2.2.2.1对数函数的图象及性质学案(含解析)

第1课时 对数函数的图象及性质知识点一 对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是{x |x >0}． 形如y ＝2log 2x ，y ＝log 2x3都不是对数函数，可称其为对数型函数．知识点二 对数函数的图象与性质底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a ＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．知识点三 反函数指数函数y ＝a x和对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数函数的定义域为R .( )(2)y ＝log 2x 2与log x 3都不是对数函数．( ) (3)对数函数的图象一定在y 轴右侧．( ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝x 2互为反函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．下列函数中是对数函数的是( )A ．y ＝log 14x B ．y ＝log 14(x ＋1)C ．y ＝2log 14x D ．y ＝log 14x ＋1解析：形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的函数才是对数函数，只有A 是对数函数． 答案：A3．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤x <1；故函数y ＝x ln(1－x )的定义域为[0,1)．答案：B4．若f (x )＝log 2x ，x ∈[2,3]，则函数f (x )的值域为________． 解析：因为f (x )＝log 2x 在[2,3]上是单调递增的， 所以log 22≤log 2x ≤log 23， 即1≤log 2x ≤log 23. 答案：[1，log 23]类型一 对数函数的概念例1 下列函数中，哪些是对数函数？ (1)y ＝log a x (a >0，且a ≠1)； (2)y ＝log 2x ＋2； (3)y ＝8log 2(x ＋1)； (4)y ＝log x 6(x >0，且x ≠1)； (5)y ＝log 6x .【解析】 (1)中真数不是自变量x ，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x ＋1，不是x ，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x ，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x ，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．用对数函数的概念例如y ＝log a x(a ＞0且a≠0)来判断． 方法归纳判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练1 若函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝________. 解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0或a ＝1. 又底数a ＋1>0，且a ＋1≠1，所以a ＝1. 答案：1,对数函数y ＝log a x 系数为1. 类型二 求函数的定义域 例2 求下列函数的定义域： (1)y ＝lg(x ＋1)＋3x21－x；(2)y ＝log (x －2)(5－x )．【解析】 (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <1.∴－1<x <1，∴函数的定义域为(－1,1)． (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x >0，x －2>0，x －2≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x <5，x >2，x ≠3.∴定义域为(2,3)∪(3,5)．,真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解． 方法归纳求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练2 函数y ＝log 0.5x －的定义域是( )A ．(0，＋∞)B ．(5,6]C ．(5，＋∞)D ．(－∞，6]解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －5>0，log 0.5x －，得⎩⎪⎨⎪⎧x >5，x －5≤1，∴5<x ≤6，∴定义域为(5,6]． 答案：B ,真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0. 类型三 对数函数的图象问题例3 (1)函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的( )(2)已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x＋b 的图象上，则f (log 32)＝________.(3)如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系为________．【解析】 (1)A 中，由y ＝x ＋a 的图象知a ＞1，而y ＝log a x 为减函数，A 错；B 中，0＜a ＜1，而y ＝log a x 为增函数，B 错；C 中，0＜a ＜1，且y ＝log a x 为减函数，所以C 对；D 中，a ＜0，而y ＝log a x 无意义，也不对．(2)依题意可知定点A (－2，－1)，f (－2)＝3－2＋b ＝－1，b ＝－109，故f (x )＝3x－109，f (log 32)＝3log 32－109＝2－109＝89.(3)由题干图可知函数y ＝log a x ，y ＝log b x 的底数a ＞1，b ＞1，函数y ＝log c x ，y ＝log d x 的底数0＜c ＜1,0＜d ＜1.过点(0,1)作平行于x 轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c ，d ，a ，b ，显然b ＞a ＞1＞d ＞c .【答案】 (1)C (2)89 (3)b ＞a ＞1＞d ＞c(1)由函数y ＝x ＋a 的图象判断出a 的范围． (2)依据log a 1＝0，a 0＝1，求定点坐标．(3)沿直线y ＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大．方法归纳解决对数函数图象的问题时要注意(1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x 趋近于0时，函数图象会越来越靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交．(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a 的取值范围是a >1，还是0<a <1.(3)牢记特殊点．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.跟踪训练3(1)如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象，已知a 取3，43，35，110，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( )A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35(2)函数y ＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )解析：(1)方法一 作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C 1，C 2，C 3，C 4对应的a 值分别为3，43，35，110，故选A. 方法二 由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a 由大到小依次为C 1，C 2，C 3，C 4，即3，43，35，110.故选A.(2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1，故选A.答案：(1)A (2)A(1)增函数底数a＞1，减函数底数0＜a＜1.(2)先去绝对值，再利用单调性判断.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列函数是对数函数的是( )A．y＝2＋log3xB．y＝log a(2a)(a＞0，且a≠1)C．y＝log a x2(a＞0，且a≠1)D．y＝ln x解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝log a x”的形式，A，B，C全错，D正确．答案：D2．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝log a x(a>0，且a≠1，x>0)，则2＝log a4＝log a22＝2log a2，即log a2＝1，a＝2.故所求解析式为y＝log2x.答案：A3．设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( ) A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)解析：由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，故A∩B＝{x|－2≤x＜1}．答案：D4．函数y＝e x的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则( )A ．f (x )＝lg xB ．f (x )＝log 2xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝x e解析：易知y ＝f (x )是y ＝e x 的反函数，所以f (x )＝ln x . 答案：C5．已知a ＞0，且a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象只能是下图中的( )解析：由函数y ＝log a (－x )有意义，知x ＜0，所以对数函数的图象应在y 轴左侧，可排除A ，C.又当a ＞1时，y ＝a x为增函数，所以图象B 适合．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝________. 解析：由对数函数的定义可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0a >0a ≠1，∴a ＝5.答案：57．已知函数f (x )＝log 3x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫95＋f (15)＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫95＋f (15)＝log 395＋log 315＝log 327＝3. 答案：38．函数f (x )＝log a (2x －3)(a ＞0且a ≠1)，的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是________． 解析：令2x －3＝1，解得x ＝2，且f (2)＝log a 1＝0恒成立，所以函数f (x )的图象恒过定点P (2,0)．答案：(2,0)三、解答题(每小题10分，共20分) 9．求下列函数的定义域： (1)y ＝log 3(1－x )； (2)y ＝1log 2x ；(3)y ＝log 711－3x.解析：(1)∵当1－x >0，即x <1时， 函数y ＝log 3(1－x )有意义，∴函数y ＝log 3(1－x )的定义域为(－∞，1)． (2)由log 2x ≠0，得x >0且x ≠1.∴函数y ＝1log 2x 的定义域为{x |x >0且x ≠1}．(3)由11－3x >0，得x <13.∴函数y ＝log 711－3x 的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13.10．求出下列函数的反函数： (1)y ＝log 16x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x；(3)y ＝πx.解析：(1)对数函数y ＝log 16x ，它的底数为16，所以它的反函数是指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16x；(2)同理，指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x的反函数是对数函数y ＝log 1ex ；(3)指数函数y ＝πx的反函数为对数函数y ＝log πx .[能力提升](20分钟，40分)11．已知函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)的反函数为g (x )，且满足g (2)<0，则函数g (x ＋1)的图象是下图中的( )解析：由y ＝a x解得x ＝log a y ， ∴g (x )＝log a x . 又∵g (2)<0，∴0<a <1.故g (x ＋1)＝log a (x ＋1)是递减的，并且是由函数g (x )＝log a x 向左平移1个单位得到的． 答案：A 12．函数f (x )＝x ＋1－2x的定义域是________．解析：∵f (x )＝x ＋1－2x，∴要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>01－2x>0，即－3<x <0.答案：(－3,0)13．已知函数y ＝log 2x 的图象，如何得到y ＝log 2(x ＋1)的图象？y ＝log 2(x ＋1)的定义域与值域是多少？与x 轴的交点是什么？解析：y ＝log 2x ―――――→左移1个单位y ＝log 2(x ＋1)，如图．定义域为(－1，＋∞)，值域为R ，与x 轴的交点是(0,0)． 14．已知函数f (x )＝log 2x －的定义域为A ，函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(－1≤x ≤0)的值域为B .(1)求A ∩B ；(2)若C ＝{y |y ≤a －1}，且B ⊆C ，求a 的取值范围． 解析：(1)由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 2x －⇒x ≥2，所以A ＝{x |x ≥2}，B ＝{y |1≤y ≤2}， 所以A ∩B ＝{2}．(2)由(1)知B ＝{y |1≤y ≤2}，若要使B ⊆C ，则有a －1≥2，所以a ≥3. 即a 的取值范围为[3，＋∞)．。