高中数学新课程创新教学设计案例50篇___15_异面直线

《异面直线》学历案（第一课时）一、学习主题本课时学习主题为“异面直线”。

该主题旨在引导学生理解并掌握异面直线的概念、性质及判断方法，为后续空间几何的学习打下坚实基础。

二、学习目标1. 理解异面直线的定义，能够区分异面直线与平行直线、相交直线的区别。

2. 掌握异面直线的性质，如异面直线的夹角、距离等基本概念。

3. 学会利用空间几何图形判断异面直线的关系，并能够运用所学知识解决实际问题。

三、评价任务1. 概念理解评价：通过课堂提问和课后小测验，评价学生对异面直线定义的掌握情况。

2. 知识应用评价：布置相关练习题，评价学生运用异面直线性质解决问题的能力。

3. 思维拓展评价：通过小组讨论和课堂展示，评价学生对于异面直线知识的深入理解和创新思维。

四、学习过程1. 导入新课：通过回顾平行直线和相交直线的概念，引导学生思考异面直线的特点，为新课学习做好铺垫。

2. 新课讲解：（1）定义异面直线：通过具体实例，讲解异面直线的定义，强调其与平行直线、相交直线的区别。

（2）异面直线的性质：讲解异面直线的性质，如夹角、距离等，帮助学生建立基本概念。

（3）判断异面直线的方法：通过空间几何图形的分析，教授判断异面直线的方法，强调空间想象能力的培养。

3. 课堂互动：学生提问、教师答疑，加强学生对异面直线知识的理解。

4. 巩固练习：布置相关练习题，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固课堂所学。

五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验，检测学生对异面直线定义及性质的掌握情况。

2. 课后作业：布置适量练习题，包括选择题、填空题和解答题等，要求学生独立完成，并强调异面直线知识的运用。

3. 作业评讲：下课时对作业进行评讲，针对学生出现的错误进行讲解和纠正，加深学生对异面直线知识的理解。

六、学后反思1. 教师反思：教师需对本次课程的教学过程进行反思，总结教学经验及不足，为今后的教学提供改进方向。

2. 学生反思：引导学生对本次课程的学习过程进行反思，总结所学知识及学习方法，提高学生的自主学习能力。

15 异面直线教材分析异面直线是立体几何中十分重要的概念．研究空间点、直线和平面之间的各种位置关系必须从异面直线开始．教材首先通过实例让学生弄懂“共面”、“异面”的区别，正确理解“异面”的含义，进而介绍异面直线所成角及异面直线间的距离，这样处理完全符合学生的认知规律．处理好这节内容，可以比较容易地引导学生实现由平面直观到空间想象的过渡．教学重点是异面直线的概念，求异面直线所成的角和异面直线间的距离是这节的难点．教学目标1. 理解异面直线的概念，了解空间中的直线的三种位置关系．2. 理解异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义，体会空间问题平面化的基本数学思想方法．3. 通过异面直线的学习，使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯，培养学生的空间想象能力．任务分析空间中的两条直线的位置关系，是在平面中两条直线位置关系及平面的基本性质基础上提出来的．学生对此已有一定的感性认识，但是此认识是肤浅的．同时，学生空间想象能力还较薄弱．因此，这节内容课应从简单、直观的图形开始介绍．“直观”是这节内容的宗旨．多给学生思考的时间和空间，以有助于空间想象能力的形成．异面直线所成的角的意义及求法，充分体现了化归的数学思想．要让学生通过基本问题的解决，进一步体会异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义及其基本求法．教学设计一、问题情境（１）1. 同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在直线的位置或观察天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线的位置．2. 如图15-1，长方体ABCD—A1B1C1D1中，线段A1B所在直线与线段C1C所在直线的位置关系如何？二、建立模型（１）1. 首先引导学生观察实例或几何模型，进而发现，空间两直线除平行或相交外，还有一种位置关系：存在两条直线既不平行又不相交，即不能共面的两直线，并在此基础上总结出异面直线的定义．2. 在学生讨论归纳异面直线定义的基础上，教师概括：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．强调：（1）所谓异面，即不共面，所以它们既不平行，也不相交．（2）“不共面”，指不在任何一个平面内，关键是“任何”二字．3. 先让学生总结空间中两条直线的位置关系，然后教师明晰．（1）共面与异面．共面分为平行和相交．（2）有无公共点．有且仅有一个公共点———相交直线，无公共点____________ 平行直线和异面直线．4. 异面直线的画法．先让学生体会下列图形，并让其指出哪些更为直观．显然，图15-2或图15-3较好．因此，当表示异面直线时，以平面衬托可以显示得更清楚．三、问题情境（2）刻画两条平行直线位置通常用距离，两条相交直线通常用角度，那么，如何刻画两条异面直线的相对位置呢？容易想象要用角和距离，如何定义异面直线的角和距离呢？下面探究一个具体的问题：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，1. 我们知道AB与A1B是共面的，它们成的角是45°，那么异面直线AB与D1C所成的角定义为多少度的角比较合理呢？2. 回忆我们已学过的“距离”概念，发现“距离”具有“最小性”，现在直线AB和D1C上各取一点，这两点必然存在距离，试问在这所有可能的距离中，是否存在两点，这两点间距离最短？进一步思考：如何定义异面直线AB和D1C间的距离？四、建立模型（2）在学生充分讨论、探究的基础上，抽象概括出异面直线所成的角和异面直线间的距离的概念．1. 异面直线a与b所成的角已知两条异面直线a，b．经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角），叫作异面直线a与b所成的角．强调：（1）“空间角”是通过“平面角”来定义的．（2）“空间角”的大小，与空间点O的选取无关，依据是“等角定理”．为简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．（3）异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°．（4）异面直线垂直的意义．今后所说的两直线垂直，可能是相交直线，也可能是异面直线．2. 对于问题2，学生讨论，可以发现：线段BC是在异面直线AB和D1C上各任取一点，且两点间的距离为异面直线AB和D1C间的最小值．此时，我们就说BC的长度就是AB和D1C的距离．引导学生观察、分析线段BC与AB，D1C之间的关系，得出公垂线段定义：和两条异面直线都垂直且相交的线段．强调：（1）“垂直”与“相交”同时成立．（2）公垂线段的长度定义为异面直线间的距离．五、解释应用［例题］1. 如图，点D是△ABC所在平面外一点，求证直线AB与直线CD是异面直线．注：主要考查异面直线的定义，这里可考虑用反证法证明．要让学生体会用反证法的缘由．2. 已知：如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′．（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪些棱所在直线与直线AA′垂直？（4）直线BB′与DC间距离是多少？注：主要是理解、巩固有关异面直线的一些基本概念．解题格式要规范，合理．［练习］1. 如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？2. 垂直于同一条直线的两条直线是否平行？3. 与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是怎样的？4. 已知：如图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2．（1）BC和A′C′所成角是多少度？（2）AA′和BC′所成角是多少度？（3）AA′和BC所成的角和距离是多少？（4）A′B与B′C所成的角是多少？（5）AC′与BD所成的角是多少？四、拓展延伸1. 判断异面直线除了定义之外，还有如下依据：过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线．请给以证明．2. 设点P是直线l外的一定点，过P与l成30°角的异面直线有____________ 条．（无数）3. 已知异面直线a与b成50°角，P为空间任一点，则过点P且与a，b所成的角都是30°的直线有____________ 条．（2）若a与b所成的角是60°，65°和70°呢？点评这篇案例设计思路完整，条理清晰．案例首先通过直观的图形引出定义，这样有利于学生的接受．然后探索了异面直线所成角与异面直线间距离的概念．探索过程有利于激发了学生的学习热情，体验科学思维方法．列举的例题有针对性，对知识的巩固和形成起到了很好的作用．“拓展延伸”中提出的问题旨在开拓学生解题思路，增强学生空间想象能力．。

高中数学异面直线教案
一、教学目标：
1. 理解异面直线的定义和性质。

2. 掌握异面直线的表示方法和判定异面直线的方法。

3. 能够对异面直线的相关题目进行分析和解决。

二、教学重点和难点：
1. 异面直线的定义及性质。

2. 异面直线的表示和判定方法。

三、教学内容：
1. 异面直线的概念及性质
2. 异面直线的表述方法
3. 异面直线的判定方法
四、教学过程：
1. 导入：通过实际生活中的例子引入异面直线的概念，引起学生兴趣。

2. 学习：介绍异面直线的定义和性质，让学生理解异面直线的基本概念。

3. 实践：让学生进行示例分析和计算练习，掌握异面直线的表示和判定方法。

4. 拓展：引入相关的案例题目，让学生运用所学知识解决问题。

5. 总结：对异面直线的内容进行总结回顾，强化学生的理解。

五、课后作业：
1. 完成相关练习题目，巩固所学知识。

2. 思考生活中异面直线的实际应用。

六、评价方法：
1. 考察学生对异面直线定义和性质的理解。

2. 考核学生异面直线的表示和判定能力。

七、教学反思：
1. 分析学生对异面直线的理解情况，及时调整教学方式和内容。

2. 鼓励学生积极思考和探索，提高学习效果。

一、教学目标1. 知识与技能目标：理解异面直线的概念，掌握异面直线所成的角和距离的计算方法，能够运用所学知识解决实际问题。

2. 过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生逻辑思维和空间想象能力。

3. 情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。

二、教学重难点1. 教学重点：异面直线的概念、异面直线所成的角和距离的计算方法。

2. 教学难点：空间几何中异面直线所成的角和距离的计算。

三、教学准备1. 教师准备：多媒体课件、教具（如异面直线模型、坐标纸等）。

2. 学生准备：复习相关知识点，预习新课内容。

四、教学过程（一）导入1. 复习空间几何中的直线概念，引导学生回顾直线、平面、空间等基本概念。

2. 提出问题：什么是异面直线？它们有何特点？（二）新课讲解1. 异面直线的概念：讲解异面直线的定义，引导学生观察异面直线的模型，加深对概念的理解。

2. 异面直线所成的角：a. 介绍异面直线所成的角的概念；b. 讲解异面直线所成的角的计算方法，包括最小角法、平行投影法等；c. 通过实例讲解计算过程，帮助学生掌握计算方法。

3. 异面直线距离的计算：a. 介绍异面直线距离的概念；b. 讲解异面直线距离的计算方法，包括向量法、坐标法等；c. 通过实例讲解计算过程，帮助学生掌握计算方法。

（三）巩固练习1. 学生独立完成课堂练习，巩固所学知识。

2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

（四）课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。

2. 提出课后作业，让学生巩固所学知识。

五、教学反思1. 教学过程中，关注学生的参与度，鼓励学生提问和讨论。

2. 通过实例讲解，帮助学生理解和掌握异面直线所成的角和距离的计算方法。

3. 注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

六、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 思考并解答以下问题：a. 异面直线所成的角有何特点？b. 如何计算异面直线距离？c. 异面直线在实际生活中的应用有哪些？七、教学用具1. 多媒体课件2. 教具（如异面直线模型、坐标纸等）3. 课后作业题。

异面直线教案【篇一：异面直线及其夹角(教案与反思)】课题：异面直线及其夹角温江中学许桃教学目标：1、知识与技能(1)理解异面直线及其夹角的概念，会画空间两条异面直线的图形，能在空间几何体，中判断两直线是否为异面直线.能在具体几何体中求出一些较简单的异面直线所成的角.(2)初步培养学生由图到物，由物到图的观察想像力;把空间中的角转化为平面上的角的降维能力;根据图形特征选择恰当的平移方式求异面直线所夹角的动手实践能力.2、过程与方法努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑的氛围，提高学学习的兴趣和课堂效率．让学生经历知识的探究过程, 体会类比的数学思想．3、情感目标让学生领悟数学思想观点；体会数学来源于实际又服务于实际，激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神,会用联系的观点，运动变化的思想去分析问题和解决问题教学重点：异面直线所成角的概念, 能求出一些较简单的异面直线所成的角教学难点：如何依托载体选择恰当的点将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角教学过程：一、复习引入，问题呈现，导入主题（1）创设情境，感知异面教师活动：创设情境，感知异面学生活动：小实验:请用手中的两支笔当着直线,在空间能摆出两条直线有哪几种位置关系?设计意图：通过简单的动手操作让学生发现问题，培养学生思维的主动性（2）总结概括完善认知教师活动：从公共点个数与是否共面概括空间中两条直线的位置关系学生活动：填写表格（3）问题引导，剖析定义教师活动：例举教室中的两直线是否异面，从大梁和讲台下方的两条直线位置关系的分析中引导学生得出异面直线的定义学生活动：分析问题设计意图：剖析异面直线的定义二、合作交流，探究发现，共论主题（1）例举实例，感知异面直线教师活动：让学生例举生活中的异面直线，展示生活中的异面直线学生活动：例举生活中的异面直线设计意图：从生活实例中感知异面直线（2）异面直线的判定定理教师活动：给出命题，引导学生用反正法证明判定定理学生活动：在引导下根据异面直线的定义证明判定定理设计意图：获取判定定理，掌握异面直线的判定方法。

3 逻辑联结词教材分析在初中阶段，学生已接触了一些简单命题，对简单的推理方法有了一定程度的了解．在此基础上，这节课首先从简单命题出发，给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的概念，然后借助真值表，给出判断复合命题的真假的方法．在高中数学中，逻辑联结词是学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点．因此，在教学过程中，除了关注和初中知识密切的联系之外，还应借助实际生活中的具体例子，以便于学生理解和掌握逻辑联结词．教学重点是判断复合命题真假的方法，难点是对“或”的含义的理解．教学目标1. 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，了解“或”、“且”、“非”的复合命题的构成．2. 能熟练判断一些复合命题的真假性．3. 通过逻辑联结词的学习，使学生初步体会数学语言的严密性，准确性，并在今后数学学习和交流中，能够准确运用逻辑联结词．任务分析在初中数学中，学生已经学习了一些关于命题的初步知识，但是，对命题和开语句的区别往往搞不清．因此，应首先让学生弄懂命题的含义，以便其掌握复合命题．由于逻辑中的“或”、“且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非”的意义不完全相同，故要直接讲清楚它们的意义，比较困难．因此，开始时，不必深讲，可以在学习了有关复合命题的真值表之后，再要求学生根据复合命题的真值表，对“或”、“且”、“非”加以理解，这样处理有利于掌握重点，突破难点．为了加深对“或”、“且”、“非”的理解，最后应设计一系列的习题加以巩固、深化对知识的认识程度．教学设计一、问题情境生活中，我们要经常用到许多有自动控制功能的电器．例如，洗衣机在甩干时，如果“到达预定的时间”或“机盖被打开”，就会停机，即当两个条件至少有一个满足时，就会停机．与此对应的电路，就叫或门电路．又如，电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时，才会开启．与此对应的电路，就叫与门电路．随着高科技的发展，诸多科学领域均离不开类似以上的逻辑问题．因此，我们有必要对简易逻辑加以研究．二、建立模型在初中，我们已学过命题，知道可以判断真假的语句叫作命题．试分析以下8个语句，说出哪些是命题，哪些不是命题，哪些是真命题，哪些是假命题．（1）12＞5．（2）3是12的约数．（3）是整数．（4）是整数吗？（5）x＞．（6）10可以被2或5整除．（7）菱形的对角线互相垂直且平分．（8）不是整数．（可以让学生回答，教师给出点评）我们可以看出，（1）（2）是真命题；（3）是假命题；因为（4）不涉及真假；（5）不能判断真假，所以（4）（5）都不是命题；（6）（7）（8）是真命题．其中，“或”、“且”、“非”这些词叫作逻辑联结词．像（1）（2）（3）这样的命题，不含逻辑联结词，叫简单命题；像（6）（7）（8）这样，由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫复合命题．如果用小写的拉丁字母p，q，r，s，…来表示命题（这里应明确（6）（7）（8）三个命题中p，q分别代表什么），则上述复合命题（6）（7）（8）的构成形式分别是p或q，p且q，非p．其中，非p也叫作命题p的否定．对于以上三种复合命题，如何判断其真假呢？下面要求学生自己设计或真或假的命题来填下面表格：结合学生回答情况，将上面的表格补充完整，并给出真值表的定义．要求学生对每一真值表用一句话总结：（1）“非p”形式的复合命题的真假与p的真假相反．（2）“p且q”形式的复合命题当p与q同为真时为真，其他情况时为假．（3）“p或q”形式的复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．三、解释应用［例题］1. 分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假．（1）p：2＋2＝5，q：3＞2．（2）p：9是质数，q：8是12的约数．（3）p：1∈｛1，2｝，q：｛1｝｛1，2｝．（4）p：｛0｝，q：＝｛0｝．注：引导学生进一步熟悉真值表．2. 说出下列复合命题的形式，并判断其真假．（1）5≥5．（2）5≥1．解：（1）p或q形式．其中，p：5＞5，q：5＝5．p假，q真，∴p或q为真，即5≥5为真命题．（2）p或q形式．其中，p：5＞4，q：5＝4，p真，q假，∴p或q为真，即5≥4为真命题．［练习］1. 命题：方程x2－1＝0的解是x＝±1，使用逻辑联结词的情况是（）．A. 没用使用逻辑联结词B. 使用逻辑联结词“且”C. 使用逻辑联结词“或”D. 使用逻辑联结词“非”（C）2. 由下列命题构成的“p或q”、“p且q”形式的复合命题均为真命题的是（）．A. p：4＋4＝9，q：7＞4B. p：a∈｛a，b，c｝，q：｛a｝｛ａ，ｂ，ｃ｝C. p：15是质数，q：4是12的约数D. p：2是偶数，q：2不是质数（B）四、拓展延伸在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”、“且”、“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，从而解决问题．例：小李参加全国数学联赛，有三名同学对他作如下猜测：甲：小李非第一名，也非第二名；乙：小李非第一名，而是第三名；丙：小李非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，问：小李得了第几名？由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知是丙是真命题，因此小李得了第一名．还有一些逻辑问题，应从命题与命题之间关系去寻找解题思路．例：曾经在校园内发生过这样一件事：甲、乙、丙、丁四名同学在教室前的空地上踢足球，忽然足球飞向了教室的一扇窗户，听到响声后，李主任走了过来，看着一地碎玻璃，问道：“玻璃是谁打破的？”甲：是乙打破的；乙：不是我，是丁打破的；丙：肯定不是我打破的；丁：乙在撒谎．现在只知道有一个人说了真话，请你帮李主任分析：谁打破了玻璃，谁说了真话．分析此题关键在于找清乙说的与丁说的是“p”与“非p”形式，因此说真话者可能是乙，也可能不是乙，是丁．由此分析可知，是丙打破的玻璃．点评这篇案例的突出特点是对知识的认知由浅入深，层层渐进．这篇案例的所有例子均结合学生的数学水平取自学生掌握的知识范围之内或者直接源于现实生活，这有利于学生对问题的实质的理解和掌握．如果在“建立模型”的结束时及时给出相关的例子，使学生正确区分哪些是简单命题，哪些是复合命题，学生的印象会更深．。

高中数学《异面直线》教学设计教学目标:会用图形表示两条直线异面,理解并掌握异面直线所成角的定义,熟记异面直线所成角的范围;会用平移转换法求异面直线所成的角,理解异面直线公垂线的定义,掌握异面直线间距离的概念;会求已给出公垂线的两异面直线间的距离;培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力、逻辑推理的能力,使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想;通过本节内容的学习,培养学生不断探索发现新知识的精神,渗透事物的相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.教学重点:异面直线所成角的定义、范围、计算,异面直线间距离的定义与计算.教学难点:异面直线所成角的计算,异面直线间距离的计算.教学过程:Ⅰ.课题导入[师]前面我们学习的空间两条直线的位置关系和平行公理与等角定理、平行公理与等角定理及其推论是平行直线中的有关内容,今天我们来研究异面直线中的有关内容(板书课题.Ⅱ.讲授新课[师]前面我们学习空间两条直线的位置关系时,讨论了异面直线,并且明确了异面直线的特征是不同在任何一个平面内或既不相交又不平行的两条直线.画图表示两条直线异面时,怎样显示它们不共面的特点呢?常用的方法有下列几种:这三种表示方法有一个共同的特点,就是用平面来衬托,离开平面的衬托,不同在任何一个平面的特征则难以体现.请同学们注意:这样表示a、b异面正确吗?[生]不正确.直观上看a⊂α,b⊂β,似乎分别在不同的平面内,但从图形上可看出,a、b有与两平面α、β的交线都平行的可能,这样a与b就平行,它们完全有可能在新的平面γ内,所以这样画容易给人造成误解.[师]好!画异面直线时,一定要把其特征清楚地显现出来,不能使人产生歧义.[师]如图(1,直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,作直线a′,b′,使a′∥a、b′∥b(边记边作,我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角叫做异面直线a和b所成的角.据此,我们给出异面直线所成角的定义(板书.定义:过空间任意一点O ,与异面直线a 和b分别平行的直线所成的锐角(或直角叫做异面直线a 和b 所成的角.[师]由于点O 是任意的,大家说这样作出的角有多少个?[生]无数个.[师]这无数个锐角(或直角的大小有什么关系?(学生中没有人马上回答,似乎还存在着什么困惑[师]把我们得到角的方法,用我们前面学过的知识分析一下.(生恍然大悟,不是不会答大小有什么关系,而是一时没有弄明白为什么存在那样的关系. [生]这无数个锐角(或直角相等.[师]为什么?[生]这无数个锐角(或直角中,每个角的两边都分别平行于a 、b ,据平行公理,这无数个锐角(或直角每个角的两边都分别平行,依据等角定理的推论,这无数个锐角(或直角相等.[师]很好!通过上面的讨论,再认真分析定义,我们可以得出如下的结论:①两条异面直线所成角的大小,是由这两条异面直线的相互位置决定的,与点O的位置选取无关;②两条异面直线所成的角θ∈(0,π2]; ③因为点O可以任意选取,这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便,具体运用时,为了简便,我们可以把点O 选在两条异面直线的某一条上;④找两条异面直线所成的角,要作平行移动(作平行线,把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角;⑤当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,异面直线a 和b 互相垂直,也记作a ⊥b ;⑥以后我们说两条直线互相垂直,这两条直线可能是相交的,也可能是不相交的,即有共面垂直,也有异面垂直这样两种情形.(上面每一条都要摘要作出板书[师]为了加深对这一概念的理解与认识,请同学们举出日常生活中见到过的两条异面直线所成角的实例.[生]课本图中的六角螺母的棱AB 和CD所在的直线成的角,或机械部件蜗轮和蜗杆的轴线所成的角,都是异面直线所成的角.[生]教室顶面与前墙面的交线和地面与侧面的交线所成的角也是异面直线所成的角. [生]正方体前面的左侧棱与后面的对角线所成的角也是异面直线所成的角.[师]好.同学们再来考虑这样的问题:空间三条直线a 、b 、c ,若a ⊥c 、b ⊥c ,则a 、b是怎样的位置关系.[生]a 、b 平行.[师]还有吗?请同学拿出竹签,每两人一组,对照正方体模型实际摆一摆.(同学动手摆弄,讨论[生]a 、b 可能相交,a 、b 也可能异面.[师]好!在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行.在空间,垂直于同一条直线的两直线可能是平行直线,也可能是相交直线,还可能是异面直线.当a 、b异面时,同学们再摆摆看,与a 、b 都垂直的直线有几条?与a 、b 都相交的直线有几条?与a 、b 既垂直又相交的直线有几条?(生摆弄以后回答[生]与a 、b 都垂直的直线有无数条,与a 、b 都相交的直线也有无数条,与a 、b既垂直又相交的直线有且只有一条.[师]好.我们把与两条异面直线既垂直又相交的直线叫做两条异面直线的公垂线(板书注意:从定义可看出,两条异面直线的公垂线与两条异面直线既垂直又相交,“垂直”“相交”两条缺一不可(板书.与两条异面直线都垂直的直线不能称为公垂线,与两条异面直线都相交的直线也不能称为公垂线,对于两条异面直线,它们的公垂线有且只有一条.[师]两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段的长度,叫做两条异面直线的距离.(板书.对于确定的两条异面直线,它们所成的角是确定的,它们的公垂线是确定的,它们的距离也是完全确定的.[师]下面我们来看个例子设图中正方体的棱长为a .(1求直线BA ′和CC ′所成角的大小;(2求异面直线BC 和AA ′的距离.注意:求异面直线所成角的大小,关键是选择恰当的点,通过平移将两异面直线所成的角转化为相交直线所成的角,成为平面问题去求解;求两异面直线的距离,就是求两异面直线的公垂线段的长.分析:因为BB ′∥CC ′,所以∠A ′BB ′就是异面直线BA ′与CC ′所成的角,因为AA ′与AB 垂直相交,BC 与AB 也垂直相交,所以AB 是异面直线AA ′和BC 的公垂线,AB 的长就是异面直线AA ′与BC 的距离.解:(1∵CC ′∥BB ′∴BB ′和BA ′所成的锐角,即∠A ′BB ′就是异面直线BA ′和CC ′所成的角(解题过程中,这句表述不能少.∵∠A ′BB ′=45°,∴BA ′与CC ′所成的角是45°.(2⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫='⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⋂⊥=⋂''⊥a AB BC A A AB B BC AB BC AB A AB A A A A AB 的公垂线段和是⇒BC 和AA ′的距离是a . Ⅲ.课堂练习课本P 28练习1,2,3,4.Ⅳ.课时小结本节课我们学习了两异面直线所成角的定义、范围,两异面直线的公垂线的定义,两异面直线间的距离.概念比较多,同学们一定要抓住定义中本质的东西深刻领会,认真掌握,两异面直线所成的角,两异面直线间的距离,这两部分内容,在空间图形中的位置是相当重要的,在高考中也是经常涉及到的,同学们一定要予以高度重视,对于角与距离的求法,要多练习,才能掌握好,相信我们每个同学都会学得很好.Ⅴ.课后作业课本P28习题5,8,9.思考与练习一、选择题1.下列命题中,正确的是(A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.有三个角是直角的四边形是矩形C.两平行线中,有一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线D.与两异面直线都垂直的直线是它们的公垂线答案:C2.已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有(A.1条B.2条C.3条D.4条答案:B3.直线a、b相交于点O,且a、b成60°角,过点O与a、b都成60°角的直线有(A.1条B.2条C.3条D.4条答案:C4.异面直线a、b所成的角为80°,P是空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是60°的直线有(A.1条B.2条C.3条D.4条答案:D5.若a、b是异面直线,c是a、b的公垂线,d∥c,则d和a、b的公共点的个数是(A.1B.最多为1C.2D.1或2答案:B6.已知直线a与b、b与c都是异面直线,且a与b的公垂线同时也是b与c的公垂线,那么a与c的位置关系是(A.平行或相交B.异面C.平行或相交或异面D.相交或异面答案:C7.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,下列说法正确的是(A.A1B与D1C是距离为a的异面直线B.异面直线AA1与BC的公垂线是A1B1C.异面直线AA1与BC的公垂线是aD.异面直线AA1与BC的公垂线段的长是a答案:D二、填空题1.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,与BD 1成异面直线的有_________条.答案:62.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 、P 、Q 是相应棱的中点,则(1MN 与PQ 的位置关系是_________,它们所成的角是_________.(2MN 与B 1D 的位置关系是_________,它们所成的角是_________.(3异面直线MN 与B 1D 1间的距离为______.答案:(1相交 60° (2异面 90° (3a3.在空间四边形ABCD 中,对角线AC =BD =2a ,M 、N 分别是边AB 、CD 的中点,若MN = 2 a ,则AC 和BD 所成的角为______,MN 和AC 所成的角为______.答案: 90° 45°4.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 是DC 的中点,AD =AA 1= 2 ,AB =2,那么(1AA 1与BC 1所成角的度数是_____;(2DA 1与BC 1所成角的度数是_____;(3BC 1与D 1M 所成角的余弦是_____. 答案:(145° (290° (3 335.在空间四边形ABCD 中,对角线AC ⊥BD ,若AC =6,BD =4,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,则MN =______,MN 与BD 所成角的正切值为______.答案:13 326.空间四边形ABCD 的各边与两条对角线的长都为1,点P 在边AB 上移动,点Q 在边CD 上移动,则点P 和点Q 的最短距离为_________. 答案:227.如图,空间四边形ABCD 中,E 、H 分别是AB 、AD 的中点,F 、G 分别是CB 、CD上的点且CF CB =CG CD =23,若BD =6 cm ,梯形EFGH 的面积为28 cm 2,则平行线EH 与FG 间的距离为_________.答案: 8 cm- 11 -。

30 几何概型教材分析和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率．它也是一种等可能概型．教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法．与本课开始介绍的P（A）的公式计算方法前后对应，使几何概型这一知识板块更加系统和完整．这节内容中的例题既通俗易懂，又具有代表性，有利于我们的教与学生的学．教学重点是几何概型的计算方法，尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量；教学难点是突出用样本估计总体的统计思想，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．教学目标1. 通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力．3. 通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提高学生对自然界的认知水平．任务分析在这节内容中，介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，因此，教学重点是随机模拟部分．这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等．教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动．有条件的学校可以让学生用一种统计软件统计模拟的结果．教学设计一、问题情境如图，有两个转盘．甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ区域时，甲获胜，否则乙获胜．问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率．二、建立模型1. 提出问题首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关．即：字母B 所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比．接着提出这样的问题：变换图中B 与N的顺序，结果是否发生变化？（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率的因素的确定性）．题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型．注意：（1）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关，这是错误的．（2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）．2. 引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰———抽象概括如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：3. 再次提出问题，并组织学生讨论（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？（2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．（3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10min的概率．通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法．三、解释应用［例题］1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少．分析：我们有两种方法计算事件的概率．（1）利用几何概型的公式．（2）利用随机模拟的方法．解法1：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间．假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A 发生，所以解法2：设X，Y是0～1之间的均匀随机数．X＋6.5表示送报人送到报纸的时间，Y ＋7表示父亲离开家去工作的时间．如果Y＋7＞X＋6.5，即Y＞X－0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸．用计算机做多次试验，即可得到P（A）．教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的解答过程，要求学生说明解答的依据．教师总结，并明晰用计算机（或计算器）产生随机数的模拟试验．强调：这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，因此，试验次数越多，频率越接近概率．2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即假设正方形的边长为2，则由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以这样就得到了π的近似值．另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下：（1）产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；（2）经平移和伸缩变换，a＝（a1－0.5）*2，b＝（b1－0.5）*2；（3）数出落在圆内a2＋b2＜1的豆子数N1，计算（N代表落在正方形中的豆子数）．可以发现，随着试验次数的增加，得到π的近似值的精度会越来越高．本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积．［练习］1. 如图30-4，如果你向靶子上射200镖，你期望多少镖落在黑色区域．2. 利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分（y＝1和y＝x2围成的部分）的面积．3. 画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积．四、拓展延伸1. “概率为数…0‟的事件是不可能事件，概率为1的事件是必然事件”，这句话从几何概型的角度还能成立吗？2. 你能说一说古典概型和几何概型的区别与联系吗？3. 你能说说频率和概率的关系吗？点评这篇案例设计完整，整体上按知识难易逐渐深入，同时充分调动了学生的积极性，以学生之间互动为主，教师引导为辅．例题既有深化所学知识的，又有应用所学知识的．“拓展延伸”既培养了学生的思维能力，又有利于学生从总体上把握这节课所学的知识．。

4 四种命题教材分析在初中，学生接触的简单的逻辑推理及命题间关系（原命题和逆命题）主要来源于几何知识，有很强的几何直观性，便于掌握．高中学生要面对大量代数命题，因此，很有必要学习四种命题及四者之间的关系，以适应高中数学学习的需要，这节课的主要教学目的就在于此．同时，这节课又是学习和运用反证法这种基本解题方法的基础．这节课的重点是四种命题间的关系．学生现有的认知水平虽然脱离了初中阶段的简单几何知识，但是新的知识体系并未形成，因此，随着学生对概念理解的深入，这节课的例题将逐步引导学生理解几何命题，进而理解代数命题．这种处理方式符合学生的认知规律．教学目标通过这节课的教与学，应使学生初步理解四种命题及其关系，进而使学生掌握简单的推理技能，发展学生的思维能力．同时，帮助学生从几何推理向代数推理过渡．任务分析在这节课的教学过程中，要注意控制教学要求，即只研究比较简单的命题，而且命题的条件和结论比较明显；不研究含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的逆命题、否命题和逆否命题．这节中“若p则q”形式的命题中的“p”，“q”可以都是命题，也可以不都是命题，不能等同于前面的复合命题．教学设计一、问题情境在以前的数学学习中，有这样的知识：菱形的对角线相互垂直．那么，这一真命题变一下形式是否真命题呢？如：“如果一个四边形对角线相互垂直，那么它是菱形”，再如：“对角线不相互垂直的四边形不是菱形”．这些变形后的命题的真假是否和原命题有关呢？为解决这一问题，这节课我们就来学习“四种命题”．二、问题解决首先让学生回忆初中学习过的有关命题的定义：互逆命题、原命题、逆命题．（学生回答，教师补充完整）例：如果原命题是（1）同位角相等，两直线平行．让学生说出它的逆命题．（2）两直线平行，同位角相等．再看下面的两个命题：（3）同位角不相等，两直线不平行．（4）两直线不平行，同位角不相等．在命题（1）与命题（3）中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫作互否命题．把其中一个命题叫作原命题，另一个就叫作原命题的否命题．在命题（1）与命题（4）中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫作互为逆否命题．把其中一个命题叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆否命题．换句话说：（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题．（2）同时否定原命题的条件和结论，所得命题是否命题．（3）交换原命题的条件和结论，并同时否定，所得命题是逆否命题．一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p和q的否定．于是，四种命题的形式就是：原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若非p则非q．逆否命题：若非q而非p．下面让学生考虑这样一个问题：四种命题之间，任意两个是什么关系？（学生回答，教师补充，最后出示下图）给出一个命题：“若a＝0，则ab＝0．”让学生写出其他三种命题，并判断四个命题的真假，然后考虑其他三种命题的真假是否与原命题的真假有某种关系．不难发现如下关系：（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真．（2）原命题为真，它的否命题不一定为真．（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真．三、解释应用［例题］1. 把下列命题先改写成“若p则q”的形式，再写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．（1）负数的平方是正数．（2）正方形的四条边相等．分析：关键是找出原命题的条件p与结论q．解：（1）原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数．逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．逆命题为假．否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．否命题为假．逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．逆否命题为真．（2）原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．逆命题为假．否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．否命题为假．逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．逆否命题为真．2. 设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．分析：“当c＞0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a＞b，结论是ac＞bc．解：逆命题：当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b．逆命题为真．否命题：当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc．否命题为真．逆否命题：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b．逆否命题为真．［练习］1. 命题“若a＞b，则ac2＞bc2，（a，b，c∈R）”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题个数为（）．A. 3B. 2C. 1D. 0（B）2. 在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则｛x｜ax2＋bx＋c＜0｝≠ ”的逆命题、否命题、逆否命题中，下列结论成立的是（）．A. 三命题都真B. 三命题都假C. 否命题真D. 逆否命题真（D）四、拓展延伸在对某一命题的条件和结论否定时，有些问题，学生易出错．例如，对如下词语的否定：“任意的”、“所有的”、“都是”和“全是”等．下面以“全是”为例进行说明：所谓“否定”，即其对立面，显然“全是”的对立面中除了“全不是”之外，还有“部分也是”这一部分．因此，“全是”的对立面（即否定）应是“不全是”，而不是“全不是”．同样，“任意的”否定应是“某个”，“所有的”否定应是“存在一个”或“存在一些”，“都是”的否定是“不都是”．例如，命题：若x2＋y2＝0，则x，y全是0．其否命题是：若x2＋y2≠0，则x，y不全是0．点评这篇案例涉及两个问题：一个是定义，一个是规律，即四种命题间的关系．为了加深学生的认识，这篇案例突出了“学生参与”，即让学生通过例子认识定义，在活动中自己归纳、总结规律．同时，这篇案例又设计了适量的例题和练习，以巩固学生在课堂活动中掌握的知识．再者，这篇案例中所有例子都十分简单，但又极具有代表性，易于学生接受和理解，这也是学生能积极地参与到课堂活动中去的一个必要条件．美中不足的是，这篇案例的个别环节对“反例”的运用稍显单薄．。

18 直线与平面垂直教材分析直线与平面垂直是在研究了直线与直线垂直、直线与平面平行、平面与平面平行的基础上进行的．它是直线与直线垂直的延伸，是学习平面与平面垂直以及有关距离、空间角、多面体、旋转体的基础．这节内容的学习可完善知识结构，并对进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力，起着十分重要的作用．直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理是这节课的重点．学习直线与平面垂直的性质定理时，应该注意引导学生把直线和直线的关系问题有目的地转化为直线与平面的关系问题，这是这节课的难点．教学目标1. 掌握直线与直线垂直，直线与平面垂直的定义，以及直线与平面垂直的判定与性质．2. 通过探索线面垂直的定义、判定定理和性质定理及其证明，进一步培养学生观察问题、发现问题的能力和空间想象、计算能力，并且加强对思维能力的训练．3. 激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，渗透事物间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过图形的立体美，对称美，培养教学审美意识．任务分析因为判定定理的证明有一定的难度，所以教材作为探索与研究来处理．又因为定理的论证层次多，构图复杂，辅助线多，运用平面几何的知识多，所以这节课的难点是判定定理的证明．突破难点的方法是充分运用实物模型演示，以具体形象思维支持逻辑思维．教学设计一、问题情境上海的标志性建筑———东方明珠电视塔的中轴线垂直于地面，在这一点上，它与比萨斜塔完全不同．那么，直线与平面垂直如何定义和判定，又有什么性质呢？这将是本节课要研究的问题．二、建立模型我们先来研究空间中两条直线的垂直问题．在平面内，如果两条直线互相垂直，则它们一定相交．在空间中，两条互相垂直相交的直线中，如果固定其中一条，让另一条平移到空间的某一个位置，就可能与固定的直线没有公共点，这时两条直线不会相交，也不会在同一平面内（为什么），我们同样称它们相互垂直．下面我们给出空间任意两条直线互相垂直的一般定义．如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．有了直线与直线垂直的概念，我们就可以利用直线与直线垂直来定义直线与平面垂直了．［问题］1. 什么叫直线与平面垂直？教师演示：如图，直线l是线段AB的中垂线．固定线段AB，让l保持与AB垂直并绕直线AB在空间旋转．教师让学生讨论：（1）直线l的轨迹是怎样的图形？（2）如何定义直线与平面垂直？教师明晰：（1）线段AB所有垂直平分线构成的集合是一个平面．（2）如果一条直线（AB）和一个平面（α）相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫作平面的垂线，这个平面叫作直线的垂面．交点叫作垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫作这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫作这个点到平面的距离．2. 如图18-2，直线l⊥平面α，直线mα，问l与m的关系怎样．学生讨论后，得出结论：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．3. 怎么画直线与平面垂直？学生讨论后，教师总结：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图18-2．4. 如何判断直线与平面垂直？教师引导：根据定义判定直线与平面垂直是困难的，如何用尽可能少的线线垂直来判定线面垂直呢？学生讨论后，教师总结．（1）因为两条相交直线确定一平面，所以只要直线和平面内的两条相交直线垂直，就可以判定直线和平面垂直．（2）两条平行直线也确定一平面，直线和这两条平行直线垂直，不能判定直线就和平面垂直（教师作演示说明）．于是，归纳出直线和平面垂直的判定定理．定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．如图18-3，如果直线l∥m，l⊥平面α，则l垂直于平面α内任意两条相交直线，如a，b．根据空间两直线垂直的定义，易知m⊥a，m⊥b，所以m⊥α．让学生总结：判定直线与平面垂直的方法．（1）定义．（2）判定定理．（3）推论．4. 在平面几何中，同垂直于一条直线的两条直线平行，那么，在空间几何中，又有什么类似的结论呢？学生讨论后，得出结论：同垂直于一个平面的两条直线平行．于是有直线和平面垂直的性质．定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．已知：如图18-4，直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，垂足分别为A，B．求证：l∥m．证明：假设直线ｍ不与直线l平行．过直线m与平面α的交点B，作直线m′∥l，由直线与平面垂直的判定定理的推论可知，m′⊥α．设ｍ和m′确定的平面为β，α与β的交线为ａ，因为直线m和m′都垂直于平面α，所以直线m和m′都垂直于交线ａ．因为在同一平面内，通过直线上一点并与已知直线垂直的直线有且仅有一条，所以直线m和m′必重合，即l∥m．三、解释应用［例题］1. 过一点和已知平面垂直的直线只有一条．已知：平面α和一点P（如图18-5）．求证：过点P与α垂直的直线只有一条．证明：不论点P在α外或内，设PA⊥α，垂足为A（或P）．如果过点P，除直线PA⊥α外，还有一条直线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝ａ，于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于交线ａ，这是不可能的．所以过点P与α垂直的直线只有一条．2. 如图18-6，有一根旗杆AB高8m，它的顶端Ａ挂着两条长10m的绳子．拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点C，D（和旗杆脚不在同一条直线上）．如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？解：在△ABC和△ABD中，因为AB＝8m，BC＝BD＝6m，AC＝AD＝10m，所以AB2＋BC2＝82＋62＝102＝AC2，AB2＋BD2＝62＋82＝102＝AD2．所以∠ABC＝∠ABD＝90°，即AB⊥BC，AB⊥BD．又知B，C，D三点不共线，所以AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直．3. 已知：直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l（如图18-7）．求证：AP在α内．证明：设AP与l确定的平面为β．如果AP不在α内，则可设α与β相交于直线AM，因为l⊥α，AMα，所以l⊥AM．又已知AP⊥l，于是在平面β内，过点Ａ有两条直线垂直于l．这是不可能的，所以AP一定在α内．［练习］1. 已知：如图18-8，在平面α内有ABCD，O是它对角线的交点，点P在α外，且PA ＝PC，PB＝PD．求证：PO⊥α．2. 已知：空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，求证：BC⊥AD．3. 已知两个平行平面中，有一个平面与一条已知直线垂直，问：另一平面与已知直线的位置关系怎样？四、拓展延伸1. 如图18-9所示，在空间，如果直线ｍ，ｎ都是线段AA′的垂直平分线，设ｍ，ｎ确定的平面为α，证明：（1）在平面α内，通过线段AA′中点B的所有直线都是线段AA′的垂直平分线．（2）线段AA′的任一条垂直平分线都在α内．2. 如图18-10（1），如果平面α通过线段AA′的中点O，且垂直于直线AA′，那么平面α叫作线段AA′的垂直平分面（或中垂面），并称点A，A′关于平面α成镜面对称，平面α叫作A，A′的对称平面．如图18-10（2），如果一个图形Ｆ内的所有点关于平面α的对称点构成几何图形F′，则称F，F′关于平面α成镜面对称．F到F′的图形变换称为镜面对称变换．如果一个图形Ｆ通过镜面对称变换后的图形仍是它自身，则这个图形被称为镜面对称图形．根据以上定义，探索与研究以下问题：（1）线段的中垂面有哪些性质？（2）你学过的空间图形，有哪些是镜面对称图形？（3）写一篇研究镜面对称的小论文，探索镜面对称的性质和应用．点评这篇案例设计完整，构思严谨，突出的特点是把学科灰色的理论和鲜活的实际生活相结合，使学生能较好地理解和把握学科知识．同时，这篇案例注意了美育、科学精神和人文精神的渗透，能较好地培养学生的探索创新能力和实践能力，符合新课改精神．。

第8课时 异面直线一、【学习导航】 知识网络学习要求 1. 掌握异面直线的定义． ２．理解并掌握异面直线判定方法． .3.掌握异面直线所成的角的计算方法． 【课堂互动】 自学评价 异面直线的定义 ２．异面直线的特点 ３．画法：平面衬托法 ４．异面直线的判定方法 (1)定义法 (2)判定定理 (3)反证法 ５．异面直线所成的角 (1)定义： (2)范围： ６．异面直线的垂直 【精典范例】 例1：已知ABCD-A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体.(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BC 1是异面直线; (2)求异面直线AA 1与BC 所成的角; (3)求异面直线BC 1和AC 所成的角.见书２７理１思维点拔：(1) 证两直线异面的方法①定义法②反证法③判定定理(2) 求两条异面直线所成的角的方法：①作②证③求 追踪训练 １．指出下列命题是否正确，并说明理由： (1)过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线；听课随笔画法判定(证明) 异面直线所成角的求法异面直线定义 DA C 1B 1 a baba b(2) 过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直．答：（１）正确，（２）错２．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，那些棱所在直线与直线AA1是异面直线且互相垂直．答：ＣＤ，Ｃ１Ｄ１，ＢＣ，Ｂ１Ｃ１３．在两个相交平面内各画一条直线，使它们成为：(1)平行直线；(2)相交直线；(3)异面直线．４．在空间四边形ABCD中, E、F分别是AB、CD中点, 且EF=5 , 又AD=6, BC=8. 求AD 与BC所成角的大小. 解析：取BD的中点Ｈ，利用中位线性质，有EH//AD,FH//BC, ∠EHF或其补角为AD与BC所成角，可以求得∠EHF＝９０°【选修延伸】已知A是△BCD所在平面一点，AB=AC=AD=BC=CD=DB，E是BC的中点，(1)求证直线AE与BD异面(2)求直线AE与BD所成角的余弦值(1)反证法(2)取ＣＤ的中点Ｆ，连接ＥＦ，可达到平移的目的．直线AE与BD所成角的余弦值36学生质疑教师释疑A DA D1C1B1AB DC听课随笔BCADEFabababH。

16 直线与平面平行教材分析直线与平面平行是在研究了空间直线与直线平行的基础上进行的，它是直线与直线平行的拓广，也是为今后学习平面与平面平行作准备．在直线与平面的三种位置关系中，平行关系占有重要地位，是今后学习的必备知识．所以直线与平面平行的判定定理和性质定理是这节的重点，难点是如何解决好直线与直线平行、直线与平面平行相互联系的问题．突破难点的关键是直线与直线平行和直线与平面平行的相互转化．教学目标1. 了解空间直线和平面的位置关系，理解和掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，进一步熟悉反证法的实质及其证题步骤．2. 通过探究线面平行的定义、判定、性质及其应用，进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力．3. 培养学生的逻辑思维和合情推理能力，进而使其养成实事求是的学习态度．任务分析这节的主要任务是直线与平面平行的判定定理、性质定理的发现与归纳，证明与应用．学习时，要引导学生观察实物模型，分析生活中的实例，进而发现、归纳出数学事实，并在此基础上分析和探索定理的论证过程，区分判定定理和性质定理的条件和结论，理解定理的实质和直线与平面平行的判定．在运用性质时，要引导学生完成对“过直线———作平面———得交线———直线与直线平行”这一过程的理解和掌握．教学设计一、问题情境教室内吊在半空的日光灯管、斜靠在墙边的拖把把柄，都可以看作直线的一部分，这些直线与地平面有何位置关系？二、建立模型［问题一］1. 空间中的直线与平面有几种位置关系？学生讨论，得出结论：直线与平面平行、直线与平面相交（学生可能说出直线与平面垂直的情况，教师可作解释）及直线在平面内．2. 在上述三种位置中，直线与平面的公共点的个数各是多少？学生讨论，得出相关定义：若直线a与平面α没有公共点，则称直线与平面α平行，记作a∥α．若直线a与平面α有且只有一个公共点，则称直线a与平面α相交．当直线a与平面α平行或相交时均称直线a不在平面α内（或称直线a在平面α外）．若直线a与平面α有两个公共点，依据公理1，知直线a上所有点都在平面α内，此时称直线a在平面α内．3. 如何对直线与平面的位置关系的进行分类？学生讨论，得出结论：方法1：按直线与平面公共点的个数分：［探索］直线与平面平行、相交的画法．教师用直尺、纸板演示，引导学生说明画法．1. 画直线在平面内时，要把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形内部，如图16-1．2. 画直线与平面相交时要画出交点，如图16-2．3. 画直线与平面平行时，一般要把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形外，并使它与平行四边形的一组对边或平面内的一条直平行，如图16-3．［问题二］1. 如何判定直线与平面平行？教师演示：（1）教师先将直尺放在黑板内，然后慢慢平移到平面外．（2）观察教室的门，然后教师转动的门的一条门边给人平行于墙面的感觉．学生讨论，归纳和总结，形成判定定理．定理如果不在平面内的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．已知：ａα，ｂα，ａ∥ｂ．求证：ａ∥α．分析：要证明直线与平面平行，根据定义，只要证明直线与平面没有公共点，这时可考虑使用反证法．证明：假设ａ不平行于α，由ａα，得ａ∩α＝A．若A∈ｂ，则与已知ａ∥ｂ矛盾；若A b，则a与b是异面直线，与a∥b矛盾．所以假设不成立，故ａ∥α．总结：此定理有三个条件，（1）ａα，（2）ｂα，（3）ａ∥ｂ．三个条件缺少一个就不能推出ａ∥α这一结论．此定理可归纳为“若线线平行，则线面平行”．2. 当直线与平面平行时，直线与平面内的直线有什么位置关系？是否平行？教师演示：教师先让直尺平行于讲桌面，再将纸板经过直尺，慢慢绕直尺旋转使纸板与桌面相交．学生讨论得出：直尺平行于纸板与桌面的交线．师生共同归纳和总结，形成性质定理．定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．已知：l∥a，lβ，α∩β＝ｍ．求证：l∥m．证明：因为l∥α，所以l∩α＝，又因为ｍα，所以l∩ｍ＝，由于l，ｍ都在β内，且没有公共点，所以l∥m．总结：此定理的条件有三个：（1）l∥α，即线面平行．（2）lβ，即过线作面．（3）β∩α＝ｍ，即面面相交．三个条件缺一不可，此定理可简记为“若线面平行，则线与交线平行”．三、解释应用［例题］1. 已知：如图16-5，空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点．求证：EF∥平面BCD．证明：连接BD，在△ABD中，因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD．又因为BD是平面ABD与平面BCD的交线，EF∥平面BCD，所以EF∥平面BCD．2. 求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内．已知：l∥α，点P∈α，Ｐ∈ｍ，ｍ∥l（如图16-6）．求证；mα．证明：设l与P确定的平面为β，且α∩β＝ｍ′，则ｌ∥ｍ′．又知ｌ∥ｍ，ｍ∩ｍ′＝Ｐ，由平行公理可知，ｍ与ｍ′重合．所以mα．［练习］1. 已知：如图16-7，长方体A C′．求证：B′D′∥平面ABCD．2. 如图16-8，一个长方体木块ABCD－A1B1C1D1，如果要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开，那么应该怎样画线？四、拓展延伸1. 教室内吊在半空中的日光灯管平行于地面，也平行于教室的一墙面，试探讨它和这个墙面与地面的交线之间有什么样的位置关系？2. 已知：如图16-9，正方形ABCD和正方形ABEF不在同一平面内，点M，N分别是对角线AC，BF上的点．问：当M，N 满足什么条件时，MN∥平面BCE．3. 如果三个平面两两相交于三条直线，那么这三条直线有怎样的位置关系．点评这篇案例从学生身边的实例出发，引导学生抽象出直线与平面平行、相交的定义，又通过演示，总结和归纳出直线与平面平行的判定及性质定理，整个过程都把学科理论和学生面临的实际生活结合起来，使学生能较好地理解和把握学科知识．同时，培养了学生的探索创新能力和实践能力，激发了学生的学习兴趣．。

高中数学《异面直线》教学设计教学目标:会用图形表示两条直线异面,理解并掌握异面直线所成角的定义,熟记异面直线所成角的范围;会用平移转换法求异面直线所成的角,理解异面直线公垂线的定义,掌握异面直线间距离的概念;会求已给出公垂线的两异面直线间的距离;培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力、逻辑推理的能力,使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想;通过本节内容的学习,培养学生不断探索发现新知识的精神,渗透事物的相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.教学重点:异面直线所成角的定义、范围、计算,异面直线间距离的定义与计算.教学难点:异面直线所成角的计算,异面直线间距离的计算.教学过程:Ⅰ.课题导入[师]前面我们学习的空间两条直线的位置关系和平行公理与等角定理、平行公理与等角定理及其推论是平行直线中的有关内容,今天我们来研究异面直线中的有关内容(板书课题.Ⅱ.讲授新课[师]前面我们学习空间两条直线的位置关系时,讨论了异面直线,并且明确了异面直线的特征是不同在任何一个平面内或既不相交又不平行的两条直线.画图表示两条直线异面时,怎样显示它们不共面的特点呢?常用的方法有下列几种:这三种表示方法有一个共同的特点,就是用平面来衬托,离开平面的衬托,不同在任何一个平面的特征则难以体现.请同学们注意:这样表示a、b异面正确吗?[生]不正确.直观上看a⊂α,b⊂β,似乎分别在不同的平面内,但从图形上可看出,a、b有与两平面α、β的交线都平行的可能,这样a与b就平行,它们完全有可能在新的平面γ内,所以这样画容易给人造成误解.[师]好!画异面直线时,一定要把其特征清楚地显现出来,不能使人产生歧义.[师]如图(1,直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,作直线a′,b′,使a′∥a、b′∥b(边记边作,我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角叫做异面直线a和b所成的角.据此,我们给出异面直线所成角的定义(板书.定义:过空间任意一点O ,与异面直线a 和b分别平行的直线所成的锐角(或直角叫做异面直线a 和b 所成的角.[师]由于点O 是任意的,大家说这样作出的角有多少个?[生]无数个.[师]这无数个锐角(或直角的大小有什么关系?(学生中没有人马上回答,似乎还存在着什么困惑[师]把我们得到角的方法,用我们前面学过的知识分析一下.(生恍然大悟,不是不会答大小有什么关系,而是一时没有弄明白为什么存在那样的关系. [生]这无数个锐角(或直角相等.[师]为什么?[生]这无数个锐角(或直角中,每个角的两边都分别平行于a 、b ,据平行公理,这无数个锐角(或直角每个角的两边都分别平行,依据等角定理的推论,这无数个锐角(或直角相等.[师]很好!通过上面的讨论,再认真分析定义,我们可以得出如下的结论:①两条异面直线所成角的大小,是由这两条异面直线的相互位置决定的,与点O的位置选取无关;②两条异面直线所成的角θ∈(0,π2]; ③因为点O可以任意选取,这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便,具体运用时,为了简便,我们可以把点O 选在两条异面直线的某一条上;④找两条异面直线所成的角,要作平行移动(作平行线,把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角;⑤当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,异面直线a 和b 互相垂直,也记作a ⊥b ;⑥以后我们说两条直线互相垂直,这两条直线可能是相交的,也可能是不相交的,即有共面垂直,也有异面垂直这样两种情形.(上面每一条都要摘要作出板书[师]为了加深对这一概念的理解与认识,请同学们举出日常生活中见到过的两条异面直线所成角的实例.[生]课本图中的六角螺母的棱AB 和CD所在的直线成的角,或机械部件蜗轮和蜗杆的轴线所成的角,都是异面直线所成的角.[生]教室顶面与前墙面的交线和地面与侧面的交线所成的角也是异面直线所成的角. [生]正方体前面的左侧棱与后面的对角线所成的角也是异面直线所成的角.[师]好.同学们再来考虑这样的问题:空间三条直线a 、b 、c ,若a ⊥c 、b ⊥c ,则a 、b是怎样的位置关系.[生]a 、b 平行.[师]还有吗?请同学拿出竹签,每两人一组,对照正方体模型实际摆一摆.(同学动手摆弄,讨论[生]a 、b 可能相交,a 、b 也可能异面.[师]好!在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行.在空间,垂直于同一条直线的两直线可能是平行直线,也可能是相交直线,还可能是异面直线.当a 、b异面时,同学们再摆摆看,与a 、b 都垂直的直线有几条?与a 、b 都相交的直线有几条?与a 、b 既垂直又相交的直线有几条?(生摆弄以后回答[生]与a 、b 都垂直的直线有无数条,与a 、b 都相交的直线也有无数条,与a 、b既垂直又相交的直线有且只有一条.[师]好.我们把与两条异面直线既垂直又相交的直线叫做两条异面直线的公垂线(板书注意:从定义可看出,两条异面直线的公垂线与两条异面直线既垂直又相交,“垂直”“相交”两条缺一不可(板书.与两条异面直线都垂直的直线不能称为公垂线,与两条异面直线都相交的直线也不能称为公垂线,对于两条异面直线,它们的公垂线有且只有一条.[师]两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段的长度,叫做两条异面直线的距离.(板书.对于确定的两条异面直线,它们所成的角是确定的,它们的公垂线是确定的,它们的距离也是完全确定的.[师]下面我们来看个例子设图中正方体的棱长为a .(1求直线BA ′和CC ′所成角的大小;(2求异面直线BC 和AA ′的距离.注意:求异面直线所成角的大小,关键是选择恰当的点,通过平移将两异面直线所成的角转化为相交直线所成的角,成为平面问题去求解;求两异面直线的距离,就是求两异面直线的公垂线段的长.分析:因为BB ′∥CC ′,所以∠A ′BB ′就是异面直线BA ′与CC ′所成的角,因为AA ′与AB 垂直相交,BC 与AB 也垂直相交,所以AB 是异面直线AA ′和BC 的公垂线,AB 的长就是异面直线AA ′与BC 的距离.解:(1∵CC ′∥BB ′∴BB ′和BA ′所成的锐角,即∠A ′BB ′就是异面直线BA ′和CC ′所成的角(解题过程中,这句表述不能少.∵∠A ′BB ′=45°,∴BA ′与CC ′所成的角是45°.(2⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫='⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⋂⊥=⋂''⊥a AB BC A A AB B BC AB BC AB A AB A A A A AB 的公垂线段和是⇒BC 和AA ′的距离是a . Ⅲ.课堂练习课本P 28练习1,2,3,4.Ⅳ.课时小结本节课我们学习了两异面直线所成角的定义、范围,两异面直线的公垂线的定义,两异面直线间的距离.概念比较多,同学们一定要抓住定义中本质的东西深刻领会,认真掌握,两异面直线所成的角,两异面直线间的距离,这两部分内容,在空间图形中的位置是相当重要的,在高考中也是经常涉及到的,同学们一定要予以高度重视,对于角与距离的求法,要多练习,才能掌握好,相信我们每个同学都会学得很好.Ⅴ.课后作业课本P28习题5,8,9.思考与练习一、选择题1.下列命题中,正确的是(A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.有三个角是直角的四边形是矩形C.两平行线中,有一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线D.与两异面直线都垂直的直线是它们的公垂线答案:C2.已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有(A.1条B.2条C.3条D.4条答案:B3.直线a、b相交于点O,且a、b成60°角,过点O与a、b都成60°角的直线有(A.1条B.2条C.3条D.4条答案:C4.异面直线a、b所成的角为80°,P是空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是60°的直线有(A.1条B.2条C.3条D.4条答案:D5.若a、b是异面直线,c是a、b的公垂线,d∥c,则d和a、b的公共点的个数是(A.1B.最多为1C.2D.1或2答案:B6.已知直线a与b、b与c都是异面直线,且a与b的公垂线同时也是b与c的公垂线,那么a与c的位置关系是(A.平行或相交B.异面C.平行或相交或异面D.相交或异面答案:C7.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,下列说法正确的是(A.A1B与D1C是距离为a的异面直线B.异面直线AA1与BC的公垂线是A1B1C.异面直线AA1与BC的公垂线是aD.异面直线AA1与BC的公垂线段的长是a答案:D二、填空题1.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,与BD 1成异面直线的有_________条.答案:62.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 、P 、Q 是相应棱的中点,则(1MN 与PQ 的位置关系是_________,它们所成的角是_________.(2MN 与B 1D 的位置关系是_________,它们所成的角是_________.(3异面直线MN 与B 1D 1间的距离为______.答案:(1相交 60° (2异面 90° (3a3.在空间四边形ABCD 中,对角线AC =BD =2a ,M 、N 分别是边AB 、CD 的中点,若MN = 2 a ,则AC 和BD 所成的角为______,MN 和AC 所成的角为______.答案: 90° 45°4.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 是DC 的中点,AD =AA 1= 2 ,AB =2,那么(1AA 1与BC 1所成角的度数是_____;(2DA 1与BC 1所成角的度数是_____;(3BC 1与D 1M 所成角的余弦是_____. 答案:(145° (290° (3 335.在空间四边形ABCD 中,对角线AC ⊥BD ,若AC =6,BD =4,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,则MN =______,MN 与BD 所成角的正切值为______.答案:13 326.空间四边形ABCD 的各边与两条对角线的长都为1,点P 在边AB 上移动,点Q 在边CD 上移动,则点P 和点Q 的最短距离为_________. 答案:227.如图,空间四边形ABCD 中,E 、H 分别是AB 、AD 的中点,F 、G 分别是CB 、CD上的点且CF CB =CG CD =23,若BD =6 cm ,梯形EFGH 的面积为28 cm 2,则平行线EH 与FG 间的距离为_________.答案: 8 cm- 11 -。

异面直线一、教学目标：1、知识与技能：理解异面直线的概念，掌握异面直线的判定方法，会判断两直线是否为异面直线，掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较简单的异面直线所成的角2、过程与方法：在问题解决过程中，培养学生的实验观察能力、空间想象能力、逻辑思维能力、分析问题、解决问题的能力。

3、情感与价值观：通过体验，感受数学的魅力，体现数学语言的严谨性。

二、教学重点：异面直线的概念三、教学难点：异面直线所成角四、教学过程：（一）创设情境1．引导学生观察立交桥上的车辆为什么能畅通无阻？两条道路所在的直线不在同一平面内。

它们既不平行也不相交，这样的两条直线有什么特点呢？2．请学生做一个小实验，拿两支笔在空间中你能摆出几种位置关系？有3种：平行、相交、不平行也不相交的两条直线（对于这样的两条直线，它们之间有什么特点和关系呢？）前面我们学习过平行线，相交线，它们是同一平面内两条直线的位置关系，通过前面的实验和动画的观察，在空间还存在另一种两条直线的位置关系（不平行也不相交）。

我们称为“异面直线”。

（板书课题）（二）知识建构1、异面直线的定义：不同在任何．．一个平面内的两条直线叫异面直线。

（重点理解定义中的“任”，指出“任何”一个平面，是指找不到一个平面，使这两条直线在这个平面上,这样的两条直线才是异面直线）举反例说明分别在两个平面上的两条直线不一定是异面直线（长方体中）2、两条异面直线的性质：既不平行，也不相交。

3、空间中两直线的位置关系：相交 有且只有一个公共点共面直线平行 无公共点异面直线 无公共点例1： “a ，b 是异面直线”是指① a ∩b =Φ且a 不平行于b ；② a ⊂ 平面α，b ⊂ 平面 β且a ∩b =Φ③ a ⊂ 平面α，b ⊄ 平面α ④ 不存在平面α，能使a ⊂ α且b ⊂ α成立上述结论中，正确的是4、异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。

22 直线方程的概念与直线的斜率教材分析这节内容从一个具体的一次函数及其图像入手，引入直线方程和方程的直线的概念．从研究直线方程的需要出发，引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率的概念．然后建立了过两点的直线的斜率公式．直线方程的概念是通过初中学过的一次函数的图像引入的，是将一次函数与其图像的关系转换成直线方程与直线的对应关系．对这种关系的学习，要通过观察图像，研究图像，利用数形结合的思想，归纳和概括出什么是直线的方程和方程的直线，使学生对直线和直线方程的关系有一个初步了解．倾斜角和斜率公式都是反映直线相对于ｘ轴正方向的倾斜程度的，确切地说，倾斜角是直接反映这种倾斜程度的，斜率公式是利用直线上点的坐标来研究直线的倾斜程度的．解析几何是用数来研究形的，在研究直线时，使用斜率公式比使用倾斜角更方便，因此正确理解斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，是学习这节内容的重点，也是学好平面解析几何的关键．教学目标1. 通过对本节的学习，了解直线的方程和方程的直线的概念，理解直线的倾斜角和斜率的概念，会准确地表述直线的倾斜角和斜率的意义．2. 理解并掌握过两点的直线的斜率公式，并能用其解决有关的数学问题．3. 初步培养学生数形结合的思想，提高学生联系、转化、归纳、概括的思维能力，进一步培养学生的创新意识和分析问题、解决问题的能力．任务分析这节内容是在一次函数的基础上，通过研究一次函数和它的图像的关系，而引入的直线和方程的关系．对于直线和方程的关系，学生接受起来可能比较困难，因此在学习时要始终结合具体的直线方程和它的图像来研究，以增强直观性，便于被学生理解．直线的倾斜角和斜率是描述直线倾斜程度的，在学习过程中，一方面要注意有关概念之间的区别，另一方面要突出它们之间的联系，要充分利用图像进行具体分析，让学生注意斜率的变化和倾斜角的关系，特别是当直线的倾斜角为直角时，直线的斜率不存在的情况，进一步强调：有斜率必有倾斜角与之对应；反之，有倾斜角必有斜率与之对应是不够确切的．在这节的学习中，要让学生体会“形”与“数”相互转化的思想，培养学生分析、联想、抽象、概括的能力．教学设计一、问题情境1. 在初中，我们学习过一次函数y＝kx＋b，（k≠0），知道它的图像是一条直线l，那么满足y＝kx＋b的有序实数对（x，y）与直线l上的点的坐标有什么关系？能否把它推广到一般的二元一次方程和直线？2. 作出函数y＝2x＋1的图像，研究满足y＝2x＋1的有序实数对与y＝2x＋1的图像上点的坐标的关系．二、建立模型1. 学生分析讨论，师生共同总结（1）有序实数对（0，1）满足函数y＝2x＋1，在直线l上就有一点A，它的坐标是（0，1）；又如有序实数对（2，5）满足函数y＝2x＋1，在直线l上就有一点B，它的坐标是（2，5）．（2）在直线l上取一点P（1，3），则有序实数对（1，3）就满足函数y＝2x＋1；又如在直线l上取一点Q（－1，－1），则有序实数（－1，－1）就满足函数y＝2x＋1．结论：一般地，满足函数式y＝kx＋b的每一对x，y的值，都是直线l上的点的坐标；反之，直线l上每一点的坐标（x，y）都满足函数式y＝kx＋b，因此，一次函数y＝kx＋b的图像是一条直线，它是以满足y＝kx＋b的每一对x，y的值为坐标的点构成的．2. 教师明晰从方程的角度看，函数y＝kx＋b可以看作二元一次方程y－kx－b＝0，这样“满足一次函数y＝kx＋b的每一对（x，y）的值”，就是“二元一次方程y－kx－b＝0的解x，y”；以方程y－kx－b＝0的解为坐标的点就在函数y＝kx＋b的图像上；反过来，函数y＝kx＋b的图像上的任一点的坐标满足方程y－kx－b＝0，这样直线和方程就建立了联系．一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫作这条直线的方程；这条直线叫这个方程的直线．由于方程y＝kx＋b的图像是一条直线，因而我们今后就常说直线y＝kx＋b．练习：已知方程2x＋3y＋6＝0．（1）把这个方程改写成一次函数．（2）画出这个方程对应的直线l．（3）判定点（，1），（－3，0）是否在直线ｌ上．进一步思考如下问题：哪些条件可以确定一条直线？在平面直角坐标系中，过点Ｐ的任何一条直线l，对x轴的相应位置有哪些情形？如何刻画它们的相对位置？3. 通过学生讨论，师生共同总结直线相对x轴的情形有四种，如图所示：通过分析四种情形，师生共同得出：直线相对ｘ轴的位置情形，可用直线l和x轴所成的角来描述．我们规定：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫作这条直线的倾斜角，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．问题：（1）在直角坐标系中，画出过点P（－1，2），倾斜角分别为45°，150°，0°，90°的四条直线．（2）直线的倾斜角的取值范围是怎样的？通过讨论师生共同明确：直线的倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．在此范围的直角坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角确定一条直线的方向．倾斜角直观地表示了直线相对x轴正方向的倾斜程度．从上面的讨论可以看出，直线在坐标系中的倾斜程度可以用倾斜角直观地来表示．我们知道，当一条直线上的两个点确定时，这条直线也就随之确定了，那么现在的问题是：如果已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），那么如何用x1，y1，x2，y来量化直线P1P2的倾斜程度呢？在教师的启发下，引导学生作如下探索：直线y＝kx＋b被其上的任意两个不同的点唯一确定（如图22-3）．因此，由该直线上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标可以计算出k的值．由于x1，y1和x2，y2是直线方程的两组解，所以y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b．两式相减，得y2－y1＝kx2－kx2＝k（x2－x1）．所以由直线上两点的坐标求该直线的斜率ｋ与这两点在直线上的顺序无关，可知如果令Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1，则Δx表示变量x的改变量，Δy表示相应的y的改变量．于是因此，我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫作该直线的斜率．垂直于x轴的直线不存在斜率．想想看：（1）在函数方程y＝kx中，如果ｘ表示某物体运动的时间（t），y表示在时刻x时运动过的距离（m），那么k表示的意义是什么？k＝60，120，…的具体意义是什么？（2）如果在函数方程y＝120x中，x表示某商店销售某个商品的数量，y表示销售所得的总收入（元），那么斜率k＝120表示的意义是什么？进一步引导学生明确下列事实：除去垂直于x轴的直线外，只要知道直线上两个不同点的坐标，由（*）式就可以算出这条直线的斜率．方程y＝kx＋b的图像是通过点（0，b）且斜率为k的直线．对一次函数确定的直线，它的斜率等于相应函数值的改变量与自变量改变量的比值．直观上可使我们感知到斜率k的值决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度．当k＝0时，直线平行于x轴或与x轴重合，直线的倾斜角等于0°．当k＞0时，直线的倾斜角为锐角；k值增大，直线的倾斜角也随着增大．当k＜0时，直线的倾斜角为钝角；k值增大，直线的倾斜角也随着增大．垂直于ｘ轴的直线的倾斜角等于90°．三、解释应用［例题］1. 求经过A（－2，0），B（－5，3）两点的直线的斜率k．解：x1＝－2，x2＝－5，y1＝0，y2＝3；Δx＝－2－（－5）＝3，Δy＝0－3＝－3．故k＝＝－1，即k＝－1．2. 画出方程3x＋6y－8＝0的图像．解：由已知方程解出y，得y＝这是一次函数的表达式，它的图像是一条直线．当x＝0时，y＝；当x＝2时y＝．在坐标平面内描出点A（0，），B（2，），则经过A，B两点的直线即为所求一次方程的图像（如图22-4）．3. 若三点A（－2，3），B（3，－2），C（，m）共线，求m的值．解：因为A，B，C三点共线，所以k AC＝k AB，即，解得m＝.思考总结：研究三点共线的常用方法．［练习］1. 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．（1）（1，－1），（－3，2）．（2）（1，－2），（5，－2）．（3）（3，4），（－2，5）．（4）（3，0），（0，）．2. 已知过点P（－2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，求m的值．3. 过点P（－1，2）的直线l与x轴和y轴分别交于A，B两点．若点P恰为线段AB 的中点，求直线l的斜率．四、拓展延伸1. 直线的斜率k与直线的倾斜角α之间的关系怎样？2. 已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P1P2的斜率为k，求证：｜P1P2｜＝｜x1－x2｜＝｜y1－y2｜．3. 某城市出租汽车所收租车费y（元）与行驶路程x（km）之间的关系可用下列关系式表示你能用斜率来解释这一实际问题吗？。