七年级：三角形三线合一性质专题

现在如果把两开关C和D都按上，两条电路都接通，此时应该是1＋1，但小灯泡B只会发出同样的亮光，所以此时还是1．
这个过程我们用数学式子来表示，就是：
1＋1=1．
这正是逻辑代数的加法．
0和1这些数字，本来是代表数的．在逻辑代数里，我们知道0和1不只表示数，而且更代表一种情况．正因为这样，所以得出了1＋1不等于2的结果．1＋1不光只等于2或等于1．在采用二进制的计算方法中，1＋1是等于10．可见，我们习惯的数字计算法那么，在一些数学新概念中得出的结果不再是人们预料的．。

几何模型｜“三线合一”定理及其逆定理北师版7年级数学，人教版8年级数学当中都会学到三角形，其中等腰三角形的“三线合一”性质应用十分广泛，可以利用它来巧妙地证明角相等、线段相等或直线垂直等问题．“三线合一”这个重要的性质，就是我们通过所说的“三线合一定理”和“三线合一逆定理”，“逆定理”是存在的，但是课本上没有，不能直接用，是需要证明的。

1．三角形的“三线”是指三角形中的高线、中线及角平分线。

2．“三线合一”定理的证明在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。

简记为“三线合一”。

（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）（1）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，求证：∠BAD=∠CAD，BD=CD。

证明：∵AB=AC，AD⊥BC，AD=AD∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）∴∠BAD=∠CAD，BD=CD总结：等腰三角形中，底边的高线，既是顶角平分线也是底边中线。

（2）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，求证：AD⊥BC，BD=CD。

证明：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SAS）∴∠BDA=∠CDA，BD=CD∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，BD=CD总结：等腰三角形中，顶角平分线，既是底边高线也是底边中线。

（3）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD=CD，求证：AD⊥BC，∠BAD =∠CAD。

证明：∵AB=AC，BD=CD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SSS）∴∠BDA=∠CDA，∠BAD=∠CAD又∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD总结：等腰三角形中，底边中线，既是底边高线也是顶角平分线。

3．“三线合一”逆定理的证明在三角形中，高线、中线、角平分线中只要两线重合，则可推出这条线也是第三条线，且这个三角形为等腰三角形。

三线合一知识讲授等腰三角形的“三线合一”性质应用十分广泛，可以利用它来巧妙地证明角相等、线段相等或直线垂直等问题．1．三角形的“三线”是指三角形中的高线、中线及角平分线。

2．“三线合一”定理在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。

简记为“三线合一”。

（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）（1）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，求证：∠BAD=∠CAD，BD=CD。

证明：∵AB=AC，AD⊥BC，AD=AD∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）∴∠BAD=∠CAD，BD=CD总结：等腰三角形中，底边的高线，既是顶角平分线也是底边中线。

（2）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，求证：AD⊥BC，BD=CD。

证明：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SAS）∴∠BDA=∠CDA，BD=CD又∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，BD=CD总结：等腰三角形中，顶角平分线，既是底边高线也是底边中线。

（3）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD=CD，求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD。

证明：∵AB=AC，BD=CD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SSS）∴∠BDA=∠CDA，∠BAD=∠CAD又∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD总结：等腰三角形中，底边中线，既是底边高线也是顶角平分线。

3．“三线合一”逆定理在三角形中，高线、中线、角平分线中只要两线重合，则可推出这条线也是第三条线，且这个三角形为等腰三角形。

简言之：两线合一，必等腰。

（1）如图，在△ABC中，BD=CD，AD⊥BC，求证：AB=AC，∠BAD=∠CAD。

证明：∵BD=CD，AD⊥BC，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SAS）∴AB=AC，∠BAD=∠CAD总结：在三角形中，高线和中线重合，则这条线也为角平分线，且三角形为等腰三角形。

教你运用“三线合一”性质江西黄永源“三线合一”性质是等腰三角形所特有的性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高线互相重合.该性质其实包括如下三方面的内容：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点.（1）若AD是等腰△ABC底边BC上的中线，那么AD是顶角∠BAC的平分线，AD是底边BC上的高线；（2）若AD是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线，那么AD是底边BC上的中线，AD是底边BC上的高线；（3）若AD是等腰△ABC底边BC上的高线，那么AD是顶角∠BAC的平分线，AD是底边BC上的中线.显然，“三线合一”性质给我们提供了证明角相等、直线垂直、线段相等的新思想和新方法.在解答一些图形有关的证明问题时，要注意灵活运用它们，由此及彼.例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE＝DF.分析：依题意，DE和DF分别为点D到∠BAC两边的距离，要证明它们相等，可先证明点D在∠BAC的平分线上，这只要证明AD是∠BAC的平分线.证明：连接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线.∴AD平分∠BAC.∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF.说明：本题的解答过程中，运用了等腰△ABC底边BC上的中线AD是顶角∠BAC的平分线的性质.例2 如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：∠CBD＝12∠BAC．分析：为了得到12∠BAC，可考虑作∠BAC的平分线．这样，把证明两角成倍数关系转化为证明两角是相等关系．证明：作∠BAC的平分线AE交BC于点E，那么∠１＝∠２＝12∠BAC．∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线．∴AE⊥BC于点E．∴∠AEC＝90°，∠１＋∠C＝90°，∵BD⊥AC于点D，∴∠BDC＝90°，∠CBD＋∠C＝90°．∴∠CBD＝∠１＝12∠BAC．说明：本题的解答过程中，运用了等腰△ABC顶角∠BAC的平分线是底边BC上的高线的性质.例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，D在BA的延长线上，E在AC上，且AD＝AE，求证：DE⊥BC.分析：注意到△ABC是以BC为底边的等腰三角形，那么底边上的高与BC垂直.要证明DE⊥BC，应先证明DE与这条高平行.证明：过A作AF⊥BC于F.∵AB＝AC，AF⊥BC于F，∴AF是等腰三角形△ABC底边BC上的高线.∴AF平分∠BAC.∴∠BAC＝2∠BAF.∵AD＝AE，∴∠D＝∠AED.∴∠BAC＝∠D＋∠AED＝2∠D.∴∠BAF＝∠D，DE∥AF.∴DE⊥BC.说明：本题的解答过程中，运用了等腰△ABC底边BC上的高线AF是顶角∠BAC的平分线的性质.。

“三线合一”定理的灵活应用:三线合一定理“三线合一”定理是等腰三角形所特有的性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高互相重合．该定理其实包括如下三个方面的内容：1．等腰三角形底边上的中线，既是顶角的平分线，又是底边上的高线；2．等腰三角形顶角的平分线，既是底边上的高线，又是底边上的中线；3．等腰三角形底边上的高线，既是底边上的中线，又是顶角的平分线．显见，以上三方面的内容，给我们提供了证明线段相等、角相等、直线垂直的新思想和新方法．在解答一些证明问题时，要注意灵活应用它们．例1如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF．分析：依题意，DE和DF分别为点D到∠BAC两边的距离，要证明它们相等，可先证明点D在∠BAC的平分线上，即证明AD是∠BAC的平分线．证明：连接AD．因为AB=AC，BD=CD，所以AD是等腰△ABC底边BC上的中线．所以AD平分∠BAC．因为DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，所以DE=DF．说明：本题的解答过程中，应用了等腰△ABC底边BC上的中线AD是顶角∠BAC的平分线的性质．例2如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，P是AD 上的一点，求证：AB-AC＞PB-PC．分析：证明四条线段之间的不等关系，应把这四条线段转化为同一个三角形中的三边．为了得到AB-AC的结果，可在AB 上截取AE=AC，则有BE=AB-AC．为此，只要证明BE＞PB-PC即可．证明：在AB上截取AE=AC，连接PE、CE，CE交AD于F．因为AE=AC，AD平分∠BAC，所以AF是等腰△ACE的顶角∠CAE的平分线．所以AF⊥CE，CF＝EF．即，AF是CE的垂直平分线．因为P在AF上，所以PE＝PC．因为BE＞PB-PE，BE=AB-AE，所以AB-AC＞PB-PC．说明：本题的解答过程中，应用了等腰△ACE顶角∠CAE的平分线AF，是底边CE上的高线，同时又是底边CE上的中线的性质．例3如图，在△ABC中，AB=AC，D在BA的延长线上，E在AC上，且AD=AE，求证：DE⊥BC．分析：注意到△ABC是以BC为底边的等腰三角形，那么底边上的高与顶角平分线重合．要证明DE⊥BC，应先证明DE与这条高平行．证明：过A作AF⊥BC于F．因为AB=AC所以AF平分∠BAC．所以∠BAC=2∠BAF．因为AD=AE，所以∠D=∠AED．所以∠BAC＝∠D+∠AED=2∠D．所以∠BAF=∠D，DE∥AF．所以DE⊥BC．说明：本题的解答过程中，应用了等腰△ABC底边BC上的高AF是顶角∠BAC的平分线的性质．例4如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，求证：∠CBD=1/2∠BAC．分析：为了得到1/2∠BAC，可考虑作∠BAC的平分线．这样，把证明两角成倍数关系转化为证明两角是相等关系．证明：作∠BAC的平分线AE交BC于点E，那么∠1=∠2=1/2∠BAC．因为AB=AC，AE平分∠BAC，所以AE是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线．所以AE⊥BC于点E．所以∠AEC=90°，∠1+∠C=90°，因为BD⊥AC于点D，所以∠BDC=90°，∠CBD+∠C=90°．所以∠CBD=∠1=1/2∠BAC．说明：本题的解答过程中，应用了等腰△ABC顶角∠BAC的平分线是底边BC上的高线的性质．。

初中几何等腰三角形三线合一经典题型及变式题汇总三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。

所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。

必然三线合一。

今天主要举例说明一下等腰三角形三线合一，求解的问题。

并出几个变形题目，供大家练习，在从其他方面来解答等腰等腰三角形问题。

题：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，P是BC上的点。

求证：PA^2=AB^2-PBPC。

证明：作高AD。

则由勾股定理，得AB^2-PA^2=BD^2+AD^2-( PD^2+AD^2)= BD^2-PD^2=(BD-PD)(BD+PD)=PB（BD+PD），因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=DC，所以BD+PD=DC+PD=PC，所以AB^2-PA^2=PBPC，所以PA^2=AB^2-PBPC。

变式一：如图2，D是等腰△ABC底边BC延长线上的点，AB=AC=CD=2BC，则AD：BC=______。

（答案：√10）变式二：已知等腰△ABC中，AB=AC，P是底边BC延长线上的点。

求证：PA^2=AB^2+PBPC。

（提示：作△ABC的高AD）变式三：已知等腰Rt△ABC中，AB=AC=2√2，∠BAC=90°，P 是BC上的点，Q是BC延长线上的点，且∠PAQ=90°，如果PQ=5，则PB=______.(答案：1)初中英语下册期末复习第11单元重点知识汇总Unit11 How was your school trip?【重点单词】milk v.挤奶cow n.奶牛milk a cow 给奶牛挤奶horse n.马ride a horse 骑马feed v.喂养；饲养feed chickens 喂鸡farmer n.农民；农场主quite adv.相当；安全quite a lot(of…) 许多anything pron.（常用于否定句或疑问句）任何东西；任何事物grow v.种植；生长；发育farm n.农场；务农；种田pick v.采；摘excellent adj.极好的；优秀的countryside n.乡村；农村in the countryside 在乡下；在农村yesterday n.昨天flower n.花worry v.担心；担忧luckily adv.幸运地；好运地sun n.太阳museum n.博物馆fire n.火灾fire station 消防站painting n.油画；绘画exciting adj.使人兴奋的；令人激动的lovely adj.可爱的expensive adj.昂贵的cheap adj.廉价的；便宜的slow adj.缓慢的；迟缓的fast adv&adj快地（的）robot n.机器人guide n.导游；向导gift n.礼物；赠品all in all 总的说来everything pron.一切；所有事物interested adj.感兴趣的be interested in 对……感兴趣dark adj.黑暗的；昏暗的hear(heard）v.听到；听见【重点短语】1. school trip 学校旅行2. go for a walk 去散步3. milk a cow 挤牛奶4. ride a horse 骑马5. feed chickens 喂鸡6. talk with a farmer 与农民交谈7. take some photos 照相8. ask some questions 问一些问题9. grow apples 种苹果10. show sb. around splace. 带某人逛某地11. learn a lot 学到许多12. pick some strawberries 摘草莓13. last week 上周14．In the countryside 在乡村15. visit my grandparents 拜访我的祖父母16. go fishing 去钓鱼17. sound good 听起来很好18. climb the mountains 去爬山19. play some games 玩一些游戏20. visit a museum 参观博物馆21. visit a fire station 参观消防站22.draw pictures 画画23. go on a school trip 去旅行24 visit the science museum 参观科技博物馆25. how to make a model robot 如何制作机器人模型26. gift shop 礼品店27. buy sth for sb. 为某人买某物28. all in all 总得来说29. be interested in... 对…感兴趣30. be expensive 昂贵的31. not...at all 一点儿也不【重点句型】1.—Did you see any cows?你见到奶牛了吗一Yes, I did. I saw quite a lot.我见到了而且见到了很多很多2.—Did Carol take any photos?罗尔拍照片了吗？—Yes, she did.是的，她拍了。

等腰三角形性质：三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。

“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。

反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。

【例题讲解】例1．如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。

求证：BE=CE。

变式练习1-1 如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。

求证：AD垂直平分BC。

变式练习1-2 已知，如图所示，AD 是△ABC ，DE 、DF 分别是△ABD 和△ACD 的高。

求证：AD 垂直平分EF 。

例二：如图△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，若CD ＝4，且△BDC 周长为24，求AE 的长度。

例三. 等腰三角形顶角为α，一腰上的高与底边所夹的角是β，则β与α的关系式为β=___________。

图1ABCED分析：如图1，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，作底边BC 上的高AE ，E 为垂足，则可知∠EAC=∠EAB=12α，又∠EAC C C=-=-9090°∠，∠°∠β，所以∠，EAC ==ββα12。

例四. 已知：如图2，△ABC 中，AB=AC ，CE ⊥AE 于E ，CE BC =12，E 在△ABC 外，求证：∠ACE=∠B 。

图2分析：欲证∠ACE=∠B ，由于AC=AB ，因此只需构造一个与Rt △ACE 全等的三角形，即做底边BC 上的高即可。

证明：作AD ⊥BC 于D ， ∵AB=AC ， ∴BD BC =12又∵CE BC =12，∴BD=CE 。

在Rt △ABD 和Rt △ACE 中， AB ＝AC ，BD=CE ，∴Rt △ABD ≌Rt △ACE （HL ）。

专题13 等腰三角形中三线合一的应用题型一利用三线合一求角度【典例1】（2019•兴平市期末）如图，已知房屋的顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB＝AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C=180°−∠BAC2=180°−100°2=40°；∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝100°，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝50°．题型二利用三线合一求线段【典例2】（2019•金华校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，BC＝10，△BDC的周长为22，求AB的值．【详解】解：∵DE垂直且平分AB，∴AD＝BD，∵△BDC的周长为22∵BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝BC+AC＝22，∵BC＝10，∴AC＝12，∴AB＝AC＝12．题型三利用三线合一证线段（角）相等【典例3】（2019•吉林期末）已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．（1）如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF．求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．【详解】解：（1）证明：连接AD∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点∴AD=BC2=BD＝CD且AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD＝45°在△BDE和△ADF中，{BD=AD∠B=∠DAF=45°BE=AF，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF∵∠BDE+∠ADE＝90°∴∠ADF+∠ADE＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF为等腰直角三角形．（2）解：仍为等腰直角三角形．理由：∵△AFD≌△BED∴DF＝DE，∠ADF＝∠BDE∵∠ADF+∠FDB＝90°∴∠BDE+∠FDB＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF为等腰直角三角形．题型四利用三线合一证垂直【典例4】（2019•湖里区校级期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．【详解】证明：作EF⊥AC于F，∵EA＝EC，∴AF＝FC=12AC，∵AC＝2AB，∴AF＝AB，∵AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD＝∠CAD，△BAE和△F AE中{AB=AF∠BAD=∠CADAE=AE，∴△ABE≌△AFE（SAS），∴∠ABE＝∠AFE＝90°．∴EB⊥AB．题型五利用三线合一证线段的倍数关系【典例5】如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF 的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．【详解】解：取BF的中点E，连接AE，AD，∵∠BAC＝90°，∴AE＝BE＝EF，∴∠ABD＝∠BAE，∵CD⊥BD，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠DAC＝∠DBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠DAC＝∠BAE，∴∠EAD＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠DBC＝22.5°，∴∠AED＝45°，∴AE＝AD，在△ABE与△ADC中，{∠ABE=∠DAC∠BAE=∠ACDAE=AD，∴△ABE≌△ADC，∴BE＝CD，∴BF＝2CD．题型六 利用三线合一证线段的和差关系【典例6】如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，∠B ＝2∠C ，试说明：AB +BD ＝CD ．【详解】解：在CD 上取一点E 使DE ＝BD ，连接AE ．∵AD ⊥BC ，∴△ABE 是等腰三角形，∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AEB ，∵∠B ＝∠AEB ＝2∠C ，又∵∠AEB ＝∠C +∠EAC ，∴∠EAC ＝∠C ，∴AE ＝EC ；∴CD ＝DE +EC ＝AB +BD ．巩固练习1．（2019•鄂州期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∠ABC ＝45°，点D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于点E ，其延长线交AB 于点F ，连接DF ．求证：∠ADC ＝∠BDF ．【详解】证明：作BG ⊥CB ，交CF 的延长线于点G ，如图所示：∵∠CBG ＝90°，CF ⊥AD ，∴∠CAD +∠ADC ＝∠BCG +∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCG ，在△ACD 和△CBG 中，{∠CAD =∠BCGAC =BC ∠ACD =∠CBG =90°，∴△ACD ≌△CBG （ASA ），∴CD ＝BG ，∠CDA ＝∠CGB ，∵CD ＝BD ，∴BG ＝BD ，∵∠ABC ＝45°，∴∠FBD ＝∠GBF =12∠CBG ，在△BFG 和△BFD 中，{BG =BD∠FBD =∠GBF BF =BF，∴△BFG ≌△BFD （SAS ），∴∠FGB ＝∠FDB ，∴∠ADC ＝∠BDF ．2．（2019•镇赉期末）如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AE＝3ED＝6，求AB的长．【点睛】（1）过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F．由AAS证明△CDE≌△CBF，可得CE＝CF，结论得证；（2）证明Rt△ACE≌Rt△ACF，可得AE＝AF，可求出AB＝4．【详解】（1）证明：过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F．∵CE⊥AD，∴∠DEC＝∠CFB＝90°，∵∠D+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠D＝∠CBF，∵CD＝CB，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB．（2）解：由（1）得BF＝DE，∵CE＝CF，CA＝CA，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AE＝AF，∴AB＝AF﹣BF＝AE﹣DE，∵AE＝6，DE＝2，∴AB＝4．3．（2019•长宁区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC边上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CM⊥AB于M，试探究线段PD、PE、CM的数量关系，并说明理由．【详解】解：PD+PE＝CM，证明：连接AP．∵AB＝AC，∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP=12AB×PD+12AC×PE=12×AB×（PD+PE），∵S△ABC=12AB×CM，∴PD+PE＝CM．4．（2019•丰南区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．AB的垂直平分线交AB于E，交BC于M；AC的垂直平分线交AC于F，交BC于N．连接AM、AN．（1）∠MAN的大小；（2）求证：BM＝CN．【详解】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵直线ME垂直平分AB，∴BM＝AM，∴∠B＝∠MAB＝30°，∴∠AMN＝∠B+∠MAB＝60°，同理可得：∠ANM＝60°．∴∠MAN＝180°﹣60°﹣60°＝60°；（2）证明：∵在△AMN中，∠AMN＝∠ANM＝∠MAN＝60°，∴△AMN为等边三角形．即AM＝AN＝MN，又∵BM＝AM，CN＝AN，∴BM＝CN．5．（2019•重庆校级期中）如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE ＝12，CF ＝5．（1）求线段EF 的长；（2）求四边形AFDE 面积．【详解】解：（1）连接AD ．∵△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，∴AD ＝DC ＝DB ，AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠C ＝45°，∵∠EDA +∠ADF ＝90°，又∵∠CDF +∠ADF ＝90°，∴∠EDA ＝∠CDF ．在△AED 与△CFD 中，{∠EDA =∠FDCAD =CD ∠EAD =∠C，∴△AED ≌△CFD （ASA ）．∴AE ＝CF ＝5．∵AB ＝AC ，∴BE ＝AF ＝12．在Rt △AEF 中，∵∠EAF ＝90°，∴EF 2＝AE 2+AF 2＝52+122＝169， ∴EF ＝13；（2）由（1）知△AED ≌△CFD ，所以S 四边形AFDE ＝S △AFD +S △AED ＝S △AFD +S △CFD ＝S △ADC =12S △ABC=12×12AB 2=14（12+5）2=2894．。

七年级数学下册解法技巧思维培优专题13 等腰三角形中三线合一的应用题型一利用三线合一求角度【典例1】（2019•兴平市期末）如图，已知房屋的顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB＝AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．题型二利用三线合一求线段【典例2】（2019•金华校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，BC＝10，△BDC的周长为22，求AB的值．题型三利用三线合一证线段（角）相等【典例3】（2019•吉林期末）已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．（1）如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF．求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．题型四利用三线合一证垂直【典例4】（2019•湖里区校级期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．题型五利用三线合一证线段的倍数关系【典例5】如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF 的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．题型六利用三线合一证线段的和差关系【典例6】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝2∠C，试说明：AB+BD＝CD．巩固练习1．（2019•鄂州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC＝∠BDF．2．（2019•镇赉期末）如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AE＝3ED＝6，求AB的长．3．（2019•长宁区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC边上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CM⊥AB于M，试探究线段PD、PE、CM的数量关系，并说明理由．4．（2019•丰南区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．AB的垂直平分线交AB于E，交BC于M；AC的垂直平分线交AC于F，交BC于N．连接AM、AN．（1）∠MAN的大小；（2）求证：BM＝CN．5．（2019•重庆校级期中）如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5．（1）求线段EF的长；（2）求四边形AFDE面积．。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 在等腰三角形ABC中，顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则下列说法正确的是（）A. AD=BDB. AD=CDC. BD=CDD. AD=BC2. 在等腰三角形ABC中，若底边BC上的高为h，则顶角A的角平分线与底边BC 相交于点D，则AD的长度为（）A. h/2B. hC. 2hD. 3h3. 在等腰三角形ABC中，若底边BC上的中线为m，则顶角A的角平分线与底边BC 相交于点D，则AD的长度为（）A. m/2B. mC. 2mD. 3m4. 在等腰三角形ABC中，若顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则AD与BC 的关系是（）A. AD=BCB. AD=BDC. AD=CDD. AD是BC的中线ABD与三角形ACD的关系是（）A. 相似B. 全等C. 不确定D. 无法判断6. 在等腰三角形ABC中，若顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则三角形ABD与三角形ACD的面积关系是（）A. 相等B. 不相等C. 无法判断D. 无法确定7. 在等腰三角形ABC中，若顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则三角形ABD与三角形ACD的周长关系是（）A. 相等B. 不相等C. 无法判断D. 无法确定8. 在等腰三角形ABC中，若顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则三角形ABD与三角形ACD的高关系是（）A. 相等B. 不相等C. 无法判断D. 无法确定ABD与三角形ACD的中线关系是（）A. 相等B. 不相等C. 无法判断D. 无法确定10. 在等腰三角形ABC中，若顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则三角形ABD与三角形ACD的角平分线关系是（）A. 相等B. 不相等C. 无法判断D. 无法确定二、填空题（每题3分，共30分）1. 在等腰三角形ABC中，顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则AD=______。

2. 在等腰三角形ABC中，底边BC上的高为h，则顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则AD=______。

等腰三角形三线合一
等腰三角形是一种特殊的三角形，其特点是有两条边长相等，这两条相等的边被称为腰，而第三条边则被称为底边。

在等腰三角形中，有一些几何性质非常有趣，其中最著名的就是“三线合一”定理。

等腰三角形三线合一定理：在等腰三角形中，底边上的高（垂直平分线）、底边上的中线以及顶角平分线是重合的。

定理的证明：
1. 设A、B、C是等腰三角形的三个顶点，其中AB=AC，BC是底边。

2. 设D是BC的中点，那么BD=DC（因为D是中点）。

3. 从A点作垂线至BC，垂足为E，那么AE就是底边上的高。

4. 由于AB=AC，根据等腰三角形的性质，AE同时平分了∠BAC，即AE 也是顶角BAC的平分线。

5. 根据三角形的中位线定理，DE是三角形ABC的中位线，所以DE平行于AB，且DE=1/2AB。

6. 由于DE平行于AB，且DE=1/2AB，根据相似三角形的性质，三角形AED与三角形ABC相似。

7. 相似三角形的对应角相等，所以∠AED=∠BAC/2，即AE也是∠BAC 的平分线。

8. 由于AE是底边BC上的高，也是顶角的平分线，同时DE是底边的中线，因此三线合一定理成立。

定理的应用：
1. 在解决几何问题时，利用三线合一定理可以简化问题，快速找到解法。

2. 在证明其他几何性质时，三线合一定理可以作为一个重要的辅助定理。

3. 在实际测量中，如果已知等腰三角形的底边和高，可以利用三线合一定理来确定其他边长和角度。

通过上述证明和应用，我们可以看到等腰三角形的三线合一定理在几何学中的重要性。

它不仅帮助我们理解等腰三角形的内在联系，还为解决更复杂的几何问题提供了有力的工具。

三角形的三线合一性质
三线合一，即在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）等边三角形是等腰三角形的一种，也满足此条件。

如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

等边三角形的性质
（1）等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。

（2）等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合。

（三线合一）（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。

（4）等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。

（四心合一）（5）等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。

（等于其高）（6）等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。

（因为等边三角形是特殊的等腰三角形）三角形的性质
1、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。

3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

4、一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5、在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

6、三角形任
意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

初中数学三线合一定理好嘞，今天咱们聊聊一个数学界的“秘密武器”，就是咱们的三线合一定理。

听起来好像很复杂，其实呢，咱们就把它当成一种游戏，没啥好紧张的。

大家都知道，数学有时候就像一团乱麻，但只要找对方法，一切就能变得简单明了。

想象一下，咱们手里有个三角形，嘿，就是那个最常见的三角形，底边长，直角边高。

然后呢，在这个三角形的每一个边上，咱们分别画出一条线，这三条线就像三位朋友一样，兴高采烈地聚在一起。

这三条线如果能在某个地方相遇，形成一个点，那就是咱们的“合点”。

这个合点可不一般哦，它和三角形的每一个角、每一条边都有千丝万缕的关系，简直就像是三角形的心脏。

这时，可能有小伙伴会问，三线合点到底是什么鬼？其实很简单，假设你有三条线，分别是三角形的角平分线、高度线和中线，这些线就像是三位性格各异的好朋友。

角平分线呢，像个热情的聚会组织者，把每个角分成两半；高度线嘛，走路时总是挺胸抬头，直直地朝着对面边的垂直方向走；中线则是个和事佬，把两边的距离弄得相等，真是个和谐的小天使。

三线合一定理就告诉我们，这三条线如果能相交在一个点上，这个点就可以用来解决很多问题。

比如说，你想知道这个三角形的面积，或者想算出某个角的度数，嘿，只要找到那个合点，很多事情就迎刃而解了。

简直就像在寻找宝藏一样，找到这个点，你的数学之路就会顺风顺水。

好啦，再来个比喻，想象一下三角形就像一场精彩的音乐会，每一条线都是不同的乐器，合在一起就能奏出和谐的乐章。

你要是能掌握这些乐器的演奏方法，嘿，整个音乐会就能嗨翻天。

别小看这些线，它们之间的关系复杂得像一盘麻辣火锅，色香味俱全，得好好品味。

我们再说说三线合点的应用。

这个点不仅仅是个数学游戏，它在工程、建筑，甚至日常生活中都有用。

比如说，建筑师在设计房子时，常常会用到这些原理，确保房子的结构稳固。

这就像是给你心爱的房子加上了一个“安全锁”，让它更结实。

理解这些原理并不容易，毕竟很多时候，我们的脑袋像被蜜糖粘住了一样，动不了。

三线合一的知识点
嘿，朋友！今天咱来聊聊“三线合一”这个超厉害的知识点呀！
你看啊，就拿等腰三角形来说吧。

在等腰三角形里，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，这三条线可神奇了，它们竟然是合一的哟！比如说，有个等腰三角形 ABC，AB=AC，AD 是它底边上的高，那这时候 AD 不也
是顶角∠BAC 的平分线，还是底边 BC 的中线啊！哇塞，是不是很神奇呀！
这就好像一个团队里，有个人既能当指挥，又能当主力，还能做好后勤保障一样，简直太棒了！你想想，如果没有三线合一，那得有多麻烦呀！
所以说呀，三线合一真的是非常重要呢！它让我们对等腰三角形的理解更加深入，也让我们在解决很多几何问题的时候更加得心应手。

记住它准没错啦！。