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2018届高三数学一轮复习： 第3章 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

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第四节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[考纲传真] 1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示3.由y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象先平移后伸缩先伸缩后平移⇓⇓1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( )(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(2016·四川高考)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向上平行移动π3个单位长度 D ．向下平行移动π3个单位长度A [把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．]3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图3-4-1，则ω＝( )图3-4-1A ．5 B.4 C.3D.2B [由图象可知，T 2＝x 0＋π4－x 0＝π4， 所以T ＝π2＝2πω，所以ω＝4.]4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4 B.π4 C.0D.－π4B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.] 5．(教材改编)电流I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的初相、周期分别是________．π3，150 [由初相和周期的定义，得电流I 变化的初相是π3，周期T ＝2π100π＝150.]已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ [解] (1)列表取值：(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象.12分[规律方法] 1.变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位．2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．[变式训练1] (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)(2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．(1)D (2)2π3 [(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. (2)因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象．]图3-4-2如图3-4-2所示，则( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2(1)A (2)D [(1)由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.(2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.][规律方法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ； (3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[变式训练2] (2017·石家庄一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图3-4-3所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )图3-4-3A ．－62 B.－32 C.－22D.－1D [由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，解得φ＝－5π3＋2k π(k ∈Z )，即k ＝1，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，故选D.](2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪π2－x ·cos ⎝ ⎭⎪⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解](1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z.2分f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .8分设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.12分[规律方法] 讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．[变式训练3] 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.【导学号：01772119】(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．[解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.3分因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.5分(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.6分当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32.10分故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.12分数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ [解] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，2分又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.4分当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.6分 (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3， 故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.9分又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18. 故在10时至18时实验室需要降温.12分[规律方法] 1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．[变式训练4] (2015·陕西高考)如图3-4-4，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图3-4-4A ．5 B.6 C.8D.10C [根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.]11 [思想与方法]1．由图象确定函数解析式由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点．2．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．[易错与防范]1．要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域．。

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人教版数学必修第一册综合复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件

人教版数学必修第一册综合复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件

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B．0， ， ，
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，π
D．0， ， ， ，
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2．用五点法作函数y＝sin(x－ )在一个周期内的图象时，
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主要确定的五个点是________，________，________，
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0
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−1
________，________.
2
，π)上
[－2,1)
有实数根，则m的取值范围是_______________．
方法点拨：方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
考向3
三角函数模型的应用
[例8] 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的
最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点
M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达点P，则点P到
长度，得到函数y＝g(x)的图象．若函数y＝g(x)图象的一个
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对称中心为点(
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，0)，求θ的最小值．
(3)作出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象．
方法总结
五点法作图，即用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的
简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，

2
，π，

2
，2π来求出相应的x. 通过列表，计算得出
φ对函数图象变化的影响．
问题，体会三角函数是描述周期变
化现象的重要函数模型．
核心
(2014-2015高考数学一轮复习 第3章 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用 文 湘教版

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2009~2013年高考真题备选题库 第3章 三角函数、解三角形第4节 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用考点 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像 1．（2013山东，5分）函数y ＝xcos x ＋sin x 的图象大致为( )解析：本题考查函数的性质在分析判断函数图象中的综合运用，考查一般与特殊的数学思想方法，考查运算求解能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力．函数是奇函数，图象关于坐标原点对称，当0<x<π2时，显然y>0，而当x ＝π时，y ＝－π<0，据此排除选项A 、B 、C ，正确选项为D. 答案：D2．(2013福建，5分)将函数f(x)＝sin (2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图像，若f(x)，g(x)的图像都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2D.π6解析：本题主要考查三角函数图像的变换及三角函数值求角等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．因为函数f(x)的图像过点P ，所以θ＝π3，所以f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；又函数f(x)的图像向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－φ＋π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2φ＝32，所以φ可以为5π6. 答案：B3．（2013新课标全国Ⅱ，5分）函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝________. 解析：本题主要考查三角函数图像的平移、三角函数的性质、三角运算等知识，意在考查考生的运算求解能力及转化与化归思想的应用．将y ＝cos(2x ＋φ)的图像向右平移π2个单位后得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋φ的图像，化简得y ＝－cos(2x ＋φ)，又可变形为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π2.由题意可知φ－π2＝π3＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝5π6＋2k π(k ∈Z)，结合－π≤φ<π知φ＝5π6.答案：5π64．（2013山东，12分）设函数f(x)＝32－3sin2ωx －sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y ＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解：本题主要考查三角函数的图像和性质，考查转化思想和运算能力． (1)f(x)＝32－3sin2ωx －sin ωxcos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω>0， 所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x≤3π2时，5π3≤2x－π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.因此－1≤f(x)≤32. 故f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.5．(2012浙江，5分)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )解析：变换后的三角函数为y ＝cos(x ＋1)，结合四个选项可得A 选项正确． 答案：A6．（2010福建，5分）将函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12解析：由题意得：sin[ω(x ＋φω＋π2)]＝sin(ωx ＋φ)，则π2ω＝2k π，k ∈Z ，∴ω＝4k ，k ∈Z ，而6不是4的整数倍，故应选B.答案：B7．（2009天津，5分）设f(x)＝asin2x ＋bcos2x ，其中a ，b ∈R ，ab≠0，若f(x)≤|f(π6)|对一切x ∈R 恒成立，则 ①f(11π12)＝0②|f(7π10)|<|f(π5)|③f(x)即不是奇函数也不是偶函数④f(x)的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z)⑤存在经过点(a ，b)的直线与函数f(x)的图像不相交以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．解析：f(x)＝asin2x ＋bcos2x ＝a2＋b2sin(2x ＋φ)(tan φ＝b a ，因为对一切x ∈R ，f(x)≤|f(π6)|恒成立，所以sin(π3＋φ)＝±1，可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6，故f(x)＝a2＋b2sin(2x ＋π6)或f(x)＝－a2＋b2sin(2x ＋π6)．而f(11π12)＝±a2＋b2sin(2×11π12＋π6)＝0，所以①正确；|f(7π10)|＝|a2＋b2sin 4730π|＝|a2＋b2sin 1730π|，|f(π5)|＝|a2＋b2sin 1730π|，所以|f(7π10)|＝|f(π5)|，故②错误；③明显正确；④错误；由函数f(x)＝a2＋b2sin(2x ＋π6)和f(x)＝－a2＋b2sin(2x ＋π6)图像可知，不存在经过点(a ，b)的直线与函数f(x)的图像不相交，故⑤错． 答案：①③8．(2009江苏，5分)函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.解析：由图中可以看出： 32T ＝π，∴T ＝23π＝2πω， ∴ω＝3. 答案：39．（2012福建，14分）已知函数f(x)＝axsin x －32(a ∈R)，且在[0，π2]上的最大值为π－32.(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明． 解：(1)由已知得f′(x)＝a(sin x ＋xcos x)， 对于任意x ∈(0，π2)，有sin x ＋xcos x>0.当a ＝0时，f(x)＝－32，不合题意；当a<0时，x ∈(0，π2)时，f′(x)<0，从而f(x)在(0，π2)内单调递减，又f(x)在[0，π2]上的图象是连续不断的，故f(x)在[0，π2]上的最大值为f(0)＝－32，不合题意；当a>0，x ∈(0，π2)时，f′(x)>0，从而f(x)在(0，π2)内单调递增，又f(x)在[0，π2]上的图象是连续不断的，故f(x)在[0，π2]上的最大值为f(π2)，即π2a －32＝π－32，解得a ＝1.综上所述，得f(x)＝xsin x －32.(2)f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．证明如下：由(1)知，f(x)＝xsin x －32，从而有f(0)＝－32<0，f(π2)＝π－32>0，又f(x)在[0，π2]上的图象是连续不断的，所以f(x)在(0，π2)内至少存在一个零点．又由(1)知f(x)在[0，π2]上单调递增，故f(x)在(0，π2)内有且只有一个零点．当x ∈[π2，π]时，令g(x)＝f′(x)＝sin x ＋xcos x.由g(π2)＝1>0，g(π)＝－π<0，且g(x)在[π2，π]上的图象是连续不断的，故存在m ∈(π2，π)，使得g(m)＝0.由g′(x)＝2cos x －xsin x ，知x ∈(π2，π)时，有g′(x)<0，从而g(x)在(π2，π)内单调递减．当x ∈(π2，m)时，g(x)>g(m)＝0，即f′(x)>0，从而f(x)在(π2，m)内单调递增，故当x ∈[π2，m]时，f(x)≥f(π2)＝π－32>0，故f(x)在[π2，m]上无零点；当x ∈(m ，π)时，有g(x)<g(m)＝0，即f′(x)<0，从而f(x)在(m ，π)内单调递减．又f(m)>0，f(π)<0，且f(x)在[m ，π]上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m ，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．10．（2012湖南，12分）已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x －π12)－f(x ＋π12)的单调递增区间．解：(1)由题设图象知，周期T ＝2(11π12－5π12)＝π，所以ω＝2πT ＝2，因为点(5π12，0)在函数图象上，所以Asin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0.又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以Asin π6＝1，得A ＝2.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x ＋π6)．(2)g(x)＝2sin[2(x －π12)＋π6]－2sin[2(x ＋π12)＋π6]＝2sin 2x －2sin(2x ＋π3)＝2sin 2x －2(12sin 2x ＋32cos 2x)＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin(2x －π3)．由2k π－π2≤2x－π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x≤k π＋5π12，k ∈Z.所以函数g(x)的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z.。

第3章 第4节 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像及应用

第3章 第4节 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像及应用

教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
大一轮复习·数学·BSD（理）
(3)对称性：利用 y＝sin x 的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解， 令 ωx利0＋用φy＝＝ksπi(nk∈x 的Z)对，称求轴得为对_称_x＝_中_k_心π_＋_为_2π_(_x_0,_0)(．k∈Z)求解，令 ωx＋φ ＝kπ＋2π(k∈Z)，求得其对称轴为 x＝x0.
解析：由函数f(x)＝2sin
2x＋π6
得周期T＝
2π 2
＝π，将函数f(x)
＝2sin2x＋6π的图像向右平移14个周期，即为函数f(x)＝2sin2x＋π6
的图像向右平移
π 4
个单位，得y＝f
x－4π
＝2sin
2x－4π＋6π
＝
2sin2x－3π.
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即f(3)＝sin32π＋π6＝－cos
π6＝－
3 2.
答案：－
3 2
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3 ． (2018·贵 州 贵 阳 检 测 ) 函 数 f(x) ＝ sin(ωx ＋ φ)(x ∈ R)ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，如果 x1，x2∈－π6，π3，且 f(x1) ＝f(x2)，则 f(x1＋x2)＝( B )
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2．(2018·西安八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋ φ) ω>0，－2π≤φ≤π2 的图像上的一个最高点和它相邻的一个最 低点的距离为2 2 ，且过点 2，－12 ，则函数f(3)的值为 ________.
2018一轮复习数学训练：第3章 第4节 训练20 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用

2018一轮复习数学训练：第3章 第4节 训练20 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用

课时分层训练(二十) 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )【导学号：57962161】A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位A [由于y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，y ＝2cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π2，因此只需将y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位，即可得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像．] 2．(2017·成都二诊)将函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图像上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g (x )的图像，则函数g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 C ．g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D ．g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B [由图像变换规则可得g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故选B.]3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图3-4-5所示，则ω，φ的值分别是( )图3-4-5A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6D ．4，π3A [∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.由T ＝2πω＝π，得ω＝2.∵5π12×2＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝－π3＋2k π.又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3.]4．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图像与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的递增区间是( )【导学号：57962162】A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z C [由题设知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，f (x )的周期为T ＝π，所以ω＝2，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .]5．(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )B [将函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，即平移后图像的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．]二、填空题6．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.【导学号：57962163】0 [由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π3－π3＝0.] 7．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．π6 [由题意cos π3＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，2π3＋φ＝k π＋(－1)k ·π6(k ∈Z )．因为0≤φ＜π，所以φ＝π6.] 8.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图像如图3-4-6所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．图3-4-6－5 [由图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100， ∴ω＝2πT ＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10，∴10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ＝10，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z .又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6， ∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6， 当t ＝1100秒时，I ＝－5安．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图像．[解] (1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4. 5分(2)图像如图所示．12分10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图像过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图像上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间.【导学号：57962164】[解] (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，2分∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图像过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，4分∴5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.6分(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，10分故函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·北京高考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图像上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图像上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6 B ．t ＝32，s 的最小值为π6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3 D ．t ＝32，s 的最小值为π3A [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图像上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s ＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z )，所以s 的最小值为π6.]2．若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．(－2，－1] [由题意可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ，该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的交点．结合函数的图像可知1≤－a ＜2，所以－2＜a ≤－1.]3.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图像如图3-4-7所示．图3-4-7(1)求f (x )的解析式； (2)设g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122，求函数g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值，并确定此时x 的值．[解] (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3， 2分∴ω＝32.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝0.4分∵0＜φ＜π2， ∴－π4＜φ－π4＜π4， ∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4.6分(2)由(1)可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝⎛⎭⎪⎫x －π12＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π8，8分∴g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122＝4×1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π42＝2－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.10分∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )ma x ＝4. 12分。