计算方法大作业1 克服Runge现象

0018算法笔记——【动态规划】流水作业调度问题与Johnson 法则1、问题描述：n个作业{1，2，…，n}要在由2台机器M1和M2组成的流水线上完成加工。

每个作业加工的顺序都是先在M1上加工，然后在M2上加工。

M1和M2加工作业i所需的时间分别为ai和bi。

流水作业调度问题要求确定这n个作业的最优加工顺序，使得从第一个作业在机器M1上开始加工，到最后一个作业在机器M2上加工完成所需的时间最少。

2、问题分析直观上，一个最优调度应使机器M1没有空闲时间，且机器M2的空闲时间最少。

在一般情况下，机器M2上会有机器空闲和作业积压2种情况。

设全部作业的集合为N={1，2，…，n}。

S是N的作业子集。

在一般情况下，机器M1开始加工S中作业时，机器M2还在加工其他作业，要等时间t后才可利用。

将这种情况下完成S中作业所需的最短时间记为T(S,t)。

流水作业调度问题的最优值为T(N,0)。

设π是所给n个流水作业的一个最优调度，它所需的加工时间为aπ(1)+T’。

其中T’是在机器M2的等待时间为bπ(1)时，安排作业π(2)，…，π(n)所需的时间。

记S=N-{π(1)}，则有T’=T(S,bπ(1))。

证明：事实上，由T的定义知T’>=T(S,bπ(1))。

若T’>T(S,bπ(1))，设π’是作业集S在机器M2的等待时间为bπ(1)情况下的一个最优调度。

则π(1)，π'(2)，…，π'(n)是N的一个调度，且该调度所需的时间为aπ(1)+T(S,bπ(1))<aπ(1)+T’。

这与π是N的最优调度矛盾。

故T’<=T(S,bπ(1))。

从而T’=T(S,bπ(1))。

这就证明了流水作业调度问题具有最优子结构的性质。

由流水作业调度问题的最优子结构性质可知:从公式（1）可以看出，该问题类似一个排列问题，求N个作业的最优调度问题，利用其子结构性质，对集合中的每一个作业进行试调度，在所有的试调度中，取其中加工时间最短的作业做为选择方案。

计算方法姓名：学号：班级：指导教师：目录作业1 (1)作业2 (5)作业3 (8)作业4 (10)作业5 (14)作业6 (16)作业7 (17)作业11、分别用不动点迭代与Newton 法求解方程 -+=x 2x e 30的正根与负根。

解：(1)不动点迭代a.原理：将 230x x e -+=变型为1()k k x g x +=进行迭代，直到 为止变型后为有两种形式： 和 b.程序：初值为1形式: x=zeros(100,1); tol=1; i=1; x(1)=1;while tol>=10e-6; disp(x(i))x(i+1)=log(2*x(i)+3); tol=abs(x(i+1)-x(i)); i=i+1; enddisp(i-1); 形式:x=zeros(100,1); tol=1; i=1; x(1)=1;while tol>=10e-6; disp(x(i))x(i+1)=(exp(x(i))-3)/2; tol=abs(x(i+1)-x(i)); i=i+1; end disp(i-1);c.运行结果：初值为1(23)1lnk x k x ++=6110k k x x -+-<132k x k e x +-=(23)1ln k x k x ++=132k xk e x +-=迭代次数：11迭代次数：9(2)Nexton法a.原理：令()()1'kk kkf xx xf x+=-得到迭代公式为：()1232kkxkk k xx ex xe+-+=--b.程序：初值为0x=zeros(100,1);tol=1;i=1;x(1)=0;while tol>=10e-6;disp(x(i))x(i+1)=x(i)-((2*x(i)-exp(x(i))+3)/(2-exp(x(i))));tol=abs(x(i+1)-x(i));i=i+1;enddisp(i-1);初值为1x=zeros(100,1);tol=1;i=1;x(1)=1;while tol>=10e-6;disp(x(i))x(i+1)=x(i)-((2*x(i)-exp(x(i))+3)/(2-exp(x(i))));tol=abs(x(i+1)-x(i));i=i+1;enddisp(i-1)a=x(i-1);b=2*a-exp(a)+3;disp(b);c.运行结果：初值为0迭代次数：5初值为1迭代次数：8 -1.6171e -006结果分析：不动点迭代会因为迭代公式选取的不同得出不同的迭代结果，而牛顿法迭代会因为初值选取的不同而得到不同的结果。

计算方法下载作业（一）姓名：提交作业方式有以下三种，请务必与辅导教师沟通后选择：1.将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅.2.在线提交word文档.3.自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传.一、填空题（每题2分，共10分）1./（0） = 1, /（2） = 3 ,用拉格朗日插值法求得的/⑴的近似值为•2.过（/"（/））， a,/区）），（/，/（%2））点的抛物插值多项式的余项为.3.用梯形公式计算积分.Ji %4.求矛盾方程组的最小二乘解是使最小.5.求向量X = （2,-4, 8）T的2-范数因b=.二、计算题（每题10分，共70分）1./ = 1, " = 2,亚=3,用牛顿插值法求正的近似值，并估计误差.X] += 4 X] 一 尤2 =3 21]-x 2 = 62.求矛盾方程组2.求矛盾方程组 的最小二乘解.求最小二乘一次式g]求）=% + a[x.4.求积分1）（幻口以/=；,%=；,%2=1为节点的内插求积公式，并求其代数精确度.5.用I复化梯形公式计算积打白“并估计误差.2X] + 3X2+5X3 = 2 6.用列主元消元法和全主元消元法解线性方程组＜3再+5% +82=3 .X] + 3X2+3X3 = 22X1 + 3X 2 + 2X 3 = 1411+ 5X 2 + 3%3 = 2 .2%j + 4X 2 + 4X 3 = 27.用直接三角分解法解线性方程组 7.用直接三角分解法解线性方程组三、证明题（每题10分，共20分）n]1.设a（i=o,i,・・・.）为内插求积公式系数，其中〃>2,证明Zai=鼻（犷-。

D./=03.设X =0一.,%")' 证明口|X||C||X『＜||X。

计算方法上机报告姓名：学号：班级：目录题目一------------------------------------------------------------------------------------------ - 4 -1.1题目内容 ---------------------------------------------------------------------------- - 4 -1.2算法思想 ---------------------------------------------------------------------------- - 4 -1.3Matlab源程序----------------------------------------------------------------------- - 5 -1.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------- - 5 - 题目二------------------------------------------------------------------------------------------ - 7 -2.1题目内容 ---------------------------------------------------------------------------- - 7 -2.2算法思想 ---------------------------------------------------------------------------- - 7 -2.3 Matlab源程序---------------------------------------------------------------------- - 8 -2.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------- - 9 - 题目三----------------------------------------------------------------------------------------- - 11 -3.1题目内容 --------------------------------------------------------------------------- - 11 -3.2算法思想 --------------------------------------------------------------------------- - 11 -3.3Matlab源程序---------------------------------------------------------------------- - 13 -3.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------ - 14 - 题目四----------------------------------------------------------------------------------------- - 15 -4.1题目内容 --------------------------------------------------------------------------- - 15 -4.2算法思想 --------------------------------------------------------------------------- - 15 -4.3Matlab源程序---------------------------------------------------------------------- - 15 -4.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------ - 16 - 题目五----------------------------------------------------------------------------------------- - 18 -5.1题目内容 --------------------------------------------------------------------------- - 18 -5.2算法思想 --------------------------------------------------------------------------- - 18 -5.3 Matlab源程序--------------------------------------------------------------------- - 18 -5.3.1非压缩带状对角方程组------------------------------------------------- - 18 -5.3.2压缩带状对角方程组---------------------------------------------------- - 20 -5.4实验结果及分析 ------------------------------------------------------------------ - 22 -5.4.1Matlab运行结果 ---------------------------------------------------------- - 22 -5.4.2总结分析------------------------------------------------------------------- - 24 -5.5本专业算例 ------------------------------------------------------------------------ - 24 - 学习感悟-------------------------------------------------------------------------------------- - 27 -题目一1.1题目内容计算以下和式：0142111681848586n n S n n n n ∞=⎛⎫=--- ⎪++++⎝⎭∑，要求： (1)若保留11个有效数字，给出计算结果，并评价计算的算法； (2)若要保留30个有效数字，则又将如何进行计算。

2020吉大网络教育（直属）计算方法大作业解答
计算题
1. 证明下列差分格式是二阶的
是二阶方法，并求出误差首项。

2. 用梯形方法解初值问题证明其近似解为
证明当时，其原初值问题的准确解3. 方程将其改写为
4. 用尤拉法解初值问题取步长计算。

5. 给定常微分初值问题试构造求解常微分初值问题的梯形差分格式。

6. 试证明显格式是一阶方法。

7. 方程将其改写为
8. 证明对于任意的参数，下列龙格—库塔公式是二阶的：
9. 利用改进的方法求解初值问题（取）
10. 就初值问题导出改进尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解相比较。

答案完整解答部分:
计算题
1. 答：
2. 答：
3. 答：
4. 答：
5. 答：
6. 答：
7. 答：
8. 答：
9. 答：
10. 答：。

计算方法大作业学院：电子工程姓名：班级：学号：大作业选题：分析方程求根问题中牛顿法的性能，包括收敛性等，并用该方法求解一个问题，给出过程和结果。

一、牛顿迭代法介绍：用迭代法求方程0)(=x f 的根时，首先要构造一个迭代函数，迭代函数构造的好坏，不仅影响收敛速度，而且有可能使迭代序列发散，构造迭代函数的一条重要途径，是用近似方程代替原方程去求根，因此如果能将非线性方程0)(=x f 用线性方程来近似代替，那么求近似根问题就容易得到解决，而且十分方便。

牛顿法就是把非线性方程线性化的一种方法。

二、牛顿迭代法原理设已知方程0)(=x f 的近似根0x ,则在0x 附近)(x f 可用一阶泰勒多项式))((')()(000x x x f x f x p -+=近似代替.因此, 方程0)(=x f 可近似地表示为0)(=x p .用1x 表示0)(=x p 的根,它与0)(=x f 的根差异不大.设0)('0≠x f ,由于1x 满足,0))((')(0100=-+x x x f x f 解得)(')(0001x f x f x x -= 重复这一过程,得到迭代公式)(')(1n n n n x f x f x x -=+ 这就是著名的牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为)(')()(x f x f x x g -=.用牛顿迭代公式求方程根的方法称为牛顿迭代法，简称牛顿法。

三、牛顿迭代法的几何解析在0x 处作曲线的切线，切线方程为))((')(000x x x f x f y -+=。

令0=y ，可得切线与x 轴的交点坐标)(')(0001x f x f x x -=，这就是牛顿法的迭代公式。

因此，牛顿法又称“切线法”，其几何意义即为0x 点处的切线方程。

四、牛顿迭代法的收敛性 计算可得2)]('[)(")()('x f x f x f x g -=,设*x 是0)(=x f 的单根,有0)(',0)(**≠=x f x f ,则0)]('[)(")()('2****=-=x f x f x f x g , 故在*x 附近,有1)('<x g .根据不动点原理知牛顿迭代法对单根收敛.同理可知当*x 是0)(=x f 的重根时也收敛，则可分析出牛顿法不论对单根还是重根均是局部收敛的，只要初值足够靠近*x ，牛顿迭代序列均收敛于*x 。

《计算方法》平时作业（2010-2011学年第一学期）学 院：_________________________ 专 业：_________________________ 姓 名：_________________________ 学 号：_________________________ 联 系 方 式：_________________________机研111班机械工程学院作业(考试前交, 给出证明或计算过程、计算程序及计算结果) 1. 对向量()12Tn x x x x = 定义1211,max ,nk k k nk x x xx x ∞≤≤====∑设A 是n n ⨯矩阵，规定1111max x A Ax ==，1max x A Ax ∞∞∞==，2221max x A Ax ==证明111112max (),max (),.n nkj jk j nj nk k T A a A a A A A λ∞≤≤≤≤=====∑∑列范数行范数是最大特征值证明：1） 证明111||||max||nijj n i A a≤≤==∑1111111111||||max ||max ||||max ||||||max ||nnn nij iiji ij ij j nj nj nj ni i i i AX a x ax a x a ≤≤≤≤≤≤≤≤=====≤≤=∑∑∑∑所以 111||||111||||max ||||max||nijx j ni A Ax a=≤≤==≤∑设 1111max||||,1,0,1,0,||||1,nnijip i ip i ip j ni i aa x a x a x ≤≤====≥=-<=∑∑取若取若则11||n nip i ip i i a x a ===∑∑且。

因此，1111111||||max ||||||max ||n nn nij i ip iip ij j nj ni i i i Ax a x ax a a ≤≤≤≤=====≥==∑∑∑∑即 111||||111||||max ||||max||nijx j ni A Ax a=≤≤==≥∑ 则 111||||m a x ||nij j ni A a ≤≤==∑2）证明11||||max||niji n j A a∞≤≤==∑11111111||||m a x ||m a x ||||m a x ||||||m a x||nnnni j j i j j i j i j i ni ni ni nj j j j A X a x a x a x a ∞∞≤≤≤≤≤≤≤≤=====≤≤=∑∑∑∑ 所以 ||||111||||m a x ||||m a x ||nij x i n j A Ax a ∞∞∞=≤≤==≤∑设 111max||||,1,0,1,0,||||1,nnijpj j pj j pj i nj j aa x a x a x ∞≤≤====≥=-<=∑∑取若取若则11||nn pj j pj j j a a ===∑∑且。

数值分析实验报告（四）题目：Runge现象的产生和克服学院：机电工程学院（二专业）专业：机械设计制造及其自动化班级：1008108班姓名：***学号：**********号Runge现象的产生和克服摘要：对于多项式插值运算，随着插值阶数的逐渐增多，如果带入离散点过于密集，使得定义域中的“边缘区域”，没有有效的点，将导致插值函数的边缘区域大幅度的偏离函数的真值，该现象称之为“Runge现象”。

0 前言（目的与意义）：了解Runge现象，体会插值运算的不准确性，以及其差值带来的误差甚至是错误。

1 数学背景：插值运算的误差公式：|w n (x)||R n (x)|<M n+1(n+1)!M n+1=max{f(n+1)(x i)}于是，如果函数的n+1阶导数一旦很大，则会出现函数的误差很大的情况。

2 程序及代码：（1）lagrange多项式插值函数syms f x p dp lx L;f=1/(1+25*x^2);N=input('请输入插值节点数N=');xx=-1:2/N:1;p=1; L=0;ff=zeros(1,length(xx));for i=1:(N+1)x=xx(i);ff(i)=eval(f);syms x;p=p*(x-xx(i));enddp=diff(p);for j=1:(N+1)x=xx(j);k=eval(dp);syms x;lx=p/((x-xx(j))*k);L=L+lx*ff(j);endaa=[-0.96:0.1:-0.06,0,0.06:0.1:0.96];for i=1:length(aa)x=aa(i);S(i)=eval(L);fff(i)=eval(f);ende=0;for i=1:length(aa)e=e+(S(i)-fff(i))^2;ende=sqrt(e/(20*21));fprintf('插值偏差为e=%.6f\n',e)ezplot(f,[-1,1])hold onezplot(L,[-1,1])hold onplot(xx,ff,'*')hold onplot(aa,S,'o')hold off（2）分段线性插值函数syms f x p lx;f=1/(1+25*x^2);N=input('请输入插值节点数N=');xx=-1:2/N:1;p=1; L=0;ff=zeros(1,length(xx));for i=1:(N+1)x=xx(i);ff(i)=eval(f);endsyms xfor i=1:Nfor j=1:(N+1)if j==ilx(i,j)=(x-xx(i+1))/(xx(i)-xx(i+1)); else if j==i+1lx(i,j)=(x-xx(i))/(xx(i+1)-xx(i)); elselx(i,j)=0;endendendendp=lx*ff';aa=[-0.96:0.1:-0.06,0,0.06:0.1:0.96];for i=1:length(aa)x=aa(i);for j=1:N+1if x<xx(j)breakendendS(i)=eval(p(j-1));fff(i)=eval(f);ende=0;for i=1:length(aa)e=e+(S(i)-fff(i))^2;ende=sqrt(e/(20*21));fprintf('插值偏差为e=%.6f\n',e)ezplot(f,[-1,1])hold onxxx=(-1:0.01:1);for i=1:length(xxx)x=xxx(i);for j=1:N+1if x<xx(j)breakendendSS(i)=eval(p(j-1));endplot(xxx,SS,'r')hold onplot(xx,ff,'*')hold onplot(aa,S,'o')hold off（3）：三转角插值法函数syms f x df s s1 s2 s3 s4;f=1/(1+25*x^2);df=diff(f);N=input('请输入插值节点数N=');h=2/N;xx=-1:2/N:1;p=1; L=0;ff=zeros(1,length(xx));for i=1:(N+1)x=xx(i);ff(i)=eval(f);dff(i)=eval(df);endsyms xfor i=1:Ns1=(x-xx(i+1))^2*(h+2*(x-xx(i)))*ff(i)/h^3; s2=(x-xx(i))^2*(h+2*(xx(i+1)-x))*ff(i+1)/h^3; s3=(x-xx(i+1))^2*(x-xx(i))*dff(i)/h^2;s4=(x-xx(i))^2*(x-xx(i+1))*dff(i+1)/h^2;s(i)=s1+s2+s3+s4;endaa=[-0.96:0.1:-0.06,0,0.06:0.1:0.96]; for i=1:length(aa)x=aa(i);for j=1:N+1if x<xx(j)breakendendS(i)=eval(s(j-1));fff(i)=eval(f);ende=0;for i=1:length(aa)e=e+(S(i)-fff(i))^2;ende=sqrt(e/(20*21));fprintf('插值偏差为e=%.6f\n',e) ezplot(f,[-1,1])hold onxxx=(-1:0.01:1);for i=1:length(xxx)x=xxx(i);for j=1:N+1if x<xx(j)breakendendSS(i)=eval(s(j-1));endplot(xxx,SS,'r')hold onplot(xx,ff,'*')hold onplot(aa,S,'o')hold off（4）.三弯矩插值法函数：syms f x ddf s;f=1/(1+25*x^2);ddf=diff(diff(f));N=input('请输入插值节点数N=');h=2/N;xx=-1:2/N:1;p=1; L=0;ff=zeros(1,length(xx));for i=1:(N+1)x=xx(i);ff(i)=eval(f);ddff(i)=eval(ddf);endsyms xfor i=1:NA=(ff(i+1)-ff(i))/h-h*(ddff(i+1)-ddff(i))/6;B=ff(i)-h^2*ddff(i)/6;s(i)=(xx(i+1)-x)^3*ddff(i)/(6*h)+(x-xx(i))^3*ddff(i+1)/(6*h)+A*(x-xx(i))+B; endaa=[-0.96:0.1:-0.06,0,0.06:0.1:0.96];for i=1:length(aa)x=aa(i);for j=1:N+1if x<xx(j)breakendendS(i)=eval(s(j-1));fff(i)=eval(f);ende=0;for i=1:length(aa)e=e+(S(i)-fff(i))^2;ende=sqrt(e/(20*21));fprintf('插值偏差为e=%.6f\n',e)ezplot(f,[-1,1])hold onxxx=(-1:0.01:1);for i=1:length(xxx)x=xxx(i);for j=1:N+1if x<xx(j)breakendendSS(i)=eval(s(j-1));endplot(xxx,SS,'r')hold onplot(xx,ff,'*')hold onplot(aa,S,'o')hold off3 总结与评价：函数的Runge现象可以通过三转角插值和三弯矩插值来解决，而且对于三转角和三弯矩插值来说，带入的数据越多，其插值效果越好4 实验结果：图1：观察Runge现象图2：分段线性插值图3：三转角插值：图4：三弯矩插值：。

《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。

2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤：实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。

解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而 1 0 -1 0 1 -4 -3 -3 9 -24 72 -219 1 -3 8 -24 73 -223所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。

5．叙述误差的种类及来源。

答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。

（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。

（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。

（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。

这样引起的误差称为舍入误差。

6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。

1、硬币面值组合描述使用1角、2角、5角硬币组成n 角钱。

设1角、2角、5角的硬币各用了a、b、c个，列出所有可能的a, b, c组合。

输出顺序为：先按c的值从小到大，若c相同则按b的值从小到大。

输入一个整数n（1 <= n <= 100)，代表需要组成的钱的角数。

输出输出有若干行，每行的形式为：i a b c第1列i代表当前行数（行数从001开始，固定3个字符宽度，宽度不足3的用0填充），后面3列a, b, c分别代表1角、2角、5角硬币的个数（每个数字固定12个字符宽度，宽度不足的在左边填充空格）。

样例输入样例输出源代码：#include<stdio.h>#include<stdlib.h>int main(){int t=1;int i,j,k;int n;scanf("%d",&n);int A=n,B=n/2,C=n/5;for(i=0;i<=C;i++){for(j=0;j<=B;j++){for(k=0;k<=A;k++){if(i*5+j*2+k*1==n){printf("%03d%12d%12d%12d\n",t,k,j,i);t++;}}}}getchar();return 0;}2、比赛排名描述5名运动员参加100米赛跑，各自对比赛结果进行了预测：A说：E是第1名。

B说：我是第2名。

C说：A肯定垫底。

D说：C肯定拿不了第1名。

E说：D应该是第1名。

比赛结束后发现，只有获第1名和第2名的选手猜对了，E不是第2名和第3名，没有出现名次并列的情况。

请编程判断5位选手各是第几名。

输入无输出输出要求：按ABCDE的顺序输出5行，其中第1行是A的名次，第2行是B的名次，第3行是C的名次，第4行是D的名次，第5行是E的名次。

样例输入样例输出源代码：#include<stdio.h>int main(){printf("5\n");printf("2\n");printf("1\n");printf("3\n");printf("4\n");return 0;}3、鸡兔同笼描述一个笼子里面关了鸡和兔子（鸡有2只脚，兔子有4只脚，没有例外）。

数值计算方法大作业
嘿，咱今儿来聊聊数值计算方法大作业呀！这可真是个有趣又有点
头疼的事儿呢！
你想想看，数值计算方法就像是一把神奇的钥匙，能打开好多好多
知识的大门。

做数值计算方法大作业的时候，那感觉就好像在探索一
个神秘的宝藏岛，每一步都充满了未知和挑战。

比如说吧，遇到一个复杂的公式，就像是在森林里碰到了一团乱麻，得耐心地一点点解开。

有时候可能会觉得，哎呀，这可咋整呀，咋这
么难呢！但别急呀，咱得静下心来，仔细琢磨。

这不就跟咱平时解一
道特别难的谜题一样嘛，刚开始觉得毫无头绪，可一旦找到那个关键点，嘿，豁然开朗啦！
在做这个大作业的过程中，可千万不能马虎哟！每一个数据都得像
宝贝一样对待，要是不小心弄错了一个，那可能整个结果都跑偏啦！
这就好比盖房子，一块砖没放好，那房子说不定就歪了呀。

而且呀，团队合作也很重要呢！大家一起讨论，一起想办法，那可
比一个人闷头苦干强多啦。

就好像一群小伙伴一起去冒险，每个人都
能发挥自己的长处，互相帮助，多有意思呀！
还有啊，别忘了多检查几遍自己的成果。

这就跟出门前照镜子一样，得看看自己有没有哪里不妥当。

可别嫌麻烦，这可是关乎最后成果好
不好的关键一步呢！
数值计算方法大作业，它既是挑战，也是机会呀！通过完成它，我们能学到好多好多实用的知识和技能，以后遇到类似的问题，咱就可以轻松应对啦，这多棒呀！所以呀，别害怕它，勇敢地去面对，去探索，去享受这个过程吧！咱肯定能把它完成得漂漂亮亮的，让别人都竖起大拇指，你说是不是呢？。

小学六年级数学练习题复杂数学运算挑战解题技巧在小学六年级的数学学习中，复杂的数学运算题常常给学生们带来挑战。

解答这些题目需要一定的技巧和方法。

本文将介绍一些解决复杂数学运算题的技巧，帮助小学六年级的同学们提高解题能力。

一、加减法运算技巧复杂的加减法运算题目通常包含多位数的计算或是带有小数点的计算，解题时可以采用以下技巧：1. 列竖式计算：对于多位数相加减的题目，可以将数字竖向排列，按位数进行计算。

这样做可以减少计算出错的概率，并且更易于对齐各个位数。

2. 进位借位法：在进行竖式计算时，如果遇到某一位数相加或相减的结果超过了9或者借位为负数的情况，可以采用进位或借位的方法进行调整。

3. 注意小数点位置：在进行带有小数点的加减法运算时，需要特别注意小数点的位置，并在计算过程中对齐小数点。

二、乘法运算技巧复杂的乘法运算题目常常需要多步计算，以下是一些解题技巧：1. 分步计算：对于多位数相乘的题目，可以采用分步计算的方法，先计算个位数的乘法，然后逐位相加。

2. 估算策略：对于较大的乘法运算，可以通过估算策略来简化计算过程。

例如，将一个大数拆分成几个较小的数相乘，再将结果相加。

3. 注意小数位数：在进行带有小数点的乘法运算时，要特别注意小数位数的正确计算，并在最终结果中对齐小数点。

三、除法运算技巧复杂的除法运算题目常常需要注意小数位数，并掌握以下技巧：1. 估算商数：在进行较大的除法运算时，可以通过估算商数的大小来判断答案的合理性，有助于排除一些可能的错误选项。

2. 分步计算：对于除法运算，可以按照多步计算的方法，先计算商的整数部分，再计算小数部分。

3. 小数位数调整：在进行除法运算时，需要根据题目要求调整小数位数，确保计算的准确性和精确度。

四、综合运算题技巧综合运算题是数学课上常见的题型，它要求学生综合运用加减乘除等运算进行解题。

以下是一些解题技巧：1. 优化计算顺序：综合运算题通常包含多个运算符号，解题时可以根据计算顺序进行优化，先计算括号内的运算，再进行乘除法运算，最后进行加减法运算。

算式大挑战解决复杂算式的方法与技巧解决复杂算式是数学学习中的一大难题。

许多学生在面对长长的算式时常常感到困惑和无从下手。

本文将介绍一些常用的解决复杂算式的方法和技巧，帮助读者提升解题能力。

一、分解算式分解算式是解决复杂算式的常见方法之一。

当遇到括号、分数、分子分母有共同因式等情况时，可以尝试将算式进行分解，化繁为简。

例如：计算表达式(2x+y)×(3x-y)的值。

解法：我们可以将括号内的算式分别记为A=(2x+y)和B=(3x-y)，那么整个算式可以化为A×B的形式。

然后，我们可以按照分配律展开这个乘法式子，得到2x×3x+2x×(-y)+y×3x+y×(-y)。

最后化简得到6x^2-2xy+3xy-y^2=6x^2+xy-y^2。

二、利用因式分解因式分解是解决复杂算式的另一种常见方法。

当遇到多项式之间存在公因式时，可以尝试利用因式分解简化计算过程。

例如：计算表达式5x^2+20x的最大公因式。

解法：我们可以将5x^2和20x都约分为5x，并得到5x(x+4)。

因此最大公因式为5x。

三、整理运算顺序有时，复杂算式中存在多种运算符号，而不同的运算顺序可能得到不同的结果。

因此，我们需要注意运算符号的优先级，合理安排运算顺序。

例如：计算表达式3+4×5的值。

解法：根据运算符号的优先级，我们应该先进行乘法运算，再进行加法运算。

因此，3+4×5的值等于3+20=23。

四、使用特定公式或规律在解决复杂算式时，有时候我们可以利用特定的公式或规律简化计算。

这就需要我们熟悉各类公式和规律，并能够巧妙运用。

例如：计算表达式a^2-b^2的值。

解法：我们可以将a^2-b^2写为(a+b)(a-b)的形式。

这是一个特定的公式，被称为平方差公式。

因此，a^2-b^2的值等于(a+b)(a-b)。

五、化简复杂分数有时，复杂算式中可能涉及到分数，这时我们可以尝试将分数进行化简，使算式更加简洁。

2020年奥鹏吉⼤⽹络教育《计算⽅法》⼤作业解答2020年奥鹏吉⼤⽹络教育《计算⽅法》⼤作业解答(说明：前⾯是题⽬，后⾯⼏页是答案完整解答部分，注意的顺序。

)⼀、解线性⽅程⽤矩阵的LU分解算法求解线性⽅程组⽤矩阵的Doolittle分解算法求解线性⽅程组⽤矩阵的Doolittle分解算法求解线性⽅程组⽤⾼斯消去法求解线性⽅程组⽤⾼斯消去法求解线性⽅程组⽤主元素消元法求解线性⽅程组⽤⾼斯消去法求解线性⽅程组利⽤Doolittle分解法解⽅程组Ax=b，即解⽅程组1、⽤矩阵的LU分解算法求解线性⽅程组X1+2X2+3X3 = 02X1+2X2+8X3 = -4-3X1-10X2-2X3 = -112、⽤矩阵的Doolittle分解算法求解线性⽅程组X1+2X2+3X3 = 12X1– X2+9X3 = 0-3X1+ 4X2+9X3 = 13、⽤矩阵的Doolittle分解算法求解线性⽅程组2X1+X2+X3 = 46X1+4X2+5X3 =154X1+3X2+6X3 = 134、⽤⾼斯消去法求解线性⽅程组2X 1- X 2+3X 3 = 24X 1+2X 2+5X 3 = 4-3X 1+4X 2-3X 3 = -35、⽤⽆回代过程消元法求解线性⽅程组2X 1- X 2+3X 3 = 24X 1+2X 2+5X 3 = 4-3X 1+4X 2-3X 3 = -36、⽤主元素消元法求解线性⽅程组2X 1- X 2+3X 3 = 24X 1+2X 2+5X 3 = 4-3X 1+4X 2-3X 3 = -37、⽤⾼斯消去法求解线性⽅程组1231231232344272266xx x x x x x x x -+=++=-++=8、利⽤Doolittle 分解法解⽅程组Ax=b ，即解⽅程组 12341231521917334319174262113x x x x -?-=?--??--9、利⽤Doolittle 分解法解⽅程组Ax=b ，即解⽅程组 123421111443306776081011112x x x x =-????10、⽤⾼斯消元法解⽅程组1237811351341231x x x --=-??????⼆、计算1、已知节点x1,x2及节点处函数值f(x1)，f(x2)，构造线性插值多项式p1(x).2、设f(xi)=i(i=0,1,2),构造⼆次式p2(x)，使满⾜： p2(xi)=f(xi)(i=0,1,2)以下为解答部分：⼀、解线性⽅程1、⽤矩阵的LU 分解算法求解线性⽅程组X 1+2X 2+3X 3 = 02X 1+2X 2+8X 3 = -4-3X1-10X2-2X3 = -11解答：2、⽤矩阵的Doolittle分解算法求解线性⽅程组 X1+2X2+3X3 = 12X1– X2+9X3 = 0-3X1+ 4X2+9X3 = 1解答：3、⽤矩阵的Doolittle分解算法求解线性⽅程组 2X1+X2+X3 = 46X1+4X2+5X3 =154X1+3X2+6X3 = 13解答：4、⽤⾼斯消去法求解线性⽅程组 2X1- X2+3X3 = 24X1+2X2+5X3 = 4-3X1+4X2-3X3 = -3解：⽅程组的扩⼤矩阵为：5、⽤⽆回代过程消元法求解线性⽅程组 2X1- X2+3X3 = 2 4X1+2X2+5X3 = 4-3X1+4X2-3X3 = -3解：⽅程组的扩⼤矩阵为：接下⼀页：。

数值计算方法上机题目11、实验1. 病态问题实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。

所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。

希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。

数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。

病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。

问题提出：考虑一个高次的代数多项式∏=-=---=201)()20)...(2)(1()(k k x x x x x p （E1-1）显然该多项式的全部根为l ，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的（也称为简单的）。

现考虑该多项式方程的一个扰动0)(19=+xx p ε (E1-2)其中ε是一个非常小的数。

这相当于是对（E1-1）中19x 的系数作一个小的扰动。

我们希望比较（E1-1）和（E1-2）根的差别，从而分析方程（E1-1）的解对扰动的敏感性。

实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个 Matlab 函数：“roots ”和“poly ”，输入函数u ＝roots （a ）其中若变量a 存储1+n 维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。

设a 的元素依次为121,...,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程0...1121=++++-n n n n a x a x a x a的全部根，而函数b=poly(v)的输出b 是一个n ＋1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。

可见“roots ”和“Poly ”是两个互逆的运算函数.ve=zeros(1,21); ve(2)=ess;roots(poly(1:20))+ve)上述简单的Matlab 程序便得到（E1-2）的全部根，程序中的“ess ”即是（E1-2）中的ε。

实验要求：（1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。

应用计算方法学院：自动化学院班级：硕1104班姓名：陈兆辉计算方法2班教师：张晓丹目录上机作业1 (3)上机作业2 (6)上机作业3 (10)上机作业4 (12)上机作业5 (17)上机作业6 (18)上机作业7 (19)上机作业11.分别用不动带你迭代法与Newton 法求解方程2x- ex +3=0的正根和负根解：（1）用不动点迭代法求方程的正根1）迭代公式：()231ln k P k P ++=，初值p0=1.02）程序：k=1;Tol=0.00001;p0=1.0;N=100;while k<=Np=log(2*p0+3);if abs(p-p0)<Tolbreak;endk=k+1;p0=p;enddisp(p);disp(k)3)显示结果：P= 1.9239K=11（2） 用不动点迭代法求解方程的负根1）迭代公式： 1(3)/2k p k p e +=-，初值p0=-1.02）程序：k=1;Tol=0.00001;p0=-1.0;N=100;while k<=Np=(exp(p0)-3)/2;if abs(p-p0)<Tolbreak;endk=k+1;p0=p;enddisp(p);disp(k)3）显示结果：P= -1.3734k=7(3)用牛顿法求方程的正根1）迭代公式：()1232k k p k k k p p e p p e +-+=--，初值p0=1.02）程序：k=1;Tol=0.00001;p0=1.0;N=100;while k<=Np=p0-(2*p0-exp(p0)+3)/(2-exp(p0));if abs(p-p0)<Tolbreak;endk=k+1;p0=p;enddisp(p);disp(k)3）显示结果：P=1.9239K=8（4）用牛顿法求解方程的负根1）迭代公式：()1232k k p k k k p p e p p e +-+=--，初值p0=-1.02）程序：k=1;Tol=0.00001;p0=-1.0;N=100;while k<=Np=p0-(2*p0-exp(p0)+3)/(2-exp(p0));if abs(p-p0)<Tolbreak;endk=k+1;p0=p;enddisp(p);disp(k)3）显示结果：P= -1.3734K= 44）结果分析：不动点迭代法是求解非线性方程的主要方法，其中牛顿法应用最广泛，它求解方程的单根时具有二阶收敛性，但是它要求较好的初始近似值，牛顿法比普通的迭代法收敛速度快，能较少的迭代达到理想的值。

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