2e －1＞0，解得e ＞2－1或e ＜－2－1(舍去)，∵0＜e ＜1，∴椭圆的离心率e 的取值范围是(2－1,1)，故选B.[答案] (1)D (2)B [方法技巧]1．求椭圆离心率的3种方法(1)直接求出a ，c 来求解e .通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值．(2)构造a ，c 的齐次式，解出e .由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．[提醒] 在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．2．求椭圆离心率范围的2种方法考法二 与椭圆性质有关的最值范围问题[例2] (1)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)(2)(2019·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF ―→·P A ―→的最大值为________．[解析] (1)当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即3m ≥3， 解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． (2)由题意知a ＝2， 因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.设P 点坐标为(x 0，y 0)． 所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)，PF ―→＝(－1－x 0，－y 0)，P A ―→＝(2－x 0，－y 0)， 所以PF ―→·P A ―→＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 则当x 0＝－2时，PF ―→·P A ―→取得最大值4. [答案] (1)A (2)4 [方法技巧]与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围． (2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围． (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围． (4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．[提醒] 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．[集训冲关]1.[考法一]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM ―→·NF ―→＝0，则椭圆的离心率为( )A.32B.2－12 C.3－12D.5－12解析：选D 由题意知，M (－a,0)，N (0，b )，F (c,0)，∴NM ―→＝(－a ，－b )，NF ―→＝(c ，－b )．∵NM ―→·NF ―→＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac .又b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac .∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍去)．∴椭圆的离心率为5－12，故选D.2.[考法一]如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y28＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限内的交点，若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是( )A.23B.45 C.35 D.25解析：选C 设椭圆的长半轴长为a .由题意可知，|F 1F 2|＝|F 1A |＝6，∵|F 1A |－|F 2A |＝2，∴|F 2A |＝4，∴|F 1A |＋|F 2A |＝10，∴2a ＝10，∴C 2的离心率是610＝35.故选C.3.[考法二]已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0＜x 202＋y 20＜1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．解析：由点P (x 0，y 0)满足0＜x 202＋y 20＜1，可知P (x 0，y 0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a ＝2，b ＝1，所以由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＜2a ＝22，当P (x 0，y 0)与F 1或F 2重合时，|PF 1|＋|PF 2|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|＝2，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)．答案：[2,22)。

第五十课时 椭圆的定义与标准方程课前预习案1、掌握椭圆的定义，并会用椭圆定义解题；掌握求椭圆标准方程的基本步骤（定型、定位、定量）掌握求椭圆标准方程的基本方法（定义法和待定系数法）2、命题趋势：椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容；直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点。

定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不等式等的综合题常以解答题的形式考查，属中高档题目。

1．定义：①平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数2a （122___a F F ），这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫 )． 两焦点间的距离叫做②定义的符号表示： 。

注意：当122a F F =时，轨迹是 ；当122a F F < 时， 。

③,,a b c 之间的关系 。

2．椭圆的标准方程（1）若椭圆的焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 。

（2）若椭圆的焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 。

1.已知椭圆的焦点为1F （-1，0）和2F （1，0），P 是椭圆上的一点，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则该椭圆的方程为（ ）A ．191622=+y xB ．1121622=+y xC ．13422=+y xD ．14322=+y x 2.已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>,它的两个焦点分别是F 1,F 2,且| F 1F 2|=8,弦AB 过F 1,则∆ABF 2的周长为( )2．P 是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若1230F PF ∠=，则12F PF ∆的面积等于（）A .3316 B .)32(4- C .)32(16+ D .16课内探究案考点1：椭圆的定义【典例1】下列说法中，正确的是（ ）A ．平面内与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆B ．与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹是椭圆C ．方程()2222210x y a c a a c +=>>-表示焦点在x 轴上的椭圆 D ．方程()222210,0x y a b a b+=>>表示焦点在y 轴上的椭圆【变式1】1F ，2F 是定点，126F F =，动点M 满足126MF MF +=，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆考点2．椭圆的标准方程【典例2】(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),求椭圆的方程;(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P 1,1),P 2求椭圆的方程.【变式2】已知椭圆的中心在原点，且经过点(0,3)P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．考点3．椭圆的焦距【典例3】椭圆 63222=+y x 的焦距是（ ） A ．1B ．)23(2-C ．2D ．)23(2+【变式3】椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值是（ ）A ．5B ．3C ．5或3D ．不存在1．如果方程222=+my x 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）2．若椭圆116222=+by x 过点（－2，3），则其焦距为（ ） A.25 B.23 C. 43 D. 45 3.若椭圆的两焦点为(2,0)-和(2,0)，且椭圆过点53(,)22-，则椭圆方程是（ ）A ．22184y x += B ．221106y x += C ．22148y x += D ．221106x y += 4. （2013年高考广东）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是（ ）A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x课后拓展案 A 组全员必做题1．（2013年高考大纲卷）已知()()1221,0,1,0,F F C F -是椭圆的两个焦点过且垂直于x 轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（ ） A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 2．设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,2BC =则Γ的两个焦点之间的距离为_______.3.如图所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形ABCD 的面积为8.求椭圆M 的标准方程.4．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,，求椭圆C 的方程.5．已知圆22:(1)1M x y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程.1．（2013年高考安徽）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4,且过点P ，求椭圆C 的方程.2．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率e =求椭圆C 的方程;3.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．求椭圆C 1的方程.参考答案1.C2.D3.B【典例1】C 【变式1】C【典例2】（1）2219x y +=或221819y x +=；（2）22193x y +=. 【变式2】198122=+y x 或1922=+x y 【典例3】C【变式3】C1.D2.C3.D4.D组全员必做题1.C2.33. 2214x y += 4. 2212x y += 5. 22143x y +=.组提高选做题1. 22184x y += 2. 2214x y +=3. 2212x y +=。

第一节椭圆知识点归纳1.椭圆的定义:第一种定义:平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.2a>2c 轨迹为椭圆 a=c 轨迹为F1F2线段a<c无轨迹第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线.题型全归纳题型 椭圆定义和标准方程1．设一动点P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是 （ ）()A 22132x y += ()B 22132x y -= ()C 22(1)132x y ++= ()D 22123x y += 2、已知两圆9:,169:222221)4()4(=+=++-yx c yx c ，动圆在圆c 1内部且和圆c 2相内切和圆相外切，则动圆圆心Ｍ的轨迹方程为（ ）３、从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程12222=+ny m x 中的m 和n,则能组成落在矩形区域B={(x ,y)| |x |<11且|y|<9}内的椭圆个数为（ ）A ．43B ． 72C ． 86D ． 90小结(1)定义法：根据椭圆的定义，确定 的值，再结合焦点位置直接写出椭圆方程。

（2）待定系数法题型 离心率的值域取值范围１．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为 F ，(,0),(0,)A a B b -为椭圆的两个顶点，若F 到AB则椭圆的离心率为 （ ）()A 77- ()B 77+()C 12()D 45２．已知椭圆19822=++y a x 的离心率21=e ，则a 的值等于 _________． 小结：椭圆的离心率是椭圆的最重要性质，求椭圆的离心率常见的有两种方法：（１）求出ａ、ｃ代入公式a ce =。

椭圆的定义及标准方程一.知识要点1.椭圆的定义平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.注:(1).在椭圆的定义中,若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .(2).椭圆的的内外部①点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. ②点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b ⇔+>. 2. 椭圆的标准方程3. 椭圆的参数方程4. 椭圆的标准方程与性质二.题型、方法2. 已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，则△MNF 2的周长为( ) A.8 B.16 C.25 D.323.若点O 和点F 分别为椭圆x 22＋y 2＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则|OP |2＋|PF |2的最小值为________．题组二1.求经过点35(,)22-，且229545x y +=与椭圆有共同焦点的椭圆方程.2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P （3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2.过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 .4. 若椭圆12222=+by a x 的焦点在x 轴上，过点)21,1(作圆122=+y x 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .题组三1. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )A.12B.22C. 2D.322.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．【评析】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用.从本题的解题过程,也能得出如下两个结论:(1)()12122max FPF FB F ∠=∠这一结论.(2)设点P 是椭圆22a x +22by =1（a ＞b ＞0）上任意一点, 12F F 与为椭圆的焦点∠F 1PF 2=2θ,则△PF 1F 2的面积S =b 2tan θ.3.(1)设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =;则点A 的坐标是 ．（2）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 .4.设椭圆C : ()222210x y a b a b+=>>过点（0，4），离心率为35． （1）求C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的长度及的中点坐标．练习一、选择题（共5个小题，每小题只有一个正确答案）1.椭圆221168x y +=的离心率为（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）3 （D ）22. 椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( ) A.12 B.32 C ．1 D. 33. 设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，3π4∪⎝⎛⎭⎫7π4，2πB.⎣⎡⎭⎫π2，3π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，3π24. 椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( ) A.6433 B.9133 C.1633 D.6435.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12二、填空题（共3个小题）6. 若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝ 7. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为8.已知椭圆x 24＋y 22＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且倾角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，以下结论中：①△ABF 1的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB |＝83；其中所有正确命题的序号是 (请写出所有正确命题的序号)三、解答题9.设1F ，2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为23.（1）求椭圆C 的焦距；（2）如果222AF F B =,求椭圆C 的方程.10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4. (1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆C 的焦点坐标；(2)若点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线PM ，PN 的斜率分别为k PM 、k PN ，当k PM ·k PN ＝－14时，求椭圆的方程．。

第五节椭圆[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．[探究] 1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，则动点的轨迹如何？提示：当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点的轨迹是不存在的．2．椭圆的标准方程和几何性质[探究] 2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示：离心率e ＝ca 越接近1，a 与c 就越接近，从而b ＝a 2－c 2就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．[自测·牛刀小试]1．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13 B.12 C.33D.22解析：选D ∵a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝8，∴e ＝c a ＝22.2．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A 根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A.14 B.12 C ．2D ．4解析：选A 由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，且a ＝2b ，则1m ＝4，得m ＝14.4．若椭圆x 216＋y 2m 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5解析：选C 把点(－2，3)的坐标代入椭圆方程得m 2＝4，所以c 2＝16－4＝12，所以c ＝23，故焦距为2c ＝4 3.5．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．解析：由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，则|PF 2|＝6.故|PF 1|＝2×5－6＝4.答案：4[例1] (1)已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 是周长是( )A ．23B ．6C ．4 3D ．12(2)(2012·山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 [自主解答] (1)根据椭圆定义，△ABC 的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4 3. (2)由离心率为32得，a 2＝4b 2，排除选项B ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为(2,2)，代入选项A 、C 、D ，知选项D 正确．[答案] (1)C (2)D ——————————————————— 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 或m 、n 的方程组； (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0).1．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，根据椭圆定义2a ＝12，即a ＝6，又c a ＝32，得c ＝33，故b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝12．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：设椭圆的焦点坐标为(±c,0)根据椭圆定义和△PF 1F 2是一个面积等于9的直角三角形，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ①|PF 1|·|PF 2|＝18， ②|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2. ③①式两端平方并把②、③两式代入可得4c 2＋36＝4a 2， 即a 2－c 2＝9，即b 2＝9，故b ＝3. 答案：3[例2] (2012·安徽高考)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．[自主解答] (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c .所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t . 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得， t ＝85a . 由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.———————————————————椭圆离心率的求法求椭圆的离心率(或范围)时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式(或不等式)，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围．3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )A.3－12B.5－12 C.1＋54D.3＋14解析：选B 根据已知a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，故所求的椭圆的离心率为5－12.4．椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a >5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆右焦点为F ′，由图及椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立，此时4a ＝12，则a ＝3，故椭圆方程为x 29＋y 25＝1, 所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23.答案：23[例3] 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2＋c )2＋1＝10，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2. 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，① 则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.所以线段AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－4km 3＋4k 2，3m3＋4k 2.因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m3＋4k 2＝－2km 3＋4k 2. 得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则 Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2. 设点P 到直线AB 距离为d ，则 d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13.设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝36·(m －4)2(12－m 2). 其中m ∈(－23，0)∪(0,23)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，2 3 ]， u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6) ＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)． 所以当且仅当m ＝1－7时，u (m )取到最大值． 故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值． 综上，所求直线l 方程为3x ＋2y ＋27－2＝0.———————————————————直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法5．(2013·洛阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，短轴的一个端点为M (0,1)，直线l ：y ＝kx －13与椭圆相交于不同的两点A ，B .(1)若|AB |＝4269，求k 的值； (2)求证：不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M . 解：(1)∵由题意知c a ＝22，b ＝1.由a 2＝b 2＋c 2可得c ＝b ＝1，a ＝2， ∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.由⎩⎨⎧y ＝kx －13，x22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0.Δ＝169k 2－4(2k 2＋1)×⎝⎛⎫－169＝16k 2＋649>0恒成立． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，x 2)，则x 1＋x 2＝4k 3(2k 2＋1)，x 1x 2＝－169(2k 2＋1)， ∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1＋k 2)(9k 2＋4)3(2k 2＋1)＝4269，化简得23k 4－13k 2－10＝0，即(k 2－1)(23k 2＋10)＝0， 解得k ＝±1.(2)证明：∵MA ＝(x 1，y 1－1)，MB ＝(x 2，y 2－1)，∴MA ·MB ＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169＝－16(1＋k 2)9(2k 2＋1)－16k 29(2k 2＋1)＋169 ＝0.∴不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M .1个规律——椭圆焦点位置与x 2、y 2系数之间的关系给出椭圆方程x 2m ＋y 2n ＝1时，椭圆的焦点在x 轴上⇔m >n >0；椭圆的焦点在y 轴上⇔0<m <n .1种思想——数形结合思想在椭圆几何性质中的运用求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2种方法——求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程．3种技巧——与椭圆性质、方程相关的三种技巧(1)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0<e <1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴.答题模板——直线与圆锥曲线的位置关系[典例] (2012北京高考·满分14分)已知曲线C ：(5－m )x 2＋(m －2)y 2＝8(m ∈R )．(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：方程的曲线是焦点在x 轴上的椭圆―――――――――→椭圆的标准方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)． 2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求m 的范围―→需建立关于m 的不等式． 3．建联系，找解题突破口由椭圆的标准方程―→――――――→确定a 2，b 2a 2＝85－m ，b 2＝8m －2―――――――→建立关于m 的不等式5－m ＞0，m －2＞0，85－m ＞8m －2解不等式组,得m 的取值范围． 第(2)问1．审条件，挖解题信息观察条件：m ＝4；曲线C 与y 轴交于A ，B 与直线y ＝kx ＋4交于M ，N ；直线y ＝1与直线BM 交于G ―――――――――――→把m ＝4代入曲线C 的方程并令x ＝0，得A 、B 的坐标曲线C 的方程x 2＋2y 2＝8，A (0,2)，B (0，－2)． 2．审结论，明确解题方向观察所证结论：证明A ，G ，N 三点共线―――――――→利用斜率转化证明k AN ＝k AG . 3．建联系，找解题突破口联立方程y ＝kx ＋4与x 2＋2y 2＝8，消元――――――→利用根与系数的关系确定M ，N 的坐标满足的条件―――――――――→写出BM 的方程并令y ＝1写出G 的坐标――――――――――→写出k AN ，k AG的表达式证明k AN －k AG ＝0. [准确规范答题](1)曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＞0，m －2＞0，85－m ＞8m －2，⇨(3分)解得72＜m ＜5，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫72，5.⇨(4分) (2)当m ＝4时，曲线C 的方程为x 2＋2y 2＝8，点A ，B 的坐标分别为(0,2)，(0，－2)．⇨(5分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4，x 2＋2y 2＝8，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0.⇨(6分) 因为直线与曲线C 交于不同的两点，所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×24＞0，即k 2＞32.⇨(7分)设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝kx 1＋4，y 2＝kx 2＋4， x 1＋x 2＝－16k 1＋2k 2，x 1x 2＝241＋2k 2.⇨(8分) 直线BM 的方程为y ＋2＝y 1＋2x 1x ，点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫3x 1y 1＋2，1.⇨(9分)因为直线AN 和直线AG 的斜率分别为k AN ＝y 2－2x 2，k AG ＝－y 1＋23x 1，⇨(11分) 所以k AN －k AG ＝y 2－2x 2＋y 1＋23x 1＝kx 2＋2x 2＋kx 1＋63x 1＝43k ＋2(x 1＋x 2)x 1x 2＝43k ＋2×－16k1＋2k 2241＋2k 2＝0. 即k AN ＝k AG .⇨(13分)故A ，G ，N 三点共线．⇨(14分)[答题模板速成]解直线与圆锥曲线位置关系的一般步骤：⇒一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012·上海高考)对于常数m ，n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为当m <0，n <0时，方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线不是椭圆，但当方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆时，m >0，n >0，mn >0.2．已知椭圆：x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．以上均不对解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧10－m >0，m －2>0，得2<m <10，由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4， 解得m ＝4或m ＝8.3．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．2 3B ．2 6C ．4 2D ．4 3解析：选D 依题意得|AC |＝5，所以椭圆的焦距为2c ＝|AB |＝4，长轴长2a ＝|AC |＋|BC |＝8，所以短轴长为2b ＝2a 2－c 2＝216－4＝4 3.4．(2013·汕尾模拟)已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.5．以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．相离D ．无法确定解析：选A 如图，设线段是PF 1，O 1是线段PF 1的中点，连接O 1O ，PF 2，其中O 是椭圆的中心，F 2是椭圆的另一个焦点，则在△PF 1F 2中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心线的长是|OO 1|＝12|PF 2|＝12(2a －|PF 1|)＝a －12|PF 1|＝R －r .6．(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：选C 根据题意直线PF 2的倾斜角是π3，所以32a －c ＝12|PF 2|＝12|F 1F 2|＝12×2c ，解得e ＝34.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2恒有公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________．解析：由题意知，以半焦距c 为半径的圆与椭圆有公共点，故b ≤c ，所以b 2≤c 2，即a 2≤2c 2，所以22≤c a .又c a <1，所以22≤e <1. 答案：⎣⎡⎭⎫22，18．(2012·江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________．解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1|·|BF 1|，即4c 2＝(a －c )·(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，得e ＝c a ＝55.答案：559．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点．若AF ＝3FB ，则k ＝________.解析：根据已知c a ＝32，可得a 2＝43c 2，则b 2＝13c 2，故椭圆方程为3x 24c 2＋3y 2c 2＝1，即3x 2＋12y 2－4c 2＝0.设直线的方程为x ＝my ＋c ，代入椭圆方程得(3m 2＋12)y 2＋6mcy －c 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则根据AF ＝3FB ，得(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)，由此得－y 1＝3y 2，根据韦达定理y 1＋y 2＝－2cm m 2＋4，y 1y 2＝－c 23(m 2＋4)，把－y 1＝3y 2代入得，y 2＝cm m 2＋4，－3y 22＝－c 23(m 2＋4)，故9m 2＝m 2＋4，故m 2＝12，从而k 2＝2，k ＝±2. 又k >0，故k ＝ 2. 答案： 2三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为F 1，F 2，且|PF 1|＝453，|PF 2|＝253. 由椭圆定义知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，即a ＝ 5. 由|PF 1|>|PF 2|知，|PF 2|垂直焦点所在的对称轴， 所以在Rt △PF 2F 1中，sin ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝12.可求出∠PF 1F 2＝π6，2c ＝|PF 1|·cos π6＝253，从而b 2＝a 2－c 2＝103.所以所求椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.11．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63，解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4.因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322， 所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.12．(2012·重庆高考)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程． 解：(1)如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|， 故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2， c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝25 5.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根， 因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5，又2B P＝(x 1－2，y 1)，2B Q＝(x 2－2，y 2)，所以2B P ·2B Q＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得2B P ·2B Q ＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.1．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足PF 1·PF 2＝0，则e 21＋e 22(e 1e 2)2的值为________．解析：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，|F 1F 2|＝2c ，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22.又∵PF 1·PF 2＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即2a 21＋2a 22＝4c 2. ∴⎝⎛⎫a 1c 2＋⎝⎛⎭⎫a 2c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2，即e 21＋e 22(e 1e 2)2＝2. 答案：22．已知F 1，F 2为椭圆x 2100＋y 2b 2＝1(0<b <10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．解析：(1)由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝20，则|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立，故(|PF 1|·|PF 2|)max ＝100.(2)因为S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433，所以|PF 1|·|PF 2|＝2563.① 又⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2＝400，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 所以3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2.② 由①②得c ＝6，则b ＝a 2－c 2＝8.3．已知平面内曲线C 上的动点到定点(2，0)和定直线x ＝22的比等于22. (1)求该曲线C 的方程；(2)设动点P 满足OP ＝OM ＋2ON ，其中M ，N 是曲线C 上的点．直线OM 与ON 斜率之积为－12.问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)设曲线C 上动点的坐标为(x ，y )，根据已知得(x －2)2＋y 2|x －22|＝22，化简整理得x 24＋y 22＝1，即为曲线C 的方程． (2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP ＝OM ＋2ON 得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)，即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2， 因为点M ，N 在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2) ＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题意知， k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20，所以P 点是椭圆x 2(25)2＋y 2(10)2＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1、F 2，则由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因为c ＝ (25)2－(10)2＝10，因此两焦点的坐标分别为F 1(－10，0)、F 2(10，0)．。