第一章 行列式 2

四、作业 P35 1(3) 2(4) 4 8(3) 12(1)(3)
思考题[*]
x
已知
1
1
2
1 f x 3 1
3
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
求 x 的系数.
思考题解答
解 含 x 3 的项有两项,即
x 1 f x 3 1
对应于
t
1
1
2
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
2. a14 a21a33 a44不是四阶行列式中的项 ，a12 a43a31a24是四阶 行列式中的项. a12 a43a31a24 a12 a24 a31a43
1t 2413 a12a24 a31a43a 13 a12a24 a31a43 a12a24 a31a43
t(53412) = 0+1+1+3+3=8 定理 2 n个自然数共有n!个n元排列，其中奇偶排 列各占一半。
二、n 阶行列式的定义
三阶行列式定义为
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
123 231 312 132 213 321 t(123)=0 t(231)=2 t(312)=2 t(132)=1 t(213)=1 t(321)=3
例 3 三阶行列式
例4 四阶行列式
1 2 3
12 3
3 4
例5 n 阶行列式
1 2
12 34
1 2

(1)
n( n 1 ) 2
12 n
n
a 11 a 21 an1
a 12 a 22 an 2
... a 1 n ... a 2 n t ( j1 j2 ......jn ) a1 j1 a2 j2 ......anj n (1) ... a nn

第一章 行 列 式
§1.2 行列式的性质
1、 n 阶行列式的质
定义1
将行列式 D 的行和列交换后得到的 行列式称为 D 的转置行列式，记为
D T 或 D ，即若
a11 D a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann , 则D D
T
a11 a12 a1n
a21 a22 a2 n
说明
①此定理称为按 k 个行展开，若将行变成 列，则行列式按 k 个列展开。 ②此定理证明的方法与定理1一样，这里证 略。 ③在计算行列式时，常常按一行或一列展开。 若在行列式 D 中某些行或某些列含多个零， 就按这些行或这些列展开，可能更方便。
an1 an 2 ann .
性质1 性质2
将行列式转置，行列式不变，即 DT D . 用数 k 乘行列式 D 的一行（列），等 于以数 k 乘以行列式 D ，即
a11 a1n a11 a1n ain kD ann
D1 kai1 an1
kain k ai1 ann an1
性质3
若行列式 D 的一行（列）每一个元素都
M ij
Aij 1
i j
。而
M ij
称为 aij
的代数余子式.
引理
一个 n 阶行列式 D ，若 i 行元素除 aij 外都为零，则 D 等于 aij 与它的代数余子 式的乘积，即
D aij Aij
（1.12）
定理1
n 阶行列式
D aij
等于其任意一行的 (1.13)
各元素与对应代数全子式乘积之和，即
性质5 若行列式有两行（列）元素成比列，则 行列式为零. 性质6 把行列式一行（列）的倍数加到另一行 （列），行列式不变. 性质7 互换行列式的两行（列），行列式变号.

第一节 二阶、三阶行列式
第一章 行列式
hang lie shi
二阶、三阶行列式的概念在中学已有介绍，在此进一步复习巩固。
一、二阶行列式
对于二元线性方程组
aa1211xx11

a12 x2 a22 x2

b1 ， b2 ，
由消元法得
((aa1111aa2222

a12a21 )x1 a12a21 )x2
第一章 行列式
第一章 行列式
行列式的概念是由解线性方程组 引入的，是线性代数中最基本的内容， 也是学习矩阵与线性方程组的理论基 础。本章主要包括行列式的概念、性 质、展开及应用——克莱姆法则。
目录
1 第一节 二阶、三阶行列式 2 第二节 n阶行列式 3 第三节 行列式的性质 4 第四节 行列式的展开 5 第五节 行列式的应用
研究问题的简捷，引入记号
第一章 行列式
hang lie shi
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
来表示变形方程（1-3）中 x1的系数，它是由未知量系数排成三行三列构成的，
称为三阶行列式，即
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
显然， D1 ，D2 可看作是以 b1 ，b2 为一列分别取代Ｄ中第1列、第2列得到。
于是，方程组的解可表示为
x1

D1 D
，


x2

D
．
由此，二元线性方程组可通过其未知量系数、常数项构成的二阶行列式

a12 a s 2 + ka t 2 at 2 an 2 a11 ka t 1 at 1 an1
a1 n a sn + ka tn a tn a nn a1 n ka tn a tn a nn
21
a12 ka t 2 at 2 an 2
=
= D+0= D
例4．
0 1 −1 2
r3 + r1
−1 −1 2 1
13
3+1 2−2 4 0 = = 12, 例8 因为 −1+ 2 3+ 0 1 3
而 因此
3 2 1 −2 + = (9 + 2) + (0 + 4) = 15. −1 3 2 0 3+1 2−2 3 2 1 −2 ≠ + . −1+ 2 3+ 0 −1 3 2 0
a12 + b12 a11 ≠ a22 + b22 a21 a12 b11 + a22 b21 b12 . b22
= 1000( 34215 − 28092)
= 6123000
15
例2
计算
34215 28092
35215 29092
34000 + 215 35000 + 215 34215 35215 = 解： 28000 + 92 29000 + 92 28092 29092
34000 35000 215 215 = + 28000 + 92 29000 + 92 28000 + 92 29000 + 92 34000 35000 34000 35000 215 215 215 215 + + + = 28000 29000 92 92 28000 29000 92 92 35 1 35 3 3 34 3 34 3 1 = 10 × 10 + 92 × 10 + 215 × 10 28 29 1 1 28 29