2016-2017学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷一、选择题(共10小题, 每小题3分, 满分30分)1. (3分) 下列图形中, 既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2. (3分) 一元二次方程x2﹣2x=0的根是()A. 2B. 0C. 0和2D. 13. (3分) 若关于x的函数y=(2﹣a) x2﹣x是二次函数, 则a的取值范围是()A. a≠0B. a≠2C. a＜2D. a＞24. (3分) 已知方程2x2﹣x﹣1=0的两根分别是x1和x2, 则x1+x2的值等于()A. 2B. ﹣C.D. ﹣15. (3分) 如图, 在△ABC中, C=90°, AC=3, BC=4, 将△ABC绕A逆时针旋转, 使点C落在线段AB上的点E处, 点B落在点D处, 则线段BE的长度为()A. 2B. 3C. 4D. 2第5题第6题第9题第10题6. (3分) 如图, 在⊙O中, ∠AOB=120°, P为弧AB上的一点, 则∠APB的度数是()A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°7. (3分) 将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位, 再向上平移2个单位后, 所得图象的函数表达式是()A. y=(x﹣1) 2+2B. y=(x+1) 2+2C. y=(x﹣1) 2﹣2D. y=(x+1) 2﹣28. (3分) 九年级某班在期中考试前, 每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片, 全班共送了1190张卡片, 设全班有x名学生, 根据题意列出方程为()A. x(x﹣1) =1190B. x(x+1) =1190C. x(x+1) =1190D. x(x﹣1) =11909. (3分) 如图, △ABC内接于⊙O, AB是⊙O的直径, CE平分∠ACB交⊙O于点E, ∠E=30°, 交AB于点D, 连接AE, 则S ADC：S△ADE的比值为()A. B. C. D. 110. (3分) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的大致图象如图所示(1＜x=h＜2, 0＜x A＜1) . 下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③若OC=2OA, 则2b﹣ac=4；④3a﹣c＜0. 其中正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题(共6小题, 每小题3分, 满分18分)11. (3分) 点A(2, ﹣1) 关于原点对称的点B的坐标为.12. (3分) 将二次函数y=x2﹣2x化为顶点式的形式为：.13. (3分) 若关于x的方程﹣x2+5x+c=0的一个根为3, 则c=.14. (3分) 已知同一平面内存在⊙O和点P, 点P与⊙O上的点的最大距离为8, 最小距离为2, 则⊙O的半径为.15. (3分) 将函数y=x2的图象向右平移2个单位得函数y1的图象, 将y与y1合起来构成新图象, 直线y=m被新图象依次截得三段的长相等,则.16. (3分) 在△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC=2cm, 线段BC上一动点P从C点开始运动, 到B点停止, 以AP为边在AC的右侧作等边△APQ, 则Q点运动的路径为cm.三、解答题(共8小题, 满分72分)17. (8分) 解方程：x2﹣2x﹣3=0.18. (8分) 如图, 将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE(点A对应点为D) , 线段AC交线段DE于点F, 求∠EFC的度数.19. (8分) 已知抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示, A(1, 0) , B(0, 3) .(1) 求抛物线的解析式；(2) 结合函数图象, 写出当y＜3时x的取值范围.20. (8分) 如图, 在正方形网格中, 每一小正方形的边长为1, 格点ABC(三个顶点在相应的正方形的顶点处) 在如图所示的位置：(1) △ABC的面积为：；(2) 在网格中画出线段AB绕格点P顺时针旋转90°之后的对应线段A1B1；(3) 在(2) 的基础上, 直接写出=.21. (8分) 如图, AB为⊙O的直径, 点C为半圆上一点, AD平分∠CAB交⊙O于点D(1) 求证：OD∥AC；(2) 若AC=8, AB=10, 求AD.22. (10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿, 当每个房间的房价为每天180元时, 房间会全部住满. 当每个房间每天的房价每增加10元时, 就会有一个房间空闲. 宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用. 根据规定, 每个房间每天的房价不得高于340元. 设每个房间的房价增加x元(x为10的正整数倍) .(1) 设一天订住的房间数为y, 直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w元, 求w与x的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时, 宾馆的利润最大？最大利润是多少元？23. (10分) 已知矩形ABCD, 点P为BC边上一动点, 连接AP, 将线段AP绕P点顺时针旋转90°, 点A恰好落在直线CD上点E处.(1) 如图1, 点E在线段CD上, 求证：AD+DE=2AB；(2) 如图2, 点E在线段CD的延长线上, 且点D为线段CE的中点, 在线段BD上取点F, 连接AF、PF, 若AF=AB. 求证：∠APF=∠ADB.(3) 如图3, 点E在线段CD上, 连接BD, 若AB=2, BD∥PE, 则DE=. (直接写出结果)24. (12分) 已知抛物线C1：y=﹣x2+mx+m+.(1) ①无论m取何值, 抛物线经过定点P；②随着m的取值变化, 顶点M(x, y) 随之变化, y是x的函数, 则其函数C2关系式为；(2) 如图1, 若该抛物线C1与x轴仅有一个公共点, 请在图1中画出顶点M满足的函数C2的大致图象, 平行于y轴的直线l分别交C1、C2于点A、B, 若△P AB为等腰直角三角形, 判断直线l满足的条件, 并说明理由；(3) 如图2, 抛物线C1的顶点M在第二象限, 交x轴于另一点C, 抛物线上点M与点P之间一点D的横坐标为﹣2, 连接PD、CD、CM、DM, 若S△PCD=S△MCD, 求二次函数的解析式.2016-2017学年湖北省武汉市江岸区九年级(上) 期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共10小题, 每小题3分, 满分30分)1. (3分) 下列图形中, 既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解：A、不是轴对称图形, 是中心对称图形；B、不是轴对称图形, 是中心对称图形；C、是轴对称图形, 也是中心对称图形；D、是轴对称图形, 不是中心对称图形.故选C.【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念. 轴对称图形的关键是寻找对称轴, 图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心, 旋转180度后两部分重合.2. (3分) 一元二次方程x2﹣2x=0的根是()A. 2B. 0C. 0和2D. 1【分析】利用因式分解法解方程.【解答】解：x(x﹣2) =0,x=0或x﹣2=0,所以x1=0, x2=2.故选C.【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0, 再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式, 那么这两个因式的值就都有可能为0, 这就能得到两个一元一次方程的解, 这样也就把原方程进行了降次, 把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想) .3. (3分) 若关于x的函数y=(2﹣a) x2﹣x是二次函数, 则a的取值范围是()A. a≠0B. a≠2C. a＜2D. a＞2【分析】根据二次函数的定义即可得.【解答】解：∵函数y=(2﹣a) x2﹣x是二次函数,∴2﹣a≠0, 即a≠2,故选：B.【点评】本题主要考查二次函数的定义, 熟练掌握形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数, a≠0) 的函数, 叫做二次函数是解题的关键.4. (3分) 已知方程2x2﹣x﹣1=0的两根分别是x1和x2, 则x1+x2的值等于()A. 2B. ﹣C.D. ﹣1【分析】利用根与系数的关系x1+x2=﹣, 直接代入计算即可.【解答】解：∵方程2x2﹣x﹣1=0的两根分别为x1, x2,∴x1+x2=﹣=,故选C.【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系. 解答该题需要熟记公式：x1+x2=﹣.5. (3分) 如图, 在△ABC中, C=90°, AC=3, BC=4, 将△ABC绕A逆时针旋转, 使点C落在线段AB上的点E处, 点B落在点D处, 则线段BE的长度为()A. 2B. 3C. 4D. 2【分析】由旋转的性质可求得AE、DE, 由勾股定理可求得AB, 则可求得BE, 连接BD, 在Rt△BDE 中可求得BD的长.【解答】解：在△ABC中, ∠C=90°, AC=3, BC=4,∴AB=5,∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED,∴BE=AB﹣AE=2,故选A.【点评】本题主要考查旋转的性质, 掌握旋转前后对应线段相等、对应角相等是解题的关键.6. (3分) 如图, 在⊙O中, ∠AOB=120°, P为弧AB上的一点, 则∠APB的度数是()A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°【分析】在优弧AB上取点C, 连接AC、BC, 根据圆周角定理和圆内接四边形的性质解答即可.【解答】解：在优弧AB上取点C, 连接AC、BC,由圆周角定理得, ∠ACB=AOB=60°,由圆内接四边形的性质得到, ∠APB=180°﹣∠ACB=120°,故选：C.【点评】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质, 掌握在同圆或等圆中, 同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.7. (3分) 将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位, 再向上平移2个单位后, 所得图象的函数表达式是()A. y=(x﹣1) 2+2B. y=(x+1) 2+2C. y=(x﹣1) 2﹣2D. y=(x+1) 2﹣2【分析】根据函数图象右移减、左移加, 上移加、下移减, 可得答案.【解答】解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位, 再向上平移2个单位后, 所得图象的函数表达式是y=(x﹣1) 2+2,故选：A.【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换, 函数图象右移减、左移加, 上移加、下移减是解题关键.8. (3分) 九年级某班在期中考试前, 每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片, 全班共送了1190张卡片, 设全班有x名学生, 根据题意列出方程为()A. x(x﹣1) =1190B. x(x+1) =1190C. x(x+1) =1190D. x(x﹣1) =1190【分析】由题意可知这是一道典型的双循环的题目, 从而可以列出相应的方程, 本题得以解决.【解答】解：由题意可得,x(x﹣1) =1190,故选D.【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程, 解题的关键是明确题意, 列出相应的方程.9. (3分) 如图, △ABC内接于⊙O, AB是⊙O的直径, CE平分∠ACB交⊙O于点E, ∠E=30°, 交AB于点D, 连接AE, 则S ADC：S△ADE的比值为()A. B. C. D. 1【分析】过C作CF⊥AB于F, 连接OE, 设AC=a, 求出CF, OE, 根据S△ADC：S△ADE=•AD•CF：•AD•OE计算即可.【解答】解：过C作CF⊥AB于F, 连接OE, 设AC=a,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠B=∠E=30°,∴∠A=60°, ∠ACF=30°, CF=a, AB=2AC=2a,∵CE平分∠ACB交⊙O于E,∴=,∴OE⊥AB,∴OE=AB=a∴S△ADC：S△ADE=•AD•CF：•AD•OE=：2.故选C.【点评】本题考查了圆周角定理, 三角形的角平分线定理, 三角形的面积的计算, 直角三角形的性质, 正确作出辅助线是解题的关键.10. (3分) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的大致图象如图所示(1＜x=h＜2, 0＜x A＜1) . 下列结论：①2a+b ＞0；②abc＜0；③若OC=2OA, 则2b﹣ac=4；④3a﹣c＜0. 其中正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】①根据抛物线的开口向下即可得出a＜0, 再根据抛物线的对称轴在x=1和x=2之间即可得出b＞﹣2a, ①正确；②由b＞﹣2a可得出b＞0, 再根据抛物线与y轴交于y轴负半轴可得出c＜0, 由此即可得出abc＞0, ②错误；③根据求根公式表示出点A的横坐标, 结合OC=2OA即可得出2b﹣ac=4, ③正确；④根据抛物线的对称轴1＜﹣＜2可得出﹣2a＜b＜﹣4a, 再由当x=1时y＞0即可得出a+b+c ＞0, 进而即可得出3a﹣c＜0, ④正确. 综上即可得出结论.【解答】解：①∵抛物线的开口向下,∴a＜0.∵抛物线的对称轴﹣＞1,∴b＞﹣2a, 即2a+b＞0, ①成立；②∵b＞﹣2a, a＜0,∴b＞0,∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,∴c＜0,∴abc＞0, ②错误；③点A的横坐标为, 点C的纵坐标为c,∵OC=2OA,∴﹣c=, 整理得：2b﹣ac=4, ③成立；④∵抛物线的对称轴1＜﹣＜2,∴﹣2a＜b＜﹣4a,∵当x=1时, y=a+b+c＞0,∴a﹣4a+c＞0, 即3a﹣c＜0, ④正确.综上可知正确的结论有3个.故选C.【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系, 根据二次函数的图象找出系数间的关系是解题的关键.二、填空题(共6小题, 每小题3分, 满分18分)11. (3分) 点A(2, ﹣1) 关于原点对称的点B的坐标为(﹣2, 1) .【分析】由关于原点对称的点, 横坐标与纵坐标都互为相反数可知：点A(2, ﹣1) 关于原点的对称点的坐标.【解答】解：∵关于原点对称的点, 横坐标与纵坐标都互为相反数,∴点A(2, ﹣1) 关于原点的对称点的坐标为(﹣2, 1) .故答案为：(﹣2, 1) .【点评】本题考查了对称点的坐标规律：(1) 关于x轴对称的点, 横坐标相同, 纵坐标互为相反数；(2) 关于y轴对称的点, 纵坐标相同, 横坐标互为相反数；(3) 关于原点对称的点, 横坐标与纵坐标都互为相反数.12. (3分) 将二次函数y=x2﹣2x化为顶点式的形式为：y=(x﹣1) 2﹣1.【分析】利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式.【解答】解：y=x2﹣2x=x2﹣2x+1﹣1=(x﹣1) 2﹣1,故答案为y=(x﹣1) 2﹣1.【点评】本题考查的是二次函数的三种形式, 题目中给出的是一般形式, 利用配方法可以化成顶点式.13. (3分) 若关于x的方程﹣x2+5x+c=0的一个根为3, 则c=﹣6.【分析】将x=3代入方程﹣x2+5x+c=0, 得﹣9+15+c=0, 解之即可得c.【解答】解：根据题意, 将x=3代入方程﹣x2+5x+c=0, 得：﹣9+15+c=0,解得：c=﹣6,故答案为：﹣6.【点评】本题主要考查一元二次方程的解. 掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键.14. (3分) 已知同一平面内存在⊙O和点P, 点P与⊙O上的点的最大距离为8, 最小距离为2, 则⊙O 的半径为3或5.【分析】根据线段的和差, 可得直径, 根据圆的性质, 可得答案.【解答】解：P在⊙O内, 直径为8+2=10, 半径为5,P在⊙O外, 直径为8﹣2=6, 半径为3,故答案为：3或5.【点评】本题考查了点与圆的位置关系, 利用直径与半径的关系是解题关键, 要分类讨论, 以防遗漏.15. (3分) 将函数y=x2的图象向右平移2个单位得函数y1的图象, 将y与y1合起来构成新图象, 直线y=m被新图象依次截得三段的长相等, 则或4.【分析】根据“左加右减”的原则求出与y1的函数解析式, 然后求得新图象与直线的交点横坐标, 根据截得三段的长相等, 分两种情况列出方程, 解方程即可求得.【解答】解：∵二次函数y=x2的图象向右平移2个单位,∴平移后的解析式为：y=(x﹣2) 2,把y=m代入y=x2得m=x2, 解得x=±,把y=m代入y=(x﹣2) 2得m=(x﹣2) 2, 解得x=2±,当0＜m＜1时, 则﹣(﹣) =2﹣﹣, 解得m=,当m＞1时, 则2+﹣=﹣(2﹣) , 解得m=4,故答案为或4.【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换, 熟知“上加下减, 左加右减”的原则是解答此题的关键.16. (3分) 在△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC=2cm, 线段BC上一动点P从C点开始运动, 到B点停止, 以AP为边在AC的右侧作等边△APQ, 则Q点运动的路径为2cm.【分析】当点P与C重合时, 所构成的等边三角形APQ, 当P与B重合时, 所构成的等边三角形为△APQ′, 线段QQ′的长就是Q点运动的路径, 利用勾股定理求出即可.【解答】解：如图, Q点运动的路径为QQ′的长,∵△ACQ和△ABQ′是等边三角形,∴∠CAQ=∠BAQ′=60°, AQ=AC=AQ′=2cm,∵∠BAC=90°,∴∠QAQ′=90°,由勾股定理得：QQ′===2,∴Q点运动的路径为2cm；故答案为：2.【点评】本题考查了动点运动的轨迹、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理, 找出Q点运动的路径是本题的关键, 根据等边三角形和等腰直角三角形的特殊角求出△AQQ′是等腰直角三角形是突破口.三、解答题(共8小题, 满分72分)17. (8分) 解方程：x2﹣2x﹣3=0.【分析】通过观察方程形式, 本题可用因式分解法进行解答.【解答】解：原方程可以变形为(x﹣3) (x+1) =0x﹣3=0, x+1=0∴x1=3, x2=﹣1.【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程. 注意：常数项应分解成两个数的积, 且这两个的和应等于一次项系数.18. (8分) 如图, 将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE(点A对应点为D) , 线段AC交线段DE 于点F, 求∠EFC的度数.【分析】由旋转性质可得△ABC≌△DBE, 即∠A=∠D, 根据∠1=∠2可得∠EFC=∠DF A=∠ABD=60°. 【解答】解：如图,∵△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE,∴△ABC≌△DBE,∴∠A=∠D,又∵∠1=∠2,∴∠DF A=∠ABD=60°,∴∠EFC=∠DF A=60°.【点评】本题主要考查旋转的性质, 熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等. ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. ③旋转前、后的图形全等是解题的关键.19. (8分) 已知抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示, A(1, 0) , B(0, 3) .(1) 求抛物线的解析式；(2) 结合函数图象, 写出当y＜3时x的取值范围.【分析】(1) 根据函数的图象过A(1, 0) , B(0, 3) , 再代入y=﹣x2+bx+c, 列出方程组, 即可求出抛物线的解析式.(2) 由抛物线得到对称轴为x=﹣1, 得到当y=3时, x=﹣2或0, 依此求出相应的x的取值范围即可. 【解答】解：(1) ∵函数的图象过A(1, 0) , B(0, 3) ,∴,解得：.故抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；(2) 由图象知抛物线的对称轴为x=﹣1, 且当y=3时, x=﹣2或0,故当y＜3时x的取值范围为x＜﹣2或x＞0.【点评】此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式, 考查了同学们的识图能力, 即将求解的问题转化为图象上隐含的某个信息, 它也是近几年中考重点考查的内容之一.20. (8分) 如图, 在正方形网格中, 每一小正方形的边长为1, 格点ABC(三个顶点在相应的正方形的顶点处) 在如图所示的位置：(1) △ABC的面积为：3；(2) 在网格中画出线段AB绕格点P顺时针旋转90°之后的对应线段A1B1；(3) 在(2) 的基础上, 直接写出=.【分析】(1) 根据△ABC的位置, 运用三角形面积公式求得其面积；(2) 先作相等的角, 在角的边上截取相等的线段的方法, 找到对应点, 顺次连接得出旋转后的图形；(3) 先根据勾股定理, 求得AA1和BB1的长, 再计算其比值即可.【解答】解：(1) △ABC的面积=×3×2=3；故答案为：3；(2) 如图所示, 线段A1B1即为所求；(3) 如图所示, 连接AA1, BB1∵AA1==, BB1===2,∴==,故答案为：.【点评】本题主要考查了旋转变换, 勾股定理以及三角形面积计算公式的运用, 解决问题的关键是掌握旋转图形的作法：通过作相等的角, 在角的边上截取相等的线段的方法, 找到对应点, 顺次连接得出旋转后的图形.21. (8分) 如图, AB为⊙O的直径, 点C为半圆上一点, AD平分∠CAB交⊙O于点D(1) 求证：OD∥AC；(2) 若AC=8, AB=10, 求AD.【分析】(1) 由AD平分∠CAB交⊙O于点D, 得到∠CAD=∠BAD, 根据等腰三角形的性质得到∠DAB=∠D, 等量代换得到∠CAD=∠D, 根据平行线的判定定理即可得到结论；(2) 连接BC, BD, 根据圆周角定理得到∠C=90°, 根据勾股定理即可得到结论.【解答】(1) 证明：∵AD平分∠CAB交⊙O于点D,∴∠CAD=∠BAD,∵OA=OD,∴∠DAB=∠D,∴∠CAD=∠D,∴AC∥OD；(2) 解：连接BC, BD,∵AD平分∠CAB交⊙O于点D,∴=,∴CE=BE,∵AB为⊙O的直径,∴∠C=90°,∴BC==6,∴CE=BE=3,∴OE==4,∴DE=1,∴BD==,∴AD==3.【点评】本题考查了圆周角定理, 勾股定理, 垂径定理, 正确的作出辅助线是解题的关键.22. (10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿, 当每个房间的房价为每天180元时, 房间会全部住满. 当每个房间每天的房价每增加10元时, 就会有一个房间空闲. 宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用. 根据规定, 每个房间每天的房价不得高于340元. 设每个房间的房价增加x元(x为10的正整数倍) .(1) 设一天订住的房间数为y, 直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w元, 求w与x的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时, 宾馆的利润最大？最大利润是多少元？【分析】(1) 理解每个房间的房价每增加x元, 则减少房间间, 则可以得到y与x之间的关系；(2) 每个房间订住后每间的利润是房价减去20元, 每间的利润与所订的房间数的积就是利润；(3) 求出二次函数的对称轴, 根据二次函数的增减性以及x的范围即可求解.【解答】解：(1) 由题意得：y=50﹣, 且0≤x≤160, 且x为10的正整数倍.(2) w=(180﹣20+x) (50﹣) , 即w=﹣x2+34x+8000；(3) w=﹣x2+34x+8000=﹣(x﹣170) 2+10890抛物线的对称轴是：直线x=170, 抛物线的开口向下, 当x＜170时, w随x的增大而增大,但0≤x≤160, 因而当x=160时, 即房价是340元时, 利润最大,此时一天订住的房间数是：50﹣=34间,最大利润是：34×(340﹣20) =10880元.答：一天订住34个房间时, 宾馆每天利润最大, 最大利润为10880元.【点评】本题是二次函数的应用, 特别容易出现的错误是在求最值时不考虑x的范围, 直接求顶点坐标.23. (10分) 已知矩形ABCD, 点P为BC边上一动点, 连接AP, 将线段AP绕P点顺时针旋转90°, 点A恰好落在直线CD上点E处.(1) 如图1, 点E在线段CD上, 求证：AD+DE=2AB；(2) 如图2, 点E在线段CD的延长线上, 且点D为线段CE的中点, 在线段BD上取点F, 连接AF、PF, 若AF=AB. 求证：∠APF=∠ADB.(3) 如图3, 点E在线段CD上, 连接BD, 若AB=2, BD∥PE, 则DE=3﹣. (直接写出结果)【分析】(1) 用同角的余角相等得出∠BAP=∠CPE, 进而判断出△ABP≌△PCE, 即可的得出AB=PC=CD, BP=CE, 最后用相等的线段代换即可；(2) 先判断出四边形ABDE是平行四边形则有BD∥AE, 即可得到, ∠PMN=∠PNM=45°, 再判断出, △APF≌△EPD, 则有∠AFP=∠DEP, 最后用三角形的外角和等角代换即可；(3) 先借助(1) 的结论得出PC=AB=2, AD=4﹣DE, 再判断出△CPE∽△CBD, 则有, 最后代值解关于DE的方程即可.【解答】解：(1) ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠BCD=90°,∴∠BAP+∠APB=90°,∵∠APE=90°,∴∠APB+∠CPE=90°,∴∠BAP=∠CPE,在△ABP和△PCE中, ,∴△ABP≌△PCE,∴AB=PC=CD, BP=CE,∴AD+DE=BC+DE=BP+PC+DE=CE+CP+DE=CP+CD=2AB；(2) 如图,∵AB=AF,∴∠ABF=∠AFB,∵AB∥DC,∴∠ABF=∠BDC,∴∠AFB=∠BDC,∴∠AFD=∠EDF,∵AB=CD=DE, AB∥CD,∴四边形ABDE是平行四边形,∴BD∥AE,∵P A=PE, ∠APE=90°,∴∠P AE=∠PEA=45°,∴∠PMN=∠PNM=45°,∵BD∥AE,∴∠F AE+∠AFD=180°, ∠FDE+∠AED=180°,∵∠AFD=∠EDF,∴∠F AE=∠DEA,∵∠P AE=∠PEA,∴∠F AP=∠DEP,在△APF和△EPD中, ,∴△APF≌△EPD,∴∠AFP=∠DEP,∵∠AFD=∠EDF,∴∠PFD=∠PDF,在Rt△PCD中, PC=PD,∴∠CDP=45°,∴∠ADP=45°,∴∠ADB=45°﹣∠PDF=45°﹣∠PFD,∵∠AMB=∠PFD+∠APF=45°,∴∠APF=45°﹣∠PFD,∴∠APF=∠ADB；(3) 由(1) 知, △ABP≌△PCE,∴PC=AB=2, 由(1) 知, AD+DE=2AB=4,∴AD=4﹣DE,∵DB∥PE,∴△CPE∽△CBD,∴,∵CB=AD=4﹣DE, CD=AB=2, CE=CD﹣DE=2﹣DE,∴,∴DE=3+(由于点E在线段CD上, 且CD=2, 所以舍去) 或DE=3﹣,即：DE=3﹣,故答案为：3﹣.【点评】此题是四边形的综合题, 主要考查了矩形的性质, 全等三角形的判定, 等腰三角形的性质和判定, 三角形的外角的性质, 相似三角形的性质和判定, 解本题的关键是判断出△ABP≌△PCE, 得出∠APF=∠ADB是解本题的难点.24. (12分) 已知抛物线C1：y=﹣x2+mx+m+.(1) ①无论m取何值, 抛物线经过定点P(﹣1, 0) ；②随着m的取值变化, 顶点M(x, y) 随之变化, y是x的函数, 则其函数C2关系式为y=；(2) 如图1, 若该抛物线C1与x轴仅有一个公共点, 请在图1中画出顶点M满足的函数C2的大致图象, 平行于y轴的直线l分别交C1、C2于点A、B, 若△P AB为等腰直角三角形, 判断直线l满足的条件, 并说明理由；(3) 如图2, 抛物线C1的顶点M在第二象限, 交x轴于另一点C, 抛物线上点M与点P之间一点D的横坐标为﹣2, 连接PD、CD、CM、DM, 若S△PCD=S△MCD, 求二次函数的解析式.【分析】(1) ①令x=﹣1时, 可消去解析式中的m, 可求得y值为0, 可知其过定点, 求得P点坐标；②可求得抛物线的顶点坐标, 则可用m分别表示出x、y, 消去m可求得y与x的函数关系式；(2) 由条件可先求得P点坐标, 再结合(1) 中所求C2的解析式, 可画出图形, 由条件可知x轴垂直平分AB, 可得到A、B坐标所满足的方程, 可求得直线l的方程；(3) 作△PCD和△MCD的两条高线DH和MN, 根据条件求点C、P、M、D的坐标, 由若S△PCD=S△MCD, 列等式可以求出m的值, 并根据“抛物线C1的顶点M在第二象限, 交x轴于另一点C, 抛物线上点M 与点P之间一点D”进行取舍, 代入解析式中即可.【解答】解：(1) ①当x=﹣1时, y=﹣﹣m+m+=0,∴无论m取何值, 抛物线经过定点P(﹣1, 0) ；y=﹣x2+mx+m+=﹣(x﹣m) 2+m2+m+,顶点坐标为(m, m2+m+) ,∵顶点M(x, y) , y是x的函数,则其函数C2关系式为：y==(x+1) 2；故答案为：①(﹣1, 0) ；②y=；(2) ∵该抛物线C1与x轴仅有一个公共点,∴△==0,m2+2m+1=0,m1=m2=﹣1,∴抛物线C1关系式为：y=﹣﹣x﹣=﹣(x+1) 2,如图1, 抛物线C1、C2关于x轴对称,∵△P AB是等腰直角三角形,∴P A=PB, P A⊥PB,∵x轴⊥AB,∴x轴是AB的垂直平分线,∴BD=PD,当直线l在顶点P的右侧时, =x+1,解得x=1, x=﹣1(不能构成三角形, 舍去) ,当直线l在顶点P的左侧时, 有=﹣x﹣1,解得x=﹣3、x=﹣1(不能构成三角形, 舍去) ,则直线l为：x=1或x=﹣3；(3) 如图2,当x=﹣2时, y=﹣×4﹣2m+m+=﹣m﹣,∴D(﹣2, ﹣m﹣) ,当y=0时, ﹣x2+mx+m+=0,x2﹣2mx﹣2m﹣1=0,解得：x1=1, x2=2m+1,∴P(﹣1, 0) , C(2m+1, 0) ,由(1) 得：顶点M[m, (m+1) 2],过D作DH⊥PC于H, 过M作MN⊥PC于N, 交CD于T,则直线CD的解析式为：y=x﹣m﹣,∴T(m, ﹣﹣) ,∵S△PCD=S△MCD,则PC•DH=MT•CH,(﹣1﹣2m﹣1) (﹣m﹣) =[﹣](﹣2﹣2m﹣1) ,(m+1) (2m+3) =﹣(m+1) (m+2) (2m+3) ,(m+1) (2m+3) (m+4) =0,m1=﹣1, m2=﹣, m3=﹣4,∵抛物线C1的顶点M在第二象限, 点D又在点M与点P之间,∴m1=﹣1, m2=﹣, 不符合题意, 舍去,∴m=﹣4,∴y=﹣x2﹣4x﹣4+=﹣x2﹣4x﹣,则二次函数的解析式为：y=﹣x2﹣4x﹣.【点评】本题是二次函数的综合题, 比较复杂, 考查了二次函数利用待定系数法求一次函数的解析式、等腰直角三角形的性质, 利用配方法求顶点坐标；同时多次运用函数的解析式表示点的坐标, 利用方程思想和分类讨论的思想解决问题.。
