三角函数考点

高中三角函数考点总结考点一：利用任意角的三角函数定义求三角函数值1.已知角α的终边经过点p（-1，m）(m≠0)，并且sinα=35m，求cosα+tanα考点二：运用诱导公式化简求值2.（1）sin（−114π）（2）cos（-1830°）考点三：求函数的定义域3.（1）y=sinx+−tanx（2）y=lg（3-4si n2x）考点四：利用同角三角函数判断三角形形状4.若α是三角形内角，并且sinα+cosα=23，试判断三角形的形状考点五：同角三角函数的化简5.（1）1−2sin4cos4（2）1+sinα1−sinα−1−sinα1+sinα（α是第二象限角）考点六：关于1的代换6.已知f（x）=1−x1+x ，α∈（π2，π），求f（cosα）+f（-cosα）的结果考点七：利用诱导公式化简7.sin2π−αsin−2π−αcos⁡(6π−α)cos2π−αcosα−πsin⁡(5π−α)（2）sin kπ−αcos⁡(kπ+α)sin k+1π+αcos⁡[k+1π−α]考点八：诱导公式的应用8.已知∠A，∠B，∠C是∆ABC的三个内角，求证：（1）cos（2A+B+C）=-cosA（2）tan A+B4=-tan3π+C4考点九：求三角函数定义域9.（1）y= sinx + 1−2sin 2x （2）y=lg （2sinx-1）+ 1−2cosx（3）y= 36−x 2+lgsinx （4）log 4−x 2 + 2sinx +12（5）y= cos ⁡（sinx ） （6）y= sin ⁡（cosx ）（7）y=lg ⁡（sinx −12）2sinx − 3（8）y=log（cosx +12sinx）考点十：求三角函数的最值和值域 10.（1）若ｙ＝３−sinx ２+sinx，求函数的值域（2）y=3-2sin2x （3）y= cos ⁡（sinx ）（4）y=cosx+ 3sinx ，x ∈[π6，23π]11.求出函数f （x ）=2sinx-cosx+3tanx 在[π6，π3]内的值域12.求值域（1）y=4sinx −2sinx +1+3 （2）y=log （3−cos 22x ）（3）y=2sinx −1sinx +2（4）y=2−sinx3+cosx13.求最值（1）y=sinxcosx+cosx+sinx （2）y=cos 2xcosx +sinx +sin2x14.求f（x）=1−4cos2x3+sin x的最值考点十一：求函数参变量的问题15.已知函数y=2acosθ+b+1的最大值是4，最小值是-1，求a、b的值考点十二：求函数周期16.（1）y=3sin（14x−π2）+2 （2）y=sin2x+cos2x（3）y=cos2x-23sinxcosx （4）y=-2si n2x+2sinxcosx+1考点十三：判断函数奇偶性17.（1）y=sin（34x+32π）（2）y=co s2x1−sinx（3）y=1−cosx+cosx−1（4）y=cos（π2+2x）cos⁡（π+x）考点十四：求函数单调性18.已知ω>0，函数f（x）=sin（ωx+π4）在（π2，π）单调递减，则ω的取值范围是多少考点十五：解三角不等式19.16sin2x+sinx−14>4考点十六：对称问题20.已知函数f（x）=12sin2xsinφ+co s2xcosφ−12sinπ2+φ (0<φ<π)，其图像过（π6，12）（1）求φ的值（2）将函数y=f（x）的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图像，求函数g（x）在[0，π4]上的最大值和最小值。

第1讲 三角函数的图象与性质[考情分析] 1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下．考点一 三角函数的运算核心提炼1．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)(2022·菏泽检测)已知角α的终边经过点(－1,2)，则cos 2α等于( ) A ．－45B ．－35C ．－15D.35答案 B解析 因为角α的终边经过点(－1,2)， 所以sin α＝2(－1)2＋22＝25，cos α＝－1(－1)2＋22＝－15， 所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝15－45＝－35.(2)已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－αcos ⎝⎛⎭⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cos α＝______. 答案 35 45解析 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－αcos ⎝⎛⎭⎫－7π2＋α ＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝35，cos α＝45.二级结论 (1)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin α<α<tan α. (2)由(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α知，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α知一可求二．跟踪演练1 (1)(2022·山西联考)若sin 10°＝a sin 100°，则sin 20°等于( ) A.aa 2＋1 B ．－aa 2＋1C.2a a 2＋1 D ．－2aa 2＋1 答案 C解析 由题可知a >0，sin 10°＝a sin 100°＝a sin(90°＋10°)＝a cos 10°， 又因为sin 210°＋cos 210°＝1， 解得sin 10°＝a a 2＋1，cos 10°＝1a 2＋1， 所以sin 20°＝2sin 10°cos 10° ＝2·a a 2＋1·1a 2＋1＝2aa 2＋1. (2)已知2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝cos(α－π)，则sin 2α＋cos 2α＝________. 答案 －15解析 ∵2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝cos(α－π)， ∴2sin α＝－cos α， ∴tan α＝－12，∴sin 2α＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝2tan α＋1－tan 2α1＋tan 2α＝－15.考点二 三角函数的图象与解析式核心提炼由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象的步骤例2 (1)(2021·全国乙卷)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象，则f (x )等于( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2－7π12 B ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12 C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 D ．sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12 答案 B解析 依题意，将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x )的图象，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4――――――――――――――→将其图象向左平移π3个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的图象―――――――――――――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12的图象．(2)(多选)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的部分图象如图所示，则f (x )等于( )A ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 B ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π3C ．2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6D ．2cos ⎝⎛⎭⎫x －7π6 答案 BC解析 根据图象，可得A ＝2，设f (x )的最小正周期为T ， 则34T ＝7π12－⎝⎛⎭⎫－π6＝3π4， 解得T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.将最低点的坐标⎝⎛⎭⎫7π12，－2代入 f (x )＝2sin(2x ＋φ)中， 得2sin ⎝⎛⎭⎫2×7π12＋φ＝－2， 则7π6＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， 解得φ＝2k π－5π3(k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2k π－5π3(k ∈Z )． 令k ＝0，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6－π2＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －7π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 规律方法 由三角函数的图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)中参数的值(1)最值定A ，B ：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M ，最小值为m ，则M ＝A ＋B ，m ＝－A ＋B ，解得B ＝M ＋m 2，A ＝M －m2.(2)T 定ω：由周期的求解公式T ＝2πω，可得ω＝2πT.(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．跟踪演练2 (1)(2022·安康模拟)已知函数f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(A >0，ω>0)的图象向左平移3π4个单位长度后与原图象重合，则实数ω的最小值是( ) A.43 B.83 C.163 D ．8 答案 A解析 由题可知，3π4是该函数周期的整数倍，即3π4＝πω×k ，k ∈Z ，解得ω＝4k3，k ∈Z ， 又ω>0，故其最小值为43.(2)(2022·黄山模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到y ＝f (x )的图象，需将函数g (x )＝A cos ωx 的图象至少向右平移( )A.π3个单位长度 B.π4个单位长度 C.π6个单位长度 D.2π3个单位长度 答案 A解析 由图象可知A ＝2，f (x )的最小正周期 T ＝2×⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝2πω，解得ω＝2， ∴f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝2， ∴2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 解得φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，又－π<φ<0，∴φ＝－π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12. ∵g (x )＝2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4， ∴将g (x )的图象至少向右平移π4＋π12＝π3个单位长度可得f (x )的图象．考点三 三角函数的性质核心提炼函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)单调性：由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递减区间．(2)对称性：由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )可得对称中心；由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )可得对称轴．(3)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx＋φ)为偶函数．例3 (1)(2022·赣州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)相邻两条对称轴之间的距离为2π，若f (x )在(－m ，m )上单调递增，则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π4 B.⎝⎛⎦⎤0，π2 C.⎝⎛⎦⎤0，3π4 D.⎝⎛⎦⎤0，3π2 答案 B解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)相邻两条对称轴之间的距离2π， 则12T ＝2π，即T ＝4π，则ω＝2π4π＝12， 则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4， 由2k π－π2≤12x ＋π4≤2k π＋π2，得4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2(k ∈Z )，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤－3π2，π2上单调递增， 由(－m ，m )⊆⎣⎡⎦⎤－3π2，π2得0<m ≤π2， 所以m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π2. (2)(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＋b (ω>0)的最小正周期为T .若2π3<T <π，且y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π2，2中心对称，则f ⎝⎛⎭⎫π2等于( )A ．1 B.32 C.52 D ．3答案 A解析 因为2π3<T <π，所以2π3<2πω<π，解得2<ω<3.因为y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π2，2中心对称， 所以b ＝2，且sin ⎝⎛⎭⎫3π2ω＋π4＋b ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫3π2ω＋π4＝0，所以3π2ω＋π4＝k π(k ∈Z )， 又2<ω<3，所以13π4<3π2ω＋π4<19π4，所以3π2ω＋π4＝4π，解得ω＝52，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫52x ＋π4＋2，所以f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin ⎝⎛⎭⎫52×π2＋π4＋2＝sin 3π2＋2＝1.故选A. 规律方法 研究三角函数的性质，首先化函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式，然后结合正弦函数y ＝sin x 的性质求f (x )的性质，此时有两种思路：一种是根据y ＝sin x 的性质求出f (x )的性质，然后判断各选项；另一种是由x 的值或范围求得t ＝ωx ＋φ的范围，然后由y ＝sin t 的性质判断各选项．跟踪演练3 (1)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0中心对称，则( ) A ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，5π12上单调递减 B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，11π12上有两个极值点 C ．直线x ＝7π6是曲线y ＝f (x )的对称轴D ．直线y ＝32－x 是曲线y ＝f (x )的切线 答案 AD解析 因为函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0中心对称，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝0，可得4π3＋φ＝k π(k ∈Z )，φ＝－4π3＋k π(k ∈Z )，结合0<φ<π，得φ＝2π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 对于A ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，5π12时，2x ＋2π3∈⎝⎛⎭⎫2π3，3π2，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，5π12上单调递减，故A 正确；对于B ，当x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，11π12时，2x ＋2π3∈⎝⎛⎭⎫π2，5π2，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，11π12上只有一个极值点，故B 不正确；对于C ，因为f ⎝⎛⎭⎫7π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×7π6＋2π3＝sin 3π＝0，所以x ＝7π6不是曲线y ＝f (x )的对称轴，故C 不正确；对于D ，因为f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，若直线y ＝32－x 为曲线y ＝f (x )的切线， 则由2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝－1，得2x ＋2π3＝2k π＋2π3或2x ＋2π3＝2k π＋4π3(k ∈Z )， 所以x ＝k π或x ＝k π＋π3(k ∈Z )．当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )＝32， 则由32＝32－k π(k ∈Z )，解得k ＝0； 当x ＝k π＋π3(k ∈Z )时，f (x )＝－32，方程－32＝32－k π－π3(k ∈Z )无解． 综上所述，直线y ＝32－x 为曲线y ＝f (x )的切线，故D 正确． (2)(2022·广州联考)若函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎣⎡⎦⎤－π3，π3上单调递减，且在⎣⎡⎦⎤－π3，π3上的最大值为3，则ω＝________. 答案 －14解析 因为函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎣⎡⎦⎤－π3，π3上单调递减， 所以ω<0，π|ω|≥2π3，则－32≤ω<0，又因为函数在⎣⎡⎦⎤－π3，π3上的最大值为3， 所以－π3ω＋π4＝π3＋k π，k ∈Z ，即ω＝－14－3k ，k ∈Z ，所以ω＝－14.专题强化练一、单项选择题1．(2022·日照模拟)已知角θ的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫12，－32，则角θ可以为( )A.5π6B.2π3C.11π6D.5π3 答案 D解析 ∵角θ的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫12，－32，∴θ是第四象限角，且cos θ＝12，sin θ＝－32，则θ＝5π3＋2k π，k ∈Z ，结合选项知角θ可以为5π3.2．(2022·惠州模拟)已知tan α＝2，π<α<3π2，则cos α－sin α等于( )A.55 B ．－55 C.355 D ．－355答案 A解析 由tan α＝sin αcos α＝2，且sin 2α＋cos 2α＝1，π<α<3π2，得sin α＝－255，cos α＝－55，所以cos α－sin α＝－55－⎝⎛⎭⎫－255＝55. 3.(2022·济宁模拟)如图，某时钟显示的时刻为9：45，此时时针与分针的夹角为θ，则(sin θ＋cos θ)(sin θ－cos θ)等于( )A.22 B ．－22 C.32 D ．－32答案 B解析 时针指向9时，分针指向12，当分针转到指向9时，旋转了圆周的34，因此时针旋转了1个小时⎝⎛⎭⎫即2π12的34，所以θ＝2π12×34＝π8， 所以(sin θ＋cos θ)(sin θ－cos θ)＝sin 2θ－cos 2θ ＝－cos 2θ＝－cos π4＝－22.4．(2022·全国甲卷)将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是( ) A.16 B.14 C.13 D.12答案 C解析 记曲线C 的函数解析式为g (x )，则g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤ωx ＋⎝⎛⎭⎫π2ω＋π3.因为函数g (x )的图象关于y 轴对称，所以π2ω＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得ω＝2k ＋13(k ∈Z )．因为ω＞0，所以ωmin ＝13.故选C.5.(2022·福州质检)已知函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤k π－16，k π＋56，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π－16，2k π＋56，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k －16，k ＋56，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤2k －16，2k ＋56，k ∈Z 答案 D解析 由图象可知，函数y ＝f (x )的最小正周期T 满足T 2＝43－13＝1，∴T ＝2，ω＝2π2＝π， ∴f (x )＝sin(πx －φ)，由f ⎝⎛⎭⎫13＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－φ＝0， 得π3－φ＝k π，得φ＝π3－k π，k ∈Z ， ∵－π2<φ<π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π3， 由2k π－π2≤πx －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得2k －16≤x ≤2k ＋56，k ∈Z ， 因此，函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k －16，2k ＋56，k ∈Z . 6．(2022·云南师大附中模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x (a >0)的最大值为2，若方程f (x )＝b在区间⎝⎛⎭⎫0，13π6内有三个实数根x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则x 1＋2x 2＋x 3等于( ) A.8π3 B.10π3 C ．4π D.25π6答案 A解析 f (x )＝sin x ＋a cos x ＝1＋a 2sin(x ＋φ)，由题知1＋a 2＝2，且a >0，解得a ＝3，于是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 方程f (x )＝b 在区间⎝⎛⎭⎫0，13π6内的实数根，即为在区间⎝⎛⎭⎫0，13π6内y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 的交点的横坐标，如图所示，由f (x )图象的对称性可知，x 1＋x 22＝π6，x 2＋x 32＝7π6， 即x 1＋x 2＝π3，x 2＋x 3＝7π3， 所以x 1＋2x 2＋x 3＝(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝8π3. 7.(2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB ︵是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB ︵上，CD ⊥AB .“会圆术”给出AB ︵的弧长的近似值s 的计算公式：s ＝AB ＋CD 2OA.当OA ＝2，∠AOB ＝60°时，s 等于( )A.11－332B.11－432C.9－332D.9－432 答案 B解析 由题意知，△OAB 是等边三角形，所以AB ＝OA ＝2.连接OC (图略)，因为C 是AB 的中点，所以OC ⊥AB ，OC ＝OA 2－AC 2＝ 3.又CD ⊥AB ，所以O ，C ，D 三点共线，所以CD ＝OD －OC ＝2－3， 所以s ＝AB ＋CD 2OA ＝2＋(2－3)22＝11－432. 8．(2022·潍坊模拟)设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在区间⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4上的最大值为g 1(t )，最小值为g 2(t )，则g 1(t )－g 2(t )的最小值为( )A ．1B.22C.2－12D.2－22答案 D 解析 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为T ＝2π2＝π， 所以区间⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4的区间长度是该函数的最小正周期的14， 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在区间⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4上的最大值为g 1(t )，最小值为g 2(t )， 所以当区间⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4关于它的图象的对称轴对称，即对称轴为t ＋t ＋π42＝t ＋π8时，g 1(t )－g 2(t )取得最小值，且此时函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4上有最值±1，不妨设y 在⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4上有最大值g 1(t )＝1，则有sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫t ＋π8＋π3＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋7π12＝1，即2t ＋7π12＝π2＋2k π，k ∈Z ，得t ＝k π－π24，k ∈Z ，所以g 2(t )＝sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫k π－π24＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋π4＝22，所以g 1(t )－g 2(t )的最小值为2－22.二、多项选择题9．(2022·武汉质检)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 在下列区间上单调递增的是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π3，π2C.⎝⎛⎭⎫－2π3，－π6 D.⎝⎛⎭⎫π3，π答案 BC解析 f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z .当k ＝0时，有x ∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6；当k ＝－1时，有x ∈⎣⎡⎦⎤－2π3，－π6，只有B ，C 符合．10．(2022·山东联考)已知曲线C 1：y ＝cos 2x ，C 2：y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，则下面结论正确的是()A ．把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移5π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把曲线C 1向左平移7π12个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C 2D ．把曲线C 1向左平移π12个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后把得到的曲线向右平移π个单位长度，得到曲线C 2答案 ACD解析 对于选项A ，把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移5π6个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3－3π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，故A 正确； 对于选项B ，把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3－5π6≠－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3， 故B 错误；对于选项C ，把曲线C 1向左平移7π12个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得曲线对应的函数解析式为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋7π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，故C 正确； 对于选项D ，把曲线C 1向左平移π12个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后把得到的曲线向右平移π个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3－3π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，故D 正确．11．(2022·衡水模拟)已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<ω<4，|φ|<π2满足f ⎝⎛⎭⎫13π12－x ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋13π12，且f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，则下列说法正确的有( )A ．ω＝2B ．φ＝π6C ．直线x ＝13π12是f (x )图象的一条对称轴 D ．点⎝⎛⎭⎫7π3，0是f (x )图象的一个对称中心答案 ACD解析 由f ⎝⎛⎭⎫13π12－x ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋13π12 可知直线x ＝13π12是函数f (x )的图象的一条对称轴，故C 选项正确； 又f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，所以⎝⎛⎭⎫4π3，0是函数f (x )的图象的一个对称中心， 所以4π3－13π12＝T 4＋kT 2(k ∈Z )， 即T ＝π2k ＋1(k ∈Z )， 又因为T ＝2πω， 所以ω＝4k ＋2(k ∈Z )，因为0<ω<4，所以当k ＝0时，ω＝2符合，故A 选项正确；所以13π12×2＋φ＝k π(k ∈Z )， 所以φ＝k π－13π6(k ∈Z )， 因为|φ|<π2，所以当k ＝2时，φ＝－π6符合条件，故B 选项错误； 从而f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6， f ⎝⎛⎭⎫7π3＝cos ⎝⎛⎭⎫14π3－π6＝cos 9π2＝0，故点⎝⎛⎭⎫7π3，0是f (x )图象的一个对称中心，故D 选项正确． 12．(2022·德州联考)声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y ＝A sin ωt ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f (x )＝|cos x |＋3|sin x |，则下列结论不正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )的最小正周期为2πC ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增 D ．f (x )的最小值为1答案 BC解析 因为x ∈R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数，A 正确；f (x )显然是周期函数，因为f (x ＋π)＝|cos(x ＋π)|＋3|sin(x ＋π)|＝|cos x |＋3|sin x |＝f (x )，B 错误；因为当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， f (x )＝|cos x |＋3|sin x |＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在区间⎝⎛⎦⎤π3，π2上单调递减，C 错误；因为当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，f (x )＝|cos x |＋3|sin x |＝－cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 所以f (x )＝⎩⎨⎧ 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，设t ＝x ＋π6， 则t ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，所以sin t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以f (x )∈[1,2]，同理，当x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π时，f (x )∈[1,2]，由B 中解答知，π是f (x )的周期，所以f (x )的最小值为1，D 正确．三、填空题13．(2022·黄山模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝1cos x ，则sin x ＝________.答案 5－12解析 由tan ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝1cos x ，得sin ⎝⎛⎭⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝1cos x ， 即－cos x －sin x ＝1cos x ，即cos 2x ＝sin x ， 整理得sin 2x ＋sin x －1＝0，而－1≤sin x ≤1，解得sin x ＝5－12. 14．(2022·石家庄模拟)已知角α的终边经过点P (8,3cos α)．则sin α＝________.答案 13解析 ∵|OP |＝82＋(3cos α)2＝64＋9cos 2α，∴sin α＝3cos α64＋9cos 2α， cos α＝864＋9cos 2α， ∴sin α·64＋9cos 2α＝3cos α，即sin 2α(64＋9cos 2α)＝9cos 2α，∴sin 2α[64＋9(1－sin 2α)]＝9(1－sin 2α)，即9sin 4α－82sin 2α＋9＝0，解得sin 2α＝9(舍去)或sin 2α＝19， ∵cos α>0 ∴sin α>0，∴sin α＝13. 15．(2022·全国乙卷)记函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T .若f (T )＝32，x ＝π9为f (x )的零点，则ω的最小值为________． 答案 3解析 因为T ＝2πω，f ⎝⎛⎭⎫2πω＝32， 所以cos ()2π＋φ＝32，即cos φ＝32.又0<φ<π，所以φ＝π6. 所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6. 因为x ＝π9为f (x )的零点， 所以π9ω＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )， 解得ω＝9k ＋3(k ∈Z )． 又ω>0，所以当k ＝0时，ω取得最小值，且最小值为3.16．(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件⎣⎡⎦⎤f (x )－f ⎝⎛⎭⎫－7π4⎣⎡⎦⎤f (x )－f ⎝⎛⎭⎫4π3>0的最小正整数x 为________．答案 2解析 由题图可知，34T ＝13π12－π3＝3π4(T 为f (x )的最小正周期)，得T ＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2cos(2x ＋φ)．点⎝⎛⎭⎫π3，0可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6， 所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 所以f ⎝⎛⎭⎫－7π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－7π4－π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－11π3＝2cos π3＝1， f ⎝⎛⎭⎫4π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3－π6＝2cos 5π2＝0， 所以⎣⎡⎦⎤f (x )－f ⎝⎛⎭⎫－7π4⎣⎡⎦⎤f (x )－f ⎝⎛⎭⎫4π3>0， 即[f (x )－1]·f (x )>0，可得f (x )>1或f (x )<0，所以cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6>12或cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6<0.当x ＝1时，2x －π6＝2－π6∈⎝⎛⎭⎫π3，π2， cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎝⎛⎭⎫0，12，不符合题意； 当x ＝2时，2x －π6＝4－π6∈⎝⎛⎭⎫π，7π6， cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6<0，符合题意． 所以满足题意的最小正整数x 为2.。

三角函数专题复习（一）1. 三角函数（约16课时）（1）任意角、弧度制：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

（2）三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切），能画出的图象，了解三角函数的周期性。

③借助图象理解正弦函数、余弦函数在，正切函数在上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。

④理解同角三角函数的基本关系式：⑤结合具体实例，了解的实际意义；能借助计算器或计算机画出的图象，观察参数A，ω，对函数图象变化的影响。

⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

一、要点●疑点●考点1、任意角和弧度制：①、任意角：正角（按逆时针方向旋转形成的角）、负角（按顺时针方向旋转形成的角）、零角（没有作任何旋转的角）；②、象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；【注意】：如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。

③、a：终边相同的角的集合：S={β︱β=α+k·360o，k∈Z}；b：终边在x轴上的角的集合：S={β︱β=k•180o，k∈Z}；c：终边在y轴上的角的集合：S={β︱β=90o+k·180o，k∈Z}；d：终边在坐标轴上的角的集合：S={β︱β=k·90o，k∈Z}；e：终边在直线y=x上的角的集合：S={β︱β=45o+k•180o，k∈Z}④、角度制与弧度制：用度作为单位来度量角的单位制叫着角度制；用实数作为单位来度量角的单位制叫着弧度制；把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫着1弧度的角，用符号rad表示，读着弧度。

如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角αα的正负由角α的终边的旋转方向决定。

角度制与弧度制的转化只要通过【注意】：今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数。

三角函数1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角， 一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称作轴线角。

3、终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.【例1】与角1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是 ，合 弧度。

（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z . （6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈. 【例2】α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。

4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.【例3】若α是第二象限角，则2α是第_____象限角。

5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈.【例4】已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

6、任意角的三角函数的定义：、设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0yx xα=≠，cot x y α=(0)y ≠，【例5】（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为 。

三角函数【考点讲解】1..终边相同的角的公式: 终边相同的角相差()0360k k Z ∈练习1. 写出终边在y 轴上的角的集合．练习2.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： ⑴ 405°； ⑵ -165°； ⑶ 1563°． 2.角度与弧度的换算 :0180π= L rα=练习1： 把下列各角从角度化为弧度：15°= ；30°= ；45°= ； 60°= ；90°= ；120°= ；180°= ；270°=练习2： 把下列各角从弧度化为角度：．π= ；π2= ；π4= ； π8= ； 2π3= ； π3= ； π6= ； π12= ．练习3．填空：⑴ 若扇形的半径为10cm ，圆心角为60°，则该扇形的弧长l = ，扇形面积S = ．练习4. 已知1°的圆心角所对的弧长为1m ，那么这个圆的半径是 m ． 3.三角函数的概念 :例题1、已知角α的终边经过点(2,3)P -，求角α的正弦、余弦、正切值．练习1、已知角α的终边上的点P 的座标如下，分别求出角α的正弦、余弦、正切值：⑴ ()3,4P -； ⑵ ()1,2P -；⑶ 1,2P ⎛ ⎝⎭． 4.各象限角的三角函数值的正负号口诀：一全正二正弦三正切四余弦练习1. 判定下列角的各三角函数正负号：（1）4327º ；（2）-235 º； （3）275π．（4）3π-4{|360,}S k k Z ββα==+⋅∈{|2,}k k Z ββαπ==+∈练习2．根据条件sin 0θ<且tan 0θ<,确定θ是第几象限的角.． 练习3、已知α为第三象限角，则所在的象限是A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限 5.界限角的三角函数值练习1. 求值：5cos1803sin902tan 06sin 270-+-； 练习2.计算：213cos tan tan sin cos 24332ππππ-+-+π． 练习3．求下列三角函数的值：（1）sin 1485°（2）cos9π4 （3）tan （- 11π6） (09 湖南)4.的值为（ ）A.B. C.D. (12 湖南)14．已知角α的终边与单位圆的交点坐标为（23,21），则αcos = ．6.sin120的值为 B.1-(14 湖南)6.sin120的值为（） A.2 B.1- C. 2 D. 2-6. 同角三角函数的基本关系式 商数关系 sin tan cos y x ααα== 平方关系 222sin cos 1r αα+==． 例题1. 已知4sin 5α=，且α是第二象限的角, 求cos α和tan α．练习1．已知1cos 2α=，且α是第四象限的角， 求sin α和tan α．练习2．已知3sin 5α=-，且α是第三象限的角， 求cos α和tan α．练习3 已知tan 5α=，求sin 4cos 2sin 3cos αααα--的值．4cos4sinππ2122422(10 湖南)7.化简：()2sin cos a a +=（ ）.A. 1sin 2a +B. 1sin a -C. 1sin 2a -D. 1sin a + 7.三角函数的诱导公式练习1.求下列各三角函数值：(1) 9cos4π； (2) sin 780； (3) 11tan()6π-．练习2 求下列三角函数值：(1) sin(60)-； (2) 19cos()3π-； (3) tan(30)-． 练习3 求下列各三角函数值：(1) 9cos 4π； (2) 8tan 3π； (3) cos870； (4) sin 690． 8.三角函数的图像与性质 ①三角函数的图像sin y x =图像cos y x =图像②.定义域(R)、值域、单调性与最值sin y x =当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．sin y x = 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数． cos y x =当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =- cos y x = 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．练习1、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： （1）)18sin(π-与)10sin(π-； （2）)523cos(π-与)417cos(π-； （3）85sin π与9cos π2、函数sin 1y a x =+的最大值是3，则它的最小值______________________ 1. 函数x x y sin cos 2-=的值域是 （ ） A 、[]1,1-B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,1C 、[]2,0D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,11. 函数x x y sin cos 2-=的值域是 （ ）A 、[]1,1-B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,1C 、[]2,0D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,1公式1 απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+k απαt an )2t an(=+k 公式2：ααπ-sin sin(=+）ααπ-cos cos(=+）ααπt an t an(=+）公ααπsin sin(=-）ααπ-cos cos(=-）ααπt an t an(-=-）公αα-sin sin(=-）ααcos cos(=-）ααt an t an(-=-）③.周期性与奇偶性 周期：奇偶性：sin y x =是奇函数；cos y x =是偶函数1、下列函数中，周期是，又是偶函数的是A ．y=sinxB ．y=cosxC ．y=sin2xD ．y=cos2x 2、函数的最小正周期为2，则实数3、函数的最小正周期是____________________．4、函数在其定义域上是A.奇函数B. 偶函数C. 增函数D. 减函数10、函数的图象①、由函数的图象通过变换得到的图象。

三角函数1.求函数f（x）=cos3x的周期．考点：三角函数的周期性及其求法；函数的图象．分析：设出函数的周期为T，根据周期的定义有f（x）=f（x+T）得，3x+2π=3（x+T），同三角函数的f（x）=cos3x=cos（3x+2π）比较，得到T的值．解答：解：设周期为T．f（x）=cos3x=cos（3x+2π），f（x+T）=cos3（x+T）由f（x）=f（x+T）得，3x+2π=3（x+T），解得T= 2π/3∴函数f（x）=cos3x的周期2π/3．点评：本题是一个三角函数的定义问题，是一个利用诱导公式来解的问题，是一个概念问题，解题时紧抓住定义，本题可以作为解答题的一问出现．本题也可以画图象来解．2. 已知函数y=3sin（2x- π/6）．求①函数的周期T；②函数的单调增区间．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：①直接利用求周期的公式，求出函数的周期T；②利用y=sinx的单调性，求出函数的单调增区间．解答：解：①依题意可知：T= 2π/π=2即函数的周期为π②令u=2x- π/6则函数y=3sinu的单调增区间为[-π/2+2kπ，π/2+2kπ]k∈Z由–π/2+2kπ≤2x-π/6≤π/2+2kπ，得：–π/6+kπ≤x≤π/3+kπk∈Z∴函数y=3sin（2x- π/6）的单调增区间为：[-π/6+kπ，π/3+kπ]k∈Z（8分）点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，是基础题．3.已知函数f(x)=cos2x+2√3sinxcosx-sin2x，（1）求函数f（x）的最大值，最小值及最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）并用“五点法”画出它一个周期的图象．考点：正弦函数的单调性；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象.专题：综合题．分析：先利用二倍角公式对函数化简可得，f(x)=2sin(2x+π/6)（1）利用正弦函数的值域可得函数的最大值为2，最小值-2；利用周期公式T= 2π/ω可求周期（2）利用正弦函数的单调性可得，2kπ-1/2π≤2x+π/6≤2kπ+1/2π，求解即可（3）略解：（1）f（x）= cos2x+√3sin2x= 2sin(2x+π/6)∴周期T= 2π/2=π∴当sin(2x+π/6)=1时，f（x）取得最大值2，当sin(2x+π/6)=-1时f（x）取得最小值-2（2）当2kπ-π/2≤2x+π/6≤2kπ+π/2 k∈Z即kπ-π/3≤x≤kπ+π/6k∈Z函数f（x）单调递增∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-π/3，kπ+π/6]，（k∈Z）（3）列表：点评:本题主要考查了利用二倍角的正弦余弦公式对三角函数式的化简，辅助角公式ainx+bcosx= a2+b2sin(x+θ)的运用，正弦函数的最值及单调性的求解，五点法作三角函数的图象，灵活运用三角函数的性质是解决本题的关键．4.求函数y=（sinx+cosx）2+2cos2x的最小正周期．考点:三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：利用平方关系以及二倍角公式，化简函数y=（sinx+cosx）2+2cos2x为一个角的一个三角函数的形式，求出周期即可．解答：解：y=（sinx+cosx）2+2cos2x=1+sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+2= 2sin(2x+π4)+2；∴最小正周期T= 2π/2=π．点评：本题考查三角函数的最小正周期的求法，是基础题．5.求函数y=sin4x+2√3sinxcosx-cos4x的最小正周期、最小值和单调递增区间．考点:三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．专题：综合题．分析：把函数解析式中的第一与第三项结合，利用平方差公式分解因式，根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，然后提取2后，利用两角差的正弦函数公式化为一个角2x-π/6的正弦函数，找出λ的值，利用周期公式T= 2π/λ即可求出最小正周期，根据正弦函数的值域得到正弦函数的最小值为-1，即可求出函数y的最小值，根据正弦函数的单调递增区间得到2x- π/6的范围，求出x的范围即为函数y的递增区间．解答：解：y=sin4x+2√3sinxcosx-cos4x=sin4x-cos4x+2√3sinxcosx=（sin2x+cos2x）（sin2x-cos2x）+2√3sinxcosx=-cos2x+√3sin2x=2（sin2xcosπ/6-cos2xsinπ/6）=2sin（2x-π/6）∴T= 2π/2=π，y min=-2，又∵- π/2+2kπ≤2x-π/6≤π/2+2kπ，∴- π/3+2kπ≤2x≤2π/3+2kπ，即- π/6+kπ≤x≤π/3+kπ，∴y=2sin（2x-π/6）的单调增区间是[-π/6+kπ，π/3+kπ]点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的恒等变形及三角函数的最值．把函数y的解析式利用三角函数的恒等变形化为一个角的正弦函数是解本题的关键．同时本题的技巧性比较强，要求学生熟练掌握三角函数的恒等变形公式及法则．6.求下列函数的周期（1）y=1-3cos2(x/3+π/6)；（2）y=4sin(3x+π/4)+3cos(3x+π/4).考点:三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：（1）利用二倍角公式降次把函数化为一个角的三角函数的形式，然后求出周期．（1）利用两角和的正弦公式，把函数化为一个角的三角函数的形式，然后求出周期．解答：解：（1）y=1-3cos2(x/3+π/6)= -3/2cos(2x/3+π/3)-1/2T= 2π/2/3=3π函数的最小正周期是3π．（2）y=4sin(3x+π/4)+3cos(3x+π/4).= 5sin(3x+π/4+θ)其中tanθ= 3/4它的周期是T= 2π/3．函数的最小正周期是2π/3．点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，考查运算能力，是基础题．。

高考数学-三角函数专题复习三角函数专题考点例题解析】考点1.求值1、求sin330°、tan690°、sin585°的值。

解：利用三角函数的周期性和对称性，可得：sin330°=sin(360°-30°)=sin30°=1/2tan690°=tan(720°-30°)=tan30°=1/√3sin585°=sin(540°+45°)=sin45°=√2/22、已知角α为第三象限角，求sin(α+π/2)的值。

解：由于α为第三象限角，所以sinα<0，cosα<0.又因为sin(α+π/2)=cosα，所以sin(α+π/2)<0.3、已知sinθ+cosθ=5/3，cosθ-sinθ=2，求sin2θ的值。

解：将sinθ+cosθ和cosθ-sinθ相加，可得cosθ+cosθ=5/3+2=11/3，即cosθ=11/6.将cosθ-sinθ和sinθ+cosθ相减，可得2sinθ=-1/6，即sinθ=-1/12.代入sin2θ=2sinθcosθ的公式，可得sin2θ=-11/72.4、已知si n(π/4-α)=2/√5，求cosα的值。

解：sin(π/4-α)=sinπ/4cosα-cosπ/4sinα=2/√5，代入cosπ/4=√2/2和sinπ/4=√2/2，可得cosα=1/√10.5、已知f(cosx)=cos3x，求f(sin30°)的值。

解：将x=π/6代入f(cosx)=cos3x，可得f(cosπ/6)=cos(3π/6)=cosπ=-1.又因为sin30°=cosπ/6，所以f(sin30°)=-1.6、已知tanα=15π/22，求cos(π/2-α)的值。

解：tanα=15π/22，所以α为第三象限角，cos(π/2-α)=sinα>0.由tanα=sinα/cosα，可得cosα=15/√466，代入sin^2α+cos^2α=1，可得sinα=7/√466，最终可得cos(π/2-α)=7/15.7、已知tan(π/4+x)=2tan(π/4-x)，求cos2x的值。

三角函数超全考点与题型分析第一部分三角函数定义【思维导图】【常见考法】考点一：终边相同的角1．终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为。

【答案】180135,k k Z⋅︒+︒∈【解析】角的终边在第二象限的角平分线上，可表示为：13601352180135k k α=⋅︒+︒=⋅︒+︒，k Z ∈，角的终边在第四象限的角平分线上，可表示为：2360315(21)180135k k α=⋅︒+︒=+⋅︒+︒，k Z ∈．故当角的终边在第二、四象限的角平分线上时，可表示为：180135k α=⋅︒+︒，k Z ∈．2．下列各组角中，终边相同的角是。

A．2k π与()2k k Z ππ+∈B．3±k ππ与()3k k Z π∈C．()21+k π与()()41k k Z π±∈D．6k ππ+与()6k k Z ππ±∈【答案】C【解析】对于A 选项，()2k k Z π∈表示2π的整数倍，()()2122k k k Z πππ++=∈表示2π的奇数倍，2k π与()2k k Z ππ+∈的终边不一定相同；对于B 选项，()()3133k k k Z πππ±±=∈ ，()31k k Z +∈表示除3余数为1的整数，()()31312k k k Z -=-+∈表示除3余数为2的整数，而()3k k Z π∈表示3π的整数倍，所以，,,33k x x k k Z x x k Z πππ⎧⎫⎧⎫=±∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Ö，则3±k ππ与()3k k Z π∈的终边不一定相同；对于C 选项，对于()41k π±，取1k k Z =∈得()()14141k k ππ±=±，对于()21+k π，取2k k Z =∈得()()22121k k ππ+=+，()()()()12121241214222k k k k k k ππππ+-+=-=- ，()()()()1212124121422221k k k k k k ππππ--+=--=--均为2π的整数倍，则()21+k π与()()41k k Z π±∈的终边相同；对于D 选项，显然,66x x k k Z x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Ö，则6k ππ+与()6k k Z ππ±∈的终边不一定相同.故选：C.3．已知集合|22,42k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是。

1.2.1任意角的三角函数重难点题型【举一反三系列】【知识点1 三角函数的定义】1.任意角的三角函数定义2.三角函数的定义域：【知识点2 三角函数值的符号】第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负.注：一全正，二正弦，三正切，四余弦.【知识点3 诱导公式一】由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：【知识点4 单位圆的三角函数线定义】如图（1）PM表示α角的正弦值，叫做正弦线.OM表示α角的余弦值，叫做余弦线.如图（2）AT表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.【考点1 三角函数的定义】【分析】根据三角函数的定义，列方程求出m的值．【答案】解：角α的终边上一点(1,)P m，所以0m>，故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．A ．4B ．4±C ．3D ．3±【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m 的值．故选：D ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．)【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值．【答案】解：角故选：C ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．【变式1-3】（2019春•牡丹江期末）角α的终边上一点(P a ，2)(0)a a ≠，则2sin cos (αα-= )【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，分类讨论求得结果． 【答案】解：α的终边上一点(P a ，2)(0)a a ≠， 555a a =，22555a a =，555a a=-，2555a a=-故选：D ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 【考点2 利用象限角判断三角函数的符号】【例2】（2019春•湖北期中）下列命题成立的是( ) A ．若θ是第二象限角，则cos tan 0θθ< B ．若θ是第三象限角，则cos tan 0θθ> C ．若θ是第四象限角，则sin tan 0θθ< D ．若θ是第三象限角，则sin cos 0θθ>【分析】根据角所在的象限判断三角函数值的符号进行判断即可．【答案】解：若θ是第二象限角，则cos 0θ<，tan 0θ<，则cos tan 0θθ>，故A 错误， 若θ是第三象限角，则cos 0θ<，tan 0θ>，则cos tan 0θθ<，故B 错误， 若θ是第四象限角，则sin 0θ<，tan 0θ<，则sin tan 0θθ>，故C 错误， 若θ是第三象限角，则sin 0θ<，cos 0θ<，则sin cos 0θθ>，故D 正确， 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数值符号的判断，结合角的象限与三角函数值符号的关系是解决本题的关键． 【变式2-1】（2019春•珠海期末）已知点(sin ,tan )M θθ在第三象限，则角θ在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】由题意可得sin 0θ<且tan 0θ<，分别求得θ的范围，取交集得答案． 【答案】解：由题意，00sin tan θθ<⎧⎨<⎩①②，由①知，θ为第三、第四或y 轴负半轴上的角； 由②知，θ为第二或第四象限角． 则角θ在第四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的象限符号，是基础题．【变式2-2】（2019春•玉山县校级月考）若sin cos 0θθ<，则θ在( ) A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限【分析】判断三角函数的符号，然后判断角所在象限即可．【答案】解：sin cos 0θθ<，可知sin θ与cos θ异号，说明θ在第或第四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的符号的判断，角所在象限，是基本知识的考查． 【变式2-3】（2018秋•安庆期末）式子sin1cos2tan4的符号为( )A．正B．负C．零D．不能确定【分析】由1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，由此可得答案．【答案】解：1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，<，tan40>．∴>，cos20sin10故选：B．【点睛】本题考查三角函数值的符号，是基础题．【考点3 利用诱导公式一判断三角函数的符号】【例3】（2019秋•武邑县校级期中）下列三角函数值的符号判断正确的是()【分析】根据角所在的象限、诱导公式、三角函数值的符号逐项判断即可．【答案】解：A、因为156︒在第二象限，所以sin1560︒>，故A错误；︒=︒+︒=︒，且196︒在第三象限，D、因为tan556tan(360196)tan196所以tan5560︒>，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，及三角函数在各象限的符号的应用，属于基础题．【变式3-1】（2019秋•西陵区校级期末）下列三角函数值的符号判断错误的是() A．sin1650︒<︒>D．tan3100︒>B．cos2800︒>C．tan1700【分析】直接利用诱导公式化简，判断符号即可．【答案】解：sin1650︒=︒>，正确；︒>，正确；cos280cos800tan1700︒=-︒<，正确；︒>，错误；tan310tan500故选：C．【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数值的符号的判断，是基础题．【变式3-2】（2019春•武功县期中）下列值①sin(1000)-︒；④sin2是负值-︒；②cos(2200)-︒；③tan(10)的为()A．①B．②C．③D．④【分析】根据终边相同的角的三角函数值相同，利用三角函数符号判断方法，即可得出结论．【答案】解：①sin(1000)sin1000sin 2800-︒=-︒=-︒>； ②cos(2200)cos2200cos400-︒=︒=︒>； ③tan(10)tan100-︒=-︒<；综上，是负值的序号为③． 故选：C ．【点睛】本题考查了终边相同的角与三角函数符号判断问题，是基础题．【变式3-3】（2019秋•夷陵区校级月考）给出下列各函数值：①sin(1- 000)︒；②cos(2- 200)︒；③tan(10)-；A ．①④B ．②③C ．③⑤D ．④⑤【分析】利用诱导公式分别对五个选项进行化简整理，进而根据三角函数的性质判断正负． 【答案】解：①，sin(1000)sin(2360280)sin 280cos100-︒=-⨯︒-︒=-︒=︒>； ②，cos(2200)cos(636040)cos400-︒=-⨯︒-︒=︒>； ③，tan(10)tan(30.58)tan(0.58)0π-=-+=-<；，πsin2cos3tan40∴<．∴其中符号为负的是：③⑤．故选：C ．【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简求值，解题时应正确把握好函数值正负号的判定，是基础题． 【考点4 三角函数定义域】【分析】列出使函数有意义的不等式组，即由被开方数不小于零，得三角不等式组，分别利用正弦函数和余弦函数图象解三角不等式组即可【答案】解：要使函数有意义，需解得： （k ∈Z ）即2k π+≤x ≤2k π+π （k ∈Z ）故答案为Z ）【点睛】本题考查了函数定义域的求法，三角函数的图象和性质，解简单的三角不等式的方法 可．【答案】解：函数【点睛】本题考查了函数的概念，三角函数的定义域，解三角函数的不等式，属于中档题． 【分析】由绝对值的特点得到sin α-和0的关系，由正弦曲线和角的正弦值可以得到角的范围，写出角的范围后注意加上k 的取值． 【答案】解：|sin |sin αα=-，sin 0α∴-， sin 0α∴，由正弦曲线可以得到[2k αππ∈-，2]k π，k Z ∈， 故答案为：[2k ππ-，2]k π，k Z ∈【点睛】本题主要考查三角函数不等式，解题时最关键的是要掌握三角函数的图象，通过数形结合得到要求的角的范围，这个知识点应用非常广泛，可以和其他知识结合来考查．【变式4-3】求下列函数的定义域：（2）(2sin1)=-；y lg x【分析】利用函数的定义域以及三角函数线化简求解即可．【答案】解：（1）要使y＝有意义，可得cos x≥0，解得{x|﹣，k∈Z}；（2）要使y＝lg（2sin x﹣1）有意义，可得2sin x﹣1＞0，即：sin x，解得{x|，k∈Z}；（3）要使y＝有意义，可得sin x≠﹣1．所以函数的定义域为：{x|x＝﹣+2kπ，k∈Z}．【点睛】本题考查三角函数的定义域的求法，三角函数线的应用，考查计算能力．【考点5 利用诱导公式一化简求值】【例5】（2019春•娄星区期中）求下列各式的值：（2）sin1170cos1440tan1845︒+︒-︒【分析】（1）利用诱导公式进行恒等变形，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；（1）利用诱导公式进行恒等变形，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；【答案】（本题满分10分）（2）sin1170cos1440tan1845︒+︒-︒sin(336090)cos(43600)tan(536045)=⨯︒+︒+⨯︒+︒-⨯︒+︒ sin90cos0tan45=︒+︒-︒1=．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．【变式5-1】求下列各式的值（2）9cos2708cos03tan011sin180︒+︒+︒+︒．【分析】由特殊角的三角函数值即可计算得解．1(1)(1)=+-+-1=-．（2）9cos2708cos03tan011sin180︒+︒+︒+︒ 08100=+⨯++ 8=．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 【变式5-2】（2019春•船营区校级月考）计算下列各式的值： （1）sin(1395)cos1140cos(1020)sin750-︒︒+-︒︒； tan 4ππ； 【分析】（1）原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． （2）利用诱导公式即可计算得解．【答案】解：（1）原式sin(144045)cos(108060)cos(108060)sin(72030)=-︒+︒︒+︒+-︒+︒︒+︒ sin45cos60cos60sin30=︒︒+︒︒tan 4ππ )0【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题． 【变式5-3】（2019春•平罗县校级期中）求下列各式的值 )cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)︒-︒-︒-︒-︒【分析】（1）利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值即可． （2）利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值即可． )cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)-︒-︒=-︒-︒25)sin cos tan 463πππ=+-【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力． 【考点6 利用三角函数线解不等式】【例6】（2019春•泗县校级月考）利用单位圆，求适合下列条件的角的集合：【分析】在单位圆中画出三角函数线． （1）由[0，2π）内，，结合正弦线得的解集；（2）由[0，2π）内，，结合余弦线得的解集．【答案】解：在单位圆内作三角函数线如图：（1）∵在[0，2π）内，，OA，OB分别为的终边，由正弦线可知，满足的角的终边在劣弧AB内，∴的解集为{α|}；（2））∵在[0，2π）内，，OC，OD分别为的终边，由余弦线可知，满足的终边在劣弧CD内，∴的解集为{α|}．【点睛】本题考查了三角函数线，考查了三角不等式的解法，训练了数形结合的解题思想方法，是中低档题．【变式6-1】求下列不等式的解集：【分析】作出单元圆，利用三角函数线进行求解即可．【答案】解：（1）正弦线大于0的角为x轴的上方，对应的角为2kπ＜x＜2kπ+π，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ，2kπ+π），k∈Z．（2）余弦线小于0的角为y轴的左侧，对应的角为2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ+，2kπ+），k∈Z．（3）sin x＞对应的区域在阴影部分，对应角的范围为2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ+，2kπ+），k∈Z．（4）cos x≤﹣对应的区域在阴影部分，对应角的范围为2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．【点睛】本题主要考查三角不等式的求解，利用三角函数的三角函数线是解决本题的关键．【变式6-2】利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：（2）tan x≥﹣1．【分析】根据三角函数线分别进行求解即可．【答案】解：（1）作出y＝﹣，交单位圆于B，C，则sin x＞﹣对应的区域为阴影部分，作出x＝，交单位圆于E，D，则cos x＞对应的区域为阴影部分OD，OE之间，则sin x＞﹣且cos x＞对应的区域为OC到OE之间，其中OC对应的角为﹣，OE对应的角为，则阴影部分对应的范围是2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z，即sin x＞﹣且cos x＞对应的范围是{x|2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z}（2）作出正切函数线AT＝﹣1，则tan x≥﹣1对应的区域为阴影部分，OT对应的角为﹣，则阴影部分对应的角的范围是kπ﹣≤x＜kπ+，即不等式的解集为{x|kπ﹣≤x＜kπ+，k∈Z}【点睛】本题主要考查三角函数对应不等式的求解，利用三角函数线是解决本题的关键．【变式6-3】利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合．（3）tan x≥﹣1；【分析】作出单位圆，由三角函数值先求出角在[0，2π]内的取值范围，再由终边相同的角的概念加上周期，由此能求出满足条件的角x的集合．【答案】解：（1）由sin x，作出单位圆，如下图，∵sin x，∴，∴满足sin x≥的角x的集合为{x|2kπ+，k∈Z}．（2）由cos x≤，作出单位圆，如下图，∵cos x≤，∴，∴满足cos x≤的角x的集合为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．（3）由tan x≥﹣1，作出单位圆，如下图，∵tan x ≥﹣1，∴﹣≤x ＜， ∴满足tan x ≥﹣1的角x 的集合为{x |k π﹣，k ∈Z }． （4）由sin x ＞且cos x ＞，作出单位圆，如下图，∵sin x ＞且cos x ＞，∴，∴满足sin x ＞且cos x ＞x 的集合为{x |2k π+，k ∈Z }． 【点睛】本题考查角的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意单位圆和三角函数线的合理运用．【考点7 利用三角函数线比较大小】【例7】比较下列各组数的大小：【分析】（1）根据余弦函数单调性的大小进行比较（2）利用三角函数的诱导公式以及作差法进行比较即可．704π<-cos(π∴-02πα<<则0sin(cos <cos(sin )α222ππ-<【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，结合三角函数的诱导公式以及三角函数的单调性是解决本题的关键．【变式7-1】利用三角函数线比较下列各组三角函数值的大小：【分析】根据题意，依次作出各个角的三角函数值对应的三角函数线，进而比较大小即可得答案．【点睛】本题考查的知识点是三角函数线，三角函数值的大小比较，关键是掌握三角函数线的定义．【变式7-2】比较大小：可知：21AT AT >，可知：BD BC >，【点睛】本题考察了诱导公式的化简运用，正切线的画法，属于三角函数线的基础题目．【变式7-3】比较下列各组数的大小：【分析】根据三角函数线进行比较即可．）5 cos7π=在单位圆中作出对应的三角函数线如图，则余弦线为OM，正弦线为MP，（2）在单位圆中作出对应的三角函数线如图，则正切线为AT，正弦线为MP，则AT MP>，【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，根据三角函数线是解决本题的关键．。

三角函数知识点归纳 一、任意角与弧度制 1.任意角 (I)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. J 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. (2)分类［按终边位置不同分为象限角和轴线角(3)终边相同的角：所有与角a 终边相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合S=｛缈=a+ 2kιt, Λ∈Z!.(3)象限角与轴线角 今1(第一象限角)卜| 第二致限角阳2A"专VaV2痴 2⅛π<α<2⅛π+-g-,⅛∈z} +π,⅛∈ZT 第三敛限角)卜性"τrVaV2"+等"刃 第四象限角］{α∣2⅛π+^<α<2⅛π+2π,⅛∈z}2.弧度制的定义和公式 角a 的弧度数公式 IaI=%/表示弧长)角度与弧度的换算 ①1。

=念 rad ；② 1 rad=, 弧长公式 l=∖a ∖r 扇形面积公式S=»=如/ (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 3.任意角的三角函数 一、定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么Sina=y, cos α=x, tan α=^(x≠()).二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀：三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.(2)三角函数定义的推广：设点P(x, y)是角Q终边上任意一点且不与原点重合，r=∣OP∣,则• V X V,1八、sin a= , COSa=-, tanα=-(Xw0).r rχ∖ ,三、特殊角的三角函数：3.1 象限角及终边相同的角例1、若角。

是第二象限角，则辞()A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角∩例2、一的终边在第三象限，则。

的终边可能在() 2A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限或y轴非负半轴D.第三、四象限或y轴非正半轴3.2 三角函数的定义例1、已知角α的终边经过点P(一χ, — 6),且COSa=—/,则1;+%½= _________________ .1J SlIl (A IdIl (A例2、已知角α的终边经过点(3, -4),则Sin a+»^=.3.3 、三角函数符号的判定例1、已知Sina < 0旦cosa > 0,则a的终边落在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.4 扇形面积问题1.已知一个扇形的弧长和半径都等于2,则这个扇形的面积为().A. 2B. 3C. 4D. 6二、同角三角函数的基本关系与诱导公式1 .同角三角函数的基本关系(1)平方关系：siMα+cos2α=l; (2)商数关系：tan α=黑吃.同角三角函数的基本关系式的几种变形(l)sin2α= 1 — cos2α=(l + cos «)(1 —cos a)； cos2a= 1 - sin2a=(l ÷sin a)(l — sin a)； (sin a±cos a)2 =l±2sin acos a.(2)sin a=tan acos a(a≠5+E, &WZ).2 .诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”公式一：sin(a+2⅛π)=sin a, cos(a÷2hc)=cos a»la∏(6Z + <λkτf)= t∏∏OC其中公式二：sin(π+ct)= ~sin a> cos(π+cc)=~cos ct> Ian(Tr+a)=Ian a.公式三：sin(π~a)=sin a,cos(π-a) = — cos ct, ta∏(^-6Z)= —ta∏ OC ∙公式四：sin(-ct)=—sin a, cost—«)=cos a,t<l∏) = -13∏ CX .公式五：Sine-a) =cos a, COSe—a) =Sina 公式六：SinC+a)=cos a，CoSC+«) = -sin a.诱导公式可概括为〃∙]±a的各三角函数值的化简公式.口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中的奇、偶是指方的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把a看成锐角时，根据在哪个象限判断厚三曲函数值的符号，最后作为结果符号.8.方法与要点一个口诀I、诱导公式的记忆。

考点14 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念.（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出2απ±，πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出sin ,cos ,tan y x y x y x ===的图象，了解三角函数的周期性.（3）理解同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=.一、角的有关概念 1．定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．分类（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角． （2）按终边位置不同分为象限角和轴线角．（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合·3{|}60,S k k ββα==+︒∈Z ．3．象限角与轴线角第一象限角的集合为π2π2π,2k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ；第二象限角的集合为π2π2ππ,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第三象限角的集合为3π2ππ2π,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第四象限角的集合为3π2π2π2π,.2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 终边与x 轴非负半轴重合的角的集合为{}2π,k k αα=∈Z ； 终边与x 轴非正半轴重合的角的集合为{}2ππ,k k αα=+∈Z ； 终边与x 轴重合的角的集合为{}π,k k αα=∈Z ； 终边与y 轴非负半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与y 轴非正半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与y 轴重合的角的集合为ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与坐标轴重合的角的集合为π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ． 二、弧度制1．1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 规定：,ll rα=是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．2．弧度制用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． 3．弧度与角度的换算180π180πrad ,1rad =57.3,1=rad π180⎛⎫︒=︒≈︒︒ ⎪⎝⎭． 4．弧长公式l r α=，其中α的单位是弧度，l 与r 的单位要统一.角度制下的弧长公式为：π180n rl =（其中n 为扇形圆心角的角度数）. 5．扇形的面积公式21122S lr r α==.角度制下的扇形面积公式为：2π360n r S =（其中n 为扇形圆心角的角度数）.三、任意角的三角函数 1．定义设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0O P r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是s i n ,c o s ,t a n yxy rrxααα===．注意：正切函数tan y x α=的定义域是ππ,2k k αα⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，正弦函数和余弦函数的定义域都是R .2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即()cos ,sin P αα，其中cos ,sin ,OM MP αα==单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则ta n AT α=．我们把有向线段,,OM MP AT 分别叫做α的余弦线、正弦线、正切线．各象限内的三角函数线如下：4．特殊角的三角函数值α0︒ 30︒45︒60︒90︒120︒135︒150︒ 180︒270︒360︒π6π4π3π22π3 3π4 5π6 π3π22πsin α0 12 223213222121-cos α132 221212-22- 32-1-1tan α3313 不存在3-1- 33-不存在补充：6262sin15cos 75,sin 75cos15,44︒=︒=︒=︒= tan1523,tan 752 3.︒=︒=+四、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系22sin cos 1αα+=．2．商的关系sin cos tan ααα=． 3．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；（2）商的关系的变形：sin sin tan cos ,cos tan αααααα=⋅=； （3）2222111tan 1,1cos sin tan αααα-=-=．五、三角函数的诱导公式公式一 二三四五六角2k π+α（k ∈Z ）π+α −α π−α2π−α 2π+α正弦 sin α −sin α −sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α −cos α cos α −cos α sin α −sin α 正切tan αtan α−tan α−tan α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变， 符号看象限考向一 三角函数的定义1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 、纵坐标y 、该点到原点的距离r .若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标． 4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况.典例1 已知角θ的终边上有一点P （m ），且sin 4θ=m ，求cos θ与tan θ的值.【解析】由已知有4m =m =0，或m =当m =0时，cos 1,tan 0θθ=-=；当5m =615cos ,tan 43θθ=-=-； 当5m =615cos tan θθ==【名师点睛】任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关．若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．1．已知角8π3=θ的终边经过点(,3)P x ，则x 的值为 A ．±2 B ．2 C ．﹣2D ．﹣4考向二 象限角和终边相同的角的判断及表示方法1．已知θ所在的象限，求nθ或nθ（n ∈N *）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k ）表示，然后两边同除以n 或乘以n ，再对k 进行讨论，得到nθ或nθ（n ∈N *）所在的象限．2．象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k ·360°＋α（0°≤α<360°，k ∈Z ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.典例2 已知sin325α=,4cos 25α=- ,试确定角α是第几象限的角. 【解析】因为sin325α=>0,4cos 25α=-<0，所以2α是第二象限的角，所以π2π2ππ,22k k k α+<<+∈Z .由32sin5α=<3π2π2ππ,42k k k α+<<+∈Z ,所以3π4π4π2π,2k k k α+<<+∈Z , 故角α是第四象限的角. 【名师点睛】角2α与α所在象限的对应关系： 若角α是第一象限角，则2α是第一象限角或第三象限角； 若角α是第二象限角，则2α是第一象限角或第三象限角； 若角α是第三象限角，则2α是第二象限角或第四象限角； 若角α是第四象限角，则2α是第二象限角或第四象限角．2．若sin x ＜0，且sin （cos x ）＞0，则角x 是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角考向三 同角三角函数基本关系式的应用1．利用22sin +cos 1αα=可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan ααα=可以实现角α的弦切互化． 2．sin ,cos αα的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin ,cos αα的齐次式，或含有22sin ,cos αα及sin cos αα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“22sin +cos 1αα=”代换后转化为“切”后求解.典例3 已知 ， . （1）当 时，求 的值； （2）当时，求 的值. 【解析】（1）由已知得 ，∴ ，∴ ，又 ，∴ ，∴. （2）当时，.① 方法1：，∴，∴， ∵，∴.② 由①②可得，，∴ .方法2：， ∴ ，∴ ， ∴ 或，又，∴，∴ ，∴ .3．已知ππ,42⎛⎫∈⎪⎝⎭θ，则2cos 12sin(π)cos --=θθθ A ．sin cos +θθ B ．sin cos -θθ C ．cos sin -θθD ．3cos sin -θθ考向四 诱导公式的应用1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk α±的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． 3．利用诱导公式化简三角函数式的思路： （1）分析结构特点，选择恰当公式； （2）利用公式化成单角三角函数； （3）整理得最简形式．利用诱导公式化简三角函数式的要求： （1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． 4．巧用相关角的关系能简化解题的过程．常见的互余关系有π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π4α-等； 常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π4θ-等.典例4 已知()2sin π3α-=-,且π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()tan 2πα-= A 25B ．25C ．52D ．52-【答案】A【解析】∵()2sin π3α-=-，∴2sin 3α=-. ∵π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，∴5cos α=，则25tan α=.∵()tan 2πtan αα-=-，∴()25tan 2πα-=.故选A ． 典例5 （1）化简：()()()()()()sin πcos 3πtan πtan 2πtan 4πsin 5πa ααααα------+；（2）化简：()()()()()()sin 540cos 360tan 540tan tan 900sin x x x x x x ︒-︒-⋅︒+⋅-⋅︒--.【解析】（1）()()()()()()()()()()sin πcos 3πtan πtan 2πsin cos tan tan tan 4πsin 5πtan sin a ααααααααααα-------=-+--=cos tan sin ααα==.（2）原式()()2sin cos tan tan cos sin tan sin x xx x x x x x =⋅-⋅=-⋅=---.4．已知2019π1cos 22⎛⎫+= ⎪⎝⎭α，π,π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则cos =αA ．12B ．12-C ．3D 3考向五 同角三角函数的基本关系式、诱导公式在三角形中的应用与三角形相结合时，诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：πA B C +=-,222π2A B C +=-，π2222A B C ++=等，于是可得in i (s s n )A B C =+，cos sin 22A B C +=等．典例6 在ABC △中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ，π3C =，，则 ______， ________.【答案】35， 【解析】由sin 3tan cos 4A A A ==,得22π34sin cos 1,sin cos 255A A A A A <+=∴==，又，， ()3143343sin sin sin cos cos sin 525B A C A C A C +∴=+=+=⨯+=, 由正弦定理sin 34352343sin sin sin 103b a a B b B A A +====+，得5．在△ABC 中，“sin cos A B <”是“△ABC 为钝角三角形”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1．与2019终边相同的角是 A ．37 B ．37-C ．37-D ．141-2．设集合{|9036,}M k k ==⋅︒-︒∈ααZ ，{|180180}N =-︒<<︒αα，则M N =A ．{36,54}-︒︒B ．{126,144}-︒︒C ．{36,54,126,144}-︒︒-︒︒D ．{54,126}︒-︒3．已知扇形面积为3π8，半径是l ，则扇形的圆心角是 A ．3π16 B ．3π8 C ．3π4D ．3π24．函数cos sin tan sin cos tan x x xy x x x=++的值域是 A ．{}1,0,1,3- B ．{}1,0,3- C ．{}1,3-D ．{}1,1-5．若tan 0α>，则A ．sin 0α>B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．cos20α>6．若()()sin 3sin παβαβ+=-+，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan tan αβ= A ．2 B ．12 C ．3D ．137．在平面直角坐标系中，若角α，则()sin πα+=A ．2-B ．12-C ．12D 8．已知()()sin π22sin 3cos 5+=-+-ααα ，则tan =αA ．23 B ．23-C ．6D ．6-9．若()0,π∈α，()2sin πcos -+=αα，则sin cos -αα的值为 A 2B ．2C ．43 D ．43-10．已知点()12，P 在α终边上，则6sin 8cos 3sin 2cos +=-αααα______．11．在平面直角坐标系中, 点的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭, 是第三象限内一点, ,且3π4POQ ∠=,则 点的横坐标为_________. 12．已知π(0)2αα<<的终边与单位圆交于点P ,点P 关于直线y x =对称后的点为M ,点M 关于y 轴对称后的点为N ,设角β的终边为射线ON .（1）β与α的关系为_________;（2）若1sin 3α=,则tan β=________. 13． 在ABC △中，3sin()3sin()2A A π-=π-，且cos A ＝－3 cos （π－B ），则C 等于 ．14．已知角α的终边经过点(P m ，且1cos 3=-α． （1）求m 的值；（2）求22cos sin 2sin cos -+⋅αααα的值．15．已知△ABC 中，7sin cos 5A A -=. （1）试判断三角形的形状； （2）求tan A 的值.16．已知向量2,sin θ=（）a 与1,cos θ=（）b 互相平行，其中θ∈(0,)2π.（1）求sin θ和cos θ的值； （2）若sin （θ－φ100<φ<2π，求cos φ的值．1．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B 5C．3D．52．（2017年高考北京卷理数）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 3．（2018年高考全国Ⅱ理数）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 4．（2018年高考浙江卷）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值； （2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．1．【答案】C【解析】∵已知角8π3=θ的终边经过点(,P x ， 变式拓展∴8π2ππtantan tan 333==-==x，则2x =-. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．求解时，直接利用任意角的三角函数的定义求得x 的值． 2．【答案】D【解析】∵﹣1≤cos x ≤1，且sin （cos x ）＞0， ∴0＜cos x ≤1， 又sin x ＜0，∴角x 为第四象限角， 故选D ．【名师点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．求解时，根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可． 3．【答案】A 【解析】因为ππ,42⎛⎫∈⎪⎝⎭θ，所以()2cos 12sin πcos --θθθ2cos 12sin cos =-θθθ()22cos sin cos =+-θθθ2cos sin cos sin cos =+-=+θθθθθ.故选A.【名师点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数式的化简等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合诱导公式和三角函数的性质化简三角函数式即可. 4．【答案】C 【解析】因为2019π1cos 22⎛⎫+=⎪⎝⎭α，由诱导公式可得，2019π3π1cos()cos()sin 222+=+==ααα，又因为π,π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，所以cos ==-α. 故选C.【名师点睛】本题考查了诱导公式，解题的关键是在于诱导公式的掌握，易错点为没有注意角的范围，属于较为基础题.求解时，先由诱导公式对原式进行化简，从而可得sin α，再利用角的平方关系可得结果. 5．【答案】A【解析】由πsin cos cos cos 2A B A B ⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，且B 必为锐角， 可得π2A B ->或π2A B ->，即角A 或角C 为钝角； 反之，当100A =︒，30B =︒时，3cos B =3sin sin120A >︒==cos B ，所以sin cos A B <不成立， 所以“sin cos A B <”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件， 故选A.【名师点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查了三角形形状的判定，考查诱导公式等，属于综合题．求解时，先由诱导公式将正弦化为余弦，利用余弦的三角函数线比较大小即可得到角A 或角C 为钝角，再举反例说明必要性不成立即可.1．【答案】D【解析】终边相同的角相差了360︒的整数倍，设与2019︒角的终边相同的角是α，则2019360k =︒+⋅︒α，k ∈Z ， 当6k =-时，141=-︒α． 故选D ．【名师点睛】本题考查终边相同的角的概念及终边相同的角的表示形式．属于基本知识的考查．终边相同的角相差了360︒的整数倍，由2019360k =︒+⋅︒α，k ∈Z ，令6k =-，即可得解． 2．【答案】C【解析】∵{|9036,}M k k ==⋅︒-︒∈ααZ ，∴当0k =时36=-︒α，1k =时54=︒α，2k =时144=︒α，1k =-时126=-︒α， 又{|180180}N =-︒<<︒αα，考点冲关∴{}36,54,144,126MN =-︒︒︒-︒．故选C ．【名师点睛】本题考查了交集及其运算，考查了赋值思想，是基础题．求解时，分别取0,1,2,1k =-，得到M 内α的值，与N 取交集得答案． 3．【答案】C【解析】设扇形的圆心角是α，则23π1182α=⨯，解得3π4α=，故选C ． 4．【答案】C【解析】由题意可知：角x 的终边不能落在坐标轴上， 当角x 终边在第一象限时，cos sin tan 1113sin cos tan ；x x x y x x x=++=++= 当角x 终边在第二象限时，cos sin tan 1111sin cos tan ；x x xy x x x=++=--=- 当角x 终边在第三象限时，cos sin tan 1111sin cos tan ；x x xy x x x=++=--+=- 当角x 终边在第四象限时，cos sin tan 1111,sin cos tan x x xy x x x=++=-+-=- 因此函数的值域为{}1,3-，故选C.【名师点睛】本题考查了三角函数的正负性、分类讨论思想、数学运算能力.因为角x 的终边不能落在坐标轴上，所以分别求出角x 终边在第一、第二、第三、第四象限时，根据三角函数的正负性，函数的表达式，进而求出函数的值域. 5．【答案】C【解析】由tan 0α>得α是第一、三象限角，若α是第三象限角，则A ，B 错；由sin 22sin cos ααα=知sin 20α>，C 正确；α取π3时，2211cos 22cos 12()1022αα=-=⨯-=-<，D 错． 6．【答案】A【解析】因为()()sin 3sin παβαβ+=-+，所以sin cos 2cos sin ,αβαβ=即tan 2tan αβ=，选A ． 7．【答案】B12=，即12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由三角函数的定义可得：11sin 2α==，则()sin πα+= 1sin 2α-=-.故选B.8．【答案】C【解析】根据三角函数的诱导公式和三角函数基本关系式， 可得：()()sin πsin tan 22sin 3cos 2sin 3cos 2tan 35+--===-+-++αααααααα，解得tan 6=α，故选C.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 9．【答案】C【解析】由诱导公式得()2sin πcos sin cos -+=+=αααα 两边平方得()22sin cos 12sin cos 9+=+=αααα，则72sin cos 09=-<αα， 所以()216sin cos 12sin cos 9-=-=αααα， 又因为()0,π∈α，所以sin cos 0->αα， 所以4sin cos 3-=αα，故选C ． 10．【答案】5【解析】∵点P （1，2）在角α的终边上，∴tan α2=， 将原式分子分母同除以cos α，则原式6tan 86282053tan 23224+⨯+====-⨯-αα.故答案为：5．【名师点睛】此题考查了任意角的三角函数定义,同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．求解时，根据P 坐标，利用任意角的三角函数定义求出tan α的值，原式分子分母除以cos α，利用同角三角函数间基本关系化简，把tan α的值代入计算即可求出值．11．【答案】10-【解析】设xOP α∠=,则34cos ,sin 55αα==, Q 点的横坐标为3πcos 410α⎛⎫+=-⎪⎝⎭. 12．【答案】（1）π2βα=+;（2）22- 【解析】（1）由题意可得点P 为单位圆上的点，并且以射线OP 为终边的角的大小为α， 所以(cos ,sin ),P αα 又因为P M ，两点关于直线y x =对称，所以(sin ,cos )M αα．即ππcos sin 22Mαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（，）．则π2βα=+.（2）ππ1,cos cos sin ,223βαβαα⎛⎫=+∴=+=-=- ⎪⎝⎭ππ220,sin sin cos ,223αβαα⎛⎫<<∴=+== ⎪⎝⎭ 故sin tan 2 2.cos βββ==- 13．【答案】2π33sin()3sin()33sin ,tan 2A ΑA A A π-=π-=，∴∴ 又0A <<π，6A π=∴. 又cos 3),A B =π-即cos 3A B =，1cos ,0623B B π==<<π,∴..32B C ΑΒππ==π-(+)=∴∴ 故填2π. 14．【解析】（1）因为角α的终边经过点(22，P m ，且1cos 3=-α， 2138m =-+，求得1m =-.（2）由（1）可得，tan 22=-α 所以22cos sin 2sin cos -+⋅αααα=2222cos sin 2sin cos cos sin -++αααααα=221tan 2tan 1tan -++ααα=79--． 【名师点睛】本题考查了余弦函数的定义，同角三角函数关系中的正弦、余弦平方和为1的关系和商关系，考查了数学运算能力.15．【解析】（1）将原式平方得1−2sin A cos A =49,25即2sin A cos A =−24025<， 故cos A 0<，则三角形为钝角三角形.（2）由（1）cos A +sin A =112sin cos 5A A ±+=±， 解得4sin 53cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故tan A =34-或43-. 【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查化简求值能力，是中档题.求解时，（1）将原式平方得2sin A cos A <0,得cos A 0<即可判断三角形为钝角三角形；（2）结合（1）求得cos A +sin A =15±，求得sin A 及cos A 即可求解. 16．【解析】（1）∵a 与b 互相平行，∴sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得cos θ＝5， 又θ∈(0,)2π，∴cos θ5 ∴sin θ25（2）∵0<φ<2π，0<θ<2π，∴－2π<θ－φ<2π， 又sin （θ－φ∴cos （θ－φ10， ∴cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos （θ－φ）＋sin θsin （θ－φ）=2. 1．【答案】B 【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 2．【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1s i n s i n 3βα==，22cos cos 3αβ=-=（或22cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2π,k k αβ+=∈Z ，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z . 3．【答案】12-【解析】因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα直通高考所以11sin ,cos 22==αβ， 因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算. 4．【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=.（2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换. （1）首先利用三角函数的定义求得sin α，然后利用诱导公式，计算sin （α+π）的值;（2）根据sin （α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算cos()+αβ的值，要注意该值的正负，然后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cos β的值.。

5.2.1 三角函数的概念知识点1 任意角的三角函数1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：sin y α=，cos x α=，tan (0)yx xα=≠． 2．推广：设点(,)P x y 是角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则：sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠． 注：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，我们只需计算点到原点的距离22r OP x y ==+，那么22sin x y α=+22cos x y α=+tan (0)yx xα=≠知识点2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．意为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．考点一 三角函数的定义及应用解题方略：(1)求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=. 注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ．(3)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ①注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(,)(0)a b a ≠，则对应角的正弦值22sin a b α=+，余弦值22cos a b α=+tan baα=. 注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况(点所在象限不同)进行分析．(4)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.(一)利用定义求角的三角函数值【例1-1】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(2,1)-，则sin α的值为( )A ．5B 5C ．25D 25【答案】B【解析】已知点()2,1P -，则()22215r OP ==-+5sin =5y r α=.变式1-1-1：若角α的终边经过点2(5,)1P -，则sin α=_______，cos α=______，tan α=________．【答案】1213-；513；125- 【解析】因为5,12x y ==-，所以225(12)13r =+-，则12512sin ,cos tan 13135y x y r r x ααα==-====-，．变式1-1-2：已知角α的终边过点()43-，，则2sin cos αα+=( ) A ．1 B ．25-C ．25D ．1-【答案】B【解析】因为角α的终边过点()43-，， 所以()()222234sin ,cos 554343αα=-==+-+-，所以3422sin cos 2555αα⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭，变式1-1-3：(多选)已知函数()()log 2401a f x x a a =-+>≠且的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则11tan sin θθ+的值可能是( ) A ．2 B ．3 C 171+ D 171+【答案】AC【解析】由题意，可知(3,4)A 或(1,4)A ，当点是(3,4)A 时，由三角函数的定义有2244tan ,sin 3534θθ==+，所以11352tan sin 44θθ+=+=； 当点是(1,4)A 时，由三角函数的定义有224tan 4,sin 11714θθ==+11117171tan sin 4θθ+∴+==变式1-1-4：(多选)若角α的终边上有一点(4,)P a -，且3sin cos αα⋅=，则a 的值为( ) A ．3 B 3 C ．43-D ．43【答案】CD【解析】由三角函数的定义可知，()22sin 4a α=-+()22cos 4a α=-+又3sin cos αα⋅=，则()22434a a -=-+43a =-433(二)由三角函数值求终边上的点或参数【例1-2】已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()02,y -，若π3α=，则0y 的值为( )． A ．3- B ．23C ．3D 23【答案】A【解析】因为角α终边经过点()02,y -，且3πα=，所以0πtan332y =-023y =-变式1-2-1：已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =( )A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】由题意31tan 2m m θ-==，解得2m =．变式1-2-2：已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是( ) A ．22B 22C ．434D 434【答案】D【解析】因为()2,P y -是角θ终边上一点，22sin 05θ=>，故点()2,P y -位于第二象限 所以0y >，2222sin (2)y θ==-+21732y =，因为0y >，所以434y =变式1-2-3：已知角θ的终边经过点()21,2a a +-，且3cos 5θ=，则实数的a 值是( )A ．2-B ．211C ．2-或211D ．1【答案】B2235(21)(2)a a =++-且210a +>，即12a >-，①2244195525a a a ++=+，则2112040a a +-=，解得2a =-或211a =，综上，211a =.变式1-2-4：已知角α的终边上有一点(3P m ，且2cos 4mα=，则实数m 取值为______．【答案】0或5【解析】因为角α的终边上有一点(3P m ， 所以22cos 43mm α==+，解得0m =或5±(三)由单位圆求三角函数值【例1-3】已知角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为( )A. 3 B ．12-C 3D ．12【答案】C【解析】因为角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，所以根据三角函数的定义可知，3sin y α==．变式1-3-1：角α的终边与单位圆的交点A 3sin α=________，若点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，则转过的角度为________． 132π 【解析】α的终边与单位圆的交点A 3可得：3cos α=sin 0α>，则有：22313sin 1cos 14αα⎛⎫=--=⎪⎝⎭点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，可得：2AOB π∠=变式1-3-2：已知角α的终边与单位圆交于点36(P ，则sin cos αα⋅=( ) A 3 B ．2C ．3D 2【答案】B【解析】α的终边与单位圆交于点36(P ,故36||1,r OP x y ====， 故636333sin cos 11y x r r αα==== 所以632sin cos 3αα⋅=（=-，(四)已知角α的终边在直线上求三角函数值【例1-4】已知角α的终边落在射线2(0)y x x =≥上，求sin α，cos α的值．【解析】设射线2(0)y x x =≥上任一点00(,)P x y ，则002y x =，220005OP r x y x ∴==+=，00025sin 55y r x α∴===，0005cos 55x r x α===.变式1-4-1：已知α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α的值255255【解析】①若α的终边在第一象限内，设点(,2)(0)P a a a >是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=>25sin 55y r a α∴===，5cos 55x r a α===①若α的终边在第三象限内，设点(,2)(0)P a a a <是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=-<25sin 5y r a α∴===-，5cos 5x r a α===-变式1-4-2：α是第二象限角，其终边上一点(5P x ，且2cos x α=，则sin α的值为( ) A 10 B 6 C 2 D ．10 【答案】A【解析】由题意可知0x <，22cos 5x x α=+，解得3x =-510sin 35α==+考点二 三角函数值符号的判定解题方略：三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．(一)已知角或角的范围确定三角函数式的符号【例2-1】坐标平面内点P 的坐标为()sin5,cos5，则点P 位于第( )象限.A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B 【解析】32π2π5<<，sin50,cos50∴<>，则点P 位于第二象限，变式2-1-1：若α为第四象限角，则( )A ．cos 2α＞0B ．cos 2α＜0C ．sin 2α＞0D ．sin 2α＜0 【答案】D【解析】法一：因为α为第四象限角，22,2k k k Z ππαπ∴-<<∈，424,k k k Z ππαπ∴-<<∈所以2α的终边在第三象限、第四象限或y 轴的负半轴上，所以sin 20α<.法二：因为α为第四象限角，sin 0α∴<，cos 0α>，sin 22sin cos 0ααα∴=<.变式2-1-2：下列各选项中正确的是( )A ．sin300>0︒B ．cos(305)0-︒<C ．22tan 03π⎛⎫-> ⎪⎝⎭D ．sin100<【答案】D【解析】30036060︒=︒-︒，则300︒是第四象限角，故sin3000︒<；30536055-︒=-︒+︒，则305-︒是第一象限角，故cos(305)0-︒>；222833πππ-=-+，则223π-是第二象限角，故22tan 03π⎛⎫-< ⎪⎝⎭； 73102ππ<<，则10是第三象限角，故sin100<，故选D.变式2-1-3：下列各式：①()sin 100-︒； ①()cos 220-︒； ①()tan 10-； ①cos π. 其中符号为负的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】100-︒，故()sin 1000-︒<；220-︒在第二象限，故()cos 2200-︒<；710,32ππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭在第二象限，故()tan 100-<，cos 10π=-<.(二)由三角函数式的符号确定角的范围或象限【例2-2】已知sin tan 0θθ⋅<，则角θ位于第________象限．【答案】二或三【解析】当θ为第一象限角时，sin 0θ>，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅>； 当θ为第二象限角时，sin 0θ>，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第三象限角时，sin 0θ<，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第四象限角时，sin 0θ<，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅> 综上，若sin tan 0θθ⋅<，则θ位于第二或第三象限变式2-2-1：已知sin 0θ<且tan 0θ<，则θ是( )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角【答案】D【解析】sin 0θ<，则θ是第三、四象限的角，tan 0θ<，则θ是第二、四象限的角 ①θ是第四象限的角变式2-2-2：若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】sin cos 0αα⋅<，α是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<； 当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意； 综上所述：α是第二象限角.变式2-2-3：若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】C【解析】由sin tan 0αα<可知sin α,tan α异号，从而α是第二或第三象限角．由cos 0tan αα<可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角． 综上可知，α是第三象限角．变式2-2-4：已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】因为点P 在第四象限，所以有tan 0cos 0αα>⎧⎨<⎩，由此可判断角α的终边在第三象限．变式2-2-5：若cos α与tan α同号，那么α在( )A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限 【答案】B【解析】因为cos α与tan α同号，则cos α与tan α的乘积为正，即正弦值为正，所以α在第一、二象限.变式2-2-6：在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】在ABC 中，A 为钝角，则B 为锐角，则cos 0,tan 0A B <>，则点()cos ,tan P A B 在第二象限变式2-2-7：已知角α的终边经过点(39,2)a a -+，且cos 0α≤，sin 0α>，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 【答案】A【解析】①cos 0α≤，sin 0α>，①角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ①39020a a -≤⎧⎨+>⎩ ①23a -<≤ .。

完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。

考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。

考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。

此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。

一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。

cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。

3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。

练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。

4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。

练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。

三角函数复习专题一、核心知识点归纳：★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：★★2.正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===R 为ABC ∆外接圆半径2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⇒ sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆===③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩三、例题集锦： 考点一：三角函数的概念1.如图,设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点,Q P 、是 单位圆上的两点,O 是坐标原点,6π=∠AOP ,[)παα,0,∈=∠AOQ ．1若34(,)55Q ,求⎪⎭⎫⎝⎛-6cos πα的值；2设函数()f OP OQ α=⋅,求()αf 的值域． 2．已知函数2()22sin f x x x =-.Ⅰ若点(1,P在角α的终边上,求()f α的值； Ⅱ若[,]63x ππ∈-,求()f x 的值域.考点二：三角函数的图象和性质3.函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．Ⅰ求()f x 的最小正周期及解析式；Ⅱ设()()cos 2g x f x x =-,求函数()g x 在区间[0,]x π∈上的最大值和最小值．考点三、四、五：同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换4．已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.1若1)(=θf ,求θθcos sin ⋅的值；2求函数)(x f 的单调增区间.3求函数的对称轴方程和对称中心 5.已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-0x ω∈>R ，,相邻两条对称轴之间的距离等于2π．Ⅰ求()4f π的值；Ⅱ当 02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值． 6、已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+ ()x ∈R . Ⅰ求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；Ⅱ若0()23x f =,0ππ(, )44x ∈-,求0cos 2x 的值.7、已知πsin()410A +=,ππ(,)42A ∈． Ⅰ求cos A 的值； Ⅱ求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+的值域．考点六：解三角形8．已知△ABC 中,2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+. Ⅰ求角B 的大小；Ⅱ设向量(cos , cos 2)A A =m ,12(, 1)5=-n ,求当⋅m n 取最 小值时,)4tan(π-A 值.9．已知函数23cos sin sin 3)(2-+=x x x x f ()R x ∈． Ⅰ求)4(πf 的值；Ⅱ若)2,0(π∈x ,求)(x f 的最大值；Ⅲ在ABC ∆中,若B A <,21)()(==B f A f ,求AB BC 的值．10、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 分,且满足2cos cos c b Ba A-=． Ⅰ求角A 的大小；Ⅱ若a =求△ABC 面积的最大值．11、 在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且b 2+c 2-a 2=bc ．9第题图Ⅰ求角A 的大小；Ⅱ设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x xx f +=,当)(B f 取最大值23时,判断△ABC 的形状．12、在ABC ∆中,内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ,已知1tan 2B =,1tan 3C =,且1c =. Ⅰ求tan A ； Ⅱ求ABC ∆的面积.13、在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,且274sin cos222A B C +-=． Ⅰ求角C 的大小； Ⅱ求sin sin A B +的最大值．高三文科---三角函数专题11.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos2θ=A .45- B .35- C .35 D .452.如图,质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为)2,2(0-P ,角速度为1,那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为3.动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间0t =时,点A 的坐标是13(,)22,则当012t ≤≤时,动点A 的纵坐标y 关于t 单位：秒的函数的单调递增区间是A 、[]0,1B 、[]1,7C 、[]7,12D 、[]0,1和[]7,124.函数f (x)Asin(wx ),(A,w,=+φφ）为常数,)0,0>>w A 的部分图象如图所示,则f (0)____的值是5.已知函数f (x)A tan(x )=ω+ϕω＞0,2π＜ϕ,y f (x)=的部分图象如下图,则f24π=__________. 6. 函数f x=sinx －cosx ＋6π的值域为A ． －2 ,2B .33C .－1,1D .－33 8.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+,其中ϕ为实数,若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立,且()()2f f ππ>,则()f x 的单调递增区间是 A ,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C 2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦14.定义在⎪⎭⎫⎝⎛20π,的函数y=6cosx 图像与y=5tanx 图像的交点为P,过点P 作PP 1⊥x轴于点P 1,直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为 .16.如图,四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间,各自作出三个函数sin 2y x =, sin()6y x π=+,sin()3y x π=-的图像如下,结果发现其中有一位同学作出的图像有错误,那么有错误．．的图像是 A B C D17.已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是20.设sin 1+=43πθ（）,则sin 2θ=A 79- B 19- C 19 D 7922.已知,2)4tan(=+πx 则x x2tan tan 的值为__________25.若tan θ＋1tan θ=4,则sin 2θ=A ．15B . 14C . 13D . 1226.已知α为第二象限角,33cos sin =+αα,则cos2α=A 555527.若02πα<<,02πβ-<<,1cos ()43πα+=,3cos ()42πβ-=则cos ()2βα+= A33 B 33-53 D 628. 设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为 ． 29.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,1若,cos 2)6sin(A A =+π 求A 的值；2若c b A 3,31cos ==,求C sin 的值.30.如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC=3点D 在BC 边上,∠ADC=45°,则AD 的长度等于___.31.在ABC ∆中,内角A,B,C 所对的边分别是c b a ,,,已知8b=5c,C=2B,则cosC=A257 B 257- C 257± D 2524 34.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且53cos =A ,135cos =B ,3=b 则c =35. 如图,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使1AE =,连接EC 、ED 则sin CED ∠=A 、31010 B 、1010 C 、510 D 、51536. 在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c , 若2222a b c +=,则cos C 的最小值为A .3. 22C . 12D . 12-37.在ABC 中,60,3B AC ==则2AB BC +的最大值为 . 39. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是①若2ab c >；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333a b c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<；则3C π>43. 已知函数()tan(2),4f x x =+πⅠ求()f x 的定义域与最小正周期；II 设0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πα,若()2cos 2,2f =αα求α的大小45. 设函数22())sin 4f x x x π=++. I 求函数()f x 的最小正周期；II 设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π+=,且当[0,]2x π∈时, 1()()2g x f x =-,求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.47.设426f (x )cos(x )sin x cos x π=ω-ω+ω,其中.0>ω Ⅰ求函数y f (x )= 的值域Ⅱ若y f (x )=在区间322,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,求 ω的最大值.48. 函数2()6cos 33(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.Ⅰ求ω的值及函数()f x 的值域； Ⅱ若083()f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值. 52. 已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c --= 1求A ； 2若2a =,ABC ∆的面积为3；求,b c .53.在∆ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．已知cos A ＝23,sin B ＝5C ．Ⅰ求tan C 的值； Ⅱ若a 2求∆ABC 的面积．54.在△ABC中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知,sin()sin()444A b C cB a πππ=+-+= 1求证： 2B C π-=2若2a =,求△ABC 的面积.56.已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ,(cos sin ,23cos )x x x ωωω=--b ,设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1(,1)2ω∈.Ⅰ求函数()f x 的最小正周期；Ⅱ若()y f x =的图象经过点π(,0)4,求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围. 57.在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC =． 1求证：tan 3tan B A =； 2若5cos 5C =，求A 的值．58. 已知△ABC 得三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值为_____.59.已知ABC ∆ 的一个内角为120o ,并且三边长构成公差为4的等差数列,则ABC ∆的面积为_______60.已知等比数列{a n }的公比q=3,前3项和313.3S = I 求数列{a n }的通项公式；II 若函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ϕϕπ=+><<<在6x π=处取得最大值,且最大值为a 3,求函数fx 的解析式.63.函数22xy sin x =-的图象大致是 64.函数fx=sin x ωϕ+的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示,其中,P 为图像与y 轴的交点,A,C 为图像与x 轴的两个交点,B 为图像的最低点.1若6πϕ=,点P 的坐标为0,332,则ω= ； 2求∆ABC 面积65设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.I 求BII 若1sin sin 4A C =,求C .66在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且222a b c =++.Ⅰ求A ;Ⅱ设a =S 为△ABC 的面积,求3cos cos S B C +的最大值,并指出此时B 的值.67在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3cos()cos sin()sin()5A B B A B A c ---+=-.Ⅰ求sin A 的值;Ⅱ若a =5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影68已知函数()sin cos f x x a x =+的一个零点是3π4. Ⅰ求实数a 的值;Ⅱ设22()[()]2sin g x f x x =-,求()g x 的单调递增区间.69在△ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=.Ⅰ求证：,,a b c 成等比数列； Ⅱ若1,2a c ==,求△ABC 的面积S .三角函数1、在ABC ∆中,已知内角3A π=,边BC =设内角B x =,面积为y .1求函数()y f x =的解析式和定义域； 2求y 的最大值.2、已知a ＝coos α,sin α,b ＝coos β,sin β,其中0＜α＜β＜π． 1求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；2若k a ＋b 与a －k b 的长度相等,求β－α的值k 为非零的常数．3、已知3sin22B A ++cos 22BA -=2, cocacobs ≠0,求tanAtanB 的值; 5、已知ABC ∆中,1||=AC ,0120=∠ABC ,θ=∠BAC ,记→→•=BC AB f )(θ, 1求)(θf 关于θ的表达式； 2求)(θf 的值域；6、已知向量],2[),2cos ),122(cos(),2cos ),122(sin(ππππ∈-+=+=x x x b x x a ,函数b a x f ⋅=)(.I 若53cos -=x ,求函数)(x f 的值；II 将函数)(x f 的图象按向量c ＝)0)(,(π<<m n m 平移,使得平移后的图象关于原点对称,求向量c .9、在ABC ∆中,已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ;I 求锐角B 的大小；II 如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值; 10、已知向量()()3cos2,1,1,sin2,,m a x n b a x a b R ==-∈,集合{}2cos ,22M x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦,若函数()f x m n x M =∈在时,取得最大值3,最小值为－1,求实数,a b 的值16、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且.cos cos 3cos B c B a C b -= I 求cos B 的值；II 若2=⋅BC BA ,且22=b ,求c a 和b 的值.21、已知向量m =()B B cos 1,sin -, 向量n = 2,0,且m 与n 所成角为错误!,其中A 、B 、C 是ABC ∆的内角;ＡＢＣ1201求角B 的大小;2求 C A sin sin +的取值范围;26、在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,C ＝2A,43cos =A , 1求B C cos ,cos 的值；2若227=⋅BC BA ,求边AC 的长; 30、已知ABC △的面积为3,且满足60≤⋅≤AC AB ,设AB 和AC 的夹角为θ． I 求θ的取值范围；II 求函数)4(sin 2)(2πθθ+=f －θ2cos 3的最大值与最小值．33、已知△ABC 的面积为３,且06,AB AC AB AC θ→→→→≤•≤设和的夹角为; 1求θ的取值范围；2求函数22()(sin cos )f θθθθ=+-的最大值和最小值; 36、已知A B 、是△ABC 的两个内角,向量2cos, sin 22A B A Ba +-=（）,若6||2a =. Ⅰ试问B A tan tan ⋅是否为定值若为定值,请求出；否则请说明理由； Ⅱ求C tan 的最大值,并判断此时三角形的形状. 38、在△ABC 中,已知35=BC ,外接圆半径为5. Ⅰ求∠A 的大小； Ⅱ若ABC AC AB ∆=⋅，求211的周长. 40、如图A 、B 是单位圆O 上的点,C 是圆与x 轴正半轴的交点,A 点的坐标为)54,53(,三角形AOB 为正三角形． Ⅰ求COA ∠sin ；Ⅱ求2||BC 的值．45、已知函数fx=4sin 24π42x ππ≤≤1求)(x f 的最大值及最小值；2若不等式|fx －m|<2恒成立, 求实数m 的取值范围49、已知函数fx ＝·,其中＝sin ωx ＋cos ωx,错误!cos ωx,＝cos ωx －sin ωx,2sin ωx ω＞0,若fx 相邻的对称轴之间的距离不小于错误!. 1求ω的取值范围；2在△ABC 中,a,b,c 分别为A,B,C 的对边,a ＝错误!,b+c ＝3,当ω最大时,fA ＝1,求△ABC 的面积.56、已知角C B A ,,为ABC ∆的三个内角,其对边分别为c b a ,,,若)2sin ,2cos (A A -=m ,)2sin ,2(cos A A =n ,32=a ,且21=⋅n m ．1若ABC ∆的面积3=S ,求c b +的值． 2求c b +的取值范围．59、在锐角△ABC 中,已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且tanA －tanB＝1＋tanA ·tanB ．1若a 2－ab ＝c 2－b 2,求A 、B 、C 的大小；2已知向量m ＝sinA,cosA,n ＝cosB,sinB,求｜3m －2n ｜的取值范围．62、已知函数0)6(,cos sin cos 2)(2=+=πf x x a x x f1求函数)(x f 的最小正周期及单调增区间；2若函数)(x f 的图象按向量)1,6(-=πm 平移后得到函数)(x g 的图象,求)(x g 的解析式.64、设向量)2,(),,0(),0,1(),sin ,cos 1(),sin ,cos 1(ππβπαββαα∈∈=-=+=c b a ,2sin,3,,2121βαπθθθθ-=-求且的夹角为与的夹角为与c b c a 的值;68已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角,向量65(,cos )22A B A B +-=a ,且3|| 5.5=a 1求tan tan A B 的值；2求C 的最大值,并判断此时ABC ∆的形状.74、在△ABC 中,,0),1,(),cos ,sin 3(),2cos ,(cos πλ≤≤--x C x x B x x A 若△ABC 的重心在y 轴负半轴上,求实数λ的取值范围．76、在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若).(R k k BC BA AC AB ∈=⋅=⋅ Ⅰ判断△ABC 的形状； Ⅱ若k c 求,2=的值.77、在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且cos cos B C ba c=-+2. I 求角B 的大小；II 若b a c =+=134，,求△ABC 的面积.78、已知ABC ∆中,a 、b 、c 是三个内角A 、B 、C 的对边,关于x 的不等式2cos 4sin 60x C x C ++<的解集是空集． 1求角C 的最大值；2若72c =,ABC ∆的面积S =求当角C 取最大值时a b +的值． 84、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,且tan 21tan A c Bb+=． Ⅰ求角A ； Ⅱ若m (0,1)=-,n ()2cos ,2cos 2C B =,试求|m +n |的最小值． 90、已知锐角△ABC 三个内角为A 、B 、C,向量22sin ,cos sin pA A A 与向量sin cos ,1sin qA A A 是共线向量.Ⅰ求角A. Ⅱ求函数232sin cos 2C By B 的最大值.96、已知]),0[,0)(cos()(πωωπ∈Φ>Φ+=x x f 是R 上的奇函数,其图像关于直线43=x 对称,且在区间]41,41[-上是单调函数,求ω和Φ的值; 98、已知向量(1tan ,1),(1sin 2cos 2,3)x x x =-=++-b a ,记().f x =⋅b a1求fx 的值域及最小正周期；2若224f f ααπ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求角.α。

第24讲三角函数概念及定义5种题型总结【考点分析】考点一：角的概念①任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角(逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）和零角（不旋转）．②所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360．③象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，叫做轴线角．④象限角的集合表示方法：考点二：弧度制的概念①定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．②角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒,rad 1801π=︒,π︒=180rad 1．③扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22121r lr S ⋅==α．考点三：任意角的三角函数①定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα．考点四：任意角三角函数的性质如下：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号αsin R ＋＋－－αcos R＋－－＋αtan }2|{Z k k ∈+≠，ππαα＋－＋－【题型目录】题型一：与角α终边相同的角的集合的表示题型二：判断等分角的象限问题题型三：扇形的弧长、面积公式的计算题型四：任意角三角函数的定义题型五：三角函数值的正负判断【典例例题】题型一：与角α终边相同的角的集合的表示【例1】将－1485°化成()202,k k απαπ+≤<∈Z 的形式是（）A ．π8π4-B ．784π-πC ．104π-πD ．7104π-π【例2】与2022︒终边相同的角是（）A ．488-︒B ．148-︒C ．142︒D ．222︒【例3】与角94π的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A ．245k π+ ，k Z ∈B ．93604k π⋅+，k Z ∈C ．360315k ⋅- ，k Z∈D ．54k ππ+，k Z ∈【例4】已知角2022α= ，则角α的终边落在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例5】终边落在直线y =上的角α的集合为（）A ．{}18030,Z k k αα=⋅︒+︒∈B ．{}18060,Z k k αα=⋅︒+︒∈C ．{}36030,k k αα=⋅︒+︒∈Z D ．{}36060,Z k k αα=⋅︒+︒∈【例6】（多选题）如果角α与角45γ+︒的终边相同，角β与45γ-︒的终边相同，那么αβ-的可能值为（）A ．90︒B ．360︒C ．450︒D ．2330︒【例7】下列说法中正确的是（）A ．第二象限角大于第一象限角B ．若()360360180k k k α⋅︒<<⋅︒+︒∈Z ，则α为第一或第二象限角C ．钝角一定是第二象限角D ．三角形的内角是第一或第二象限角【例8】已知{}4536090360k k ααα∈︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒，则角α的终边落在的阴影部分是（）A ．B ．C ．D ．【题型专练】1.把375-︒表示成2πk θ+，k Z ∈的形式，则θ的值可以是（）A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-2.下列各角中，与1840︒角终边相同的角是（）A ．40︒B ．220︒C ．320︒D ．400-︒3.与2022︒终边相同的角可以为___________.（填写一个符合题意的角即可）4.若角α的终边在直线y x =-上，则角α的取值集合为（）A ．2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z B ．32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z D ．,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z 5.如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______.6．5π3-的角化为角度制的结果为_______．7.（多选题）下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（）A ．90αβ+=︒B ．180αβ+=︒C ．()36090k k αβ+=⋅︒+︒∈Z D ．()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 8．如果角α与角x ＋45°具有相同的终边，角β与角x －45°具有相同的终边，那么α与β之间的关系是（）A ．0αβ+=︒B ．90αβ-=︒C ．()360k k αβ+=⋅︒∈Z D ．()36090k k αβ-=⋅︒+︒∈Z 9．若360k αθ=⋅︒+，()360,m k m βθ=⋅︒-∈Z ，则角α与角β的终边一定（）A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称10．集合|,4k k k Z παπαπ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭中的角所表示的范围(阴影部分)是（）A ．B ．C ．D ．题型二：判断等分角的象限问题【例1】若18045,k k Z α=⋅+∈ ，则α的终边在（）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限【例2】（多选）若α是第二象限角，则（）A ．πα-是第一象限角B ．2α是第一或第三象限角C ．32πα+是第二象限角D ．α-是第三或第四象限角【题型专练】1.角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（）A ．sin2θB ．cos2θC ．sin 2θD ．cos 2θ3.已知角α第二象限角，且cos cos 22αα=-，则角2α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角题型三：扇形的弧长、面积公式的计算【例1】已知扇形OAB 的圆心角为2，弦长2AB =，则扇形的弧长等于（）A ．1sin1B ．2sin1C ．1cos1D ．2cos1【例2】如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若122l l =，则12S S =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【例3】已知扇形的周长为4cm ，当它的半径为________cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm 2.【例4】《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 及其所对弦AB 围成的图形．若弧田的弦AB 长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB 长为_______，弧田的面积为_________．【例5】（多选题）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为1S ，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S的比值为12时，扇面为“美观扇面”2.236≈）（）A ．122S S θπθ=-B ．若1212SS =，扇形的半径3R=，则12S π=C ．若扇面为“美观扇面”，则138θ≈D ．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径20R =，则此时的扇形面积为()20035-【题型专练】1．已知扇形的圆心角为135︒，扇形的弧长为3π，则该扇形所在圆的半径为___________.2.已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（）A ．1B ．4C ．2D ．33.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（）A ．11332-B ．11432-C ．9332-D ．9432-4．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁面尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（）A ．2160cm B ．23200cm C ．23350cm D ．24800cm 5.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为r 的圆面中剪下扇形OAB ，使剪下扇形OAB 后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为512-，再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面，使扇环形ABDC 的面积与扇形OAB 的面积比值为512-.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（）A ．512-B ．514-C ．352-6.“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为O ，墙壁截面ABCD 为矩形，且1AD =，则扇形OAD 的面积是__________.7.炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .题型四：任意角三角函数的定义【例1】已知函数()log 23a y x =++的图象恒过定点A ，若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且点A 在角α的终边上，则sin α的值为（）A ．BCD ．【例2】已知角α的终边与单位圆交于点1,22P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为（）A ．B ．12-C ．2D ．12【例3】已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =（）A ．12B ．1C ．2D ．52【题型专练】1.已知()2,P y -是角θ终边上一点，且sin θ=y 的值是（）A ．5-B ．5C ．17-D ．172.已知角α的终边经过点()2,1P -，则sin α=（）AB C ．12-D ．－23.（多选）已知函数())log 201a f x x a a =-+>≠且的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则11tan sin θθ+的值可能是（）A ．2B ．3C ．14D4.已知角α的终边上有一点()P m ，且sin 4m α=，则m 的值为______．5.已知角α的终边与单位圆的交点为P 1(,)2y -，则sin tan αα＝______．题型五：三角函数值的正负判断【例1】若θ满足sin 0,tan 0θθ<>，则θ的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例2】若角θ是第四象限角，则sin cos tan sin cos tan y θθθθθθ=++=______．【例3】已知角θ在第二象限，且sin sin 22θθ=-，则角2θ在（）A ．第一象限或第三象限B ．第二象限或第四象限C ．第三象限D ．第四象限【例4】（多选）下列三角函数值中符号为负的是（）A ．sin100︒B ．()cos 220-︒C ．()tan 10-D ．cos π【例5】若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例6】我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点()cos ,tan P αα在第三象限，则角α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【题型专练】1.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点()1,P m -()0m ≠，则下列各式的值一定为负的是（）A ．cos αB ．sin cos αα-C ．sin cos ααD ．sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭2.已知点()tan ,sin P αα在第三象限，则角α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B （）A ．在第一象限B ．在第二象限C ．在第三象限D ．在第四象限4.“角θ是第一或第三象限角”是“sin cos 0>θθ”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.如果cos 0θ<，且tan 0θ<，则sin cos cos θθθ-+的化简为_____.6.已知R θ∈，则“cos 0θ>”是“角θ为第一或第四象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要。

三角函数图像与性质考点分析三角函数图像与性质是三角中的基础内容,也是三角中的重要内容.每年高考无论是自主命题的省市还是全国统一命题的省市，只要考三角内容，几乎都是考三角函数的图像与性质.因此，必须引起我们重视.下面我们看一下三角函数图像与性质的常考考点.考点一：已知解析式求作函数图像例１已知函数y=sinx+|sinx|.（1）画出函数的简画；（2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出最小正周期；不是，说明理由；（3）指出函数的单调区间.解析由于y=sinx+|sinx|=sinxx∈[2k，（2k+1）]，k∈Z0 x∈（（2k-1），2k），k∈Z（1）图像如下（2）由图像可知，函数是周期函数，周期为2；（3）递增区间为[2k，2k+]，（k∈Ｚ）递减区间为[2k+，（2k＋１）]，（k∈Ｚ）.点评准确作图，再结合图形产生单调区间、周期性等是三角中的常见问题，也是三角中的基本问题，求解时，要注意基础知识的细节.考点二：三角函数的周期及对称例2 （1）已知函数f（x）＝２sinx（>0）在区间[-，]上的最小值是-2，则的最小值等于.（2）已知函数f（x）=cos2（x+），g（x）=1+sin2x．设x = x 0是函数y = f（x）图像的一条对称轴，则g （x 0）= ．解析（1）由于f（x）=2sinx的最小值是-2，在区间[-，]上可以取到最小值，则离原点最近的最小值点x=-应含于该区间，即四分之一周期一定小于，得?≤，从而≥1，于是的最小值等于1.（2）由题设知f（x）=[1+cos（2x+）]．因为x=x0是函数y=f（x）图像的一条对称轴，所以2x0+=k，即2x0=k-（k ∈Z）．所以g（x0）=1+sin2x0=1+sin（k-）．当k为偶数时，g（x0）=1+sin（-）=1-=，当k为奇数时，g（x0）=1+sin=1+=．点评（1）对周期性的考查很到位，能发现“四分之一周期一定小于”即可产生结论. 对于（2）我们要清楚y=Asin （x+）与y=Acos（x+）的图像既是轴对称图形也是中心对称图形，过最高点与最低点的直线都是对称轴，与坐标轴的交点都是对称中心.考点三：三角函数最值与值域问题例3 已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x-）-2cos2，x∈R（其中>0）图像与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为，当x∈-，时，求函数f （x）的值域.解析f（x）=sinx+cosx+sinx-cosx-（cosx+1）=2（sinx-cosx）-1=2sin（x-）-1．显然，y=f （x）的周期为，又由>0，得==2，于是有f（x）=2sin（2x-）-1.再由x∈-，得2x-∈-，，此时，-1≤2sin（2x-）≤，故函数f（x）的值域为[-3，0].点评本题考查了三角函数图像的多个知识点：基本公式、化为一个角的一个三角函数、周期性、单调性等，求解时务必细心.考点四：三角函数最值的逆向问题例4 已知函数f（x）= a+bcosx+csinx的图像经过A（0，1），B（，１）两点，当函数f（x）的定义域为[0，]时，|f（x）|≤2成立，试确定实数a的取值范围.解析将A（0，1），B（，１）代入f（x），得a+b=1，a+c=1b=1- a，c=1- a，那么原函数即为f（x）=a+（１- a）cosx+ （1-a）sinx=（1-a）sin（x+）+a.设t=sin（x+），由x∈[０，]，得t∈[１，]，则f（x）=g （t）=（1-a）t+a，那么x∈[０，]时，| f（x）|≤2成立；即为t∈[1，]时，|g（t）|≤2，于是|g（１）|≤2，|g（）|≤2|（１-a）+a|≤，|（１-a）+a|≤-≤a≤4+3为所求的范围.点评已知最值，求函数中其它参变量的值或范围的问题称为逆向最值问题.由于此类问题具有知识面广、结构新颖等特点，因此很多同学颇感困难.本题充分利用函数图像性质，结合最值产生结论.考点五：三角函数的图像变换例5 已知函数f（x）=2acos2x+bsinx cosx-，且f（0）=，f（）=，试问：函数f（x）的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为偶函数.解析由于f（0）=，f（）=，得2a-=，a+b-=a=，b=1.因此，f（x）=cos2x+sinx cosx-=cos2x+sin2x=sin（２x+）.显然，将f（x）=sin（２x+）向右平移个单位或向左平移个单位，所得图像所对应的函数均为偶函数.点评图像平移是重要考点之一，它常与三角函数式的化简、三角函数的最值结合在一起.本题就是特例，既有单调区间又有最值，是一道三角函数图像的综合题.考点六：三角函数图像的灵活运用例6 设函数f（x）的图像与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sin nx在[0，]上的面积为（n∈N*），（i）y=sin3x在[0，]上的面积为；（ii）y=sin（3x-）+１在[，]上的面积为.解析（i）y=sin3x在[0，]上的面积为.根据y=sin3x的图像，可以知道在[0，]上与在[，]上的面积相等.∴y=sin3x在[0，]的面积为.（ii）根据图像变换，作出y=sin（3x-）+1的图像，如图所示. 根据图像，运用补形手段，y=sin（3x-）+1在[，]的面积计算可以由一个长为，宽为1的矩形面积，再加上一个正弦草垛形面积即，∴所求面积为+.点评本题是三角函数图像中的“小、巧、活”型试题，求解时有一定的灵活性，只有对图像十分熟悉，又能对图像变换也非常清楚，求解才会顺利.考点七：已知图像求函数的解析式例7 如图是函数 f （x）= Asin（x+ ）（A>0，>0，00，>0，||0）上f（x）分别取得最大值和最小值.（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=af（x）+b的最大值和最小值分别为6和2，求a，b的值.解析（1）由题意知A=2，=（x0+）-x0=，∴T=3，即=3，>0，∴=.∴f（x）=2sin（x+）过点（0，1），代入得2sin＝1，而｜｜0，由已知得2a+b＝6，2a+b＝2a＝-1，b＝4.若a0）个单位，得到曲线C′，且曲线C′关于直线x=对称.（1）求a的最小值；（2）已知当x∈[，]（b为正整数）过曲线C上任意两点的直线的斜率恒大于零，求b的值.解析（1）∵y=sin（-x）?cos（x+）=sin（+x）?cos（x+）=sin（2x+）, ∴把曲线C向右平移a（a>0）个单位后得到曲线C′为y=sin[2（x-a）+].由曲线C′关于直线x=对称，得2（-a）+=k+（k∈Z）a=-，得amin=.（2）设曲线C上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1，x2∈[，]），则直线AB的斜率k=>0.不妨设x1>x2，则有y1>y2，由此可知函数y=sin（2x+）在区间[，]上为增函数.又函数y=sin （2x+）的递增区间为[k-，k+]（k∈Z），∴≥k-，≤k+2b+1≥8k，3b+2≤8k.∴有2b+4≥3b+1，即b=1，2，3.易验证当b=1或3时，k无解，当b=2时，k=1.因此，所求的值为2.点评本题是三角函数图像的综合试题，在本题的求解中既用到了三角化简、图像平移、对称性，又用到了函数的单调性及不等式的求解.可以看出，没有扎实的功底，想拿下它还真的不容易.至此，我们看到了图像与性质中常见的十个考点，实际上，高考命题具有很大的灵活性，不可能将其类型完全罗列，这里仅供复习时参考.责任编校徐国坚注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF 格式阅读原文。

高中数学必修一中的三角函数考点主要包括：
1. 角度与弧度的概念，以及角度与弧度制之间的转换。

2. 三角函数的基本性质，包括正弦、余弦、正切的定义和性质。

3. 三角函数的诱导公式，包括角度加减、乘除、平方等变换的诱导公式。

4. 三角函数的和差化积公式，包括正弦、余弦、正切的和差化积公式。

5. 三角函数的倍角公式，包括正弦、余弦、正切的倍角公式。

6. 三角函数的图像和性质，包括图像的平移、伸缩、对称变换，以及三角函数的周期性、单调性、最值等性质。

7. 三角函数在实际问题中的应用，例如在物理、工程、经济等领域的应用。

在学习三角函数时，学生需要掌握基本的三角函数性质和公式，了解三角函数在各个领域的应用，并能够运用三角函数解决实际问题。

同时，学生还需要注意三角函数图像的平移、伸缩、对称变换等性质，以及周期性、单调性、最值等性质的应用。

高频考点三角函数第十节水木清华1. 三角函数的基本性质：(1) 周期性：对于函数f(x)=\sin x 和f(x)=\cos x，它们在2\pi 的整数倍处有周期性，即：\begin{aligned} \sin(x+2\pi)&=\sin x \\ \cos(x+2\pi)&=\cos x\end{aligned}(2) 奇偶性：对于函数f(x)=\sin x 和f(x)=\cos x，它们具有以下奇偶性：\begin{aligned} \sin(-x)&=-\sin x \\ \cos(-x)&=\cos x \\ \sin(\pi - x) &= \sin x \\ \cos(\pi - x) &= -\cos x \end{aligned}(3) 正弦函数和余弦函数的关系：对于正弦函数\sin x 和余弦函数\cos x，它们满足以下关系：\sin^2 x + \cos^2 x =1(4) 三角函数的诱导公式：对于\tan x，\cot x，\sec x 和\csc x，它们可以用\sin x 和\cos x 表示：\begin{aligned} &\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} &\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \\ &\sec x = \frac{1}{\cos x} &\csc x = \frac{1}{\sin x} \end{aligned}2. 三角函数的图像：(1) \sin x 的图像为一个振荡的曲线，最大值为1，最小值为-1，在x 轴上的零点为k\pi，其中k 为整数。

(2) \cos x 的图像为一个振荡的曲线，最大值为1，最小值为-1，在x 轴上的零点为(k+\frac{1}{2})\pi，其中k 为整数。

(3) \tan x 的图像在x=k\pi+\frac{\pi}{2} 处有一个垂直渐近线。

高中三角函数重点（高考必考）总结1、 必须记得的公式sin ,cos ,tan ,cot y x y x r r x yθθθθ==== 其中我们r 永远是正数，然后看Θ角的终边落在那个象限，看它的x 和y 是正还是负，然后就可以确定sin 和cos 的正负情况；2、（1）倒数关系：tan cot 1αα⋅= （2）商的关系：sin cos tan ,cot .cos sin αααααα== （3）平方关系：22sin 1cos αα+=（此公式最为重要，很多时候它告诉了sina 就可以求出cosa 或求cos2a 、sin2a 甚至求cos （a+cos ?4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭）等等，这个只要按照公式展开来计算就可以。

3、（1）sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±,（2）cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=, （3）tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=（4）221cos 21cos 2sin ;cos 22θθθθ-+== 4、每次考试的大题里面如果出现（1）sin cos θθθ⎛+=+ ⎝或,cos,36ππθθθ⎛⎫⎫+-=- ⎪⎪⎝⎭⎭sin cos 4πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ （2）若出现cos sin sin 2++ααα则同乘以2在除以2，把它化为sin2a 的形式，最终这两种情况都要把它化为sin()y A x ωϕ=+这种形式，化到这种类型，一切问题都很好解决了例如：（2013年高考陕西卷（理））已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】解:(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x . 最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π. (Ⅱ)上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈. ]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f . 所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.。