非线性系统分析
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第八章非线性系统分析
8-1 概述
一、教学目的和要求
了解研究非线性系统的意义、方法,常见非线性特性种类。
二、重点
非线性概念,常见非线性特性。
三、教学内容:
1 非线性系统概述
非线性系统运动的规律,其形式多样,线性系统只是一种近似描述。
(1)非线性系统特征—不满足迭加原理
1)稳定性:平衡点可能不只一个,系统的稳定性与系统结构参数、初始
条件及输入有关。
2)自由运动形式,与初条件,输入大小有关。
3)自振,自振是非线性系统特有的运动形式,它是在一定条件下,受初
始扰动表现出的频率,振幅稳定的周期运动。
(2)非线性系统研究方法
1)小扰动线性化处理(第二章介绍)
2)相平面法-----分析二阶非线性系统运动形式
3)描述函数法-----分析非线性系统的稳定性研究及自振。
2、常见非线性因素对系统运动特性的影响:
1)死区:(如:水表,电表,肌肉电特性等等)
饱和对系统运动特性的影响:
进入饱和后等效K ↓⎪⎩⎪
⎨⎧↓↑↓↓,快速性差限制跟踪速度,跟踪误统最多是等幅振荡)
(原来不稳,非线性系振荡性统一定稳定)原来系统稳定,此时系(%σ
死区对系统运动特性的影响:
⎪⎩⎪⎨⎧↓
↓↑↓动不大时)]此时可能稳定(初始扰[原来不稳定的系统,,振荡性声,提高抗干扰能力差),能滤去小幅值噪跟踪阶跃信号有稳态误
等效%(e K ss
σ 可见:非线性系统稳定性与自由响应和初始扰动的大小有关。 2) 饱和(如运算放大器,学习效率等等)
3) 间隙:(如齿轮,磁性体的磁带特性等)
间隙对系统影响:
1) 间隙宽度有死区的特点----使ss e ↓
2) 相当于一个延迟τ时间的延迟环节,%σ→↑ 振荡性
减小间隙的因素的方法:
(1)提高齿轮精度 ; (2)采用双片齿轮; (3)用校正装置补偿。
5) 摩擦(如手指擦纸) 摩擦引起慢爬现象的机理
改善慢变化过程平稳性的方法1)2)3)⎧⎪
⎨⎪⎩
、良好润滑、采用干扰补偿、增加阻尼,减少脉冲,提高平衡性
摩擦对系统运动的影响:
影响系统慢速运动的平稳性
6)继电特性:
对系统运动的影响:
1)K (2K %3)ss e σ⎧⎧⎪⎨
⎩⎪
⎪⎧↑⎪⎪⎪⎧↓⎨⎨⎪⎨
⎪⎪↓⎪⎩⎩⎪
⎪⎪⎪⎩
一、二阶系统可以稳定、理想继电特性 等效: 一般地,很多情况下非线性系统会自振带死区))、带死区继电特性 等效: 快态影响(死区+饷)的综合效果振荡性、一般继电特性:除3、2中听情况外,多出一个延迟效果(对稳定性不利)8-2 相平面法
一、教学目的和要求:掌握相平面概念及分析方法。 二、重点
相平面法。 三、教学内容:
1 相平面法基础(适用于二阶系统) 1)相平面 相轨迹
二阶非线性系统运动方程:()[(),()]x t f x t x t =――定常非线性运动方程
[,][,]dx dx
f x x dx dt
dx f x x dx x
⋅==
(1)相平面:由)(1x x 为横坐标,)(2x
x 为纵坐标的直角坐标平面,称为相平面或状态平面。
(2)相轨迹:由))()((12x f x
x f x == 在相平面上描绘的曲线叫做相轨迹; (3)相变量(状态变量):独立变量21x x 、(或)(),(t x x x )叫做相变量。 (4)相平面图:根据不同初始条件所描绘的相轨迹曲线的集合(曲线族),叫做相平面图。
(5)奇点或平衡点:即当同时满足021==x
x (或0,0==x x )解出的点称为奇点。在奇点处,速度和加速度都为0,因此系统处于平衡状态(即静止状态)。奇点是所有相轨迹曲线分离或汇合的点。
(6)极限环:当系统出现等幅振荡时,其相轨迹为一闭合的曲线,此称之为极限环。 2、相轨迹的绘制方法
三种方法(1)解析法(2)图解法 1.解析法
解析法就是用求解微分方程的办法找出)(t x
和)(t x 的关系,从而在相平 面上绘制相轨迹。有两种方法。
(1)消除参变量t
直接从方程),(x x f x
=解出)(t x ,再由)(t x 求出)(t x ,消除)(t x ,)(t x 中的t ,即得x
与x 的关系。 (2)直接积分:
因为 dx
x
d x dt dx dx x d dt x d x
=⋅==
故 ),(x x f x =可写成
),(x x f dx
x d x = 若该式可分解为dx x h x d x
g )()(= 则
dx x h x d x
g x
x x
x
)()(0
0⎰⎰
= 找出x
与x 的关系,其中00,x x 为初始条件。 例8-1 已知系统的微分方程
02
20
0(0)
0(0)
12
2()
x m x x x x m
x mt
Mt t x M x x +====-=-=--0对积分得再积分x-x =-消去中间变量,得
2.
相轨迹绘制的等倾斜线法: 系统方程为:(,)dx
x x f x x dx
=⋅=-
(,)dx f x x dx x
α=-=令相轨迹的斜率 得出等斜线方程:(,)f x x x αα
⎧=-
⎨
=⎩相平面上此方程对应曲线点上的
相轨迹斜率为等值
给定不同的α值,画出不同的等斜线,在上面画出斜率等于相应α的
短线,可以构成相轨迹切线的方向场。由此可画出非线性运动的相轨迹。。
例 8-2 微分方程为 001=++x a x a x
绘制出来的相轨迹曲线。
因为:x a x a x 01--=
即
x
x
a a dx x d 01--=
令 α=dx
x
d , 则α=--x x a a 0
1 ,此方程称为等倾线方程。由此可求得:
α
+-=10a a x x
令 K x x
= ,则Kx x =
令 1,110==a a 当1-=α 时,有-∞=+-
=1
1
αK