机械振动分析与应用作业二

实际背景：汽车拖车在凹凸不平的道路上行驶，车身颠簸得厉害，容易损坏机件，甚至驾驶员失去对方向的控制而发生危险。

汽车可能有的振源 ：第一，发动机非均匀运动，或发动机与车体的共振；第二，路面不平，地面对车轮的作用。

由于振动，使得汽车的车体发生共振，所以，汽车的共振频率检测是振动工程中一项重要的技术。

除了了解车体的振动情况外，主要要掌握各种不同路面的路况谱，这可通过实地检测而获得。

根据路况谱可计算出车在行驶过程中所受到的作用力F ，并根据车体模型通过计算选出阻尼c 与弹性k 。

由于F 很复杂，可能有多种频率或方向的成分，因此，可能要用多个c 与k 。

现将实际问题转化为数学模型，求振幅比。

汽车的拖车在波形道路上行驶，已知拖车的质量满载时为 1000kg =m 1，空载时为 kg 250m 2=，悬挂弹簧的刚度为kN/m 350=k ，阻尼比在满载时为5.01=ζ，车速为 km/h 100= v ，5m =l ，路面呈正弦波形，可表示为l z a x f π2sin =。

求： 拖车在满载和空载时的振幅比？f z解： 由公式：lz a x f π2sin=得 汽车行驶的路程可表示为：vt z =t lv a x f π2sin = 路面的激励频率：s rad l v /9.342==πω 得：km c c cr ξξ2== c 、k 为常数，因此 ξ 与m 成反比， 因此得到空载时的阻尼比为： 0.12112==m m ξξ 满载和空载时的频率比： 87.11011===km s ωωω 93.02022===k m s ωωω 因为有：km c cr 2= 02ξω=mc 所以当：满载时阻尼比5.01=ξ空载时阻尼比0.12=ξ 满载时频率比87.11=s 空载时频率比93.02=s 记：满载时振幅 1B ，空载时振幅2B 有：68.0)2()1()2(12112212111=+-+=s s s a B ζζ13.1)2()1()2(12222222222=+-+=s s s a B ζζ 因此满载和空载时的振幅比： 60.021=B B。

1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度？解：前轴或后轴垂直振动的振动模型简图为图1.2所示，此时汽车振动简化为二自由度振动系统。

2m 为非悬架质量，1m 为悬架质量1. 3设有两个刚度分别为21,k k 的线性弹簧如图T-1.3所示， 试证明：1）它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq +=2）它们串联时的总刚度eq k 为：21111k k k eq +=证明：1) 如图T-1.3(a)所示，21,k k 两个弹簧受到力的作用，变形相同， 即2211k F k F k F eq ==, 而F F F =+21，故有 F F k kF k k eq eq =+21, 从而 21k k k eq +=2）如图T-1.3(b)所示，21,k k 两个弹簧受到相同的力作用 即∆=∆=∆=eq k k k F 2211 （1）且21∆+∆=∆ （2）由（1）和（2）有：)(21k Fk F k F eq += （3） 由（3）得:21111k k k eq += 1.8证明：两个同频率但不同相角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动，即)cos()cos(cos θωϕωω-=-+t C t B t A ，并讨论ϕ=0，ππ,2三种特例。

证明：因t B t B t B ωϕωϕϕωsin sin cos cos )cos(+=-从而有t B t B A t B t A ωϕωϕϕωωsin sin cos )cos ()cos(cos ++=-+令 ()ϕϕϕθ222sin cos sin sin B B A B ++=则()[]t t B B A t B t A ωθωθϕϕϕωωsin sin cos cos sin cos )cos(cos 222+++=-+=())cos(sin cos 222θωϕϕ-++t B B A令C=()ϕϕ222sin cos B B A ++，则有 )cos()cos(cos θωϕωω-=-+t C t B t A当ϕ=0时，C=A+B ；当ϕ=2π时，22B A C +=，22BA arcsin +=B θ ；当ϕ=π时，B A -=C ，0=θ1.13汽车悬架减振器机械式常规性能试验台，其结构形式之一如图T-1.13所示。

θ
由题意可得，质心的速度为：
v ( R r )
又由于圆盘的速度等于质心的速度，故有
v盘 v ( R r )
故有： 则系统的动能为：
盘
v盘 R r r r
Ek
1 2 1 2 1 1 1 Rr 2 2 2 mv J盘 mR - r ( mr 2 )( ) 2 2 2 2 2 r
cx kx p(t ) m x
带入数据后可得,该系统运动方程为：
400 x 17000 x 240 sin 3t 0 275 x
（2）由（1）可知，系统的固有频率为：
n
系统的阻尼比为：
k 17000 7.862rad / s m 275
2
1 . 1 9 9 4 1m 0
h tan 1
故有：
2 1 2 0.0925 1.199 tan 2.67 rad 2 2 1 1 1.199
xu hu pu 1.199 104 240 0.0288 m
因此，系统的稳态响应为：
I 0 a k1 a l k2 l 0
整理可得，系统运动方程为： 1 2 ml (a 2 k1 l 2 k2 ) 0 3 （2）由系统运动微分方程，求固有频率：
n
keq meq
a 2 k1 l 2 k2
3(a 2 k1 l 2 k2 ) 1 2 ml 3 ml 2
对于激励 p2 (t ) ，求其阻尼比
2
p 2 0.7992 n 7.862
2
对应的频响函数的幅值和相位角分别为：
hu 2
1 1 k (1 22 )2 (22 )2 1 1 17000 (1 0.79922 )2 (2 0.0925 0.7992) 2

（1）P gk m k w n ==则 gkP w T n ππ22== （2）根据能量守恒，有h g g P v g P ⋅⋅=⋅⋅2021 则 gh v 20=弹簧处于平衡位置时，其压缩量满足：0sin kx P =⋅α 则 kP x αsin 0⋅= ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=αα22.22.020sin 22sin k P h k P P gk gh k P w x x A n 2-2解：设弹簧原长为r ，且当物体处于平衡位置时，弹簧的伸长量为0l ，则 ()1)(020l r mw kl += 物体便宜平衡位置x 时，则()2)()(020x l r mw x l k x m ++++-=∙∙将()1带入()2，得0)(2=-+∙∙x mw k x m 则 222w m k m mw k w n-=-=根据动量矩定理，有l mg kxa ml ⋅-=∙∙θθsin 2 又()()3sin 2θθθ≈=a x 联立()()()321得：22ml ka mgl w n -= 则 222221212121l m kagl m l m ka gl m w w f f n n --==代入Hz f kg m Hz f kg m 75.0,2;5.1,12211====，得：gl ka 32=所以，当系统为不稳定状态时，有2ka gl m s = 即kg m s 3=2-9解：假设物体受一个F 的力，则有Fl l F a F B ==1 即aFl F =1 22221111k F k F x a k Fl k F x ====2121ak Fl a l x x B ==22122k F a k Fl x x x B m +=+= 则 221212212⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==a l k k k k k F a k Fl F x F k m 则 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+==22121a l k k m k k m k wn2-19解： a)cm s N cm s N v F c d /21.3/05.38.9∙=∙== b)091.08.998031360210021.322≈⨯⨯⨯===k g W c mk c ζ 3-25解：a ）159.08.9392003.3782392220≈⨯⨯====g Wk c mk c c c ζ b ）s rad s rad w w s rad s rad W kg m k w n d n 46.31867.31159.011867.313.3788.93920022=⨯-=-==⨯===ζc ）012.1159.01159.021222≈-⨯=-=πζπζδd ）T i i x x +=ln δ，则75.2012.1===+e e x x Ti i δ 2-31解：s rad s rad m k w n 9.4200048020===m s N m s N mw c n /19600/9.42000220∙=∙⨯⨯==1.01960019600===c c ζ srad s rad w w n d 8754.49.41.01122=⨯-=-=ζ s rad s rad w n 49.09.41.0=⨯=ζ∴系统自由振动时的位移方程为：()()()()()ϕϕϕϕζ+++-=+=+=--∙--t Ae t Ae t x t Ae t w Ae t x t t t d t w n 88.4cos 88.4)88.4sin(49.088.4sin sin 49.049.049.0又∵()()sm A A x A x 03.0cos 88.4sin 49.000sin 0=+-===∙ϕϕϕ∴0,6148.0==ϕcm A∴()t e t x t 88.4sin 6148.049.0-= 当288.4π=t 时，即s t 32.0=时，达到最大振幅，最大振幅为：cm cm e x 526.06148.032.049.0m ax =⨯=⨯-2-40解：a ）16.01096.119622.627240=⨯⨯⨯===mk c c c ζ s rad s rad m k w n 101961096.14=⨯== 11010===n w w r m m k F X 3401081096.18.156-⨯=⨯==()()()()125.3116.02111211222222=⨯⨯+-=+-=r r M ζ∵M X X =0∴cm m MX X 5.2108125.330=⨯⨯==- b) πππ====10102n n w f w w r ()()()()112.016.0211211222222=⨯⨯+-=+-=ππζr r Mc) πππ310302====n n w f w w r ()()()[]()0114.0316.02311211222222=⨯⨯+-=+-=ππζr r M2-41解：a ）若0=c ，则0=ζ()2211r M -=又s rad w /10=时，1=r∴∞==∞=0MX X Mb ）若0=c ，则0=ζ，又π=r()()113.011112222=-=-=πr M c ）若0=c ，则0=ζ，又π3=r ()()[]0113.0311112222=-=-=πr M阻尼的影响：阻尼会减小振幅；当激励频率与系统频率接近时，阻尼对振幅影响大；当激励频率与系统频率相差较大时，阻尼对振幅的影响不大。