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六年级奥数专题10：方程组

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十 方程组(1)年级 班 姓名 得分一、填空题1.一个分数a b ,把它的分母减2,即2-a b ,约分后等于43;如果原来的分数的分母加上9,即9+a b ,约分后等于75,则ab= . 2.甲、乙两人共存款2000元,后来甲又存入100元,乙取出自己款数的31,这时甲的存款数是乙的2倍.现在两人共存款 元.3.八个数排成一排,从第三个数开始,每个数都等于他前面两个数之和.现用六张纸片盖住了其中的六个数,只露出第五个数是7,第八个数是30.□ □ □ □ 7 □ □ 30 那么被纸片盖住的第一个数是 .4.六(1)班图书馆的故事书和科技书共有100本,已知科技书的43比故事书的85少13本,两种书各有 本.5.有a ,b ,c 三个数, a ⨯ b =24,a ⨯c =36,b ⨯c =54,则a +b +c = .6.若购买笔记本3本、铅笔5支、格尺1个,共需6.10元;若购买笔记本4本、铅笔7支、格尺1个,共需7.92元.那么购买笔记本、铅笔、格尺各一件一共需要 元.7.加工一批零件,甲、乙两人合做1小时,完成了这批零件的6011,乙、丙两人接着生产1小时,又完成了203,甲和丙又合做2小时,完成了31.剩下的任务,甲、乙、丙三人合做,还要 小时完成.8.有一满池水,池底有泉水总能均匀地向外涌流,已知用24部A 型抽水机6天可抽干池水,若用21部A 型抽水机8天也可抽干池水,设每部抽水机单位时间的抽水量相同,要使这一池水永抽不干,则至多只能用 部A 型抽水机抽水.9.如图,平行四边形ABCD 周长为75厘米.以BC 为底时高是14厘米,以CD 为底时高是16厘米.那么平行四边形ABCD 的面积为 .10.小明与小亮同住在一幢楼,他们同时出发骑车去郊外看王老师,又同时到达王老师家.但途中小明休息的时间是小亮骑车时间的31,而小亮休息的时间是小明骑车时间的41,则小明和小亮骑车的速度比是 .EDF ABC二、解答题11.某车间有三个小组,甲组比乙组多3人,乙组比丙组多4人;甲组每人每天比乙组每人每天少生产2个工件,乙组每人每天比丙组每人每天少生产5个工件;又知甲组每天比乙组多生产9个工件,乙组比丙组多生产5个工件,问各组有多少人,每人每天生产多少个工件?12.如图,在矩形ABCD 中,放入六个形状、大小相同的长方形,所标尺寸如图所示.试求图中阴影部分的总面积.13.甲、乙、丙三个业主,在同一公司购得相同货物,甲购得12包鞋、7包夹克、17包裤子,用一个集装箱发回,货款及运费共付1012万元.乙和丙发货时每包运费为2000元,乙购得5包鞋、6包夹克、4包裤子,共付货款及运费453万元.乙和丙付的运费是甲所付运费的53.丙每样货购一包,丙付货款及运费共多少元?14.某校运动会在400米环形跑道上进行一万米比赛,甲、乙两运动员同时起跑后,乙速超过甲速,在第15分钟时甲加快速度,在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙,在第23分钟时,甲再次追上乙,而在第23分50秒时,甲到达终点,那么乙跑完全程所用的时间是多少分钟?BC十 方程组(2)年级 班 姓名 得分一、填容题1.甲数比乙数多15,当甲数减少28,乙数增加28以后,这时甲数是乙数的43,原来甲数比乙数多 %.(百分号前保留两位小数)2.某校六年级学生为校运动会制做了红蓝两色的花束580支,其中红色花束的41与蓝色花束的51是由一班同学制做的,其余的448支是由其它几个班同学制做的,那么一班同学制做了______支红色花束.3.一个六位数它能被9和11整除,去掉这个六位数的首、尾两个数字,中间的四个数字是1997.那么这个六位数是 .4.2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的103,8个蟹将和10个虾兵就能打扫完全部龙宫.如果是单让蟹将去打扫,与单让虾兵去打扫进行比较,那么要打扫完全部龙宫,虾兵比蟹将要多____个.5.甲、乙、丙、丁四人,每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29、23、21和17.这四人中最大年龄与最小年龄的差是 .6.商店里有大、小两种书包.买大书包4个,小书包6个,需392元;买大书包7个,小书包3个,需416元;买小书包9个,大书包1个,需 元.7.甲、乙两邮递员分别A ,B 两地同时以匀速相向而行,相遇时甲比乙多走18千米,相遇后甲走4.5小时到达B 地,乙走8小时到达A 地,那么A ,B 两地的距离是 .8.一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀.如果同时打开进水阀一个排水阀,则30分钟能把水池的水排完;如果同时打开进水阀及两个排水阀,则10分钟把水池的水排完.那么,关闭进水阀并且同时打开三个排水阀,需 分钟才能排完水池的水.9.如图所示,在3 3的方格内已填好了两个数19和99,可以在其余空格中填上适当的数,使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数和都相等.则x = .10.甲、乙二人同时从A 地出发,经过B 地到达C 地,甲先骑自行车达B 地,然后步行,乙先步行到B 地,然后骑自行车,结果二人同时到达C 地.已知甲乙二人的步行速度分别为4千米/时和3千米/小时,骑自行车的速度都是15千米/小时.那么甲从A 地到C 地的平均速度是 千米/小时.二、解答题11．从甲地到乙地的公路,只有上坡路和下坡路,没有平路.一辆汽车上坡时每小时行驶20千米,下坡时每小时行驶35千米.车从甲地开往乙地需9小时,从乙地到甲地需217小时.问:甲、乙两地间的公路有多少千米?从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路?12.如右图,AD 、BE 、CF 把△ABC 分成六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图上标明,试求△ABC 的面积.(单位:平方厘米)13.某校初一有甲、乙、丙三个班,甲班比乙班多4个女同学,乙班比丙班多1个女同学,如果把甲班的第一组调到乙班,乙班的第一组调到丙班,丙班的第一组调到甲班,则三个班女生人数相等.已知丙班第一组有2个女同学.问甲、乙两班第一组各有女同学多少人?14.一水池有A 、B 两个进水龙头和一个出水龙头C ,如果在水池空时同时将A 、C 打开,2小时可注满水池;同时打开B 、C 两龙头3小时可注满水池.当水满时,先打开C ,7小时后把A 、B 同时打开(C 仍开着),1小时后水池可注满.那么单独打开A ,几小时可注满水池?———————————————答 案——————————————————————1.222165依题意,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-759432a b a b ,所以⎩⎨⎧+=-=4557634a b a b ,解得a =222,b =165,故222165=a b .2. 1800设甲、乙原来分别存款x 元、y 元,依题意,得⎪⎩⎪⎨⎧-⨯=+=+)311(21002000y x y x 解得⎩⎨⎧==9001100y x 所以现在两人共存款(90032⨯)1800)21(=+⨯(元). 3.21 设第一个数是x ,第二个数是y ,则八个数依次为.138,85,53,32,2,,,y x y x y x y x y x y x y x ++++++由⎩⎨⎧=+=+30138732y x y x 解得.2,21==y x 4. 64,36设故事书有x 本,科技书有y 本,依题意,得⎪⎩⎪⎨⎧-==+138543100x y y x 解得⎩⎨⎧==3664y x . 5. 19因为()()16543624)(2=÷⨯=⨯÷⨯⨯⨯=c b c a b a a ,所以4=a ,推知624=÷=a b ,936=÷=a c .故19964=++=++c b a .6. 2.64⎩⎨⎧=++=++92.77410.653尺笔本尺笔本 3⨯①-2⨯②得:本+笔+尺=2.46(元)7. 311甲、乙、丙三人1小时的工作效率分别用甲、乙、丙表示,则 甲+乙=6011,乙+丙=203,甲+丙=61231=÷.所以,甲+乙+丙=412)612036011(=÷++.甲、乙、丙合做还需3113441)3120360111(==÷---(小时). 8. 12解:设每部抽水机每天抽水a 个单位,泉水每天涌出b 个单位,一满池水S 个单位,用x 部抽①②水机时,一满池水永远抽不干,依题意得:⎪⎩⎪⎨⎧≤+=⨯+=⨯)3()2(8821)1(6624 b xa S b a S b a (2)-(1)整理得b =12a ,代入(3)得12≤x . 故要使这一池水永远抽不干,至多只能用12部抽水机抽水. 9. 280平方厘米由平行四边形面积公式知AE ⨯BC =AF ⨯CD ,即 14BC =16CD ① 又 2⨯(BC +CD )=75 ②联立①、②解得BC =20,CD =17.5.因此,平行四边形ABCD 的面积为14BC =280(平方厘米).10. 89设小明休息时间为x 小时,小亮休息时间为y 小时.小明、小亮骑车速度分别为乙1千米/小时、乙2千米/小时,依题意,得⎩⎨⎧⋅=⋅+=+213434v x v y xy y x由①得 2x =3y 即 y =x 32.代入②得 213324v x v x ⋅=⋅⨯.所以 8921=乙乙.11. 设丙组x 人,甲组每人每天生产y 个工件,则乙组x +4人,甲组(x +4)+3=x +7人;乙组每人每天生产y +2个工件,丙组每人每天生产(y +2)+5=y +7个工件,依题意,得⎩⎨⎧++=+++++=+5)7()2)(4(9)2)(4()7(y x y x y x y x 解得 x =11,y =13.所以x +4=15,x +7=18;y +2=15,20. 答:各组分别有18,15,11人,每人每天生产13,15,20个工件.12. 设小长方形的长为x ,宽为y ,依题意得⎩⎨⎧=-+=+62)(143y y x y x 解得 x =8,y =2.则AD =6+2y =6+2⨯2=10.矩形ABCD 面积=14⨯10=140(平方厘米).阴影部分总面积=140-6⨯2⨯8=44(平方厘米).13. 乙付运费0.2⨯(5+6+4)=3(万元),付货款453-3=450(万元).丙付运费0.2⨯3=0.6(万元),甲付运费(3+0.6)653=÷(万元),甲付货款1012-6=1006(万元).由甲、乙付的货款,得⎩⎨⎧=++=++(2)450465)1(100617712裤夹克鞋裤夹克鞋6⨯(1)-7⨯(2): 37鞋+74裤=2886鞋+2裤=78 (3) (1)-5⨯(3): 7鞋+7夹克+7裤=616 鞋+夹克+裤=88所以丙付货款及运费共88+0.6=88.6(万元).14. 设出发时甲速度为a 米/分,乙速度为6米/分.第15分钟甲提高的速度为x 米/分,所以第15分钟后甲的速度是(a +x )米/分.依题意,到第15分钟时,乙比甲多跑15(b -a )米,甲提速后于3分钟(即第18分钟)追上乙,所以① ②(a +x -b )⨯3=15(b -a ) ①接着甲又跑了5分钟(即第23分钟),已经超过乙一圈(400米)再次追上乙,所以 (a +x -b )⨯5=400 ②到了第23分50秒时甲跑完10000米,这10000米前15分钟是以速度a 跑完,后面658分钟是以速度a +x 跑完的,所以15a +658⨯(a +x )=10000 ③解①,②得 b -a =16米/分钟,x =96米/分钟. 代入③ a =384米/分钟,所以b =400米/分钟.乙是一直以400米/分钟的速度跑完10000米的,所以乙跑完全程所用的时间是25分钟.———————————————答 案——————————————————————1. 11.03设甲、乙两数分别为x 、y ,依题意,得⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=-+=43)28(2815y x y x解得 x =151,y =136.甲比乙多(151-136)÷136≈11.03%2. 80设红色花束共有x 支,蓝色花束共有y 支,依题意,得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+44858054580y x y x解得 x =320,y =260.所以一班制做的红色花束320⨯41=80(支). 3. 219978设这个数为b a 1997.由能被9整除,推知a +b =1或10;由能被11整除,推知a -b =5或b -a =5.综上求得a =2,b =8.4. 18 设1个蟹将、1个虾兵打扫的工作量分别为x 、y ,依题意,得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+110810342y x y x解得 301,121==y x .因此,单让蟹将打扫全部龙宫需要1211÷=12(个),单让虾兵打扫全部龙宫需要303011=÷(个),则虾兵应比蟹将多用30-12=18(个). 5. 18设四人的年龄分别是x 、y 、z 、w .依题意,得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++173213233293z y x w y x w z x w z y w zy x 所以 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++17323213232332329323z w z y x y w z y x x w z y x w w z y x比较①,②,③,④易知 z <y <x <w . ①-④整理得 ()1232=-z w ,故w -z =18,即最大年龄与最小年龄之差为18.6. 368⎩⎨⎧++=+4163739264小大小大 2⨯②-①得,10大=440.所以每个大书包44元,代入①,解得每个小书包36元.所以,9小+1大=36⨯9+44⨯1=368(元).① ② ③ ④①②7. 126千米设甲速为a 千米/时,乙速为b 千米/时,A ,B 两地的距离为2S ,依题意有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+=-=+b S a S aS b S 995.4989 由①,②得b a S S 16999=+-. 由③得 baS S =-+99.所以 916916992=⋅=⎪⎭⎫⎝⎛-+a b b a S S ,所以3499=-+S S ,所以 S =63(千米),2S =126(千米) 8. 5设水池容量为A ,每个排水阀每分钟排水量为x ,进水阀每分钟进水量为y ,于是 A =(x -y )⨯30 A =(2x -y )⨯10即 30x -30y =20x -10y 或10x =20y ,即x =2y .于是A =30y .30y ÷3x =30y ÷6y =5(分钟).9. 179如图,依题意有⎩⎨⎧++=++++=++991999d b d c c a b x a①+②整理,得x =179.10 71505.设AB =a ,BC =b ,依题意可知,甲、乙二人从A 到C 所用时间相等,即 153415b a b a +=+,整理得 a =b 1611. 因此,甲从A 到C 的平均速度是71505416111511611415=+⨯+=++b b bb b a b a (千米/时) 11. 设从甲地到乙地的上坡路为x 千米,下坡路为y 千米.依题意得:93520=+y x ①2172035=+y x ② ① ② ③① ②于是(x +y )(351201+)=16.5. 所以,x +y =210.将y =210-x 代入①式, 得91404352101407=-+x x , 即961403=+x ,解得x =140(千米). 12. 设.,y S x S AOE BOF ==∆∆因为 CDA BDA CDO BDO S S S S ∆∆∆∆=::. 所以 40:30=(40+84+x ):(30+35+y ), 整理得 4y -3x =112 ①又因为 AEB CEB AEO CEO S S S S ∆∆∆∆=:: 所以 35:y =(35+30+40):(84+x +y ) 整理得 70y -35x =2940 ② 由①、②解得 x =56,y =70又因为=∆ABC S AEO CEO BDO BFO AEO AFO S S S S S S ∆∆∆∆∆∆+++++ 所以353040567084+++++=∆ABC S=315(平方厘米)13. 设丙班有n 个女同学,甲班第一组有x 个女同学,乙班第一组有y 个女同学,则乙班原有n +1个女同学,甲班原有n +5个女同学,依题意,列出方程(n +5)-x +2=(n +1)-y +x =n -2+y 7-x =1-y +x =y -2即 ⎩⎨⎧-=+-=-,221127y x y x 解得 x =5,y =4.答:甲班第一组有5个女同学,乙班第一组有4个女同学.14. 设单独打开A 、B 龙头(或C 龙头),分别可在x 、y (或z )小时内注满水池(或放尽池水),依题意,得122=-zx ① 133=-z y ② 1)111(71=+++-zy x z ,(7≥z ) ③ 或1111=-+zy x (z <7) ④联立①、②、③解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===.536,1736,2336z y x 联立①、②、④解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===6,2,23z y x 答:当独打开C 龙头放完一池水所需时间不少于7小时(事实上为536小时)时,单独打开A 龙头,2326小时可注满水池,当单独打开C 龙头放完一池水所需时间少于7小时(事实上为6小时)时,单独打开A 龙头,23小时可注满水池.。

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六年级奥数培优 计算专题解方程

六年级奥数培优 计算专题解方程

六年级奥数培优 计算专题解方程
【解方程（一）】
在解决较复杂的方程，需要掌握四则运算的基本性质和等式的基本性质，以四则运算的互逆关系为主，等式的基本性质为辅，是算式思想和代数思想同时发展。

例1 22)5(6=+-x x 例2
【举一反三】 5)20(34)1(=-⨯-x x )4(213)2(x +-=
62357+=-x x 95.092.0)3(-=+x x 5.5421325.94)4(+=-x x 考点归纳 学习思考
例3 )2(7634281-⨯=-x x 例4
)5(4
3)42(32x x +=+
【举一反三】
)42(5293)7(2)2(--=+-x x
x x 4
14)5(32)3(=-+
)52(43)6(7)1(+=-+x x x
1、如果3x-2=10,那么6x-4=( ) A.12 B.20 C.16 D.25
2、解方程2（x-2）-6(x-1)=3(1-x),去括号正确的是（ ）
A.2x-4-6x-6= 3-3x
B.2x-2-6x+6=3-3x
C.2x-4-6x+6=3-3x
D.2x-4-6x+6=3-x
3、某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的34 得优，男、女生得优的一共有42人，若设该校参加数学竞赛的男生有x 人，则列出方程为 ，解得男生有 人。

4、已知方程3x+2a=12和方程3(x-2)=2的解相同，则a= ______
5、解方程
（1）315)45.0(531=-÷x （2）)1(4)2(3+=+x x
（3）)134(21)52(3--=+x x 自我检测。

六年级奥数应用专题《列方程解应用题》全国通用版(有答案)

六年级奥数应用专题《列方程解应用题》全国通用版(有答案)

列方程解应用题知识框架方程，是一种顺向的“程序”，即设出未知数之后，完全可以根据题目叙述，把各个量翻译出来，找出等量关系划等号即可.一、列方程解应用题的要点（1）设出用哪个未知量表示题目中提到的其他量比较方便，就选择哪个未知量作为未知数.如果只设一个不能进行有效的表达，就再设一两个.（2）翻译用设出的未知数，逐个对应地翻译题目中提到的其他各个量.（3）等量按照题目所述，找出并构建等量关系.等量中很容易忽视的是“不变量”和“相同量”，一定要敏感.【提示】有时虽然设出未知数之后等式列出来了，但方程不好解. 此时，可考虑重设未知数、重列方程或采取其他方法，甚至可以考虑先把问题的目标表达式找出来，“设而不求”——不占而屈人之兵.二、列方程解应用题的优势和局限性关系比较复杂的问题，使用方程，通常可以达到事半功倍的效果.但需要注意的是，方程“单飞”有时无力，需要结合线段图、列表法等，能够发挥更加明显的作用.重难点（1）重点：未知数的选设，其他量的表达，等量关系的寻找（2）难点：未知数的选设，等量关系的寻找，不定方程和不定方程组解的讨论例题精讲一、列一般方程解应用题【例 1】已知足球、篮球、排球三种球平均每个35元.篮球比排球每个贵10元，足球比排球每个贵8元.问：每个篮球多少元？【考点】列方程解应用题【难度】1星【题型】解答【解析】设每个排球x元，则每个篮球为x+10元，每个足球x+8元，由已知列方程：x+x+8+x+10=35×3，15解得x=29.所以每个篮球x+10=29+10=39元.【答案】29【巩固】 有一些糖，每人分5块多10块；如果现有的人数增加到原人数的1.5倍，那么每人4块就少2块.问这些糖共有多少块?【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设开始共有x 人，5x+10=4×1.5x-2， 解得x=12，所以这些糖共有12×5+10=70块．【答案】70【例 2】 一个分数 ，分子与分母的和是122，如果分子、分母郡减去19，得到的分数约简后是 ．那么原来的分数是多少?【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一：设这个分数为122aa -，则分子、分母都减去19为19191==(122)191035a a a a -----,即5-95=103-a a ,解得33a =,则122-33=89．所以原来的分数是3389方法二：设这个分数为变化后为5a a ，那么原来这个分数为19519a a ++，并且有(19)(519)a a +++=122, ，解得.=14．所以原来的分数是3389． 【答案】3389【巩固】 如下左图中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一个商是a ．如下右图中的短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的一个商是a 的2倍．求这个自然数．【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 由题意知()()878181172174,a a +⨯+⨯+=+++⎡⎤⎣⎦整理得512a+457=578a+259，即66a=198，a=3．于是，[(80+1)×8+1]× 8+1=1993．【答案】1993【例 3】 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶.已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为2∶1.某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9时.问：甲、乙两港相距多少千米？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设甲、乙两港相距x 千米，原来水流速度为a 千米/时根据题意可知，逆水速度与顺水速度的比为2∶1，即（8-a ）∶（8＋a ）＝1∶2，于是有8+a=2(8-a),解得a=38再根据暴雨天水流速度变为2a 千米/时，则有92828=-++axa x把a=38代入，得938283828=⨯-+⨯+x x解得x=20.【答案】20【巩固】 如图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A 出发，每分钟走65米，乙从B 出发，每分钟走72米.当乙第一次追上甲时在 正方形的哪一条边上？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设追上甲时乙走了x 分.依题意，甲在乙前方3×90=270（米），故有72x ＝65x+270.解得7270=x .在这段时间内乙走了712777727072=⨯（米）.由于正方形边长为90米，共四条边，故由，可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA 边上. 【答案】DA 边上二、 列一般方程组解应用题【例 4】用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？【考点】列方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设用x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底.⎩⎨⎧=⨯=+yxyx43216150解得xy==⎧⎨⎩8664所以86张铁皮制盒身，64张铁皮制盒底.【答案】86；64【巩固】运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙车每箱少5个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车总共多5个苹果，这三车苹果共有多少个?【考点】列方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设乙车运x箱，每箱装y个苹果，列表如下：（x+4）（y-3）-xy=3xy-（x-4）（y+5）=5化简为：4y-3x=15, ①5x-4y=15, ②①+②，得：2x=30，于是x=15．将x=15代人①或②，可得：y=15．所以甲车运19箱，每箱12个；乙车运15箱，每箱15个；丙车运11箱，每箱20个．三车苹果的总数是：12×19＋15×15＋20×11=673(个)．【答案】673【例 5】有甲、乙、丙、丁4人，每3个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，2l和17．这4人中最大年龄与最小年龄的差是多少?⎧⎨⎩【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设这些人中的年龄从大到小依次为x 、y 、z 、w ，①+②+③十④得：2(x +y+z+w )=90， 则3x y z w+++=15…………………………………………⑤①-⑤得：2143x = , x =21； ④-⑤得：223z =， z=3； 所以最大年龄与最小年龄的差为x w - =21—3=18(岁) 【答案】18三、 列不定方程或不定方程组解应用题【例 6】 新发行的一套邮票共3枚，面值分别为20分、40分和50分，小明花5.00元买了15张.问：其中三种面值的邮票各多少张？【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 根据题意，设面值20分的x 张，面值40分的y 张，面值50分的z 张，可列方程得152********x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩解得672x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以20分的6张，40分的7张，50分的2张【答案】6；7；2【巩固】 某次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发6支，二等奖每人发3支，三等奖每人发2支.后来又改为一等奖每人发9支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1支.问：获一、二、三等奖的学生各几人？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据题意，设一等奖x 人，二等奖y 人，三等奖z 人，可列方程得632229422x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩解得125x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，一等奖1人，二等奖2人，三等奖5人.【答案】1；2；5【例 7】 工程队要铺设78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子.问：可以有多少种不同取法？【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 根据题意，设3米管子x 根，5米管子y 根，可列方程得3578x y +=解得260x y =⎧⎨=⎩或213x y =⎧⎨=⎩或166x y =⎧⎨=⎩或119x y =⎧⎨=⎩或612x y =⎧⎨=⎩或115x y =⎧⎨=⎩所以共有6种取法.【答案】6【巩固】 用1分、2分和5分硬币凑成1元钱，共有多少种不同的凑法？ 【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 根据题意，设5分有x 个，2分有y 个，1分有z 个，可列方程得52100x y z ++=5分取20个，有1种.5分取19个，2分有3种取法（2个、1个、0个），共3种. 5分取18个，共6种.（同上） 5分取17个，共8种. 5分取16个，共11种. ......根据规律不难求出共有1+3+6+8+11+13+16+18+21+23+26+28+31+33+36+38+41+43+46+48+51 =18+58+98+138+178+51 =490+51 =541【答案】541【例 8】 某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 设男职工x 人，孩子y 人，则女职工3y -x 人(注意，为何设孩子数为y 人，而不是设女工为y 人)，那么有()131036x y x y +-+=216，化简为336x y +=216，即12x y +=72． 有122436486054321x x x x x y y y y y ⎧=⎧====⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎪⎩⎩. 但是，女职工人数为3y x -必须是自然数，所以只有125x y =⎧⎨=⎩时，33y x -=满足．那么男职工数只能为12名.【答案】12【巩固】 一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设0.7米，0.8米两种木条分别x ，y 根，则0.7x +0.8y =3.4，3.6……，即7x +8y =34，36，37，38，39. 将系数，常数对7取模，有y ≡6，l ，2，3，4(mod 7)，于是y 最小分别取6,1,2，3，4．但是当y 取6时，8×6=48超过34，x 无法取值．所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．【答案】3.4【例 9】 某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此人.如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设汽车站每隔x 分发一班车，某人的速度是v1，汽车的速度为v2，依题意得由①、②，得将③代入①，得x ＝4.8所以汽车站每隔4.8分钟发一班车 【答案】4.8【巩固】 某地收取电费的标准是：若每月用电不超过50千瓦时，则每千瓦时收5角；若超过50千瓦时，则超出部分按每千瓦时8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少千瓦时电？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意可知，因为3元3角既不是5角的整数倍，也不是8角的整数倍.所以甲用的电超过50千瓦时，乙用的电没有超过50千瓦时，设甲用的电超过50千瓦时的部分为x 千瓦时电，乙用的电与50千瓦时相差y 千瓦时电，可列方程得8533x y +=解得15x y =⎧⎨=⎩所以甲用了50+1=51（千瓦时）的电，乙用了50-5=45（千万时）的电.【答案】51；45【例 10】 某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设每班有a(30＜a≤45)名学生，每人平均捐款x 元(x 是整数)，依题意有：x(14a+35)=1995．于是14a+35|1995．又3l ＜a≤45，所以469＜14a+35≤665，而1995=3×5×7×19，在469与665之间它的约数仅有665，故14a+35=665，x=3，平均每人捐款3元．【答案】3【巩固】 一次数学竞赛中共有A 、B 、C 三道题，25名参赛者每人至少答对了一题．在所有没有答对A 的学生中，答对B 的人数是答对C 的人数的两倍，只答对问题A 的人数比既答对A 又至少答对其他一题的人数多1．又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A ．请问有多少学生只答对B?【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 设不只答对A 的为x 人，仅答对B 的为y 人，没有答对A 但答对B 与C 的为z 人．解得：253233x y z x-⎧=⎪⎨⎪=-⎩，,6,y z x ≥≥x =7时，y 、z 都是正整数，所以7,6,2x y z ===. 故只答对B 的有6人． 【答案】6课堂检测【随练1】 有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒.问：队伍有多长？【考点】经济问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设通讯员从末尾赶到排头用了x 秒，依题意得2.6x-1.4x=2.6（650-x ）+1.4（650-x ）解得x ＝500所以队伍长为（2.6-1.4）×500=600（米）【答案】600【随练2】 六（1）班举行一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，以此类推）.男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分.如果该班的人数多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设该班有x 个男生和y 个女生，于是有4x+3.25y=3.6（x+y ），化简后得8x=7y.从而全班共有学生在大于30小于50的自然数中，只有45可被15整除，所以推知x ＝21，y=24. 【答案】21；24【随练3】 (1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大质数是多少?(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，则这个最大的质数是多少?【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 (1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等，不然10个互不相等的质数和最小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于50． 所以，其中一定可以有某几个质数相等． 欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2，且最多可有9个2，那么最大质数不超过50—2×9=32，而不超过32的最大质数为31． 又有82502222331=++++++个，所以满足条件的最大质数为31．(2)最大的质数必大于5，否则10个质数的之和将不大于50． 所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7．60÷7=8……4，8760=7+7+7++7+4个，而4=2+2，恰好有8760=7+7+7++7+2+2个．即8个7与2个2的和为60，显然其中最大的质数最小为7．【答案】31；7【随练4】 在同一路线上有4个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘助力车，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的12时追上乘助力车的，14时遇到骑自行车的，而开摩托车的相遇是16时．开摩托车的遇到乘助力车的是17时，并在18时追上了骑自行车的，问骑自行车的几时遇见乘助车的?【考点】经济问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 设汽车、摩托车、助力车、自行车的速度分别为a ，b ，c ，d ，设在12时骑自行车的与坐汽车的距离为x ，骑自行车的与开摩托车的之间的距离为y ．有(①+③)×2一(②+④)，得 310()x c d =+，即10()3x c d =+ 设骑自行车的在t 时遇见骑助力车的，则 (12)(),x t c d =-⨯+即10123t -=，所以1153t =． 所以骑自行车的在15时20分遇见骑助力车的． 【答案】15时20分家庭作业【作业1】 甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁.问：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍？【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设x 年前，甲乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.16+12-2x=2×(11+9-2x), 解得x=6.所以，6年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.【答案】6【作业2】 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设这列火车的速度是x 米/秒，依题意列方程，得（x-1）×22=（x-3）×26.解得x=14.所以火车的车身长为（14-1）×22=286（米）.【答案】286【作业3】 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分.小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分.问：小明至多套中小鸡几次？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设套中小鸡x 次，套中小猴y 次，则套中小狗（10-x-y ）次.根据得61分可列方程9x+5y+2（10-x-y ）=61，化简后得7x=41－3y.显然y 越小，x 越大.将y=1代入得7x=38，无整数解；若y=2，7x=35，解得x=5.【答案】5【作业4】 袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出几个球，它们的数字之和是43.问：小明最多摸出几个标有数字2的球？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意，设摸出标有数字2的x 个，摸出标有数字3的y 个，摸出标有数字5的z 个，可列方程得23543x y z ++=，x 最大为所求.解得2010x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，摸出标有数字2的最多为20个.【答案】20【作业5】 小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候.若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声.细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声.问：波斯猫至少叫了多少声？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意，设白天见面的次数为x ，晚上见面的次数为y ，可列方程得3561x y +=白天见面最多时，波斯猫叫声最少.即x 最大为所求.解得125x y =⎧⎨=⎩所以，波斯猫至少叫125327+⨯=（声）.【答案】27【作业6】小明买红、蓝两支笔，共用了17元．两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完．那么红笔的单价是多少元?【考点】列方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】如下表先枚举出所有可能的单价如表1．再依次考虑：首先，不能出现35的约数．否则只买这种笔就可以刚好用完35元，所以含有7，5，1的组合不可能．然后，也不能出现35—17=18的约数．否则先各买一支需17元，那么再买这种笔就可以花去18元，一共花35元．所以含有9，6，3，2的组合也不可能．所以，只有13+4的组合可能，经检验13x+4y=35这个不定方程确实无自然数解．所以红笔的单价为13元．【答案】13。

奥数之解线性方程组

奥数之解线性方程组

奥数之解线性方程组解奥数线性方程组奥数是小学生学习的一门课程，其中包括解线性方程组。

线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组。

解决线性方程组的问题是找到一个或一组变量的值来使得方程组成立。

解决线性方程组的方法有很多，其中包括矩阵法、高斯消元法、克莱姆法等多种方法。

矩阵法矩阵法是解决线性方程组的一种方法。

矩阵法是将所有方程的系数和常数写成一个矩阵，然后通过对矩阵进行一些变换，最终得到方程组的解。

当方程的个数和未知数的个数相等时，利用矩阵法解决线性方程组是最常用的方法。

例如，有线性方程组：2x - 3y = -54x + y = 29将系数和常数写成矩阵的形式，得到：| 2 -3 | |x| |-5|| 4 1 | x |y| = |29|通过高斯消元法或其他方法对矩阵进行变换后，得到解x=7，y=3。

高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的另一种方法。

高斯消元法先将线性方程组进行初等变换，将其转化为一个上三角矩阵，然后再通过回代，求出方程组的解。

例如，有线性方程组：2x - 3y = -54x + y = 29通过初等变换，将方程组转化为上三角矩阵的形式：| 2 -3 | |x| |-5|| 0 13 | x |y| = |39|通过回代，求出解x=7，y=3。

克莱姆法克莱姆法是解决线性方程组的一种方法。

克莱姆法利用向量的概念，通过求出方程组系数矩阵的行列式和各个未知数的系数矩阵的行列式，最终求出方程组的解。

例如，有线性方程组：2x - 3y = -54x + y = 29通过克莱姆法，求出方程组的解：x = | -5 -3 | | 29 -3 || 29 1 | / | 2 4 | = 7y = | 2 -5 | | 2 29 || 4 1 | / | -5 1 | = 3需要注意的是，克莱姆法只适用于未知数个数等于方程个数的线性方程组。

综上所述，解决线性方程组的方法有很多种，包括矩阵法、高斯消元法、克莱姆法等。

6年级奥数方程组问题例题解析

6年级奥数方程组问题例题解析

【内容概述】求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题．解题秘诀：解不定方程的题一般可利用三个方面的性质求解。

整除性（如果不定方程的未知数的系数与方程右边的常数项的最大公约数不为1，那么利用整除性解题最简单）被5整除的特点（因为能被5整除的数的末位都为0或者5，所以按5的整除特点来解题也比较简单）如果前两项都不满足条件，那我们就只能按奇偶性来解题。

补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，读者可参考五年级下学期第15讲《余数问题》．解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解．【例题】1．甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?[分析与解]设购买甲级铅笔x支，乙级铅笔y支，有7x+3y＝50我们观察，整除性不满足条件，被5整除的特点也找不着，所以我们就只能利用奇偶性了。

2．将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米?[分析与解]设36厘米的短管有x根，24厘米的短管有y根，则由题意得36x+24y=374 24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，总长度必是12的倍数，但374被12除余2，所以截完以后必有剩余，剩余管料长不小于2厘米．另一方面，374＝27×12+4×12+2，而36÷12＝3，24÷12＝2，有3×9+2×2＝31，即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米．因此剩余部分的管子最少是2厘米．3．有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同．每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片．画片只有两种：3分一张和5分一张．每人都尽量多买5分一张的画片．问他们所买的3分画片的总数是多少张?[分析与解]钱数除以5余0，1，2，3，4的人，分别买0，2，4，1，3张3分的画片．因此，可将钱数8分至5角2分这45种分为9组，每连续5个在一组，每组买3分画片0+2+4+1+3＝10张，9组共买10×9＝90张，去掉5角1分钱中买的2张3分画片，5角2分中买的4张3分画片，43个人买的3分画片的总数是90－2－4＝84张．4．小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封l角，挂号信每封2角，她共用了l元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?图4-1[分析与解]设B 、C、D、E、A商品依次买了b、c、d、e、(10－b－c－d －e)件，则有2.9(10－b－c－d－e)+4.7b+7.2c+10.6d+14.9e＝60．18b+43c+77d+120e＝310，显然e只能取0，1，2．Ⅰ．当e＝0时，有18b+43c+77d＝310，其中d可取0，1，2，3，4．(1)．当d＝0时，有18b+43c＝310，无整数解(2)．当d＝1时有18b+43c＝233，满足条件(3)．当d＝2时，无整数解(4)．当d＝3时有18b+43c＝79，满足条件(5)．当d＝4时，有18b+43c＝2，显然不满足．Ⅱ．当e＝1时,有18b+43c+77d＝190，其中d可以取0、1、2．(1)．当d＝0时，有18b+43c＝190，满足条件(2)．当d＝1时，有18b+43c＝113，无整数解(3)．当d＝2时，有18b+43c＝36，显然有满足条件7．有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元？[分析与解]8．设A和B都是自然数，并且满足，那么，A+B等于多少?[分析与解]将等式两边通分，有，则有3A+11B＝17，显然只有B＝1，A＝2时满足，此时A+B＝2+1＝3．9．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?[分析与解]设这个两位数为，则数字和为a+b，这个数可以表达为10a+b，有(10a+b)÷(a+b)＝4．即，亦即b＝2a．注意到a和b都是0到9的整数且a不能为0，因此a只能为1、2、3或4，相应地b的取值为2、4、6、8．综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是12、24、36和48．10．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有13的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?[分析与解]设男职工x人，女职工y人，则孩子为13（x+y）人那么有13x+10y+13（x+y）×6＝216，化简为15x+12y＝216，即5x+4y=724是72的约数，则x也应该是4的倍数，那么我们由，，但是，孩子的个数为13（x+y）必须为自然数，即（x+y）必须是3的倍数所以只能当时满足．那么男职工数只能为12名．11．哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和．”试将168表示成两个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是1．[分析与解]个位数字是1的两位质数有11，31，41，61，71．其中168－11＝157，168－31＝137，168－41＝127，168－61＝107，都不是两位数，只有168－71＝97是两位数，而且是质数，所以168＝71+97是唯一解．12．(1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少?(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少？13．一居民要装修房屋，买来长0.7米和0.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：0.7+0.7＝1.4米，0.7+0.8＝1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?[分析与解]设有0.7米，0.8米两种木条分别x，y根，则0.7x+0.8y＝3.6，3.7，…有7x+8y＝34，36，37，38，39当时，7x+8y＝36，当时，7x+8y＝37，当时，7x+8y＝38，当时，7x+8y＝39。