【真题】2017年天津市高考文科数学试题含答案解析

（1）求 cos A 的值；
（2）求 sin(2 B－ A) 的值 .
【解析】 （ 1）由 asin A＝ 4bsin B 及正弦定理 , 得 a＝ 2b.
由 ac＝
5
5( a2－ b2－ c2) 及余弦定理
, 得 cos
b2＋ c2－a2 －
A＝
＝
5 ac ＝－
5 .
2bc
ac
5
25
asin A 5
故“ 2－ x≥0”是“｜x－1| ≤1”的必要而不充分条件．
3. (2017 年文 ) 有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这
5
支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为（
）
4 A. 5
3 B. 5
2 C. 5
1 D. 5
3. C 【解析】选取两支彩笔的方法有：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝
（2）由（ 1）可得 sin A＝ 5 , 代入 asin A＝ 4bsin B, 得 sin B ＝ 4b ＝ 5 .
25 由（ 1）知 A 为钝角 , 所以 cos B＝ 1-sin 2B ＝ 5 .
4
3
于是 sin 2 B＝ 2sin Bcos B＝5,cos 2 B＝ 1－ 2sin 2B＝ 5,
11. (2017 年文 ) 已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为
18 ，
则这个球的体积为 ___________． 9π
11. 2 【解析】设正方体的边长为 a，则 6a2=18 4 4 27 9π
这个球的体积 V=3πＲ3=3π× 8 = 2 ．
a= 3，其外接球直径为 2R= 3a=3，故

2017年天津高考文科数学真题及答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )．·棱柱的体积公式V =Sh . 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高． ·球的体积公式34π3V R =.其中R 表示球的半径. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()A B C =U I （A ）{2}（B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{1,2,3,4,6} （2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 （3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 （A ）45（B ）35（C ）25（D ）15（4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为 （A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -= （6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << （7）设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><.若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）2π,312ωϕ==（B ）211π,312ωϕ==-（C ）111π,324ωϕ==-（D ）17π,324ωϕ== （8）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）[2,2]-（B ）[23,2]-（C ）[2,3]-（D ）[3,3]-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2017年高考文数真题试卷（天津卷）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（共8题；共16分） 1.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A ∪B ）∩C=（ ）A. {2}B. {1，2，4}C. {1，2，4，6}D. {1，2，3，4，6} 2.设x ∈R ，则“2﹣x≥0”是“|x ﹣1|≤1”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）A. 45 B. 35 C. 25 D. 154.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 5.已知双曲线x 2a2﹣ y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A.x 24−y 212=1 B. x 212−y 24=1 C. x 23−y 2=1 D. x 2−y 23=16.已知奇函数f （x ）在R 上是增函数．若a=﹣f （ log 215 ），b=f （log 24.1），c=f （20.8），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a ＜b ＜cB. b ＜a ＜cC. c ＜b ＜aD. c ＜a ＜b 7.设函数f （x ）=2sin （ωx+φ），x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π．若f （ 5π8）=2，f （11π8）=0，且f （x ）的最小正周期大于2π，则（ ）A. ω= 23 ，φ= π12 B. ω= 23 ，φ=﹣ 11π12C. ω= 13 ，φ=﹣11π24D. ω= 13 ，φ= 7π24 8.已知函数f （x ）= {|x|+2，x <1x +2x，x ≥1.，设a ∈R ，若关于x 的不等式f （x ）≥| x2 +a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）A. [﹣2，2]B. [−2√3，2]C. [−2，2√3]D. [−2√3，2√3]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（共6题；共6分）9.已知a ∈R ，i 为虚数单位，若 a−i 2+i为实数，则a 的值为________．10.已知a ∈R ，设函数f （x ）=ax ﹣lnx 的图象在点（1，f （1））处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．11.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．12.设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若∠FAC=120°，则圆的方程为________．13.若a ，b ∈R ，ab ＞0，则 a 4+4b 4+1ab 的最小值为________．14.在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ﹣ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ），且 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =﹣4，则λ的值为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（共6题；共30分）15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac= √5（a2﹣b2﹣c2）．（13分）（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．16.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（13分）（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？17.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（13分）（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（II）求证：PD⊥平面PBC；（II）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．18.已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（13分）（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．19.设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=e x f（x）．（14分）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．20.已知椭圆x2a2+ y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为b22．（14分）（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|= 32c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．答案解析部分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】并集及其运算，交集及其运算【解析】【解答】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}．故选：B．【分析】由并集定义先求出A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C．2.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，绝对值不等式的解法【解析】【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，得0≤x≤2．则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，故选：B【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．3.【答案】C【考点】古典概型及其概率计算公式，列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，基本事件总数n= C52=10，取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m= C11C41=4，∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p= mn = 410=25．故选：C．【分析】先求出基本事件总数n= C52=10，再求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m= C11C41=4，由此能求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率．4.【答案】C【考点】选择结构，循环结构，程序框图【解析】【解答】解：第一次N=19，不能被3整除，N=19﹣1=18≤3不成立，第二次N=18，18能被3整除，N= 183=6，N=6≤3不成立，第三次N=6，能被3整除，N═63=2≤3成立，输出N=2，故选：C【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．5.【答案】D【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：双曲线x2a2﹣y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），可得c=2，ba =√3，即b2a2=3，c2−a2a2=3，解得a=1，b= √3，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：x2−y23=1．故选：D．【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后得到双曲线的方程．6.【答案】C【考点】奇偶性与单调性的综合，指数函数的图象与性质，对数值大小的比较【解析】【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，∴a=﹣f（log215）=f（log25），b=f（log24.1），c=f（20.8），又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），即c＜b＜a．故选：C．【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c的大小．7.【答案】A【考点】三角函数的周期性及其求法，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得T4>π2，又f（5π8）=2，f（11π8）=0，得T4=11π8−5π8=3π4，∴T=3π，则2πω=3π，即ω=23．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（23x+φ），由f （ 5π8）= 2sin(23×5π8+φ)=2 ，得sin （φ+5π12）=1．∴φ+5π12= π2+2kπ ，k ∈Z ． 取k=0，得φ= π12 ＜π． ∴ ω=23 ，φ= π12 ． 故选：A ．【分析】由题意求得 T4 ，再由周期公式求得ω，最后由若f （ 5π8）=2求得φ值．8.【答案】 A【考点】绝对值不等式的解法，分段函数的应用，函数最值的应用 【解析】【解答】解：根据题意，函数f （x ）= {|x|+2，x <1x +2x，x ≥1.的图象如图：令g （x ）=| x2 +a|，其图象与x 轴相交与点（﹣2a ，0）， 在区间（﹣∞，﹣2a ）上为减函数，在（﹣2a ，+∞）为增函数， 若不等式f （x ）≥| x2 +a|在R 上恒成立，则函数f （x ）的图象在 g （x ）上的上方或相交， 则必有f （0）≥g （0）， 即2≥|a|， 解可得﹣2≤a≤2， 故选：A ．【分析】根据题意，作出函数f（x）的图象，令g（x）=| x2+a|，分析g（x）的图象特点，将不等式f（x）≥| x2+a|在R上恒成立转化为函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相切的问题，分析可得f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得a的取值范围，即可得答案．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.【答案】-2【考点】复数的基本概念，复数相等的充要条件，复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：a∈R，i为虚数单位，a−i 2+i = (a−i)(2−i)(2+i)(2−i)= 2a−1−(2+a)i4+1= 2a−15﹣2+a5i由a−i2+i为实数，可得﹣2+a5=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简a−i2+i，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．10.【答案】1【考点】导数的几何意义，导数的运算，利用导数研究曲线上某点切线方程，两条直线的交点坐标【解析】【解答】解：函数f（x）=ax﹣lnx，可得f′（x）=a﹣1x，切线的斜率为：k=f′（1）=a﹣1，切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a=（a﹣1）（x﹣1），l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）=1．故答案为：1．【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y轴上的截距．11.【答案】9π2【考点】球的体积和表面积【解析】【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a= √3，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即√3a=2R，即R= 32 ，则球的体积V= 43 π•（ 32 ）3= 9π2；故答案为：9π2．【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可． 12.【答案】 （x+1）2+ (y −√3)2 =1 【考点】圆的标准方程，抛物线的简单性质【解析】【解答】解：设抛物线y 2=4x 的焦点为F （1，0），准线l ：x=﹣1，∵点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切与点A ，∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA= OFtan ∠FAO =√33=1，∴OA= √3 ，∴A （0， √3 ），如图所示：∴C （﹣1， √3 ），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为 (x +1)2+(y −√3)2=1 ， 故答案为：（x+1）2+ (y −√3)2 =1．【分析】根据题意可得F （﹣1，0），∠FAO=30°，OA= OFtan ∠FAO =1，由此求得OA 的值，可得圆心C 的坐标以及圆的半径，从而求得圆C 方程． 13.【答案】 4 【考点】基本不等式【解析】【解答】解：a ，b ∈R ，ab ＞0， ∴ a 4+4b 4+1ab≥ 2√a4⋅4b 4+1ab=4a 2b 2+1ab=4ab+ 1ab ≥2 √4ab ⋅1ab=4，当且仅当 {a 4=4b 44ab =1ab，即 {a 2=2b 2a 2b 2=14，即a=√24，b= √84或a=﹣ √24，b=﹣ √84时取“=”；∴上式的最小值为4． 故答案为：4．【分析】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么． 14.【答案】 311【考点】向量加减法的应用，平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解：如图所示，△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2， BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + 23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + 23 （ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ﹣ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ） = 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又 AE⃗⃗⃗⃗⃗ =λ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ﹣ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ）， ∴ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（λ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ﹣ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ） =（ 13 λ﹣ 23 ） AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ﹣ 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 + 23 λ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =（ 13 λ﹣ 23 ）×3×2×cos60°﹣ 13 ×32+ 23 λ×22=﹣4， ∴113 λ=1，解得λ= 311 ． 故答案为： 311 ．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 再根据平面向量的数量积 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE⃗⃗⃗⃗⃗ 列出方程求出λ的值．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.【答案】 （Ⅰ）解：由 a sinA =bsinB ，得asinB=bsinA ，又asinA=4bsinB ，得4bsinB=asinA ， 两式作比得： a 4b =ba ，∴a=2b ．由 ac =√5(a 2−b 2−c 2) ，得 b 2+c 2−a 2=−√55ac ，由余弦定理，得 cosA =b2+c 2−a 22bc=−√55ac ac =−√55；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得 sinA =2√55，代入asinA=4bsinB ，得 sinB =asinA 4b=√55．由（Ⅰ）知，A 为钝角，则B 为锐角， ∴ cosB =√1−sin 2B =2√55．于是 sin2B =2sinBcosB =45 ， cos2B =1−2sin 2B =35 ， 故 sin(2B −A)=sin2BcosA −cos2BsinA =45×(−√55)−35×2√55=−2√55．【考点】两角和与差的正弦公式，二倍角的余弦公式，同角三角函数间的基本关系，正弦定理的应用，余弦定理的应用【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理得asinB=bsinA ，结合asinA=4bsinB ，得a=2b ．再由 ac =√5(a 2−b 2−c 2) ，得 b 2+c 2−a 2=−√55ac ，代入余弦定理的推论可求cosA 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 sinA =2√55，代入asinA=4bsinB ，得sinB ，进一步求得cosB ．利用倍角公式求sin2B ，cos2B ，展开两角差的正弦可得sin （2B ﹣A ）的值．16.【答案】 （Ⅰ）解：由已知，x ，y 满足的数学关系式为 {70x +60y ≤6005x +5y ≥30x ≤2y x ≥0y ≥0 ，即 {7x +6y ≤60x +y ≥6x −2y ≤0x ≥0y ≥0 ．该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：（Ⅱ）解：设总收视人次为z 万，则目标函数为z=60x+25y ． 考虑z=60x+25y ，将它变形为 y =−125x +z 25，这是斜率为 −125 ，随z 变化的一族平行直线． z25为直线在y 轴上的截距，当 z25 取得最大值时，z 的值最大． 又∵x ，y 满足约束条件，∴由图可知，当直线z=60x+25y 经过可行域上的点M 时，截距 z25 最大，即z 最大． 解方程组 {7x +6y =60x −2y =0，得点M 的坐标为（6，3）． ∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划的应用【解析】【分析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x ，y 所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；（Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y ．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 17.【答案】 解：（Ⅰ）如图，由已知AD ∥BC ，故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角． 因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD ．在Rt △PDA 中，由已知，得 AP =√AD 2+PD 2=√5 ，故cos∠DAP=ADAP =√55．所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为√55．证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得sin∠DFP=PDDF =√55．所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为√55．【考点】直线与平面所成的角【解析】【分析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，从而∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值．（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC．（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．18.【答案】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1(q+ q2)=12，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，{b n}的通项公式为b n=2n．（Ⅱ）解：设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，有T n=4×2+10×22+16×23+⋯+ (6n−2)×2n，2T n=4×22+10×23+16×24+⋯+(6n−8)×2n+(6n−2)×2n+1，上述两式相减，得−T n=4×2+6×22+6×23+⋯+6×2n−(6n−2)×2n+1= 12×(1−2n)1−2−4−(6n−2)×2n+1=−(3n−4)2n+2−16．得T n=(3n−4)2n+2+16．所以，数列{a2n b n}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．【考点】数列的求和，等差数列与等比数列的综合【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．通过b2+b3=12，求出q，得到b n=2n．然后求出公差d，推出a n=3n﹣2．（Ⅱ）设数列{a2n b n}的前n项和为T n，利用错位相减法，转化求解数列{a2n b n}的前n项和即可．19.【答案】（Ⅰ）解：由f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）=3x2﹣12x﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）=e x（f（x）+f'（x）），由题意知{g(x0)=e x0g′(x0)=e x0，∴{f(x0)e x0=e x0e x0(f(x0)+f′(x0))=e x0，解得{f(x0)=1f′(x0)=0．∴f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）解：∵g（x）≤e x，x∈[x0﹣1，x0+1]，由e x＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）=1，f'（x0）=0，故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0=a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．令t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，∴t'（x）=6x2﹣12x，令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．∴b的取值范围是[﹣7，1]．【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，不等式的综合【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f（x）的单调区间；（Ⅱ）（i）求出g（x）的导函数，由题意知{g(x0)=e x0g′(x0)=e x0，求解可得{f(x0)=1f′(x0)=0．得到f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii ）由（I ）知x 0=a ．且f （x ）在（a ﹣1，a ）内单调递增，在（a ，a+1）内单调递减，故当x 0=a 时，f （x ）≤f （a ）=1在[a ﹣1，a+1]上恒成立，从而g （x ）≤e x 在[x 0﹣1，x 0+1]上恒成立．由f （a ）=a 3﹣6a 2﹣3a （a ﹣4）a+b=1，得b=2a 3﹣6a 2+1，﹣1≤a≤1．构造函数t （x ）=2x 3﹣6x 2+1，x ∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b 的范围．20.【答案】 解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e ．由已知，可得 12(c +a)c =b 22．又由b 2=a 2﹣c 2 ， 可得2c 2+ac ﹣a 2=0，即2e 2+e ﹣1=0．又因为0＜e ＜1，解得 e =12 ．所以，椭圆的离心率为 12 ；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为x=my ﹣c （m ＞0），则直线FP 的斜率为 1m ．由（Ⅰ）知a=2c ，可得直线AE 的方程为 x2c +yc =1 ，即x+2y ﹣2c=0，与直线FP 的方程联立，可解得 x =(2m−2)c m+2，y =3c m+2 ，即点Q 的坐标为 ((2m−2)c m+2，3cm+2) ．由已知|FQ|= 3c2，有 [(2m−2)c m+2+c]2+(3cm+2)2=(3c2)2 ，整理得3m 2﹣4m=0，所以 m =43 ，即直线FP 的斜率为 34 ．（ii ）解：由a=2c ，可得 b =√3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2+y 23c 2=1 ． 由（i ）得直线FP 的方程为3x ﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立 {3x −4y +3c =0x 24c 2+y 23c 2=1 消去y ，整理得7x 2+6cx ﹣13c 2=0，解得 x =−13c 7（舍去），或x=c ．因此可得点 P(c ，3c2) ，进而可得 |FP|=√(c +c)2+(3c2)2=5c2，所以 |PQ|=|FP|−|FQ|=5c 2−3c 2=c ．由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP ． 因为QN ⊥FP ，所以 |QN|=|FQ|⋅tan ∠QFN =3c 2×34=9c8 ，所以¡÷FQN 的面积为 12|FQ||QN|=27c 232，同理¡÷FPM 的面积等于 75c 232，由四边形PQNM 的面积为3c ，得 75c 232−27c 232=3c ，整理得c 2=2c ，又由c＞0，得c=2． 所以，椭圆的方程为 x 216+y 212=1 ．【考点】直线的一般式方程，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e ．通过 12(c +a)c =b 22．转化求解椭圆的离心率．（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为1m．通过a=2c，可得直线AE的方程为x2c +yc=1，求解点Q的坐标为((2m−2)cm+2，3cm+2)．利用|FQ|= 3c2，求出m，然后求解直线FP的斜率．（ii）求出椭圆方程的表达式你，求出直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立通过|FP|=√(c+c)2+(3c2)2=5c2，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．。

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前天津市2017年普通高等学校招生考试数学(文史类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷参考公式：如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A B P A P B =+.棱柱的体积公式V Sh =.其中S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高.球的体积公式343V R π=.其中R 表示球的半径.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}1,2,6A =,{}2,4B =，{}=1,2,4C ，则()C A B = ( ) A .{}2B .{}1,2,34，C .{}1,246，，D .{}1,2,346，， 2.设x R ∈,则“20x -≥”是“11x -≤”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A .45B .35C .25D .154.阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为19,则输出的值为 ( )A .0B .1C .2D .35.已知双曲线2222=1(0,)x y a b a b-＞＞0的右焦点为F ,点A 在双曲线的渐近线上,OAF △是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为 ( ) A .22=1412x y -B .22=1124x y - C .22=13x y -D .22=13y x -6.已知奇函数()f x 在R上是增函数.若0.8221=(log ),=(log 4.1),=(2)5a fb fc f -,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a b c ＜＜ B .b a c ＜＜ C .c b a ＜＜ D .c a b ＜＜7.设函数()=2s i n ()R f x x x ωϕ+∈,,其中0ωϕπ＞，＜.若5π()=28f ,11π()=08f ,且()f x 的最小正周期大于2π，则毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）( )A .2π=,=312ωϕ B .211π=,=312ωϕ-C .111π=,=324ωϕ-D .17π=,=324ωϕ8.已知函数2,1,2, 1.()=x x x x x f x ++≥⎧⎨⎩＜设a R ∈,若关于x 的不等式在x()a 2f x ≥+上恒成立,则a 的取值范围是( )A .[]2,2-B.⎡⎤-⎣⎦ C.2,⎡-⎣D.⎡-⎣第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.已知R α∈,i 为虚数单位,若i2iα-+为实数,则a 的值为 .10.已知R α∈,设函数()=ln f x x x α-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 .11.已知一个正方形的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .12.设抛物线2=4y x 的焦点为F ,准线为l .已知点C 在l 上,以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若120FAC ∠=,则圆的方程为 .13.若,a b R ∈,0ab ＞,则4441a b ab++的最小值为 .14.在ABC △中,60A ∠=,3AB =,2AC =.若=2BD BC uu u r uu u r ,AE AC ABλ=-uu u r uuu r uu u r(R λ∈),且=4AD AE ⋅-uuu r uu u r，则λ的值为 .三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知s i n =4s i na Ab B,222)ac a b c --. (I )求cos A 的值；(II )求sin(2)B A -的值.16.(本小题满分13分)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ,y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(I )用x ,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域；数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）(II )问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多？17.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,AD PDC ⊥平面,AD BC ∥,PD PB ⊥,=1AD ,3BC =,4CD =,2PD =.(I )求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； (II )求证：PD PBC ⊥平面；(III )求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.18.(本小题满分13分)已知{}n a 为等差数列,前n 项和为*n (N )S n ∈,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,114=11S b . (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(Ⅱ)求数列{}2n n a b 的前n 项和*(N )n ∈.19.(本小题满分14分)设,R a b ∈，a 1≤.已知函数32()=63(4)b f x x x a a x ---+,()=()x g x e f x . (Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)已知函数=()y g x 和=x y e 的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线，(i )求证：()f x 在0=x x 处的导数等于0；(ii )若关于x 的不等式()x g x e ≤在区间[]001,1x x -+上恒成立,求b 的取值范围.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题-----------------无---------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页）20.(本小题满分14分)已知椭圆()2222=10x y a b a b+＞＞的左焦点为(,0)F c -,右顶点为A ,点E的坐标为(0,)c ,EFA △的面积为22b .(I )求椭圆的离心率；(II )设点Q 在线段AE 上,3=2FQ c ,延长线段FQ 与椭圆交于点P ,点M ,N 在x 轴上,PM QN ∥,且直线PM 与直线QN 间的距离为c ,四边形PQNM 的面积为3c . (i )求直线FP 的斜率； (ii )求椭圆的方程.2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1．【答案】B【解析】由题意知{}1,2,4,6A B =，∴(){}1,2,4A B C =.2．【答案】B【解析】由x 11-≤，得0x 2≤≤，∵022x x ≤≤⇒≤，202x x ≤≠≤≤，故“2x 0-≥”是“x 11-≤”的必要而不充分条件，故选B . 3．【答案】C【解析】从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），（黄，蓝），（黄，绿），（黄，紫），（蓝，绿），（蓝，紫），（绿，紫）而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），共4种，故所求概率42105P ==. 4．【答案】C【解析】由程序框图可知，N 的取值依次为19,18,6,2.故输出N的值为2. 5．【答案】D数学试卷 第9页（共18页） 数学试卷 第10页（共18页）【解析】由OAF △是边长为2的等边三角形可知，2c =，tan 603ba ==又222c ab =+，联立可得1a=，b ，∴双曲线的方程为2213y x -=.6．【答案】C 【解析】由()f x 是奇函数可得，221(log )(log 5)5a f f =-=，∵0.8222l o g 5l o g 4.1l o g 422=＞＞＞，且函数()f x 是增函数，∴c b a ＜＜. 7．【答案】A 【解析】由5π()28f =，11π()08f =，()f x 的最小正周期2πT ＞，可得11π5π3π8844T -==，∴3πT =，∴2π2==3π3ω.再由5π()28f =及πϕ＜得π=12ϕ．8．【答案】A【解析】作出()f x 的图象如图所示，=||2xy a +的图象经过点(0,2)时，可知=2a ±.当2x y a =+的图象与2y x x=+的图象相切时，由22x a x x+=+，得2240x ax -+=，由=0∆，并结合图象可得2a =.要使()||2xf x a ≥+恒成立，当0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，当a ＞0时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤.第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】2-【解析】因为i (i)(2i)21(2)i=2i (2i)(2i)5a a a a -----+=++-为实数，所以+2=0a ，即=2a -. 10．【答案】1【解析】因为'1()f x a x=-，所以'(1)1f a =-，又'(1)f a =，所以切线l 的方程为(1)(1)y a a x -=--，令=0x ，得=1y . 11．【答案】9π2【解析】设正方体的棱长为a ，则2618a=，得a =，设该正方体外接球的半径为R，则23R ==，得32R =，所以该球的体积为334439ππ()π3322R ==.12．【答案】22(1)(=1x y ++【解析】由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为(1,)C a -(0)a ＞则(0,)A a ,又(1,0)F ，所以(1,0)AC =-uu u r ，(1,)AF a =-uu u r ，由题意得AC uuu r 与AF uu u r的夹角为120，得1cos1202==-，解得a，所以圆的方程为22(1)(1x y ++=.13．【答案】4【解析】44334141=a b a b ab b a ab++++，由基本不等式得，33411144a b ab b a ab ab ab ++≥=+≥，当且仅当334a b b a=，14ab ab =同时成立时等号成立.14．【答案】311数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）【解析】因为2BD DC =uu u r uuu r，所以2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r，因为AE AC AB λ=-uu u r uuu r uu u r，所以22121212(+)()()333333AD AE AB AC AC AB AB AC AB AC λλλ⋅=⋅-=-++-⋅uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r ，因为60A ∠=，3AB =，2AC =，1212189λ4(λ)323λλ24333323AD AE ⋅=-⨯+⨯+-⨯⨯⨯=-++-=-uuu r uu u r ，解得3λ=11.三、解答题 15.【答案】(Ⅰ)5- (Ⅱ)5-【解析】(Ⅰ)由sin =4sin a A b B ，及=sin sin a bA B，得2a b =.由222)ac a b c --，及余弦定理，得2225cos =25b c a A bc ac +-==-.(Ⅱ)由(Ⅰ)，可得sin A ，代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 4a A B b ==.由(Ⅰ)知，A为钝角，所以cos B .于是4sin 2=2sin cos =5B B B ，23cos 2=12sin =5B B -，故()43sin 2=sin 2cos cos 2sin =(55B A B A B A --⨯--16.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.【解析】(Ⅰ)由已知，x ，y 满足的数学关系式为7060600,5530,2,0,0,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩即7660620,0,0,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪-≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，， 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(Ⅱ)设总收入人次为z 万，则目标函数为=60+25z x y . 考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 变化的一族平行直线.25z 为直线在y 轴上的截距，当25z取得最大值时，z 的值最大.又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时，即z 最大.解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩，，，得点M 的坐标为(6,3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.17．【答案】(Ⅰ)数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页）(Ⅱ) 因为AD PDC ⊥平面，直线PD PDC ⊂平面，所以AD PD ⊥，又因为BC AD ∥，所以PD BC ⊥，又PD PB ⊥，所以PD PBC ⊥平面.(Ⅲ【解析】(Ⅰ)如图，由已知AD BC ∥，故D A P ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为AD PDC ⊥平面，所以AD PD ⊥.在Rt PDA △中，由已知，得AP ==，故c o s AD DAP AP ∠==.所以，异面直线AP 与BC.(Ⅱ)因为AD PDC ⊥平面，直线PD PDC ⊂平面，所以AD PD ⊥，又因为BC AD ∥，所以PD BC ⊥，又PD PB ⊥，所以PD PBC ⊥平面.(Ⅲ)过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角.因为PD PBC ⊥平面，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以DFP∠为直线DF 和平面PBC 所成的角.由于AD BC ∥，DF AB ∥，故1BF AD ==，由已知，得2CF BC BF =-=.又AD DC ⊥，故BC D C⊥，在Rt DCF △中，可得DF ==，在Rt DPF △中，可得sin 5PD DFP DF ∠==.所以，直线AB 与平面PBC18．【答案】(Ⅰ)32n a n =-，2n b n =. (Ⅱ)()234216n n T n +=-+.【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由已知2312b b +=，得()2112b q q +=，而12b =，所以260q q +-=.又因为0q ＞，解得2q =，所以，2n b n =.由3412b a a =-，可得138d a -=①.由11411S b =，可得1516a d +=②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2nn b =.(Ⅱ)设数列{}2n n a b 的前n 项和为n T ，由262n a n =-，有()2342102162622nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，()()23412421021626826-22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，上述两式相减，得()231124262626262212(12)4(62)212(34)216n n n n n n T n n n +++-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯⨯-=---⨯-=---得()234216n n T n +=-+.所以，数列{}2n n a b 的前n 项和为()234216n n +-+.19．【答案】(Ⅰ)12（2）（ⅰ）34（ⅱ）（1）递增区间为()a -∞，，()4a -+∞，，递减区间为()a 4a -，.（2）（ⅰ）()x f 在0x=x 处的导数等于0.（ⅱ）b 的取值范围是[]7,1-.22x y =11612+ 【解析】(Ⅰ)由32()63(4)f x x x a a x b =---+，可得[]'2()3123(4)3()(4)f x x x a a x a x a =---=---.令'()=0f x ，解得x a =，或4x a =-，由||1a ≤，得4a a -＜.数学试卷 第15页（共18页） 数学试卷 第16页（共18页）x '()f x ()f x 所以，()f x 的单调递增区间为()a -∞，，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -(Ⅱ)(i )因为'()(()())x g x e f x f x =+，由题意知000'0(),()x x g x e g x e ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以00000'00()(()())x xx x f x e e e f x f x e ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得0'0()1()0f x f x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以，()f x 在0x x =处的导数等于0.(ii )因为()x g x e ≤，00[11]x x x ∈-+，，由0x e ＞，可得()1f x ≤.又因为0(x )1f =，'0()0f x =，故0x 为()f x 的极大值点，由(Ⅰ)知0x a =. 另一方面，由于|1|a ≤，故14a a +-＜，由(Ⅰ)知()f x 在(1,)a a -内单调递增，在(,1)a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f x f a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，从而()x g x e ≤在00[1,1]x x -+上恒成立.由32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤.令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，所以'2()612t x x x =-，令'()0t x=，解得2x =(舍去)，或0x =.因为(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，因此，()t x 的值域为[7,1]-. 所以，b 的取值范围是[7,1]-.20．【答案】（1）12（2）（ⅰ）34（ⅱ）22x y =11612+【解析】(Ⅰ)设椭圆的离心率为e .由已知，可得21()22b c a c +=，又由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=，又因为01e ＜＜，解得12e =.所以，椭圆的离心率为12.(Ⅱ)(i )依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =-＞，则直线FP 的斜率为1m由(Ⅰ)知2a c =，可得直线AE 的方程为12x yc c+=，即220x y c +-=，与直线FP 的方程联立，可解得(22)2m cx m -=+，32c y m =+，即点Q的坐标为(22)3(,)22m c cm m -++. 由已知3||2c FQ =，有222(22)33[]+()()222m c c cc m m -+=++，整理得2340m m -=，所以43m =，即直线FP 的斜率为34.(ii )由2a c =，可得b =，故椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=.由(i )得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22233430143x y c x y cc -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ,整理得2276130x cx c +-=，解得137cx =-(舍去)，或x c =. 因此可得点3(c,)2cP ,进而可得5||2cFP ==,所以53||||||22c cPQ FP FQ c =-=-=.由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP . 因为QN FP ⊥，所以339||||tan 248c cQN FQ QFN =⋅∠=⨯=，所以FQN △的面积为2127||||232c FQ QN =，同理FPM △的面积等于27532c ，由四边形PQNM 四边形的面积为3c ，得22752733232c c c -=，整理得22c c =，又由0c ＞，得2c =.所以，椭圆的方程为2211612x y +=.数学试卷第17页（共18页）数学试卷第18页（共18页）。