DS06数据结构树-二叉排序树

数据结构与算法—二叉排序树详解前言前面介绍学习的大多是线性表相关的内容，把指针搞懂后其实也没有什么难度。

规则相对是简单的。

再数据结构中树、图才是数据结构标志性产物，(线性表大多都现成api可以使用),因为树的难度相比线性表大一些并且树的拓展性很强，你所知道的树、二叉树、二叉排序树，AVL树，线索二叉树、红黑树、B数、线段树等等高级数据结构。

然而二叉排序树是所有的基础，所以彻底搞懂二叉排序树也是非常重要的。

树参考王道数据结构二叉树也是树的一种，而二叉排序树又是二叉树的一种。

•树是递归的，将树的任何一个节点以及节点下的节点都能组合成一个新的树。

并且很多操作基于递归完成。

•根节点：最上面的那个节点(root)，根节点没有前驱节点，只有子节点（0个或多个都可以）•层数：一般认为根节点是第1层(有的也说第0层)。

而树的高度就是层数最高(上图层数开始为1)节点的层数•节点关系:父节点：就是链接该节点的上一层节点,孩子节点:和父节点对应，上下关系。

而祖先节点是父节点的父节点(或者祖先）节点。

兄弟节点：拥有同一个父节点的节点们！•度：节点的度就是节点拥有孩子节点的个数(是孩子不是子孙).而树的度(最大)节点的度。

同时，如果度大于0就成为分支节点,度等于0就成为叶子节点（没有子孙）。

相关性质：•树的节点数=所有节点度数 1.•度为m的树第i层最多有mi-1个节点。

(i>=1)•高度而h的m叉树最多（mh-1）/(m-1)个节点(等比数列求和) •n个节点的m叉树最小高度[logm(n(m-1) 1)]二叉树二叉树是一树的一种，但应用比较多，所以需要深入学习。

二叉树的每个节点最多只有两个节点。

二叉树与度为2的树的区别：•一：度为2的的树必须有三个节点以上，二叉树可以为空。

•二：二叉树的度不一定为2：比如说斜树。

•三：二叉树有左右节点区分，而度为2的树没有左右节点的区分。

几种特殊二叉树：•满二叉树。

高度为n的满二叉树有2n-1个节点•完全二叉树：上面一层全部满，最下一层从左到右顺序排列•二叉排序树：树按照一定规则插入排序(本文详解)。

数据结构—树二叉树前序遍历、中序遍历、后序遍历【图解实现】AI研习图书馆，发现不一样的精彩世界数据结构二叉树的遍历一、树在谈二叉树的知识点之前，我们首先来看一下树和图的基本概念。

树：不包含回路的连通无向图，树是一种简单的非线性结构。

由于树有一个不包含回路的特点，因此树被赋予了许多特性，如下所示：1、一棵树中任意的两个结点有且仅有唯一的一条路径连通2、一棵树如果有n个结点，那么它一定恰好有n-1条边3、在一棵树中加上一条边，将会构成一个回路4、一棵树中有且仅有一个没有前驱的结点，即为根结点通常情况下，我们在对树进行讨论的时候，将一棵树中的每个点称为结点:根结点：没有父结点的结点叶结点：没有子结点的结点内部结点：一个结点既不是根结点也不是叶结点每个结点有一个深度的概念，例如上图左边的树，4号结点深度是3。

二、二叉树1. 基本概念二叉树是一种非线性结构，二叉树是由递归定义的，其结点有左右子树之分。

2. 二叉树的存储结构二叉树一般采用链式存储结构，存储结点由数据域和指针域组成，二叉树的链式存储结构也称为二叉链表。

指针域：左指针域和右指针域特点：1、每个结点最多有两颗子树2、左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒3、即使某个结点只有一颗子树，也要区分左右子树4、二叉树可为空，空的二叉树没有结点，非空二叉树有且仅有一个根节点二叉树中有两种比较特殊的二叉树：满二叉树、完全二叉树，对于满二叉树和完全二叉树可以按照层次进行顺序存储。

满二叉树：二叉树中每个内部结点都存在左子树和右子树满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树。

满二叉树的严格定义：一颗深度为h且具有2h-1个结点的二叉树。

完全二叉树：解释一：如果一颗二叉树除了最右边位置上有一个或几个叶结点缺少外，其他都是丰满的，那么这样的二叉树就是完全二叉树。

解释二：除第h层外，其他各层（1到h-1）的结点数都达到最大个数，第h层从右向左连续缺若干结点，则这个二叉树就是完全二叉树。

介绍二叉排序树的结构和特点二叉排序树，也称为二叉搜索树或二叉查找树，是一种特殊的二叉树结构，其主要特点是左子树上的节点都小于根节点，右子树上的节点都大于根节点。

在二叉排序树中，每个节点都存储着一个关键字，而且所有的关键字都不相同。

二叉排序树的结构如下：1.根节点：二叉排序树的根节点是整个树的起始点，其关键字是最大的。

2.左子树：根节点的左子树包含着小于根节点关键字的所有节点，且左子树本身也是一个二叉排序树。

3.右子树：根节点的右子树包含着大于根节点关键字的所有节点，且右子树本身也是一个二叉排序树。

二叉排序树的特点如下：1.有序性：二叉排序树的最重要特点是有序性。

由于左子树上的节点都小于根节点，右子树上的节点都大于根节点，所以通过中序遍历二叉排序树，可以得到一个有序的序列。

2.快速查找：由于二叉排序树是有序的，所以可以利用二叉排序树进行快速查找操作。

对于给定的关键字，可以通过比较关键字与当前节点的大小关系，逐步缩小查找范围，最终找到目标节点。

3.快速插入和删除：由于二叉排序树的有序性，插入和删除操作比较简单高效。

插入操作可以通过比较关键字的大小关系，找到合适的位置进行插入。

删除操作可以根据不同情况，分为三种情况处理：删除节点没有子节点、删除节点只有一个子节点和删除节点有两个子节点。

4.可以用于排序：由于二叉排序树的有序性，可以利用二叉排序树对一组数据进行排序。

将数据依次插入二叉排序树中，然后再通过中序遍历得到有序序列。

二叉排序树的优缺点如下：1.优点：(1)快速查找：通过二叉排序树可以提供快速的查找操作，时间复杂度为O(log n)。

(2)快速插入和删除：由于二叉排序树的有序性，插入和删除操作比较简单高效。

(3)可以用于排序：通过二叉排序树可以对一组数据进行排序，时间复杂度为O(nlog n)。

2.缺点：(1)受数据分布影响：如果数据分布不均匀，可能导致二叉排序树的高度增加，从而降低了查找效率。

(2)不适合大规模数据：对于大规模数据，二叉排序树可能会导致树的高度过高，从而影响了查找效率。

数据结构之树和⼆叉树⼀树1 什么是树树状图是⼀种，它是由n（n>=1）个有限节点组成⼀个具有层次关系的。

把它叫做“树”是因为它看起来像⼀棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，⽽叶朝下的。

它具有以下的特点：每个节点有零个或多个⼦节点；没有⽗节点的节点称为根节点；每⼀个⾮根节点有且只有⼀个⽗节点；除了根节点外，每个⼦节点可以分为多个不相交的⼦树；树（tree）是包含n（n>0）个结点的有穷集，其中：（1）每个元素称为结点（node）；（2）有⼀个特定的结点被称为根结点或树根（root）。

（3）除根结点之外的其余数据元素被分为m（m≥0）个互不相交的集合T1，T2，……Tm-1，其中每⼀个集合Ti（1<=i<=m）本⾝也是⼀棵树，被称作原树的⼦树（subtree）。

2 相关术语节点的度：⼀个节点含有的⼦树的个数称为该节点的度；叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；⾮终端节点或分⽀节点：度不为0的节点；双亲节点或⽗节点：若⼀个节点含有⼦节点，则这个节点称为其⼦节点的⽗节点；孩⼦节点或⼦节点：⼀个节点含有的⼦树的根节点称为该节点的⼦节点；兄弟节点：具有相同⽗节点的节点互称为兄弟节点；树的度：⼀棵树中，最⼤的节点的度称为树的度；节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的⼦节点为第2层，以此类推；树的⾼度或深度：树中节点的最⼤层次；堂兄弟节点：双亲在同⼀层的节点互为堂兄弟；节点的祖先：从根到该节点所经分⽀上的所有节点；⼦孙：以某节点为根的⼦树中任⼀节点都称为该节点的⼦孙。

森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；3 树模拟⽂件系统⽰例class Node:def__init__(self, name, type='dir'): = nameself.type = type # "dir" or "file"self.children = []self.parent = Nonedef__repr__(self):return class FileSystemTree:def__init__(self):self.root = Node("/")self.now = self.root # 当前⽬录def mkdir(self, name):# name已/结尾的⽂件夹if name[-1] != "/":name += "/"node = Node(name)self.now.children.append(node)node.parent = self.nowdef ls(self):return self.now.childrendef cd(self, name):if name[-1] != "/":name += "/"if name == "../":self.now = self.now.parentreturnfor child in self.now.children:if == name:self.now = childreturnraise ValueError("invalid dir")tree = FileSystemTree()tree.mkdir("var/")tree.mkdir("bin/")tree.mkdir("usr/")print(tree.root.children)print(tree.ls())tree.cd('bin/')tree.mkdir('python/')print(tree.ls())tree.cd("../")print(tree.ls())⼆、⼆叉树⼆叉树的链式存储：将⼆叉树的节点定义为⼀个对象，节点之间通过类似链表的链接⽅式来连接* 度不超过2的树* 每个节点最多有两个孩⼦节点* 两个孩⼦节点被区分为左孩⼦节点和右孩⼦节点满⼆叉树：⼀个⼆叉树如果每⼀个层的节点数达到最⼤值,则这个⼆叉树就是满⼆叉树完全⼆叉树：叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下⾯⼀层的节点都集中在该层最左边的若⼲位置的⼆叉树⼆叉树的遍历⽅式：前序遍历： EACBDGF中序遍历： ABCDEGF后序遍历： BDCAFGE层次遍历： EAGCFBDfrom collections import dequeclass BiTreeNode:def__init__(self, data):self.data = dataself.lchild = Noneself.rchild = Nonedef level_order(root):queue = deque()queue.append(root)while len(queue) > 0: # 只要栈不空node = queue.popleft()print(node.data, end=',')if node.lchild:queue.append(node.lchild)if node.rchild:queue.append(node.rchild)root = BiTreeNode(100)root.lchild = BiTreeNode(30)root.rchild = BiTreeNode(102)level_order(root)三⼆叉搜索树⼆叉搜索树是⼀棵⼆叉树且满⾜性质：设X是⼆叉树的⼀个节点。

数据结构二叉排序树二叉排序树（Binary Search Tree）是一种特殊的二叉树，又称二叉查找树或二叉搜索树。

它的左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值，右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值。

并且左、右子树也分别是二叉排序树。

二叉排序树的实现，通常使用链式存储结构。

每个节点包含三个数据成员：key，left和right。

key为节点的关键字，left和right分别表示左右孩子节点的指针。

二叉排序树的查找过程是从根节点开始，比较要查找的关键字和根节点的关键字的大小，如果相等，则找到所需节点；如果比根节点小，则在左子树中继续查找；如果比根节点大，则在右子树中继续查找，直到找到所需节点或者指针为空。

二叉排序树的插入过程是先进行查找操作，找到插入的位置后，在该位置插入新节点。

插入一个新的节点会改变原有的结构，需要不断地调整二叉排序树，使之重新满足二叉排序树定义的性质。

二叉排序树的删除过程比较复杂，需要考虑多种情况。

如果要删除的节点是叶子节点，直接删除即可；如果要删除的节点只有一个子节点，将其子节点替换成该节点即可；如果要删除的节点有两个子节点，需要找到其右子树中的最小节点或者左子树中的最大节点作为替代节点。

二叉排序树的优缺点：优点：1. 查找、插入、删除元素的操作复杂度均为O(log n)，比线性查找的复杂度O(n)要快。

2. 适用于查找、排序、统计和检索大量元素的应用场景，例如字典、电话簿等。

3. 在存储元素的过程中，可以任意添加或删除元素，不会导致其他元素的位序改变。

4. 这种数据结构利用了树的优点，非常适合用于内存有限的情况下。

缺点：1. 当元素的排序规则不合理时，二叉排序树可能导致树的深度较大，从而影响操作效率。

2. 二叉排序树的构造过程是顺序插入的，可能会造成树的不平衡，进而影响操作效率。

3. 二叉排序树对于相同元素的重复插入会导致树的深度增大，从而影响操作效率。

总结：二叉排序树是一种优秀的数据结构，用于排序和查找元素的操作。

数据结构---二叉排序树二叉排序树（Binary Sort Tree）又称二叉查找树，亦称二叉搜索树。

它或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树：（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；（3）左、右子树也分别为二叉排序树；一、查找：步骤：若根结点的关键字值等于查找的关键字，成功。

否则，若小于根结点的关键字值，递归查左子树。

若大于根结点的关键字值，递归查右子树。

若子树为空，查找不成功。

平均情况分析（在成功查找两种的情况下）：在一般情况下，设 P（n，i）且它的左子树的结点个数为 i 时的平均查找长度。

如图的结点个数为 n = 6 且 i = 3; 则 P（n,i）= P（6, 3） = [ 1+ ( P(3) + 1) * 3 + ( P(2) + 1) * 2 ] / 6= [ 1+ ( 5/3 + 1) * 3 + ( 3/2 + 1) * 2 ] / 6注意：这里 P(3)、P(2) 是具有 3 个结点、2 个结点的二叉分类树的平均查找长度。

在一般情况，P（i）为具有 i 个结点二叉分类树的平均查找长度。

P(3) = （1+2+2）/ 3 = 5/3P(2) = （1+2）/ 2 = 3/2∴ P（n,i）= [ 1+ ( P(i) + 1) * i + ( P(n-i-1) + 1) * (n-i-1) ] / n ∴ P（n）= P（n,i）/ n <= 2(1+I/n)lnn因为2(1+I/n)lnn≈1.38logn 故P(n)=O(logn)二、插入删除与次优二叉树相对，二叉排序树是一种动态树表。

其特点是：树的结构通常不是一次生成的，而是在查找过程中，当树中不存在关键字等于给定值的节点时再进行插入。

新插入的结点一定是一个新添加的叶子节点，并且是查找不成功时查找路径上访问的最后一个结点的左孩子或右孩子结点。

数据结构53：⼆叉排序树（⼆叉查找树）前⼏节介绍的都是有关静态查找表的相关知识，从本节开始介绍另外⼀种查找表——动态查找表。

动态查找表中做查找操作时，若查找成功可以对其进⾏删除；如果查找失败，即表中⽆该关键字，可以将该关键字插⼊到表中。

动态查找表的表⽰⽅式有多种，本节介绍⼀种使⽤树结构表⽰动态查找表的实现⽅法——⼆叉排序树（⼜称为“⼆叉查找树”）。

什么是⼆叉排序树？⼆叉排序树要么是空⼆叉树，要么具有如下特点：⼆叉排序树中，如果其根结点有左⼦树，那么左⼦树上所有结点的值都⼩于根结点的值；⼆叉排序树中，如果其根结点有右⼦树，那么右⼦树上所有结点的值都⼤⼩根结点的值；⼆叉排序树的左右⼦树也要求都是⼆叉排序树；例如，图 1 就是⼀个⼆叉排序树：图 1 ⼆叉排序树使⽤⼆叉排序树查找关键字⼆叉排序树中查找某关键字时，查找过程类似于次优⼆叉树，在⼆叉排序树不为空树的前提下，⾸先将被查找值同树的根结点进⾏⽐较，会有 3 种不同的结果：如果相等，查找成功；如果⽐较结果为根结点的关键字值较⼤，则说明该关键字可能存在其左⼦树中；如果⽐较结果为根结点的关键字值较⼩，则说明该关键字可能存在其右⼦树中；实现函数为：（运⽤递归的⽅法）BiTree SearchBST(BiTree T, KeyType key){// 如果递归过程中 T 为空，则查找结果，返回NULL；或者查找成功，返回指向该关键字的指针if (!T || key==T->data) {return T;} else if(key<T->data) {// 递归遍历其左孩⼦return SearchBST(T->lchild, key);} else {// 递归遍历其右孩⼦return SearchBST(T->rchild, key);}}⼆叉排序树中插⼊关键字⼆叉排序树本⾝是动态查找表的⼀种表⽰形式，有时会在查找过程中插⼊或者删除表中元素，当因为查找失败⽽需要插⼊数据元素时，该数据元素的插⼊位置⼀定位于⼆叉排序树的叶⼦结点，并且⼀定是查找失败时访问的最后⼀个结点的左孩⼦或者右孩⼦。

DS数据结构-树PTA树思维导图树的定义n（n>=0)个结点的有限集，当n=0时，是空树，否则为⾮空树空树⾮空树⾮空树的特点：1、有且仅有⼀个特定的根结点，不允许存在多个根结点2、除根结点以外的其余结点可分为m（m>0)个互不相交的有限集，其中每⼀个有限集本⾝还是⼀棵树，称为根的⼦树。

⼦树的个数没有限制，但是⼀定不能有交集。

完全⼆叉树满⼆插树树的基本术语度：树中某个结点的⼦树的个数称为该结点的度；树中所有结点的度中的最⼤值称为树的度。

通常将度为m的树称为m次树。

分⽀结点与叶⼦结点分⽀结点：树中度不为0的结点叶⼦结点：度为0的结点单分⽀结点：度为1的结点双分⽀结点：度为2的结点路径对于树种的任意两个结点Ki,Kj;若树中村在⼀个结点序列（Ki,Ki1,Ki2.....Kin,Kj),使得序列中除Ki以外的任⼀结点都是其在序列中前⼀个结点的后继结点，则该序列为Ki到Kj的⼀条路径路径长度该路径所通过的结点数⽬-1孩⼦结点每个结点的后继节点双亲结点每个结点的前驱结点兄弟结点具有同⼀双亲结点的孩⼦互为兄弟结点⼦孙结点每个结点对应⼦树中的所有结点（除⾃⾝外）称为该结点的⼦孙结点结点层次结点深度从树根开始定义，根结点为第⼀层，，它的孩⼦为第⼆层，以此类推。

树的⾼度或深度树中结点的最⼤层次森林n（n>0）个互补相交的树的集合的合称树的性质1、结点树等于所有结点的度数之和加⼀2、度为m的数中第i层上最多有m^i-1个结点（i>=1)3、当⼀棵m次数的第i层上有m^i-1(i>=1)个结点时，该层是满的4、⾼度为h的m次数最多有（m^h-1)/(m-1)个结点5、具有n个结点的m次树的最⼩⾼度为[log m (n(m-1)+1]1.1⼆叉树的结构1.11 2种存储结构顺序⽤⼀组地址连续的存储单元以此⾃上⽽下、⾃左⾄右存储完全⼆叉树上的结点元素，即将完全⼆叉树上编号为i的结点元素存储在⼀维数组中下标为i-1的分量中。

数据结构二叉排序树数据结构二叉排序树1. 概述二叉排序树（Binary Search Tree，简称BST）是一种基于二叉树的数据结构，具有以下特点：- 每个节点最多只有两个子节点。

- 对于树中的任意节点，其左子树上所有节点的值都小于该节点的值，右子树上所有节点的值都大于该节点的值。

- 中序遍历二叉排序树得到的结果是一个有序序列。

2. 二叉排序树的操作2.1 插入二叉排序树的插入操作是将一个新的节点插入到二叉排序树中的合适位置，使得二叉排序树仍然满足以上特点。

插入操作的具体步骤如下：1. 若二叉排序树为空树，则将新节点作为根节点插入即可。

2. 若二叉排序树不为空，比较新节点的值与当前节点的值的大小关系：- 若新节点的值小于当前节点的值，则继续在当前节点的左子树中进行插入操作。

- 若新节点的值大于当前节点的值，则继续在当前节点的右子树中进行插入操作。

2.2 删除二叉排序树的删除操作是将指定节点从二叉排序树中删除，并保持二叉排序树的特性不变。

删除操作的具体步骤如下：1. 若待删除节点为叶子节点，则直接将其父节点指向该节点的指针置为null。

2. 若待删除节点只有左子树或只有右子树，则将其父节点指向该节点的指针直接指向该节点的子节点。

3. 若待删除节点既有左子树又有右子树，则需要找到其右子树中的最小节点（或左子树中的最大节点）来替代待删除节点。

具体步骤如下：- 先找到待删除节点右子树中的最小节点（即右子树中最左下的节点），或者左子树中的最大节点。

- 将该最小（或最大）节点的值复制到待删除节点。

- 将最小（或最大）节点从右子树（或左子树）中删除。

2.3 查找二叉排序树的查找操作是在树中寻找具有指定值的节点。

查找操作的具体步骤如下：1. 从根节点开始，将待查找的值与当前节点的值进行比较。

2. 若待查找的值等于当前节点的值，则返回该节点。

3. 若待查找的值小于当前节点的值，则继续在当前节点的左子树中进行查找操作。

习题六树和二叉树一、单项选择题1．以下说法错误的是 ( )A．树形结构的特点是一个结点可以有多个直接前趋B．线性结构中的一个结点至多只有一个直接后继C．树形结构可以表达(组织)更复杂的数据D．树(及一切树形结构)是一种"分支层次"结构E．任何只含一个结点的集合是一棵树2．下列说法中正确的是 ( )A．任何一棵二叉树中至少有一个结点的度为2B．任何一棵二叉树中每个结点的度都为2C．任何一棵二叉树中的度肯定等于2D．任何一棵二叉树中的度可以小于23．讨论树、森林和二叉树的关系，目的是为了（）A．借助二叉树上的运算方法去实现对树的一些运算B．将树、森林按二叉树的存储方式进行存储C．将树、森林转换成二叉树D．体现一种技巧，没有什么实际意义4．树最适合用来表示 ( )A．有序数据元素 B．无序数据元素C．元素之间具有分支层次关系的数据 D．元素之间无联系的数据5．若一棵二叉树具有10个度为2的结点，5个度为1的结点，则度为0的结点个数是（）A．9 B．11 C．15 D．不确定6．设森林F中有三棵树，第一，第二，第三棵树的结点个数分别为M1，M2和M3。

与森林F 对应的二叉树根结点的右子树上的结点个数是（）。

A．M1 B．M1+M2 C．M3 D．M2+M37．一棵完全二叉树上有1001个结点，其中叶子结点的个数是（）A． 250 B． 500 C．254 D．505 E．以上答案都不对8. 设给定权值总数有n 个，其哈夫曼树的结点总数为( )A．不确定 B．2n C．2n+1 D．2n-19．二叉树的第I层上最多含有结点数为（）A．2I B． 2I-1-1 C． 2I-1 D．2I -110．一棵二叉树高度为h,所有结点的度或为0，或为2，则这棵二叉树最少有( )结点A．2h B．2h-1 C．2h+1 D．h+111. 利用二叉链表存储树，则根结点的右指针是（）。

A．指向最左孩子 B．指向最右孩子 C．空 D．非空12．已知一棵二叉树的前序遍历结果为ABCDEF,中序遍历结果为CBAEDF,则后序遍历的结果为（）。

二叉排序树的概念什么是二叉排序树二叉排序树（Binary Search Tree），也称为二叉查找树、二叉搜索树，是一种特殊的二叉树结构。

它具有以下特点：1.每个节点最多有两个子节点；2.左子节点的值小于等于当前节点的值，右子节点的值大于等于当前节点的值；3.每个子树也都是二叉排序树。

这个特点使得二叉排序树可以用于高效地查找、插入和删除节点，是一种常见且重要的数据结构。

二叉排序树的性质二叉排序树具有以下性质：1.左子树中所有节点的值均小于根节点的值；2.右子树中所有节点的值均大于根节点的值；3.左右子树也都是二叉排序树。

由这些性质可以得出，对于一个二叉排序树，进行中序遍历，会得到一个递增的有序序列。

二叉排序树的操作1. 插入节点要插入一个节点到二叉排序树中，需要遵循以下步骤：1.如果树为空，将根节点设置为要插入的节点；2.如果要插入的节点值小于当前节点的值，且当前节点的左子节点为空，则将要插入的节点作为当前节点的左子节点；3.如果要插入的节点值大于等于当前节点的值，且当前节点的右子节点为空，则将要插入的节点作为当前节点的右子节点；4.如果要插入的节点值小于当前节点的值，且当前节点的左子节点不为空，则将当前节点的左子节点作为新的当前节点，重复步骤2；5.如果要插入的节点值大于等于当前节点的值，且当前节点的右子节点不为空，则将当前节点的右子节点作为新的当前节点，重复步骤3。

2. 删除节点要删除二叉排序树中的一个节点，需要遵循以下步骤：1.首先找到要删除的节点，如果节点不存在，则无需删除；2.如果要删除的节点没有子节点，直接删除该节点；3.如果要删除的节点只有一个子节点，将子节点替代要删除的节点；4.如果要删除的节点有两个子节点，需要找到其后继节点或前驱节点来替代它。

通常选择后继节点，即右子树中的最小节点，将后继节点的值替代要删除的节点的值，然后删除后继节点。

3. 查找节点要在二叉排序树中查找一个节点，需要从根节点开始，根据节点的值与目标值的大小关系，递归地搜索左子树或右子树，直到找到目标节点或搜索到空位置为止。

数据结构二叉排序树在计算机科学的世界里，数据结构就像是一个个精心设计的工具箱，每种数据结构都有其独特的用途和优势。

而在众多的数据结构中，二叉排序树是一个非常重要的存在。

二叉排序树，也被称为二叉搜索树，它是一种特殊的二叉树。

那么，什么是二叉树呢？想象一下，有一个节点，从这个节点伸出两条分支，就像一个“Y”字，这就是最简单的二叉树结构。

而二叉排序树在这个基础上，有着特定的规则。

二叉排序树的规则很简单但却很关键：对于树中的每个节点，其左子树中的所有节点的值都小于该节点的值，其右子树中的所有节点的值都大于该节点的值。

这一规则使得二叉排序树在数据的查找、插入和删除操作上有着出色的性能。

先来说说查找操作。

假如我们要在二叉排序树中查找一个特定的值，我们从根节点开始。

如果要查找的值小于根节点的值，我们就往左子树找；如果大于根节点的值，就往右子树找。

然后在相应的子树中重复这个过程，直到找到目标值或者确定目标值不存在。

这个过程就像是在一个有序的数列中进行二分查找，效率非常高。

插入操作也不复杂。

同样从根节点开始，如果要插入的值小于当前节点的值，就往左子树走；如果大于，就往右子树走。

一直找到一个合适的空位置，将新节点插入进去。

由于二叉排序树始终保持着有序的特性，所以插入操作能够快速地找到合适的位置。

删除操作相对来说稍微复杂一些。

如果要删除的节点没有子节点，那直接删除就好。

如果有一个子节点，就用这个子节点替换要删除的节点。

如果有两个子节点，我们可以找到它的右子树中的最小节点，用这个最小节点的值替换要删除的节点的值，然后再删除这个最小节点。

二叉排序树的优点很明显。

首先，它的平均查找、插入和删除的时间复杂度都是 O(log n)，其中 n 是树中的节点数量。

这意味着当数据量越大时，它的效率优势就越明显。

其次，它的结构相对简单，易于理解和实现。

然而，二叉排序树也并非完美无缺。

它可能会出现不平衡的情况。

比如，如果我们插入的数据是有序的，那么二叉排序树可能会退化成一个链表，此时查找、插入和删除的时间复杂度就会变成 O(n)，大大降低了效率。

数据结构二叉排序树数据结构二叉排序树章节一：引言本章介绍二叉排序树的背景和目的。

⑴背景二叉排序树，也称为二叉查找树或二叉搜索树，是一种常用的数据结构，用于快速查找、插入和删除数据。

它具有快速的查找速度和较小的内存占用。

⑵目的本文档的目的是介绍二叉排序树的原理、实现和应用。

通过本文档的学习，读者将了解如何构建和操作二叉排序树，并能应用二叉排序树解决实际问题。

章节二：基本概念本章介绍二叉排序树的基本概念和术语。

⑴二叉排序树定义二叉排序树是一种二叉树，其中每个节点的值都大于左子树中的节点值，小于右子树中的节点值。

⑵节点二叉排序树中的每个元素称为节点，每个节点包含一个值和指向左右子树的指针。

⑶前序遍历前序遍历是一种树的遍历方式，顺序为根节点、左子树、右子树。

⑷中序遍历中序遍历是一种树的遍历方式，顺序为左子树、根节点、右子树。

⑸后序遍历后序遍历是一种树的遍历方式，顺序为左子树、右子树、根节点。

章节三：实现本章介绍二叉排序树的实现方式。

⑴节点定义定义一个二叉排序树的节点结构，包括值和指向左右子树的指针。

⑵插入操作实现向二叉排序树中插入新节点的操作。

⑶删除操作实现从二叉排序树中删除节点的操作。

⑷查找操作实现在二叉排序树中查找某个值的操作。

章节四：应用案例本章介绍二叉排序树的实际应用案例。

⑴查找最小值使用二叉排序树查找最小值的案例。

⑵查找最大值使用二叉排序树查找最大值的案例。

⑶排序使用二叉排序树对数据进行排序的案例。

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法律名词及注释：无。