13第十三章(2)

= IB ⋅ d(S cosθ ) = IB ⋅ dS ⊥ = I ⋅ d(BS⊥ ) = IdΦm
磁力的功： A = IΔΦm
一个任意的闭合电流回路在磁场中改变位置或形状时，
如果保持回路中电流不变，则磁场力或磁力矩所作的功都
可按Ａ=IΔΦ 计算
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注意： 恒定磁场不是保守力场，磁力的功不等于磁场能的减 少，而且，洛伦兹力是不做功的，磁力所作的功是消耗电 源的能量来完成的。
bc和ad两半圆线圈受力为零
a
ab、dc两直线圈受力如图，大小相
b
c
I2
v
I1
I2
v
a F2
dF1
等、方Fv合向相= 同2 Fv1
=
2
⋅
I
2l
⋅
μ0 2π
I1 R
iˆ
x
= μ0 I1I 2l iˆ πR
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例、如图，在面电流线密度为j 的均匀载流无限大平板附近，有
一载流为I 、半径为R 的半圆形刚性线圈，其线圈平面与载流大
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2、载流线圈在磁场中转动
已知: 均匀磁场 B ,方向如图 内放一矩形导线框,如图
θ
v B
它在外力作用下转动 dθ 角 求：转动过程中磁场力做的功
θ dθ mv
Mv
=
力mv 矩× B的v 功
∴
dA = Mdθ
M = mB sin
θ
= ISB sinθ
方向：⊙
dA = − IBS sin θ dθ （负号源于Mv 是阻力矩）
平板垂直。线圈所受磁力矩为
0，受力为
。0
无限大载流平面在右侧产生的磁场为：
v j
IR
B = μ 0 j 方向：⊗
2
线圈磁矩：
I
mv = IS nˆ 方向：⊗
v M
=
mv ×
v B
=
0
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例、一带电粒子径迹在纸面内，如图所示。它在匀强磁场中
运动，并穿过铅板，损失一部分动能。则由此可以判断出粒
子（
）
A. 带负电，从a → b → c
R2 − R1
∫ ∫ 总磁矩：
R2
m = dm = Iπ
N
r 2dr
R1
R2 − R1
=
1 3
IN π
(
R
2 2
+
R2 R1
+
R12 )
dr
r R2
v
方向：垂直板面向外
I
R1
B
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(2)线圈在该位置所受到的磁力矩
总磁矩：m 磁力矩
=
v M
1 IN π (
3
=
mv
×
R
2 2
v B
+
R2 R1 +
R12 )
v
a F1
d
l1
l2
c
先考虑上下两线段受力情况：
B
在Fv1、同一Fv2条大直小线相上等，方向Fv1相+ 反Fv2，= 0
且:它们力矩为零
b
vI F2
v
俯视图：
F
. l 1
d
θ
a+×
Fv ′
nˆ
d
再考虑左右两线段受力情况,
v
F = F ′ = BIl2
v F
+
v F
′
=
0
B M = Fd = BIl2 ⋅ l1 sinθ
复习上次课主要内容
洛仑兹力公式：
r F
=
qvr ×
r B
带电粒子在匀强磁场中的运动
vv0
⊥
v B
匀速圆周运动
R = mv0 T = 2π m
qB
qB
vv0与Bv 成θ 角
以磁场为轴的螺旋运动
霍耳效应：
UH
=
RH
IB b
RH
=
1 nq
复习上次课主要内容
安培定律
r dF
=
Id
r l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
×
r B
∫ 有限长载流导线L受磁力:
mr = ISnˆ 线圈磁矩
v M
=
mr
×
v B
方向：⊙
mr
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结论: 1.均匀磁场中,载流线圈所受的合外力
2.均匀磁场中,载流线圈所受的合外力力矩
Mv∑=Frmr=×0 Bv
稳定平衡
非稳定平衡
与 同向
与 反向
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§13.4 载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩 磁场力的功
1、载流导线在均匀磁场中移动
磁力 的功
方向：垂直纸面向外
M
=
mB
=
1 3
IN
π
B
(
R
2 2
+
R2 R1
+
R12 )
方向：沿板面垂直磁场向上
dr
r R2
v
I
R1
B
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(3)线圈在磁力矩作用下转到平衡位置过程中，磁力矩所做的 功
磁力矩对半径为r，宽度为dr的细圆环线圈所作的功为： dA = dI ⋅ ΔΦ = I ⋅ N dr ⋅ Bπr 2 R2 − R1 磁力所作的总功：
(1)线圈所受力矩的大小和方向
R
(2)若线圈受力矩的作用转到线圈平面与磁场
Iv B
垂直的位置，则力矩做功多少？
解:
(1)
v M
=
mv
×
v B
mv = 1 πR 2 I •
2
M = 1 πR 2 IB 方向：沿转轴向上
2
(2) 磁力矩做功为
A = IΔΦ = I ( BS − 0 ) = IB πR 2
(2)线圈在该位置所受到的磁力矩
(3)线圈在磁力矩作用下转到平衡位置过程中，磁力矩 所做的功
R2
v
I
R1
B
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(1)平面线圈的磁矩
解： 取半径为r，宽度为dr的细圆环线圈，匝数为：
dN = N dr
R2 − R1
细圆环线圈的磁矩： dm = I ⋅ dN ⋅ πr 2 = I
N
πr 2dr
方向：垂直板面向外
μ0
载流平面单位面积受的力： F = ILB0
I =j × 1 L=1 ∴ F =
方向垂直电流平面指向B1一侧
jB0
=
B2 2 − B12
2μ 0
例.总匝数为N的均匀密绕平面螺线圈，半径由R1绕至R2， 通有电流I，放在磁感应强度为B的均匀磁场中，磁场方向 与线圈平面平行，如图所示。试求： (1)平面线圈的磁矩
2
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例、如图所示，长方形线圈OPQR 可绕y轴转动，
边长l1=6cm、l2=8cm。线圈中的电流为10A，方向沿 OPQRO，磁场为均匀磁场，磁感应强度B=0.02T，方
向平行于Ox。
y
P
（1）如果使线圈平面和磁
感应强度成θ =30°，求此
时线圈每边所受的安培力以 l2
及线圈所受的磁力矩；
Q ern
1. 平行电流的相互作用力
dFv
=
v Idl
×
Bv
df
2式1 =中的B1BI 2应dl理2 s解in为( I 2其dl它v2 ,电Br1流) =在I
dl
μ0
2π
处所产生的磁场
I1 a
I 2dl 2
df21 = μ0 I1I2 dl2 2π a
同理： df12 = μ0 I1I2 dl1 2π a
2. “安培”的定义
时，求磁场力的功。 平衡位置为： mr与Bv同向
A = I (Φ2 − Φ1 )
BS BS cosϕ
( ) A = IBS 1− cos 600
= 0.5IBS
= 4.8×10−4 J
例题： 将一通过电流强度为I 的闭合回路置于均匀 磁场中，回路所围面积的法线方向与磁场方向的夹角
为α。若均匀磁场通过此回路的磁通量为φ ，求回路所
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结论
1.
均匀磁场中，任意载流导线受力
Fv
=
I
uuv ab
×
Bv
∑ 2.
均匀磁场中，载流线圈所受的合外力
r F
=
0
3. 均匀磁场中，载流线圈所受的合外力力矩
Mv = mr × Bv
4. 均匀磁场中，任意闭合电流回路在磁场中改变位 置或改变形状时，磁力或磁力矩所作的功为：
A = IΔΦm
§13.5 平行载流导线间的相互作用力
B1
令a = 1m, I1 = I2
若：df = 2 ×10−7 N ⋅ m −1 dl
则有：I1 = I2 = 1
df21
a
I1
I2
则每条导线所通过的电流为一个国际单位，称1安培
例 一半径为R=0.1m的半圆形闭合线圈，载有电流 I=10A，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平行，已知 B=0.5T，求
受磁力矩的大小？
解：回路所受M的=磁m力r ×矩Br为=：ISB sinα
通过回路的磁通量为：
φ
=
∫
r B
⋅
r dS
=
BS
cos
α
M = Iφ tanα
[例题]
将一均匀分布着电流的无限大载流平面放入 均匀磁场中，电流方向与此磁场垂直。已知平面 两侧的磁感应强度分别为B1和B2（如图），求该载 流平面单位面积所受磁场力的大小和方向。
[例题]
v×
解：空间磁场为载流平面产生的磁场和外 加均匀磁场叠加而成