2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题4-5 三角恒等变换

高三数学一轮复习知识点讲解专题5.4 三角恒等变换【考纲解读与核心素养】1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.3.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.4.高考预测：（1）和（差）角公式； （2）二倍角公式；（3）和差倍半的三角函数公式的综合应用.（4）对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用（正用、逆用、变用）、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查. 5.备考重点：(1) 掌握和差倍半的三角函数公式； (2) 掌握三角函数恒等变换的常用技巧.【知识清单】知识点1．两角和与差的三角函数公式 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β； T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；)4sin(2cos sin πααα±=±.函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f(α)＝a 2＋b2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 知识点2．二倍角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.变形公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α21＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2【典例剖析】高频考点一 两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用【典例1】（2020·湖南娄星�娄底一中高一期末）已知α为锐角，且3cos()65πα+=，则sin α=（ ）A B C D 【答案】B 【解析】 ∵cos （α6π+）35=（α为锐角）， ∴α6π+为锐角， ∴sin （α6π+）45=，∴sin α＝sin[（α6π+）6π-]＝sin （α6π+）cos 6π-cos （α6π+）sin 6π431552=-⨯=故选B ．【典例2】（2020·山东聊城�高一期末）角α的终边与单位圆的交点坐标为1)2，将α的终边绕原点顺时针旋转34π，得到角β，则cos()αβ+=（ ）A B C D ．0【答案】A 【解析】由角α的终边经过点1)2，得1sin ,cos 2αα==， 因为角β的终边是由角α的终边顺时针旋转34π得到的，所以3331sin sin()sin cos cos sin (4442πππβααα=-=-=⨯=3331cos cos()cos cos sin sin (4442πππβααα=-=++=1cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-=， 故选：A .【典例3】（2020·广东高一期末）已知函数f （x ）＝sin （ωx +512π）﹣cos （ωx +512π）（0＜ω＜6）的图象关于直线x ＝1对称，则满足条件的ω的值为（ ） A ．6πB ．3π C ．43π D ．73π【答案】BC 【解析】因为5()))1246f x x x πππωω=+-=+， 由62x k ωππ+=π+，k Z ∈， 因为06ω<<，所以x =k πω3πω+，k Z ∈， 由题意可得13k ππωω+=，k Z ∈，得3k πωπ=+，k Z ∈， 因为06ω<<，所以ω=3π或43πω=. 故选：BC. 【规律方法】1.三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.2.三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．3.给值求角问题，解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；(2)根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、cosα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．【变式探究】1.（2019·北京高考模拟（文））如图，在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为34,55A⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C-.若6BOCπ∠=，则()cosβα-的值是( )A 343-B343+C．4-3310D．43310+【答案】C 【解析】依题意，有：3cos 5α=，4sin 5α，cos 32β=-，1sin 2β=，()cos βα-＝3314433cos cos sin sin 252510βαβα-+=-⨯+⨯=.故答案为：C.2. （2019·江西高考模拟（文））如图，点A 为单位圆上一点， 3XOA π∠= 点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点B(-45，35)则cos α=( )A ．33410B ．43310+ C 343- D ．34310+ 【答案】A 【解析】由题意得：43cos ,sin 3535ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫∴=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦13cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1433334255-⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭故选A3.（2019·河南鹤壁高中高考模拟（文））平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 是单位圆在第一象限内的点，xOP α∠=，若11cos 313απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则00y x +为_____． 【答案】153126【解析】由题意知：0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5,336ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由11cos 313απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得43sin 313πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 0sin sin sin cos cos sin 333333y ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43111315313213226=⋅+⋅=0cos cos cos cos sin sin 333333x ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111433113213226-=⋅+⋅=0015311531262626x y ++=+=，故答案为：153126+. 【总结提升】(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．高频考点二 两角和与差的正切公式的应用【典例4】（2020·山西应县一中高一期中（理））若45A B +=︒,则(1tan )(1tan )A B ++=______,应用此结论求()()()()1tan11tan21tan431tan44+︒+︒+︒+︒的值为______.【答案】2 222 【解析】45A B += ()tan tan tan 11tan tan A BA B A B+∴+==-，即tan tan tan tan 1A B A B ++=()()1tan 1tan 1tan tan tan tan 2A B A B A B ∴++=+++=()()()()221tan11tan 21tan 431tan 442++⋅⋅⋅++∴=故答案为：2；222【典例5】（2018年全国卷II 文）已知，则__________．【答案】. 【解析】，解方程得.【规律方法】1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π2(k ∈Z )，可利用诱导公式化简． 【变式探究】1.（2019·黑龙江哈尔滨三中高考模拟（理））已知α是第二象限角，且3sin()5πα+=-，则tan 2α的值为（ ） A ．45B ．237-C ．247-D ．249-【答案】C【解析】 由()3sin 5πα+=-，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-. 34sin tan cos ααα==-. 232tan 242tan291tan 7116ααα-===---.故选C.2.（2019·四川高考模拟（理））已知4cos 5=-α，()π,0∈-α，则πtan 4⎛⎫-= ⎪⎝⎭α( )A ．17 B ．7 C ．17-D ．7-【答案】C 【解析】4cos ,(,0)5a απ=-∈-∴(,)2παπ∈--33sin ,tan 54αα∴=-=则tan 1tan 41tan πααα-⎛⎫-= ⎪+⎝⎭ 31143714-==-+故选：C ． 【总结提升】1.“1”的代换：在T α±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的． 2．若α＋β＝π4＋k π，k ∈Z ，则有(1＋tan α)(1＋tan β)＝2．3．若化简的式子里出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式． 高频考点三 二倍（半）角公式的应用【典例6】（2020·全国高考真题（文））若2sin 3x =-，则cos2x =__________． 【答案】19【解析】22281cos 212sin 12()1399x x =-=-⨯-=-=.故答案为：19. 【典例7】（2020·浙江高一期末）已知(,2)αππ∈，若3tan 4α=，则tan()4πα+=__；2cos 2α=__. 【答案】7 110【解析】因为(,2)αππ∈，若3tan 4α=， 故可得sin 35α=-，cos 45α=-.则tan 71471414tan tan πααα+⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭； 2cos 2α=()1111122510cos α+=⨯=. 故答案为：7；110. 【典例8】(2019年高考全国Ⅰ卷文)函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+ 23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-． 【总结提升】1.转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．2.已知θ的某个三角函数值，求θ2的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可 【变式探究】1.（2020·海南枫叶国际学校高一期中）若3cos 22sin()4παα=-，(,)2παπ∈则sin 2α的值为( )A．9-B．9-C ．79-D ．79【答案】C 【解析】因为3cos 22sin()4παα=-，所以3cos 22(sincos cossin )sin )44ππααααα=-=-，223(cos sin )sin )αααα-=-，3(cos sin )(cos sin )sin )αααααα+-=-，因为(,)2παπ∈，所以cos sin 0αα-≠，所以3(cos sin )αα+=所以cos sin 3αα+=， 两边平方得，212cos sin 9αα+= 所以7sin 29α=-， 故选：C2.（2020·河南林州一中高一月考）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(P -.（Ⅰ）求tan()sin()2cos()sin(3)πααπαπα-++---的值； （Ⅱ）求tan 2tan 2αα+的值.【答案】（Ⅰ）23-；（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）由题意得：1sin ,cos tan 2ααα=== 原式tan cos (cos )sin αααα-+=-⋅23==-（Ⅱ）22tan tan 21tan ααα==-1sin tan 221cos ααα===+tan 2tan2αα+=2．【特别提醒】 1.倍角的含义：对于“二倍角”应该有广义的理解，如2α是α的二倍角，4α是2α的二倍角，8α是4α的二倍角，α是α2的二倍角……这里的蓄含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． 2．公式的适用条件：在S 2α，C 2α中，α∈R ，在T 2α中，α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2(k ∈Z )，当α＝k π＋π2(k ∈Z )时，tan α不存在，求tan2α的值可采用诱导公式．高频考点四 简单的三角恒等变换---化简与证明【典例9】（2020·浙江吴兴�湖州中学高三其他）已知02πα<<，4sin 5α，1tan()3αβ-=-，则tan β=_______；sin())4βππβ+=+__.【答案】3 32【解析】 因为02πα<<，4sin 5α，所以3cos 5α===， 所以sin 4tan cos 3ααα==，因为1tan()3αβ-=-所以tan tan()tan tan[()]1tan tan()ααββααβααβ--=--=+-415()33334151()339--===+⨯-，所以sin()sin tan 33cos sin 1tan 132)4βπββπββββ+---====---+， 故答案为：3；32. 【典例10】求证：ααπαcos 1)24tan(1tan =++. 【答案】见解析【解析】左边＝sin αcos α＋)24sin()24cos(απαπ++ )24sin(cos )24cos(cos )24sin(sin απααπααπα++++=)24sin(cos )24cos(απαααπ+-+=)24sin(cos )24cos(απααπ+-===++=ααπααπcos 1)24sin(cos )24sin(＝右边． 故原式得证． 【总结提升】1.三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．2．三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．【变式探究】1.（2018届河南省郑州外国语学校高三第十五次调研）已知，满足，则的最大值为______.【答案】.【解析】由，得化为，，，的最大值为，故答案为.2.将下列三角函数解析式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的形式． (1)f (x )＝2cos x 2(3sin x 2＋cos x2)－1；(2)f (x )＝22cos(x ＋π4)cos(x －π4)＋22sin x cos x ．【答案】见解析【解析】思路分析：先将f (x )利用三角恒等变换化为a sin x ＋b cos x 的形式，再利用辅助角公式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的形式详解：(1)f (x )＝23sin x 2cos x 2＋2cos 2x 2－1＝3sin x ＋cos x ＝2(sin x cos π6＋cos x sin π6)＝2sin(x ＋π6)．(2)f (x )＝22(cos x cos π4－sin x sin π4)·(cos x cos π4＋sin x sin π4)＋2sin2x ＝2(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )＋2sin2x ＝2cos2x ＋2sin2x ＝2sin(2x ＋π4)．【总结提升】将三角函数y ＝f (x )化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的步骤(1)将sin x cos x 运用二倍角公式化为12sin2x ，对sin 2x ，cos 2x 运用降幂公式，sin(x ±α)，cos(x ±α)运用两角和与差的公式展开．(2)将(1)中得到的式子利用a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2·sin(α＋φ)化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的形式．。

【题后反思】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求 角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一 般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一 个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β， β＝α＋2 β－α－2 β，α＝α＋2 β＋α－2 β，α－2 β＝α＋β2－α2＋β等.
1－cos α 2.
(2)cos α2＝± (3)tan α2＝±
1＋cos α 2.
1－cos 1＋cos
αα＝1＋sicnoαs
α＝1－sincoαs
α .
以上称之为半角公式，符号由α2所在象限决定.
考点一 三角函数式的化简 1.化简：22tcaonsπ44x－－x2scions22π4x＋＋12x＝________.
2025年高考一轮总复习
第三章 三角函数、解三角形
第四讲 简单的三角恒等变换
1.辅助角公式的应用 (1)a sin α＋b cos α＝ a2＋b2sin α· a2a＋b2＋cos α· a2b＋b2， 不妨记 cos φ＝ a2a＋b2，sin φ＝ a2b＋b2， 则 a sin α＋b cos α＝ a2＋b2(sin αcos φ＋cos αsin φ)＝ a2＋b2sin (α＋φ).
答案：B
考向 3 给值求角
[例 3]已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝21，tan β＝－17，则 2α－β 的值为________.
解析：∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝1t－ant(aαn－(αβ－)＋β)ttaannββ ＝1＋12－12×17 17＝13＞0， ∴0＜α＜π2.

三角恒等变换知识点总结详解三角恒等变换是指一些与三角函数相关的恒等式或等式组，通过这些等式可以将一个三角函数表达式转化为另一个三角函数表达式，或者简化一个复杂的三角函数表达式。

这些恒等变换在解决三角函数相关问题时非常有用。

下面是对一些常见的三角恒等变换进行总结和详解。

1.正弦函数的恒等变换：- 正弦函数的定义：对于任意实数x，sin(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。

- 正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，即正弦函数以2π为周期。

- 正弦函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，即正弦函数是奇函数。

2.余弦函数的恒等变换：- 余弦函数的定义：对于任意实数x，cos(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。

- 余弦函数的周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，即余弦函数以2π为周期。

- 余弦函数的奇偶性：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数是偶函数。

3.正切函数的恒等变换：- 正切函数的定义：对于任意实数x（除了例如π/2 + kπ，其中k 为整数），tan(x) = y，其中y为整个实数轴上的值。

- 正切函数的周期性：tan(x + π) = tan(x)，即正切函数以π为周期。

- 正切函数的奇偶性：tan(-x) = -tan(x)，即正切函数是奇函数。

4.三角函数的平方和差公式：- sin²(x) + cos²(x) = 1，即正弦函数的平方与余弦函数的平方和等于1- sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，即正弦函数的和的正弦等于两个正弦函数的乘积和。

- cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)，即余弦函数的和的余弦等于两个余弦函数的乘积差。

- sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)，即正弦函数的差的正弦等于两个正弦函数的乘积差。

tan α－tan β tan(α－β)＝_1_＋__ta_n__α_t_a_n_β___；
变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan α＋tan β
tan(α＋β)＝_1_－__t_a_n_α_t_a_n__β__；
变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
二、填空题
1．已知 tan α＝2，则 tanα－π4＝________. 解析：∵tan α＝2，∴tanα－π4＝t1a＋n tαa－n α1＝13. 答案：13
2．化简 cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为________．
解析：法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18° ＋42°)＝cos 60°＝12. 法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°) ＝sin 30°＝12. 答案：12
第五节 三角恒等变换
Contents
1
突破点一 三角函数求值
2 突破点二 三角恒等变换的综合问题
突破点一 三角函数求值
抓牢双基·自学回扣
[基本知识]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β) C(α＋β) S(α－β) S(α＋β)
T(α－β)
T(α＋β)
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β
17°cos
30°