椭圆版高三数学(新高考)一轮复习优质课件ppt

5．设椭圆mx22＋ny22＝1(m＞0，n＞0)的右焦点与抛物线 y2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为__1x_62_＋__1y_22_＝__1_.
考点1 椭圆定义及标准方程
例 1：①(2011 年新课标全国)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为 22，过 F1 作直 线 l 交 C 于 A，B 两点，且△ABF2 的周长为 16，那么 C 的方程为 ____________．
第十二章 圆锥曲线
第1讲 椭圆
考纲要求
考纲研读
1.充分利用椭圆的定义或待定系数法 1.掌握椭圆的定义、几何图 求椭圆的方程．利用 a，c 的齐次式求
离心率．
2．理解数形结合的思想. 2．研究椭圆的几何性质时要把其方程 化成标准形式.
1．椭圆的定义 平面内与两个定点 F1，F2的距离之和为常数 2a(2a>|F2F2|)的 动点 P 的轨迹叫椭圆，其中两个定点 F1，F2叫椭圆的焦点，两焦 点间的距离△ABF2 的周长 AB＋AF2＋BF2 ＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝4a，
∴4a＝16.∴a＝4.∵ac＝ 22，
∴c＝2 2.∴b2＝a2－c2＝8.
∴椭圆方程为1x62 ＋y82＝1. 答案：1x62 ＋y82＝1
图D19
②若椭圆经过两点 A(0,2)和 B12，
模长范围，对于范围的求解一般是转化为三角(参数方程或三角换 元)求解或转化为某个变量的范围来解或利用极端思想数形结合求 解，这个内容在高考中的选择题的难度不大，但比较灵活，是考 查能力的问题，有效地区分了不同考生的数学水平．
【互动探究】
2．(2010 年广东)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距

B 分别为 C 的左，右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l
与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C
的离心率为( A )
A．13
B．12
C．23
D．34
[解析] 设点 M(－c，y0)，OE 的中点为 N，则直线 AM 的斜率 k＝a－y0 c， 从而直线 AM 的方程为 y＝a－y0 c(x＋a)， 令 x＝0，得点 E 的纵坐标 yE＝aa－y0c.同理，OE 的中点 N 的纵坐标 yN＝aa＋y0c. 因为 2yN＝yE，所以a＋2 c＝a－1 c，即 2a－2c＝a＋c，所以 e＝ac＝13.故选 A．
(2)已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)上有一点 A，它关于原点的对称点为 B，点 F
为椭圆的右焦点，且 AF⊥BF.设∠ABF＝α，且 α∈1π2，π6，则该椭圆的离 心率 e 的取值范围为( A )
A．
3－1，
6
3
B．[ 3－1，1)
C．
46，
6
3
D．0，
6
3
[解析] 如图所示，设椭圆的左焦点为 F′，连接 AF′，BF′，则四边形 AFBF′
为矩形，因此|AB|＝|FF′|＝2c，|AF|＋|BF|＝2a，|AF|＝2csin α，|BF|＝2ccos
α，∴2csin α＋2ccos α＝2a，
∴e＝sin
1 α＋cos
α＝
2sin1α＋π4.∵α∈1π2，π6，∴α＋π4∈π3，51π2，
∴sinα＋π4∈ 23，
2＋ 4
6，∴
2sinα＋π4∈ 26，1＋2

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【温馨提示】 求椭圆的标准方程，要先确定焦点在哪 条坐标轴上，再求出方程中 a，b 的值即可．其方法有三种： 一是直接根据定义，先由椭圆上的点到焦点的距离之和得出 a 的值，然后求 b 的值，写出标准方程；二是根据条件中的 a，b，c 的关系列出方程组，求出 a，b 的值，写出标准方 程；三是利用待定系数法，它的步骤有作判断，设方程，找 条件，得方程．
所以(－2 1－b2，－b2)＝3(x0＋ 1－b2，y0)．
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所以 x0＝－35 1－b2，y0＝－b32. 所以点 B 的坐标为(－53 1－b2，－b32)． 将 B－53 1－b2，－b32代入 x2＋by22＝1，得 b2＝23. 所以椭圆 E 的方程为 x2＋32y2＝1. 答案：x2＋32y2＝1
A.
3 2
B.43
2
2
C. 2
D.3
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解析： 1x32 ＋1y32 ＝1， 4
所以 a2＝13，b2＝143，c2＝349，
39
所以 e＝ac＝
2＝ 13
23，故选 A.
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4.设椭圆mx22＋ny22＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线 y2＝8x
的焦点相同，离心率为21，则此椭圆的方程为( A )
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2.若方程2xm2 ＋1－y2m＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数
m 的取值范围是( D )
A．(－∞，31)
B．(－∞，1)
C．(0,1)
D．(0，31)
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解析：依题设及椭圆标准方程可知，
2m>0

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[探究(tànjiū)] 2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度 有怎样的关系？
提示：离心率e＝ac越接近1，a与c就越接近，从而b＝ a2－c2 就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭 圆就越接近于圆．
第六页，共45页。
[自测(zìcè) 牛刀小试]
1．椭圆1x62＋y82＝1 的离心率为 e＝________.
第七页，共45页。
3．椭圆(tuǒyuán)x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短 轴长的两 倍，解则析m：=由__题__意__知__a_2.＝m1 ，b2＝1，且 a＝2b，则m1 ＝4，得
m＝14. 答案：14 4．若椭圆1x62＋my22＝1 过点(－2， 3)，则其焦距为_____. 解析：把点(－2， 3)的坐标代入椭圆方程得 m2＝4，所以 c2＝16－4＝12，所以 c＝2 3，故焦距为 2c＝4 3. 答案：4 3
两点，且线段AB被直线OP平分． (1)求椭圆C的方程(fāngchéng)； (2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程 (fāngchéng)．
第二十一页，共45页。
[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由题 意得
2＋c2＋1＝ 10， ac＝12，
解得ca＝＝12，.
所以椭圆方程为x42＋y32＝1.
左焦点为 F，△FAB 是以角 B 为直角的直角三角形，则
椭圆的离心率 e = _______. 解析：根据已知 a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即 c2＋ac－a2＝0，
即 e2＋e－1＝0，解得 e＝－12± 5，故所求的椭圆的离心
率为
5－1 2.
答案：
5－1 2
第十九页，共45页。

第
二 部 分
探究核心题型
题型一 椭圆的定义及其应用
例1 (1)(2022·丽江模拟)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：
(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是
√A.椭圆
C.抛物线
B.双曲线 D.双曲线的一支
设动圆P的半径为r， 又圆A：(x＋1)2＋y2＝1的半径为1，圆B：(x－1)2＋y2＝64的半径为8， 则|PA|＝r＋1，|PB|＝8－r， 可得|PA|＋|PB|＝9，又9>2＝|AB|， 则动圆的圆心P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为9的椭圆.
所以 kAP·kAQ＝m＋n a·－mn＋a＝a2－n2m2＝14.
(*)
因为点P在椭圆C上，
所以ma22＋nb22＝1，得 n2＝ba22(a2－m2)，
代入(*)式，得ba22＝14，
所以 e＝ac＝
1－ba22＝
3 2.
思维升华
求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出 a，c，利用离心率公式 e＝ac求解. (2)由 a 与 b 的关系求离心率，利用变形公式 e＝ 1－ba22求解. (3)构造 a，c 的方程.可以不求出 a，c 的具体值，而是得出 a 与 c 的 关系，从而求得 e.
y2＝2，它表示一个圆， 即“1<k<5”是“方程k－x21＋5－y2 k＝1 表示椭圆”的必要不充分条件.
(2)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为( 2，0)，右顶点为 A，O 为
坐标原点，过 OA 的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 M，N 两点，
若四边形 OMAN 是正方形，则椭圆 C 的方程为
(×) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.( √ ) (3) my22＋nx22＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆.( × ) (4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( × )

2.椭圆的标准方程和几何性质
图形
标准方程
__xa_22 __by_22 __1__ (a＞b＞0)
___ay_22 _ _xb _22 _ 1___ (a＞b＞0)
基础知识
图形
范围
_-a__≤x≤_a_ -_b__≤y≤_b_
-_b__≤x≤_b_ _-_a_≤y≤_a_
性 对称性 质
对称轴：_坐__标__轴__ 对称中心：_原__点__
二、考点探究
探究点二 椭圆的标准方程
变式题(1)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦
点的距离分别为������������������和������������������,过点 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的
一个焦点,则该椭圆的方程是 ( D )
A. ������������+������������������=1
[总结反思] 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭
圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种常见的方法:
①求出 a,c,代入公式 e=������; ������
②只需要根据一个条件得到关于 a,b,c 的齐次式,结合
b2=a2-c2 转化为 a,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边同时 除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式),解方程(不等式)
圆 E 的方程为
x2+������������������=1
������
.
二、考点探究
探究点二 椭圆的标准方程
[总结反思] 根据条件求椭圆方程的主要方法有: (1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. (2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的 a,b.当不知焦 点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求 出 m,n 的值即可.

高考一轮总复习•数学
(2)由题意知，直线 AC 不垂直于 y 轴． 设直线 AC 的方程为 x＝ty－2，A(x1，y1)，C(x2，y2)，
即 kAC≠0，可设为倒斜截式． 联立xx＝2＋ty2－y2＝2，8， 消去 x 并整理得 (t2＋2)y2－4ty－4＝0，Δ＝32(t2＋1)>0， 所以 y1＋y2＝t2＋4t 2，y1y2＝－t2＋4 2，
方法二(优解)：因为直线过点(0,1)，而 0＋14<1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可以推断
直线与椭圆相交．故选 A．
解析 答案
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第13页
3．已知 F 是椭圆2x52 ＋y92＝1 的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积
的最大值为( )
A．6
B．15
C．20
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第1页
第九章 解析几何
第6讲 椭圆(二)
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第2页
复习要点 1.能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程解的问题，会根 据根与系数的关系及判别式解决问题.2.通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想．
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第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
第25页
设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]
1 ＝ 1＋k2[y1＋y22－4y1y2](k 为直线斜率，k≠0)． 提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判 别式．
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可知 A，B 关于原点对称．

A.x62＋y52＝1
√B.x52＋y42＝1
C.x32＋y22＝1
D.x42＋y32＝1
如图，不妨设A(x0，y0)在第一象限，由椭圆的左焦 点F1(－1,0)，点C，F1是线段AB的三等分点， 得C为AF1的中点，F1为BC的中点， 所以x0＝1， 所以a12＋by202＝1， 解得 y0＝ba2，即 A1，ba2， 所以 C0，2ba2 ，B－2，－2ba2 ，
(2)(2022·全国甲卷)椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左顶点为 A，点 P，Q 均 在 C 上，且关于 y 轴对称.若直线 AP，AQ 的斜率之积为14，则 C 的离心 率为
√A.
3 2
1 C.2
2 B. 2
1 D.3
设P(m，n)(n≠0)，
则Q(－m，n)，易知A(－a,0)，
常用结论
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (4)|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋2 |PF2|2＝a2. (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (6)焦点三角形的周长为2(a＋c).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.
b4 将点 B 的坐标代入椭圆方程得a42＋4ba22＝1， 即a42＋4ba22＝1，
结合a2－b2＝c2＝1，解得a2＝5，b2＝4， 所以椭圆的标准方程是x52＋y42＝1.
题型三 椭圆的几何性质
命题点1 离心率 例 4 (1)(2022·太原模拟)设 F1，F2 是椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右

A．x32＋y22＝1
B．x32＋y2＝1
C．1x22 ＋y82＝1
D．1x22 ＋y42＝1
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[解析] (1)依题意，设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)，则
有2a22＋2b22＝1 ，由此解得 a2＝20，b2＝5，因此所求的椭圆 a2－b2＝15
方程是2x02 ＋y52＝1．
解析：右焦点为 F(1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在 x 轴
上；c＝1．又离心率为ac＝12，故 a＝2，b2＝a2－c2＝4－1 ＝3，故椭圆的方程为x42＋y32＝1．
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2．(2015·浙江省名校联考)已知 F1，F2 是椭圆x42＋y32＝1 的 两个焦点，过点 F2 作 x 轴的垂线交椭圆于 A，B 两点，则 △F1AB 的周长为____8____． 解析：由已知可得△F1AB 的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋ |BF2|＝4a＝8．
＝1(a＞b＞ 0)
ay22＋xb22 ＝1(a＞b＞0)
A1(－a,0),A2(a,0) B1(0,－b),B2(0,b)
A1(0,－a)，A2(0,a) B1(－b,0),B2(b,0)
长__轴__A_1_A2的长为__2_a___短轴B1B2的长为 2b
|F1F2|＝____2_c _____
该椭圆的标准方程为( C )
A．x52＋y2＝1
B．x42＋y52＝1
C．x52＋y2＝1 或x42＋y52＝0，1)，(－2，0)，由题意知当
焦点在 x 轴上时，c＝2，b＝1， ∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为x52＋y2＝1．
当焦点在 y 轴上时，b＝2，c＝1，
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．

考点1
考点2
考点3
-19-
解析: (1)因为椭圆方程为4x2+y2=1,所以a=1.
根据椭圆的定义,知△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|
=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=4.
(2)设动圆的半径为r,圆心为P(x,y),则有|PC1|=r+1,|PC2|=9-r.
则x12+4y12=4b2,x22+4y22=4b2,
两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2, 得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0. 易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,
所以 AB 的斜率 kAB=������������11--������������22 = 12. 因此,直线 AB 的方程为 y=12(x+2)+1, 代入②得,x2+4x+8-2b2=0.
易知,A
得,(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-8���1���(+24���������+���21),x1x2=4(2���1���++14)���2���2-4������2.
由|AB|=√10,得 10(������2-2) = √10,解得 b2=3.故椭圆 E 的方程
为������2
12
+
���3���2=1.
-23-

特殊值法
对于一些比较抽象的选择 题，可以选取满足条件的 特殊值进行验证，从而得 出正确答案。
填空题解题方法技巧
直接法
根据题设条件，利用椭圆的定义 、性质、公式等，直接求解得出
答案。
图形结合法
根据题设条件，画出相应的图形， 结合图形的特点进行求解。
转化法
将问题转化为已经解决的问题或者 更容易解决的问题进行求解。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程是用参数t表示椭圆上点的坐 标的方程；参数方程在求解与椭圆相关的问 题时有很多优点，比如可以减少未知数的数 量、简化计算过程等。
04
解题方法技巧与策略
选择题解题方法技巧
直接法
直接从题设条件出发，利 用椭圆的定义、性质、公 式等，通过推理、运算得 出结论。
排除法
根据题设条件，结合椭圆 的性质，对选项进行逐一 排查，从而得出正确答案 。
程和性质等方面，以便学生做好预习准备。
02
预备工作建议
针对下一讲的内容，给出具体的预习建议和学习方法，如阅读教材相关
章节、观看教学视频等，帮助学生更好地理解和掌握双曲线的知识。
03
学习目标设定
鼓励学生设定明确的学习目标，如掌握双曲线的基本概念和性质、能够
熟练解决相关问题等，以激发学生的学习动力和提升学习效果。
圆形。
椭圆的焦点三角形
椭圆的切线是与椭圆只有一个交点的直线； 椭圆的切线有很多重要的性质，比如切线与
法线的关系、切线斜率的性质等。
椭圆的切线
对于椭圆上的任意一点P，它与两个焦点F1 、F2构成的三角形PF1F2称为椭圆的焦点三 角形；焦点三角形有很多重要的性质，比如 在求解与椭圆相关的问题时可以用到。
注意心态调整