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第二章推理和证明章末测试

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高中新课标选修（2-2）推理与证明综合测试题（文理合用）一、选择题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ）Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 3．在ABC △中，s in s in c o s c o s A C A C >，则ABC △一定是（ ）Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ）Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥，（2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确6．观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，，则可归纳出式子为（ ）Ａ．22211111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n-++++<≥ Ｄ．22211121(2)2321n n n n ++++<+≥ EF AB ∥，EF 到7．如图，在梯形ABCD 中，()AB DC AB a CD b a b ==>，，∥．若CD 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出：ma mbEF m m+=+．试用类比的方法，推想出交于O 点，设下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD BC ，相的距离之比为OAB △，OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与AB:m n ，则O E F △的面积0S 与12S S ，的关系是（ ）Ａ．120mS nS S m n+=+Ｂ．120nS mS Sm n +=+=8．已知a b ∈R ，，且2a b a b ≠+=，，则（ ）Ａ．2212a b ab +<<Ｂ．2212a b ab +<<Ｃ．2212a b ab +<<Ｄ．2212a b ab +<<9．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ） Ａ．假设a b c ，，都是偶数 Ｂ．假设a b c ，，都不是偶数Ｃ．假设a b c ，，至多有一个是偶数 Ｄ．假设ab c ，，至多有两个是偶数10．a b ，应满足的条件是（ ） Ａ．0ab <且a b > Ｂ．0ab >且a b >Ｃ．0ab <且a b <Ｄ．0ab >且a b >或0ab <且a b <（理）用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)nn n n n n +++=-····，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为（ ） Ａ．21k + Ｂ．2(21)k + Ｃ．211k k ++ Ｄ．231k k ++ 11．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，()2x x a a S x --=，()2x xa a C x -+=，其中0a >，且1a ≠，下面正确的运算公式是（ ） ①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-； ③()()()()()C x y C x C y S x S y +=-； ④()()()()()C x y C x C y S x S y -=+；Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．①②③④ 12．正整数按下表的规律排列则上起第2005行，左起第2006列的数应为（ ） Ａ．22005 Ｂ．22006Ｃ．20052006+Ｄ．20052006⨯二、填空题1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 20 25 24 232213．写出用三段论证明3()sin ()f x x x x =+∈R为奇函数的步骤是 ． 14．（文）在数列{}n a 中，12a =，1()31n n n a a n a *+=∈+N ，可以猜测数列通项n a 的表达式为 ．（理）已知111()1()23f n n n *=++++∈N ，用数学归纳法证明(2)2n nf >时，1(2)(2)k k f f +-等于 ． 15．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为 ． 16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第n 个图有n a 个树枝，则1n a +与(2)n a n ≥之间的关系是 ． 三、解答题17．如图（1），在三角形ABC 中，A B A C ⊥，若A D B C ⊥，则2A B B D B C =·；若类比该命题，如图（2），三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形B C D 所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是否是真命题．18．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M N ，分别是A B P C，的中点． 求证：（1）MN ∥平面PAD ；（2）MN CD ⊥．19．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．20．已知实数a b c d ，，，满足1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证a b c d ，，，中至少有一个是负数．21．设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >，且1a ≠）．（1）523=+请你推测(5)g 能否用(2)(3)(2)(3)f f g g ，，，来表示； （2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．22．)a b c ++． 22．（理）若不等式111123124an n n +++>+++对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．高中新课标选修（2-2）推理与证明综合测试题与祥答一、选择题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ）Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件答案：Ａ2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数答案：Ｃ3．在ABC △中，s in s in c o s c o s A C A C >，则ABC △一定是（ ）Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定答案：Ｃ4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ）Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+答案：Ｂ5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥，（2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确答案：Ｄ6．观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，，则可归纳出式子为（ ）Ａ．22211111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -++++<≥ Ｄ．22211121(2)2321n n n n ++++<+≥答案：ＣEF AB ∥，EF 到7．如图，在梯形ABCD 中，()AB DC AB a CD b a b ==>，，∥．若CD 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出：ma mbEF m m+=+．试用类比的方法，推想相交于O 点，设出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD BC ，AB 的距离之比为O A B △，OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与:m n ，则O E F △的面积0S 与12S S ，的关系是（ ）Ａ．120mS nS S m n +=+Ｂ．120nS mS Sm n +=+答案：Ｃ8．已知a b ∈R ，，且2a b a b ≠+=，，则（ ）Ａ．2212a b ab +<<Ｂ．2212a b ab +<<Ｃ．2212a b ab +<<Ｄ．2212a b ab +<<答案：Ｂ9．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ） Ａ．假设a b c ，，都是偶数 Ｂ．假设a b c ，，都不是偶数 Ｃ．假设ab c ，，至多有一个是偶数Ｄ．假设a b c ，，至多有两个是偶数答案：Ｂ10成立，则a b ，应满足的条件是（ ）Ａ．0ab <且a b > Ｂ．0ab >且a b >Ｃ．0ab <且a b <Ｄ．0ab >且a b >或0ab <且a b <答案：Ｄ10．（理）用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为（ ）Ａ．21k + Ｂ．2(21)k +Ｃ．211k k ++ Ｄ．231k k ++答案：Ｂ11．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，()2x x a a S x --=，()2x xa a C x -+=，其中0a >，且1a ≠，下面正确的运算公式是（ ） ①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-； ③()()()()()C x y C x C y S x S y +=-； ④()()()()()C x y C x C y S x S y -=+；Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．①②③④答案：Ｄ12．正整数按下表的规律排列则上起第2005行，左起第2006列的数应为（ ） Ａ．22005 Ｂ．22006Ｃ．20052006+Ｄ．20052006⨯答案：Ｄ二、填空题13．写出用三段论证明3()sin ()f x x x x =+∈R为奇函数的步骤是 ．答案：满足()()f x f x -=-的函数是奇函数， 大前提 333()()sin()sin (sin )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-， 小前提所以3()sin f x x x =+是奇函数． 结论14．在数列{}n a 中，12a =，1()31nn n a a n a *+=∈+N ，可以猜测数列通项n a 的表达式为 ．答案：265n a n =- 14．已知111()1()23f n n n *=++++∈N ，用数学归纳法证明(2)2n nf >时，1(2)(2)k kf f +-等于 ． 答案：111121222k k k ++++++15．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为 ．答案：三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第n 个图有n a 个树枝，则1n a +与(2)n a n ≥之间的关系是 ．答案：122n n a a +=+三、解答题17．如图（1），在三角形ABC 中，A B A C ⊥，若A D B C ⊥，则2A B B D B C =·；若类比该命题，如图（2），三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形B C D 所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是否是真命题．解：命题是：三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有2ABC BCMBCD S S S =△△△·是一个真命题． 证明如下：在图（2）中，连结DM ，并延长交BC 于E ，连结AE ，则有D E B C ⊥． 因为AD ⊥面ABC ，，所以AD AE ⊥． 又AM DE ⊥，所以2A E E M E D =·．1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 20 25 24 23 22于是22111222A B CB C MB C DS BC AE BC EM BC ED S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△△△·····．18．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M N ，分别是A B P C ，的中点． 求证：（1）MN ∥平面PAD ；（2）MN CD ⊥．证明：（1）取PD 的中点E ，连结A E N E ，． N E ，∵分别为P C P D ，的中点．EN ∴为PCD △的中位线，12EN CD ∥∴，12AM AB =，而ABCD 为矩形， CD AB ∴∥，且C D A B =．EN AM ∴∥，且E N A M =．AENM ∴为平行四边形，M N A E ∥，而MN ⊄平面PAC ，AE ⊂平面PAD ， MN ∴∥平面PAD ．（2）PA ⊥∵矩形ABCD 所在平面，CD PA ⊥∴，而C D A D ⊥，PA 与AD 是平面PAD 内的两条直交直线， CD ⊥∴平面PAD ，而AE ⊂平面PAD ， AE CD ⊥∴．又MN AE ∵∥，MN CD ⊥∴．19．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．证明：（分析法）设圆和正方形的周长为l ，依题意，圆的面积为2π2πl ⎛⎫ ⎪⎝⎭·， 正方形的面积为24l ⎛⎫⎪⎝⎭．因此本题只需证明22π2π4l l ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．要证明上式，只需证明222π4π16l l >，两边同乘以正数24l，得11π4>．因此，只需证明4π>．∵上式是成立的，所以22π2π4l l ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．20．已知实数a b c d ，，，满足1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证a b c d ，，，中至少有一个是负数．证明：假设a b c d ，，，都是非负实数，因为1a b c d +=+=，所以a b c d ，，，[01]∈，，所以2a c ac +，2b cbd +， 所以122a cb dac bd ++++=≤， 这与已知1a c b d +>相矛盾，所以原假设不成立，即证得a b c d ，，，中至少有一个是负数．21．设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >，且1a ≠）．（1）523=+请你推测(5)g 能否用(2)(3)(2)(3)f f g g ，，，来表示； （2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．解：（1）由3332332255(3)(2)(3)(2)22221a a a a a a a a a a f g g f -----+--+-+=+=··，又55(5)2a a g --=，因此(5)(3)(2)(3)(2)g f g g f =+． （2）由(5)(3)(2)(3)(2)g f g g f =+，即(23)(3)(2)(3)(2)g f g g f +=+，于是推测()()()()()g x y f x g y g x f y +=+．证明：因为()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（大前提）．所以()()2x y x y a a g x y +-+-+=，()2y y a a g y --=，()2y ya a f y -+=，（小前提及结论）所以()()()()()()22222x x y y x x y y x y x y a a a a a a a a a a f x g y g x f y g x y ----+-++--+-+=+==+··．22)b c ++．证明：因为222a b ab +≥，所以22222()2a b a b ab +++≥（此处省略了大前提），)b a b ++（两次省略了大前提，小前提），)2b c +)2c a >+，)b c ++． （省略了大前提，小前提）22．若不等式111123124an n n +++>+++对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．解：当1n =时，11111123124a ++>+++，即262424a>， 所以26a <．而a 是正整数，所以取25a =，下面用数学归纳法证明：11125123124n n n +++>+++． （1）当1n =时，已证；（2）假设当n k =时，不等式成立，即11125123124k k k +++>+++． 则当1n k =+时，有111(1)1(1)23(1)1k k k +++++++++111111112313233341k k k k k k k =++++++-+++++++ 251122432343(1)k k k ⎡⎤>++-⎢⎥+++⎣⎦． 因为2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++， 所以2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++，所以112032343(1)k k k +->+++． 所以当1n k =+时不等式也成立． 由（1）（2）知，对一切正整数n ，都有11125123124n n n +++>+++， 所以a 的最大值等于25．。

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高中数学 第二章 推理与证明A章末测试 新人教A版选修1-2(2021年最新整理)

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高中数学第二章推理与证明A章末测试新人教A版选修1—2（基础过关卷)（时间：90分钟满分：100分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,共50分）1．下面说法正确的有（）①演绎推理是由一般到特殊的推理;②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”形式;④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．观察图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（)A．■ B．△ C．□ D．○3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设（）A．三角形的三个内角都不大于60°B．三角形的三个内角都大于60°C．三角形的三个内角至多有一个大于60°D．三角形的三个内角至少有两个大于60°4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面（)A．各正三角形内任一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点5．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内的所有直线；已知直线b 平面α，a平面α，直线b∥平面α,则直线b∥直线a”,这个结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误6．设f0（x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x），f2（x)＝f′1(x），…，f n＋1(x）＝f′n（x），n∈N ＊，则f(x）等于( )2 015A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x7．按照如图所示的三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是（）CH4 C2H6 C3H8A．C4H9 B．C4H10C．C4H11 D．C6H128．设a，b为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是( ）A．若a，b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若aα，bβ，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b9．若函数f(x）＝x2－2x＋m(x∈R)有两个零点，并且不等式f(1－x)≥－1恒成立,则实数m的取值范围为（）A．（0，1） B．［0，1）C．(0，1] D．［0,1]10．已知x＞0，不等式x＋错误!≥2，x＋错误!≥3，x＋错误!≥4，…，可推广为x＋错误!≥n ＋1,则a的值为( )A．n2 B．n n C．2n D．22n－2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．观察数列错误!，3，错误!,错误!，3错误!,…，写出该数列的一个通项公式为__________．12．如图所示，4个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐1,2,3,4号座位，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位,第3次前后排动物互换座位,…，这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔坐在________号座位上．13．已知函数f(x)＝x3＋x,a，b,c∈R，且a＋b＞0，b＋c＞0，c＋a＞0，则f(a)＋f(b）＋f（c)的值一定比零__________(填“大”或“小”）．14．观察：错误!＋错误!＜2错误!；错误!＋错误!＜2错误!；错误!＋错误!＜2错误!;….对于任意正实数a,b,试写出使错误!＋错误!≤2错误!成立的一个条件可以是________．15．观察下图:错误!则第__________行的各数之和等于2 0152。

部编版2020高中数学 第2章 推理与证明章末小结与测评学案 苏教版选修1-2

部编版2020高中数学 第2章 推理与证明章末小结与测评学案 苏教版选修1-2

第2章推理与证明一、合情推理和演绎推理1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法：(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．2．间接证明主要是反证法：反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．(考试时间：120分钟试卷总分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．(新课标Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．答案：A2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________________________________________________________________________．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积．故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大．答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)①演绎推理是由一般到特殊的推理②演绎推理得到的结论一定是正确的③演绎推理的一般模式是“三段论”形式 ④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．(陕西高考)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是_________________．解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝25．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶86．设函数f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．解析：∵f (x )＝12x＋2，f (1－x )＝121－x ＋2＝2x2＋2·2x ＝12·2x2＋2x .∴f (x )＋f (1－x )＝1＋12·2x2＋2x＝22， 发现f (x )＋f (1－x )正好是一个定值， ∴2S ＝22×12.∴S ＝3 2.答案：3 27．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________________________________________________________________________．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心8．已知x ，y ∈R ＋，当x 2＋y 2＝________时，有x 1－y 2＋y 1－x 2＝1. 解析：要使x 1－y 2＋y 1－x 2＝1， 只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y 1－x 2， 即2y 1－x 2＝1－x 2＋y 2. 只需使(1－x 2－y )2＝0， 即1－x 2＝y ，∴x 2＋y 2＝1. 答案：19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝S 1＋S 2＋…＋S nn，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理想数”．已知数列a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2 004，那么数列3，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为________．解析：由题意知T 500＝2 004＝S 1＋S 2＋…＋S 500500，则T 501＝3＋（S 1＋3）＋（S 2＋3）＋…＋（S 500＋3）501＝500×2 004＋3×501501＝2 003.答案：2 003 10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP ―→＝mOA ―→＋nOB ―→ (m ，n ∈R )，则14是m 2，n 2的等差中项；现有一椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，若OP ―→＝mOA ―→＋nOB ―→ (m ，n ∈R )，则m 2，n 2的等差中项为________．解析：如图，设P (x ，y )，由x 2a 2＋y 2b2＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，由OP ―→＝mOA ―→＋nOB ―→可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（m －n ）a ，y ＝（m ＋n ）b ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，所以m 2＋n 22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14.答案：1411．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________．解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案：1412．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋axn ≥n ＋1，则a 的值为________．解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋nnxn ≥n ＋1，故a ＝n n.答案：n n13．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1，2，3，…)，则第n 个图形中共有______________个顶点．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点， 则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…，a n －2＝n ＋n ·n ，a n ＝(n ＋2)2＋n ＋2＝n 2＋5n ＋6.答案：n 2＋5n ＋614．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n ，4)＝n 2， 五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________．解析：N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k }是以12为首项，－12为公差的等差数列；所以N (n ，24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10，24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 000二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立，又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4.(当a ＝12，b ＝12时等号成立)∴1a ＋1b ＋1ab≥8.16．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15n(n ∈N *)，若T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，b n ＝6T n －5na n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{b n }的通项公式．解：因为T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，①所以5T n ＝a 1·5＋a 2·52＋a 3·53＋…＋a n －1·5n －1＋a n ·5n，②由①＋②得：6T n ＝a 1＋(a 1＋a 2)·5＋(a 2＋a 3)·52＋…＋(a n －1＋a n )·5n －1＋a n ·5n＝1＋15×5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152×52＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15n －1×5n －1＋a n ·5n＝n ＋a n ·5n， 所以6T n －5n a n ＝n ，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n .17．(本小题满分14分)观察 ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α) ＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋32sin αcos α－12sin 2α＝12sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋1＋cos （60°＋2α）2＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α ＝34. 18．(本小题满分16分)若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ，求证：d ＋a ＜b ＋c . 证明：要证d ＋a ＜b ＋c ，只需证(d ＋a )2＜(b ＋c )2，即a ＋d ＋2ad ＜b ＋c ＋2bc .因a ＋d ＝b ＋c ，则只需证ad ＜bc ，即证ad ＜bc .设a ＋d ＝b ＋c ＝t ，则ad －bc ＝(t －d )d －(t －c )c ＝(c －d )·(c ＋d －t )＜0. 故ad ＜bc 成立，从而d ＋a ＜b ＋c 成立．19．(本小题满分16分)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，已知a ＋b ＋c ＝0，f (0)＞0，f (1)＞0.求证：(1)a ＞0，且－2＜b a＜－1；(2)方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实数根．证明：(1)因为a ＋b ＋c ＝0，f (0)＝c ＞0，f (1)＝3a ＋2b ＋c ＝2a ＋b ＞0， 而b ＝－a －c ，则a －c ＞0，所以a ＞c ＞0. 又2a ＞－b ，所以－2＜b a，而a ＋b ＜0，则b a ＜－1，因此有－2＜b a＜－1.(2)Δ＝(2b )2－12ac ＝4[(a ＋c )2－3ac ]＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12c 2＋3c 2，则Δ＞0，f (x )的对称轴为x ＝－b 3a ，由(1)可得13＜－b 3a ＜23，又f (0)＞0，f (1)＞0且a ＞0，故方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实数根． 20．(本小题满分16分)已知数列{a n }满足a 1＝12，2a n ＋1＝a n a n ＋1＋1.(1)猜想数列{a n }的通项公式(不用证明)；(2)已知数列{b n }满足b n ＝(n ＋1)a n ＋2，求证：数列{b n }中的任意不同的三项都不可能成等比数列．证明：(1)由条件可得：a 1＝12，a 2＝23，a 3＝34，……猜想：a n ＝nn ＋1.(2)由(1)可知：b n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在不同的三项b p ，b q ，b r 使其成等比数列，则b 2q ＝b p ·b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，则有q 2＋2＋22q ＝pr ＋2＋2(p ＋r )， 化简得q 2＋22q ＝pr ＋2(p ＋r )．因为p ，q ，r ∈N *，所以有⎩⎪⎨⎪⎧q 2＝pr ，2q ＝p ＋r ，消去q 得(p ＋r )2＝4pr ，即(p －r )2＝0，所以p＝r .这与假设b p ，b q ，b r 为不同的三项矛盾，所以数列{b n }中的任意不同的三项都不可能成等比数列．。

2021版高中数学第二章推理与证明章末检测卷新人教A版选修22

2021版高中数学第二章推理与证明章末检测卷新人教A版选修22

2021版高中数学第二章推理与证明章末检测卷新人教A 版选修22章末检测卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．证明：n ＋22<1＋12＋13＋14＋…＋12n<n ＋1(n >1)，当n ＝2时，中间式子等于( )A ．1B ．1＋12C ．1＋12＋13D ．1＋12＋13＋14解析：n ＝2时中间式子的最后一项为14，因此中间子式为1＋12＋13＋14.答案：D2．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除解析：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a ，b 中至少有一个能被3整除”的反面是：“a ，b 都不能被3整除”，故应假设a ，b 都不能被3整除．答案：B3．下列推理正确的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有：log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有：sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把(ab )n 与(x ＋y )n 类比，则有：(x ＋y )n ＝x n ＋y nD ．把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则有：(xy )z ＝x (yz )解析：A 中类比的结果应为log a (xy )＝log a x ＋log a y ，B 中如x ＝y ＝π2时不成立，C 中如x ＝y ＝1时不成立，D 中关于任意实数分配律成立．答案：D4．若a >0，b >0，则有( )A.b 2a >2b －aB.b 2a <2b －a C.b 2a ≥2b －a D.b 2a≤2b －a 解析：∵b 2a －(2b －a )＝b 2－2ab ＋a 2a ＝b －a2a≥0，∴b 2a≥2b －a .答案：C5．证明命题：“f (x )＝e x＋1ex 在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证法如下：因为f (x )＝e x ＋1e x ，因此f ′(x )＝e x －1e x .因为x >0，因此e x >1,0<1e x <1.因此e x－1e x >0，即f ′(x )>0.因此f (x )在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( )而a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2≥0恒成立， 故a ＋b 2≥2ab a ＋b成立．19．(12分)已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4>100，求证a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25. 解析：假设a 1，a 2，a 3，a 4均不大于25， 即a 1≤25，a 2≤25，a 3≤25，a 4≤25，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4≤25＋25＋25＋25＝100，这与已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4>100矛盾，故假设错误． 因此a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25.20．(12分)△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 与a ，b ，c 都成等差数列，求证△ABC 为正三角形．证明：因为A ，B ，C 成等差数列， 因此2B ＝A ＋C ，① 又A ＋B ＋C ＝π，②由①②得B ＝π3.③又a ，b ，c 成等差数列，因此b ＝a ＋c2，④由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，⑤ 将③④代入⑤得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac ×12. 化简得a 2－2ac ＋c 2＝0，即(a －c )2＝0，因此a ＝c ，⑥ 由④⑥得a ＝b ＝c ， 因此△ABC 为正三角形．21．(12分)某同学在一次研究性学习中发觉，以下五个式子的值都等于同一个常数．(1)sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°.(2)sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°.(3)sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°.(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°.(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. ①试从上述五个式子中选择一个，求出那个常数；②依照①的运算结果，将该同学的发觉推广为三角恒等式，并证明你的结论．解析：①选择(2)式运算如下sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝34.②三角恒等式为 sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n ＝S n n 2n －1，且a 1＝13.(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明．解析：(1)a 2＝S 22×2×2－1＝a 1＋a 26，又a 1＝13，则a 2＝115，类似地，求得a 3＝135.(2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7，…，猜想a n ＝12n －12n ＋1.用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由(1)可知猜想成立；②假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥2)时猜想成立，即a k ＝S k k 2k －1＝12k －12k ＋1.则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1k ＋12k ＋1，∴S k ＝k (2k －1)a k ＝k (2k －1)12k －12k ＋1＝k2k ＋1，S k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1，∴a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1－k2k ＋1，∴k (2k ＋3)a k ＋1＝k2k ＋1，∴a k ＋1＝12k ＋12k ＋3＝1[2k ＋1－1][2k ＋1＋1]. ∴由n ＝k ＋1时猜想也成立．由①②可知，猜想对任何n ∈N *都成立．∴{a n }的通项公式为a n ＝12n －12n ＋1.。

高中数学 第二章 推理与证明A章末测试 新人教B版选修2-2(2021年最新整理)

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高中数学第二章推理与证明A章末测试新人教B版选修2—2(基础过关卷)(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．观察下图:12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10……则第10行的各数之和等于( )A．92 B．102 C．192 D．2122．否定结论“至多有两个解"的说法中，正确的是( )A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解3．有如下一段演绎推理:“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”,这个推理的结论显然是错误的，是因为（)A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误4．证明命题：“f（x)＝e x＋错误!在(0,＋∞）上是增函数”．现给出的证法如下:因为f(x）＝e x＋错误!，所以f′（x）＝e x－错误!.因为x＞0，所以e x＞1,0＜错误!＜1，所以e x－错误!＞0即f′（x）＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数，使用的证明方法是（）A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是5．由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间中内切于三棱锥的球的球心到三棱锥四个面的距离相等"这一推理过程是（)A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非上述答案6．设m≠n，x＝m4－m3n，y＝n3m－n4，则x与y的大小关系为（)A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．无法确定7．观察(x2)′＝2x，（x4）′＝4x3，（cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f（x)满足f(－x）＝f(x)，记g(x)为f（x）的导函数,则g（－x)＝( )A．f(x) B．－f(x）C．g（x) D．－g（x)8．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!＝2错误!时，若已假设n＝k(k≥2为偶数）时等式成立，则还需利用归纳假设再证( )A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2）时等式成立9．已知函数y＝tan x的最小正周期为π，且满足tan错误!＝错误!.类比这一结论，若函数f（x)满足f（x＋m)＝错误!（其中m∈R，且m≠0），那么f(x)的一个周期是( ) A。