《分式的加减(1)》教案

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15.2 分式的运算

15.2.2 分式的加减第1课时

一、教学目标

（一）学习目标

1.理解分式的加减法法则，体会类比思想.

2.熟练地进行同分母的分式加减法的运算.会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减,体会化归思想.

3.熟练地进行分式加减法的运算.

（二）学习重点

熟练地进行异分母的分式加减法的运算.

（三）学习难点

熟练地进行异分母的分式加减法的运算.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）同分母方式相加减，分母不变，把分子相加减，用式子表示为：ababccc

（2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.

用式子表示为：ba±dc=bdbcad.

2.预习自测

(1)计算: 22(b)(b)22aaabab

【知识点】同分母分式的加减法.

【解题过程】222222(b)(b)=2(2b)(2b)2422aaabaabaabababab解：原式

【思路点拨】分母不变，分子加减，注意：分子进行加减时，分子是多项式的时候要把它看成 2 / 21

一个整体，一定要带括号再用加减号连接.

【答案】2.

(2)计算：22111aaa

【知识点】同分母分式的加减法.

【数学思想】化归的数学思想.

【解题过程】2221=111111aaaaaa解：原式

【思路点拨】把221111aa变形为.

【答案】11a.

（3）计算：23211xxx

【知识点】分式的加减法法则.

【数学思想】化归的数学思想.

【解题过程】32(x1)=(x1)(x1)(x1)(1)32(x1)(x1)(x1)1(x1)(x1)11xxxxx解：原式

【思路点拨】最简公分母为(x1)(x1).

【答案】11x.

(4)计算：422mm

【知识点】分式的加减法法则.

【数学思想】化归的数学思想和整体的数学思想. 3 / 21

【解题过程】

22224+2=214(+2)=224(+2)244m42+4m2mmmmmmmmmmm解：原式

【思路点拨】+22.1mm把转化成

【答案】2+4m2mm

(二)课堂设计

1.知识回顾

（1）计算：222222(nm)(mn)mnmnmnm

【答案】2mnnm

（2）3455______ 3465______

【答案】.101357；

（3）分数的加减法法则是什么？

2.问题探究

探究一 分式的加减法法则

●活动①（回顾旧知，回忆类活动）

问题1:

甲工程队完成一项工程需n天,乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程,两队共同工作一天完成这项工程的几分之几?

教师提出问题，学生独立思考并完成.如果学生存在问题，教师可适时启发，具体问题如下：

（1）甲工程队一天完成这项工程的1n 4 / 21

（2）乙工程队一天完成这项工程的13n

（3）两队共同工作一天完成这项工程的113nn

问题2：2010年,2011年,2012年某地的森林面积(单位：公顷)分别是S1，S2，S3，2012年与2011年相比,森林面积增长率提高了多少?

教师提出问题，学生独立思考并完成.如果学生存在问题，教师可适时启发，具体问题如下：

（1）什么是增长率？

学生回答，然后展示答案：就是增加的数额与原来的数额的比例关系.

（2）2012年的森林面积增长率是多少？

学生在课堂作业本上完成，然后展示答案：322sss

（3）2011年的森林面积增长率是多少？

学生在课堂作业本上完成，然后展示答案：211sss

（4）2012年与2011年相比,森林面积增长率提高了

学生在课堂作业本上完成，然后展示答案：322121ssssss

【设计意图】通过两个实际问题，说明分式的加减有着丰富的实际背景，为引出分式的加减法做铺垫.

●活动②（整合旧知，探究类活动）

问题3：分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同.观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？

同分母1255？ 1255?

异分母1123？ 1123？

学生回答问题，相互补充，在教师的引导下，学生给出分数的加减法法则，再通过类比得出分式加减法法则：“同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减”.

老师提问：你能用式子表示分式加减法法则吗？学生相互交流，然后师生归纳： 5 / 21

同分母：ababccc

异分母：acadbcadbcbdbdbdbd

【设计意图】从学生已有的数学经验出发，经历由分数的加减法法则到分式加减法法则的类比过程，感悟分式的通性，体会类比方法在解决数学问题时的重要价值.

探究二 同分母的分式加减法的运算，会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减.

●活动①计算：（1）2222532xyxxyxy

【知识点】分式的加减法法则

【解题过程】

解：原式22532xyxxy

3=.xy

【思路点拨】同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.

【答案】3xy

（2）22222253358abababababab

【知识点】分式的加减法.

【解题过程】

解：原式2222(53)(35)(8)abababab

222253358abababab22ababab

【思路点拨】同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.

【答案】ba

（1）题由师生共同分析、解答，教师板书，（2）由学生独立完成.

教师提问：在上面的解题中要注意哪些问题？学生自我总结，发表心得，然后结合上面试题（2）进行归纳，总结如下： 6 / 21

分子为多项式时，应把多项式看作一个整体加上括号参加运算；结果也要约分化成最简分式.

【设计意图】通过练习使学生进一步理解同分母的加减法法则，会用它们进行简单的分式的加减运算.

●活动2 （1）请同学们说出2243291,31,21xyyxyx的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？

先由学生回答，然后展示答案：18x4y3

让学生分组讨论找最简公分母的方法，然后每一组安排代表交流，最后由师生归纳学习成果：

①找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数.

②找字母：凡各分母因式中出现的所有字母都要选取.

③找指数：取分母因式中出现的所有字母中指数最大的.

（2）请同学们说出222111abaabab的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？（学生分组讨论）

让学生分组讨论，老师巡查各组完成情况，对个别组进行引导，每一个组安排代表发言，最后师生归纳学习成果：最简公分母为a（a-b）（a+b）；分母是多项式时，先把分母进行因式分解.

同学们分组讨论归纳确定最简公分母的一般步骤，老师到各组指导，然后分组交流讨论结果.

确定最简公分母的一般步骤：

①找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数.

②找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取.

③找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数最大的.

这样取出的因式的积，就是最简公分母.

【设计意图】归纳确定最简公分母的方法，为异分母相加减做铺垫.

●活动③计算：1133-x-x

教师提问：

（1）此题与活动①有什么区别？

活动①中的分母相同，此题分母不相同.

（2）此题怎么运算？ 7 / 21

先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式.

师生共同完成，教师板书解答过程：

解：原式3-3-(-3)(3)(-3)(3)xxxxxx

(3)-(-3)3-3xxxx3333x+-x+=x+x-26-9x；

【设计意图】学生经历将异分母分式化归为同分母分式的过程，体会化归的作用.

●活动④你能用本节课所学知识解决“问题1”和“问题2”吗？

学生在作业本上完成，教师巡视并指导，师生交流.

113233(3)(3)(3)nnnnnnnnnnn

22321321312212132212212112121212()()()()ssssssssssssssssssssssssssssss

【设计意图】通过这个练习，让学生应用分式的加减法法则解决简单的实际问题，并体会到分式的加减法在解决实际问题中的重要作用.

探究三 分式加减法的运算

●活动①（基础型例题）

我们讲了分式的加减法法则，运用法则进行分式的加减运算.

例1计算：2222223223yxyxyxyxyxyx

【知识点】同分母分式的加减法.

【解题过程】

解：2222223223yxyxyxyxyxyx

=22)32()2()3(yxyxyxyx

=2222yxyx

=))(()(2yxyxyx

=yx2 8 / 21

【思路点拨】分母不变，分子加减，注意：分子进行加减时，分子是多项式的时候要把它看成一个整体，一定要带括号再用加减号连接.

【答案】yx2

练习：2222222abbababab

【知识点】同分母分式的加减法.

【解题过程】

222=abbab解：原式22abab1ab

【思路点拨】分母不变，分子加减，结果也要约分化成最简分式.

【答案】1ab

例2计算：222222222xyxyxyyxxy

【知识点】分式的加减法法则.

【数学思想】化归的数学思想.

【解题过程】

222222222=+xyxyxyxyxy解：原式

2222x+2xy+y=xy

=2(xy)x（-y）(x+y)

xyxy

【思路点拨】把22yx变形成22-xy（）.

【答案】xyxy

练习：2222242aaabbaabbaab

【知识点】分式的加减法法则.