1、第一章 行列式(简化版)

第一章行列式行列式是一个重要的数学工具．它广泛应用于理、工、农、医、经济等很多领域。

在线性代数中，行列式更是一种不可或缺的重要工具.本章主要介绍行列式的定义、性质、计算及其在求解线性方程组中的应用——Cramer（克莱姆）法则.§1.1 行列式定义一、数域定义1.1 设P是含有0和1的一个数集，若P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在P中，则称P为一个数域．如果数集P中任意两个数作某一运算后的结果任在P中，则称P对这个运算封闭。

因此数域的定义也可简单叙述为：含有0和1且对加法、减法、乘法、除法（除数不为0）封闭的数集称为数域. 全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域，分别称为有理数域、实数域、复数域依次用Q、R、C来记。

全体整数组成的集合不是数域，因为任意两个整数的商不一定是整数.要指出的是所有的数域都包含有理数域。

这是因为如果P是一个数域，则1在P中且由于P对加法封闭，所以1+1=2，2+1=3， ，n+1全在P中，即P包含全体自然数；又因0在P中且P对减法封闭，于是 0 - n = - n在P中,所以P包含全体整数；因为任意一个有理数都可表为两个整数的商，再由P对除法的封闭性知P包含全体有理数。

即任何一个数域都包含有理数域.今后本教材中所论及的数都是指某一固定数域中的数，文中一般不再特别加以说明.二、排列为了给出n阶行列式的定义，先介绍n级排列的概念．定义1.2 由自然数1 ，2 ，…，n组成的全排列称为n级排列．记作i1 i2…i nn级排列共有n!个.n级排列中任意两个数，如果大数排在小数之前，则称这两个数构成一个逆序，否则称为顺序.一个n级排列i1 i2…i n的逆序总数称为此排列的逆序数，记作 （i1i2…i n）．逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．因 τ（1 2 … n ）= 0，所以排列1 2 … n 是偶排列。

第⼀章⾏列式简版2010.7线性代数考研辅导考试⼤纲规定数学⼀中现⾏代数的考试内容包括⾏列式、矩阵、向量、线性⽅程组、特征值和特征向量、⼆次型这6部分内容，2006年以前线性代数所占内容⽐例约为20%. 从2007年起，线性代数所占内容⽐例上升⾄约为22%. 历年考题的分数分布见下表.第⼀章⾏列式知识脉络图≠==-=≠=?=???-==∑∑∑=+=数）⽅程的根⾏列式表⽰的函数（代⼏何应⽤克莱姆法则及应⽤应⽤）利⽤范德蒙⾏列式（）归纳（）递推（）加边（）拆项（）消零展开（）三⾓化法（⽅法展开元素的规律性，性质，计算，代数余⼦式余⼦式展开式变倍加到另⼀⾏，其值不某⾏两⾏互换，⾏列式变号（数乘）提出公因⼦拆项（加法）⼀⾏为零或两⾏成⽐例性质逆序的定义归纳定义定义⾏列式7654321 ,0 ,)1()6()5()0()4()3(0A )2()1()1(A 1,21)(111212121n j kj ij ijj i ij ij T j j j nj j j j j j ni i i k i ki A A a M A M k k k A A a a a A A a n nn τ第⼀章⾏列式考试⼤纲（⾏列式部分）考试内容⾏列式的概念和基本性质⾏列式按⾏（列）展开定理考试要求1．了解⾏列式的概念，掌握⾏列式的性质。

2．会应⽤⾏列式的性质和⾏列式按⾏（列）展开定理计算⾏列式。

基本内容⼀、⾏列式定义 1．定义111212122212n n n n nna a a a a a a a an n nj j j j j j a a a 221211)()1(τ∑-=其中逆序数()121n j j j j τ= 后⾯的1j ⼩的数的个数 2j +后⾯⽐2j ⼩的数的个数+ 1n j -+后⾯⽐1n j -⼩的数的个数.2．三⾓形⾏列式11121222000n n nn a a a a a a11212212000n n nna aa a a a =1122nn a a a =1211000n n n nn nn a a a a a - 111212122100n n a a a aa a =()()12112111n n n n n a a a τ--=-()()1212111n n n n n a a a --=-⼆、⾏列式性质和展开定理1．会熟练运⽤⾏列式性质，进⾏⾏列式计算.2．展开定理1122i k i k in kn ik a A a A a A A δ+++= A A a A a A a jk nk nj k j k j δ=+++2211三、重要公式设A 是n 阶⽅阵，则1．TA A =2．11AA --=3．1*n A A-=4．nkA k A =5．AB A B =，其中B 也是n 阶⽅阵 6．设B 为m 阶⽅阵，则0A C A A B B C B == ()010mnA CA AB BC B==- 7．范德蒙⾏列式()1222212111112111n ijn j i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏四．有关结论 1．对于,n n n n A B ?? (1)00A A ?==?(2) A B A B ?==?2. A 为n 阶可逆矩阵()0A r A n A ≠?=?可逆A E A E→?→⾏变列变（A 与E 等价） 0AX ?=只有惟⼀零解AX b ?=有惟⼀解（克莱姆法则） A ?的⾏（列）向量组线性⽆关 A ?的n 个特征值0,1,2,,i i n λ≠= A 可写成若⼲个初等矩阵的乘积 ?)()(B r AB r = ?A A T 是正定矩阵A 是n R 中某两组基之间的过渡矩阵3. A 为n 阶不可逆矩阵0=A0AX ?=有⾮零解n A r <)(0是A 的特征值A A -=4.若A 为n 阶矩阵，)2,1(n i i =λ为A 的n 个特征值，则∏==ni i A 1λ5.若B A ~，则B A =⾏列式的基本计算⽅法：1. 应⽤⾏列式的性质化简⾏列式（例如化为三⾓形⾏列式就是⼀个常⽤⽅法）。

第一章 行列式本章主要内容是行列式的定义、性质及其计算方法.此外还介绍了用行列式解线性方程组的克莱姆法则.§1. 全排列的逆序数本节考虑由1,2,3,…, n 这n 个数排成的不重复数字的全排列，不同的全排列共有n ！个.以后对这种全排列简称排列.例如，由1,2,3这三个数有以下3！=6个排列：123, 132, 213, 231, 312, 321定义 设1p 2p …n p 是1,2,…, n 的一个排列，考察其中任意两个数，如果大的数排在小的数之前，就说有一个逆序.所有逆序的总数称为排列1p 2p …n p 的逆序数，记作τ(1p 2p …n p ）.逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列. 例1. 计算由1,2,3排成的六个排列的逆序数 [解] 排列123没有逆序，逆序数τ(123)=0. 排列132中，仅有3在2之前一个逆序，τ(132)=1. 排列213中，仅有2在1之前一个逆序，τ(213)=1. 排列231中，2在1之前，3在1前，τ(231)=1+1=2. 排列312中，3在1,2之前，τ(312)=2.排列321中，3在2,1之前，又2在1前，τ(321)=2+1=3. 其中132，213，321为奇排列，123，231，312为偶排列. 例2. 求τ(42315)及τ(54321).[解] τ(42315)=3+1+1=5，τ(54321)=4+3+2+1=10. 性质1. 交换排列中的两个数，排列的奇偶性改变. [证] 先讨论交换相邻两数的情形.设排列为 1p ……S p a b 1+S p …m p （1）交换a 与b ，得排列1p ……S p b a 1+S p …m p（2） 任意一个i p 与a 或b 的大小关系在（1）与（2）两个排列中是一样的.所以当a >b 时，排列（2）的逆序数比排列（1）的逆序数减少1，当a <b 时，排列（2）的逆序数比排列（1）的逆序数增加1.因此，当（1）为奇排列时，（2）为偶排列；当（1）为偶排列时，（2）为奇排列.即排列（1）与（2）有不同的奇偶性.再讨论交换不相邻两个数的情形.设排列为1p ……S p a 1c …k c b 1+S p …m p （3）交换a 与b ，得排列1p ……S p b 1c …k c a 1+S p …m p （4）我们也可以对排列（3）中的a 依次与1c ，…，k c 进行k 次相邻的交换，得到排列 1p ……S p 1c …k c a b 1+S p …m p再对这个排列中的b 依次与a ，k c ,…，1c 进行k +1次相邻的交换，就得到排列（4）.因此，经过2k +1（奇数）次相邻的交换可以由（3）得到（4）.由前面已证明的结论可知，进行奇数次相邻的交换，排列的奇偶性要改变，所以排列（3）与排列（4）有不同的奇偶性. （证毕）性质2 由1,2,…,n （n >1）所作的n ！个排列中，奇排列与偶排列各占一半. [证] 设奇排列有s 个，偶排列有t 个.对每一个奇排列都交换1与2，就得到s 个不同的偶排列.因此，s ≤t .同理可证t ≤s ，故s =t .（证毕）§2. 行列式的定义将2n 个数ij a （i ,j =1,2,…,n ）排成n 个横行及n 个竖列的方形表格，两边再用竖线围起, 就得到n 阶行列式的记号：nnn n nn a a a a a a a a a ............ (21)2222111211其中每个数ij a 称为行列式的元素，它有两个下标，第一个下标表示该元素所在的行数，第二个下标表示所在的列数，ij a 就是i 行j 列的元素.行列式的行数是从上到下依次为第一行，第二行，…，第n 行.列数是从左到右依次为第一列，第二列，…，第n 列.行列式有两条对角线，由左上到右下那条对角钱称为主对角线，在主对角线上的元素为11a ,22a ,…，nn a .由右上到左下的对角线有时称为副对角线.n 阶行列式是由代数和组成的一个数，其定义如下.定义n 阶行列式为nnn n nna a a a a a a a a ............ (21)2222111211=21212121)1(p p P P P ）P P （P a a nn ∑⋯⋯-τ…n np a其中τ(21p p …n p )是列标排列21p p …n p 的逆序数，∑nP P P 21表示对所有n ！个排列求和.上述定义说明n 阶行列式是含有n ！项的代数和，其中每一项是不同行不同列的n 个元素的乘积，当把这n 个元素按行标从小到大的顺序排列时，其列标排列21p p …n p 的逆序数τ(21p p …n p )若为偶数，这项冠以“+”号，若为奇数，这项冠以“－”号.根据行列式的定义，一二三阶行列式可以计算如下： 一阶行列式：11a =110)1(a -=11a 二阶行列式：22211211a a a a =22110)1(a a -+21121)1(a a -=2211a a －2112a a三阶行列式：333231232221131211a a a a a a a a a =3322110)1(a a a -+3123122)1(a a a -+3221132)1(a a a -+3122133)1(a a a -=332211a a a +312312a a a +322113a a a －312213a a a －332112a a a －322311a a a 如果在三阶行列式中，将冠以“+”号的项的三个数用实线加以连接，将冠以“－”号的项的三个数用虚线加以连接，就可以得到如下图形：利用这个图形，很容易写出三阶行列式的六项代数和.例1. 计算以下两个行列式：（1）1D =4321 （2）2D =432501123--[解] （1）1D =3241⨯-⨯=64-=2-（2）2D =)3(1)1(252403-⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯412)3(5320)1(⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯--=84503200-+-++=60四阶行列式有4！=24项，要写出并计算这24个乘积的代数和是很麻烦的.对于三阶以上的高阶行列式，一般要利用下节要介绍的行列式的性质进行计算.不过，像下面例2的几个特殊的高阶行列式，却可以用定义直接得到它的值.+3321121)1(a a a -+3223111)1(a a a -例2. 利用行列式的定义计算下列的行列式1D =nn n n a a a a a a21222111000 2D =nn nn a a a a a a 000222112113D =nna a a000002211 4D =nnnn n n n n a a a a a a 112121000--[解] 行列式1D 在主对角线之上的元素全为0，这种行列式称为下三角行列式.根据定义，行列式是由不同行不同列元素的乘积的代数和，因为含0元素的项必为0，只要考察不含0元素的项.设这种项为：n n np p p ）P P （P a a a 212121)1(τ-因为1D 的第一行除了11a 之外为0，所以必有11p a =11a ，1D 的第二行除了21a ,22a 之外都为0，但21a 与11a 位于同一列，与11a 不同列的只有22a ，所以22p a =22a ，依次类推，可知1D 中不含0元素的项只有如下一项：nn n ）a a a 221112()1(⋅⋅⋅-τ=nn a a a 2211因此，1D =nn a a a 22112D 的主对角线之下的元素都是0，这种行列式称为上三角行列式.依次讨论第n 行，第1-n 行，…，第1行，可知2D 中不含0元素的项与1D 相同，所以2D =nn a a a 2211上三角与下三角行列式统称为三角行列式.行列式3D 中除对角线上的元素之外，其它元素都是0，这种行列式称为对角行列式，它是三角行列式的特例，因此3D =nn a a a 2211以上说明三角行列式及对角行列式的值都等于主对角线上元素的乘积.4D 在副对角线上方的元素为0，它不是三角行列式.类似于前面的讨论可知4D 中不含0元素的项只有121121121()1(n n n n ）n n a a a a ---- τ，因为)121( -n n τ=12)1(+++- n =)1(21-n n ，所以 4D =1211212)1()1(n n n n n n a a a a ----即4D 等于副对角线上元素的乘积再乘以2)1()1(--n n .例3. 设)(x f =)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n n n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯，其中各元素)(x a ij 都是可导函数.试证)(x f '=)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n n n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯'''+)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n n n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯'''+…+)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n nn n '''⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（即对行列式求导，等于对各行求一次导的n 个行列式的和） [证] 根据行列式定义，有)(x f '='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑⋯n n n P P nP P P P P P x a x a x a 12121)()()()1(21)( τ=[]∑⋯'-nn n P P nP P P P P x a x a x a1211)()()()1(21)( τ=∑⋯'-nn n P P nP P P P P x a x a x a 1211)()()()1(21)( τ+ +'-∑⋯nn n P P nP P P P P x a x a x a 1211)()()()1(21)(τ +∑⋯'-nn n P P nPP P P P x a x a x a 1211)()()()1(21)( τ=)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n n n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯'''+)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n n n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯'''+…+)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n nn n '''⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （证毕）下面的定理是对行列式定义的另一种说法. 定理. 对于上述行列式定义中的任意一项n n nP P P ）P P P a a a 212121()1(τ-若对乘积21P a 22P a …n nP a 的因子顺序进行若干次交换，变为乘积11j i a 22j i a …n n j i a ，则有n n nP P P ）P P P a a a 212121()1(τ-=n n n n j i j i j i j j j ）i i i a a a 22112121)(()1(ττ+-换句话说，如果行列式各项的乘积21P a 22P a …n nP a 的因子不是按行标从小到大的自然顺序排列，而是任意排列成11j i a 22j i a …n n j i a ，则这项应冠以符号)((2121)1(n n j j j ）i i i ⋯+⋯-ττ[证] 因为21P a 22P a …n nP a =11j i a 22j i a …n n j i a ，所以只要证明）P P P n 21()1(τ-= )((2121)1(n n j j j ）i i i ττ+⋯-设21P a 22P a …n nP a 的因子经过k 次交换，成为11j i a 22j i a …n n j i a ，则行标排列1 2…n 经过k 次交换，成为排列n i i i 21.列标排列n p p p 21经过k 次交换，成为排列n j j j ⋯21，根据§1性质1，若k 为奇数，则行标排列与列标排列都同时改变奇偶性，因而)12()1(n τ-=)()(2121)1()1(n n P P P i i i ， ττ---=)(21)1(n j j j τ--若k 为偶数，则行标排列与列标排列的奇偶性都不变，因而有)12()1(n τ-=)()(2121)1()1(n n P P P i i i ， ττ--=)(21)1(n j j j τ-不论k 是哪一种情况，都有)()12(21)1(n p p p n ττ+-=)()(2121)1(n n j j j i i i ττ+-因为0)12(=n τ，所以要证的等式成立.（证毕）§3. 行列式的性质设n 阶行列式D =nn n n nn a a a a a a a a a ............ (212222111211)将行列式D 的第一行，第二行，…，第n 行，依次改写成第一列，第二列，…，第n 列，得到行列式 TD =nnn nn n a a a a a a a a a ............ (212)221212111T D 称为D 的转置行列式.D 中i 行j 列的元素ij a ，在T D 中位于j 行i 列的位置上.性质1. 行列式与其转置行列式相等. [证] D 中任意一项为n n nP P P ）P P P a a a 212121()1(⋯-τ其中21P a 22P a …n nP a 也是T D 中不同行不同列元素的乘积，但在TD 中，其行标排列为n p p p ⋯21，列标排列则为12…n ，根据上节定理，在T D 中，这个乘积应冠以符号)()12((2121)1()1(n n P P P n ）P P P τττ-=-⋯+这就证明了D 中每一项也是TD 中的一项，D 中不同的项在TD 中也是不同的，并且D 与TD 的项数一样，都是n ！，因此有D=TD .（证毕）由性质1可知，行列式中的行与列具有同等地位，行列式的性质凡是对行成立的，对列也必定成立，反之也一样.因此，以下的行列式性质，我们只对行的情形加以证明，将行列式转置就可得到列的相应性质，以后不再说明.性质2. 交换行列式的两行（列），行列式变号. [证] 设D =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯jn j j in i i a a a a a a 2121行第行第j i ←← 交换第i 行与第j 行，得1D =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯in i i jn j j a a a a a a 2121行第行第j i ←← 其中D 与D 1中未写出的行的元素都对应相同. 根据行列式定义，D 中任一项为n j i n j i nP jP iP P P P P P a a a a 111)()1(τ-其中n j i nP jP iP P a a a a 11也是D 1中不同行不同列元素的乘积，其列标排列没有变化，但行标排列为n i j 1它是由自然顺序n j i 1交换i ,j 得到的，由§1性质1，有)1()1(n i j τ-= )1()1(n j i τ--=0)1(--=1-.根据上节定理，乘积n j i nP jP iP P a a a a 11在D 1中应冠以符号)()1(1)1(n j i P P P P n i j ττ+-=)(1)1(n j i P P P P τ--与在D 中的符号相反，这说明将D 中每一项变号，就得到D 1的所有项，故有D=－D 1.（证毕）推论 若行列式有两行（列）相同，则此行列式等于零.[证] 将这两行交换，行列式未改变，由性质2得到D=－D ，所以D=0.性质3. 行列式某一行（列）中所有元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘此行列式，即有 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯in i i ka ka ka 21=k ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯in i i a a a 21 两个行列式中除第i 行之外，未写出的元素都对应相同.（这性质也可以叙述成行列式某行（列）的公因子可以提到行列式外面相乘）[证] 根据行列式定义，有 等式左边=npn ip P P P P P P a ka a i n i n)()1(1111)(τ∑⋯-=npn ip P P P P P P a a a ki n i n1111)()1(τ∑-=等式右边. （证毕）性质4. 行列式中如有两行（列）成比例，则此行列式等于零.即D =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯jn j j in i i a a a ka ka ka 2121=0[证] 根据性质3，将D 的第i 行提出公因子k 以后，行列式的第i 行与第j 行相等，由性质2的推论得D=0. （证毕）性质5. 若行列式的某行（列）的元素都是两数之和，例如第i 行的元素都是两数之和：D =nn n n in in i i i i na a ab a b a b a a a a21221111211)()()(⋯⋯⋯⋯+++⋯⋯⋯⋯则D 等于下列两个行列式之和：D =nn n n in i i na a a a a a a a a 212111211⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+nnn n in i i n a a a b b b a a a 212111211⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ [证] 记等式右边两个行列式为D 1，D 2，则根据行列式的定义，有D=n i i n nnp ip ip P P P P P a b a a )()1(1111)(+-⋯∑τ=n i n nnp ip P P P P P a a a 1111)()1(τ∑⋯-+n i n nnp ip P P P P P a b a 1111)()1(τ∑-=D 1+D 2 （证毕）性质6. 将行列式的某行（列）乘以数k ，再加到另一行（列）上，行列式的值不变，即D =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯jn j j in i i a a a a a a 2121=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+++⋯⋯⋯⋯jn j j jnin j i j i a a a ka a ka a ka a 212211=1D D 与D 1中未写出的元素对应相同.[证] 由性质5及性质4，有1D =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯jn j j in i i a a a a a a 2121+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯jn j j jnj i a a a ka ka ka 2121=D+0=D 在举例之前，先引进行列式运算的几个记号： （1）“交换i ,j 两行（列）”记作j i r r ↔)(j i c c ↔. （2）“0≠k 乘i 行（列）”记作i kr )(i kc（3）“k 乘j 行（列）加到i 行（列）上”记作j i kr r +)(j i kc c +要注意：行列式经运算j i kr r +后，第i 行改变，但第j 行不变.同样，运算j i kc c +使行列式的第i 列改变，但第j 列不变.例1. 计算四阶行列式 D=123412121124021231-----[解] 计算数字的高阶行列式，有一种方法是利用行列式性质，尤其是用行列式的性质6，将行列式化为上三角行列式，于是上三角行列式主对角线上元素的乘积就是行列式的值.本题先以2乘第1行，再以2除行列式，使行列式的元素都为整数，方便计算.再用行列式性质（主要是性质6），将其化为上三角行列式.整个计算过程如下：1490134013800132211234121211240132212141312221--------++-r r r r rr r D15001100011001322194149013400110013221242342----+r r r r r r 400110011013--=)4()1(1221-⨯-⨯⨯⨯=4例2．计算行列式D =2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a[解] 这是文字元素的行列式，计算这种行列式，要先分析行列式的特点，采用适当的行列式性质进行化简计算.本行列式的特点是各行的构造相类似，对列作变换可达到化简的目的.具体运算如下.341223c c c c c c D ---2212221222122212523212523212523212523212222223342222++++-++++++++++++d d c c b b a a c c d d d d c c c c b b b b a a a a =0注意：在对行列式连续做两次以上的运算时，第一次运算以后，行列式已变化，第二次再作运算时，是对变化后的行列式作运算，而不是对原来行列式作运算.例如连续作两次运算12c c -,23c c -，当作了运算12c c -后，行列式的第2列已变化，再作23c c -时，应是第三列减去变化后的行列式的第二列，如果还是减去原行列式的第二列，就会产生错误.避免错误的方法之一,就是做了一次运算就将行列式写出来，再做第二次运算.但这样做又太麻烦了.要不麻烦，就像我们在本题中所做的那样，连续对行列式作运算34c c -,23c c -，在作运算34c c -时，第二三列并未改变，因此再做23c c -的运算时，对原行列式作23c c -，与对变化后的行列式作23c c -是一样的结果.例3． 计算n 阶行列式D =ab b b a b b b a ⋯⋯⋯⋯ （主对角线元素都为a ，其它元素都为b ）.[解] 本行列式的特点是各行元素之和相等，若将第2列之后各列都加到第1列，将公因子提出，再对行作运算，就可化为上三角行列式了.具体运算过程如下.D a b b n a b a b n a b b b n a cc c n )1()1()1(21-+⋯⋯⋯⋯-+-++++=])1([b n a -+ab b a b b 111⋯⋯⋯⋯ 11213r r r r r r n --- ])1([b n a -+ba b a b a b b b -⋯⋯⋯⋯⋯-- 0000001=1)]()1([---+n b a b n a例4. 计算行列式D =111222+++z yzxzyz y xyxz xy x [解] 第一二三行依次提公因子x ,y ,z ，得D =zz y xz yy x z y xx xyz111+++再对第一二三列依次乘x ,y ,z ，得D =111222222222+++z y x z y x z y x行列式各行之和相等，可按例3的方法计算，得D11111222222222222222+++++++++++z y z y z y z y z y z y =)1(222+++z y x 11111222222++z y z y z y10101)1(222221312z y z y x r r r r +++--=1222+++z y x§4. 行列式按行（列）展开定义. 在n 阶行列式中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列剩下的1-n 阶行列式记作ij M ，称为元素ij a 的余子式，而ij A =ij j i M +-)1(称为元素ij a 的代数余子式.例如三阶行列式D =321321321c c c b b b a a a则1行1列元素1a 的余子式11M 及代数余子式11A 为11M =3232c c b b ，11A =1111)1(M +-=11M =3232c c b b 2行3列元素3b 的余子式23M 及代数余子式23A 为23M =2121c c a a ，23A =2332)1(M +-=23M -=2121c c a a -由定义可知，当元素所在的（行数+列数）为偶数时，代数余子式和余子式相等，为奇数时，代数余子式和余子式相差一个符号.引理. 在n 阶行列式D 的第i 行所有元素中，除元素ij a 外，其余元素都为零，则D=ij a ij A .[证] 先证i =j =1的情形.设D =nnn n na a a a a a a 21222211100⋯⋯⋯⋯根据行列式定义，有 D=n n nnp p P P P P P P P a a a 21212121)()1(τ∑- (11>P 时，11P a =0) =n n nnp p P P P P a a a 222211)1(1)1(τ∑- (1,2≠n ，P P ) =n n nnp P P P P P a a a 2222)(11)1( τ∑-=1111M a =1111A a再证一般情形.设D =nnnj njnj n ij n j j j a a a a a a a a a a a111111111110000+-+-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯将D 中第i 行依次与第1-i 行，2-i 行，…，1行相交换，再将得到的行列式的第j 列依次与第1-j 列，2-j 列，…，1列相交换，设得到的行列式为D 1.则D 1中1行1列的元素为ij a ，D 1中1行1列元素的余子式11M '=D 中i 行j 列的余子式ij M .由前面证过的结论，有 1D =ij a 11M '=ij a ij M 因为D 1是由D 经过)1()1(-+-j i 次行、列的交换得到的，所以有D =ij ij ij j i ij ij ij j i j i A a M a M a D =-=-=-++-+-)1()1()1(1)1()1(. （证毕）定理. 设n 阶行列式D =nnn n n n a a a a a a a a a 212222111211⋯⋯⋯⋯则有按第 i 行展开式：D =in in i i i i A a A a A a +++ 2211.(i =1,2,…,n ) 按第j 列展开式：D =nj nj j j j j A a A a A a +++ 2211.(j =1,2,…,n ) [证]D =nnn n in i i na a a a a a a a a212111211000000+⋯+++⋯+++⋯++根据§3行列式性质5，D 等于n 个行列式之和，即D =nn n n i n a a a a a a a2111121100+nn n n i n a a a a a a a2121121100+…+nnn n in n a a a a a a a211121100 根据引理，就得到按第i 行的展开式D =in in i i i i A a A a A a +++ 2211按列的展开式同理可证.（证毕）推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即jn in j i j i A a A a A a +++ 2211=0，)(j i ≠，和 nj ni j i j i A a A a A a +++ 2211=0，)(j i ≠[证] 根据定理，将D 按j 行展开，有jn jn j j j j A a A a A a +⋯++2211=nnn jn j in i n a a a a a a a a111111行第行第j i ←← 在等式两边，将1j a ,2j a ,…, jn a 依次换作1i a ,2i a ,…in a ，（jnj j ，A A A ,,21不含第j 行元素）得jn in j i j i A a A a A a +⋯++2211=nnn in i in i n a a a a a a a a111111行第行第j i ←← 右边行列式有两行相同,等于零.故得jn in j i j i A a A a A a +++ 2211=0 (j i ≠)同理可证列的情况. （证毕）利用行列式的展开式，可以将计算n 阶行列式化为计算n －1阶行列式.对于数字元素的行列式，经常将某行（列）的元素除一个元素外都化为零，再按该行（列）展开，达到降阶的目的.例1 计算行列式D=1234121211240132-----[解] 第4列比较简单，并且还有一个0，所以我们对行作运算，使第4列除一个元素外，其余元素都是0，具体计算如下.022121201120132-按第4列展开02211213243)1(1--+-⨯2204013212----r r 按第3列展开224031)1(--+--=)]2)(4(20[---⨯-=8 例2 设D =2235007022220403-- 求（1）D 中第三行各元素的代数余子式之和34333231A A A A +++ （2）D 中第四行各元素余子式之和44434241M M M M +++[解]（1）将34333231A A A A +++看作D 中第3行元素改为1,1,1,1后，再按第3行展开的展开式，故有34333231A A A A +++=2235111122220403-=0 （2）44434241M M M M +++=44434241A A A A +-+-=1111007022220403---按第3行展开1112224323)1(7--+-∙- =28)4(7-=-⨯例3 证明n 阶)1(>n 范德蒙（Vandermonde ）行列式n V =112112222121111---⋯⋯⋯⋯n nn n n n x x x x x x x x x =∏≥>≥-1)(j i n j i x x=⋅----)())()((1141312x x x x x x x x n )()())((122423-----⋅n n n x x x x x x x x（其中记号∏表示同类因子的连乘积.）[证] 对阶数n 用数学归纳法.2=n 时，有2V =2111x x =12x x -=∏≥>≥-12)(j i jix x ，结论成立.设结论对1-n 阶范德蒙行列式成立，即设223222232232111---⋯⋯⋯⋯n nn n n n x x x x x x x x x =∏≥>≥-2)(j i n j i x x 下面要证明对n 阶范德蒙行列式，结论也成立.对n V ，从第n 行开始，直到第2行，将后行减去前行的1x 倍，即对n V 依次作运算11--n n r x r ，211---n n r x r ，…，112r x r -，得n V =)()()(0)()()(011111213231222113312211312x n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n n n n ------------按第1列展开后，再提出各列的公因子，就得n V =)())((11312x x x x x x n -⋯--2232232111---⋯⋯⋯⋯n nn n nx x x x x x 右端的行列式是1-n 阶的范德蒙行列式，由上面的归纳假设得n V =)())((11312x x x x x x n --- ∏≥>≥-2)(j i n jix x =∏≥>≥-1)(j i n jix x即结论对n 阶范德蒙行列式也成立.由归纳法，该等式对一切2≥n 的自然数都成立.（证毕）n 阶范德蒙行列式等于2nC =2)1(-n n 个形如j i x x -的因子的乘积，例如4V 是24C =6个形如j i x x -的因子的乘积，即4V =343332312423222143211111x x x x x x x x x x x x =∏≥>≥-24)(j i j i x x =))()()()()((342423141312x x x x x x x x x x x x ------当n x x x ,,21 中有两个数相等时，就有n V =0，只有这n 个数都互不相等时，才有n V ≠0.例4 计算n 阶行列式D=na bbbb b a b bb b a ⋯⋯⋯⋯⋯21，),,2,1,(n i a b i =≠[解] 利用加边法计算.即添加一行一列，将D 表示成n +1阶行列式，再利用行列式性质进行运算得出结果.具体作法如下.将下面右边n +1阶行列式按第1列展开，可知下面的等式成立D=n a bb b b b a b bb b a bb b b00121，(右边为n +1阶)以1-乘第1行加到其它各行，得D=ba b a b a b b bbn --⋯⋯⋯⋯⋯⋯----100010001121因为0≠-b a i ),,2,1(n i ⋯=，依次以b a -11，b a -21，…，ba n -1乘第2,3,…,n +1列再加到第1列，得到D=ba b a b a b b b b b a bn ni i ----+∑= 000000000001211这是上三角行列式，故得D=)())()(1(211b a b a b a ba bn ni i ----+∑=§5. 解线性方程组的克莱姆（Cramer ）法则本章最后，介绍用行列式解线方程组的克莱姆法则，即下面的定理. 定理（克莱姆法则）设有n 个方程n 个未知量的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* （1） 若系数行列式D=nnn n n n a a a a a a a a a 212222111211⋯⋯⋯⋯≠0则线性方程组（1）有唯一解D D x 11=，D D x 22=，…，DDx n n = 其中),,2,1(n j D j ⋯=是用常数项n b b b ,,,21⋯替换D 中第j 列所得的行列式，即j D =nnj n n j n n nj j n j j a a b a a a a b a a a a b a a .......................................1,1,121,221,22111,111,111+-+-+-[证] 这里只对2=n 的情形证明，一般情况的证明留到第二章给出.设方程组为⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a 系数行列式D =22211211a a a a =012212211≠-a a a a以22a 乘第1方程，12a 乘第2方程，再相减得121122211)(x a a a a -=122221a b a b -以21a 乘第1方程，11a 乘第2方程，再将第2方程减第1方程得221122211)(x a a a a -=211112a b a b -因11a 0211222≠-a a a ，故得1x =12212211122221a a a a a b a b --=22211211222121a a a a a b a b =DD 1, 2x =12212211211112a a a a a b a b --=22211211221111a a a a b a b a =D D 2. 以上证明了如果方程组有解，则它的解只能是 1x =D D 1，2x =D D2 （＊） 其中D=22211211a a a a ，D 1=222121a b a b ，D 2=221111b a b a若将得到的1x ,2x 的表达式（＊）代入方程组中，容易验证（＊）式确是方程组的解.（证毕）例 解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x[解] 系数行列式为D=674121200311512-----674121201277011970------按1列展开21212771197------21c c +21112701192----21112715110231-----r r 列展开按1127152---＝1271511=0271051321571211≠=-=⨯-⨯方程组有唯一解.再计算出1D =816740212560391518=------，2D =1086701215060911582-=-----3D =276041252069311812-=---，4D =270741512090318512=-----根据克莱姆法则得3278111===D D x ，42710822-=-==D D x 1272733-=-==D D x ，1272744===D D x方程组的唯一解为1x =3，2x =－4，3x =-1，4x =1.。