3 匀变速直线运动的位移与时间的关系[学习目标] 1.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系，会用公式x ＝v 0t ＋12at 2解决匀变速直线运动的问题(重点)。
2.理解匀变速直线运动的速度与位移的关系式并会应用公式v 2－v 02＝2ax 解题(难点)。
一、匀变速直线运动的位移1．物体做匀速直线运动，其v －t 图像与t 轴围成的矩形面积有什么意义？答案 做匀速直线运动的物体在时间t 内的位移大小对应着v －t 图线与t 轴围成的矩形面积，即v －t 图像与t 轴围成的矩形面积表示物体的位移大小。
2．如图是某物体以初速度v 0做匀变速直线运动的v －t 图像。
(1)如图甲所示，把物体的运动分成5段，每一段时间内，看成匀速直线运动，试着在图中画出这5小段的位移之和。
(2)如图乙所示，如果把过程分割为更多的小段，和甲图相比，哪种情形更接近整个过程的位移？(3)依次类推，如果把过程分割成无数个小段，能否用梯形的面积代表物体在这段时间的位移？(4)梯形面积为多少？试结合v ＝v 0＋at 推导出位移x 与时间t 的关系。
答案 (1)位移为图中矩形面积之和，如图所示。
(2)图乙更接近整个过程中的位移。
(3)可以。
(4)S ＝v ＋v 02t ＝v 0＋at ＋v 02t ＝v 0t ＋12at 2，则x ＝v 0t ＋12at 2。
1．匀变速直线运动位移与时间的关系式：x ＝v 0t ＋12at 2当v 0＝0时，x ＝12at 2(由静止开始的匀加速直线运动)，此时x ∝t 2。
2．适用范围：仅适用于匀变速直线运动。
3．公式的矢量性：公式中x 、v 0、a 都是矢量，应用时必须选取正方向。
一般选v 0的方向为正方向。
当物体做匀加速直线运动时，a 取正值。
当物体做匀减速直线运动时，a 取负值，计算结果中，位移x 的正、负表示其方向。
4．各物理量的单位都要使用国际单位制单位。
说明：推导匀变速直线运动的位移大小等于图像下方的面积时用到了微元法。
人教版物理必修1第二章第3节：匀变速直线运动的位移与时间的关系一、解答题。
1. 一火车以2m/s的初速度、0.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，求：（1）火车在第3s末的速度；（2）火车在第5s内的位移．2. 如图所示，一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每隔15m有一棵树，汽车从树A运动到树B处所用时间为1s，从树B运动到树C处所用时间为1.5s，求汽车运动的加速度和通过树B时的速度．3. 滑雪运动员不借助滑雪杖，以加速度a1由静止从坡顶匀加速滑下，测得20s后的速度为20m/s，50s时到达坡底，又以加速度a2沿水平面匀减速运动25s后停止．求：（1）a1和a2的大小；（2）到达坡底后再经过6s时的速度大小；（3）在水平面上滑动的距离．4. “10米折返跑”的成绩反映了人体的灵敏素质，测定时，在平直跑道上，受试者以站立式起跑姿势站在起点—终点线前，当听到“跑”的口令后，全力跑向正前方10米处的折返线，测试员同时开始计时，受试者到达折返线处时，用手触摸折返线的物体（如木箱），再转身跑向起点一终点线，当胸部到达终点线的竖直面时，测试员停止计时，所用时间即为“10米折返跑”的成绩，设受试者起跑的加速度大小为4m/s2，运动过程中的最大速度为4m/s，快到达折返线处时需减速到零，减速的加速度大小为8m/s2，返回时达到最大速度后不需减速，保持最大速度冲线，求该受试者“10米折返跑”的成绩为多少秒？二、选择题。
甲、乙两物体运动的x−t图像如图所示，下列判断正确的是（）A.甲做匀速直线运动，乙先做匀加速直线运动后做匀减速直线运动B.两物体两次分别在1s末和4s末到达同一位置C.两物体两次分别在2s末和6s末到达同一位置D.6s末，乙的位移比甲的大一根长为12m的钢管竖立在地面上，一名消防队员在一次模拟演习训练中，从钢管顶端由静止下滑，如图所示．消防队员先匀加速再匀减速下滑，到达地面时速度恰好为零．如果他加速时的加速度大小是减速时的2倍，下滑的总时间为3s．该消防队员在这一过程中的v−t图像，可能正确的是（）A. B.C. D.汽车从静止开始做匀加速直线运动，速度达到v时立即做匀减速运动，最后停止，全部时间为t，则汽车通过的全部位移为（）A.vtB.vt2C.2vt D.vt4一辆沿笔直公路匀加速行驶的汽车，经过路旁两根相距50m的电线杆共用5s时间，它经过第二根电线杆时的速度为15m/s，则经过第一根电线杆时的速度为（）A.2m/sB.10m/sC.2.5m/sD.5m/s汽车在水平面上刹车，其位移与时间的关系是x=24t−6t2，则它在前3s内的位移是（）A.12mB.18mC.24mD.30m如图所示，在京昆高速公路266km处安装有一台500万像素的固定雷达测速仪，可以精准抓拍车辆超速以及测量运动过程中车辆的加速度．若B为测速仪，A为汽车，两者相距355m，此时刻B发出超声波，同时A由于紧急情况而刹车，当B接收到反射回来的超声波信号时，A恰好停止，且此时A、B相距335m，已知声速为340m/s，则汽车刹车前的正常行驶速度大小为（）A.30m/sB.20m/sC.10m/sD.15m/s三、多选题。
3 匀变速直线运动的位移与时间的关系[学习目标] 1.知道匀速直线运动的位移与vt图象中矩形面积的对应关系. 2.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系式，会应用此关系式分析和计算有关匀变速直线运动问题．(重点、难点)3.知道xt图象，能应用xt图象分析物体的运动．(难点)4.了解利用极限思想推导位移公式的方法.一、匀速直线运动的位移1．位移公式：x＝vt.2．vt图象特点(1)平行于时间轴的直线．(2)位移在数值上等于vt图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积．如图所示．二、匀变速直线运动的位移1．位移在vt图象中的表示(1)微元法推导①把物体的运动分成几个小段，如图甲所示，每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形面积．所以，整个过程的位移≈各个小矩形的面积之和．②把运动过程分为更多的小段，如图乙所示，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移．③把整个过程分得非常非常细，如图丙所示，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移．甲乙丙(2)结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着vt图象中的图线与对应的时间轴所包围的面积．2．位移与时间的关系⎭⎪⎬⎪⎫面积即位移：x ＝12(v 0＋v )t 速度公式：v ＝v 0＋at ⇨x ＝v 0t ＋12at 2. 三、用图象表示位移1．x t 图象：以时间t 为横坐标，以位移x 为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图象． 2．常见的x t 图象(1)静止：一条平行于时间轴的直线． (2)匀速直线运动：一条倾斜的直线．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)匀速直线运动物体的运动轨迹就是它的x t 图象． (×) (2)位移公式x ＝v 0t ＋12at 2仅适用于匀加速直线运动． (×)(3)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大． (×) (4)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关．(√)2．一物体由静止开始做匀变速直线运动，加速度为2 m/s 2，则2 s 末速度和位移分别为( )A ．4 m/s 4 mB ．2 m/s 4 mC ．4 m/s 2 mD ．2 m/s 2 mA [物体初速度v 0＝0，a ＝2 m/s 2，t ＝2 s ， 则v ＝v 0＋at ＝0＋2×2 m/s＝4 m/s ，x ＝v 0t ＋12at 2＝0＋12×2×22 m ＝4 m ，故A 正确．]3．某物体做匀变速直线运动，初速度v 0＝2 m/s ，经过10 s 的时间，末速度v ＝6 m/s ，其v t 图象如图所示，则10 s 内位移为( )A ．8 mB ．80 mC ．4 mD ．40 mD [在v t 图象中梯形面积代表匀变速直线运动的位移，x ＝(2＋6)×102m ＝40 m ，故D正确．]1.公式的适用条件：位移公式x ＝v 0t ＋2at 2只适用于匀变速直线运动．2．公式的矢量性：公式x ＝v 0t ＋12at 2为矢量公式，其中x 、v 0、a 都是矢量，应用时必须选取统一的正方向．一般选v 0的方向为正方向．通常有以下几种情况：3.(1)当a ＝0时，x ＝v 0t (匀速直线运动)．(2)当v 0＝0时，x ＝12at 2(由静止开始的匀加速直线运动)．【例1】 国歌从响起到结束的时间是48 s ，国旗上升的高度是17.6 m ．国歌响起同时国旗开始向上做匀加速运动4 s ，然后匀速运动，最后匀减速运动4 s 到达旗杆顶端，速度恰好为零，此时国歌结束．求：(1)国旗匀加速运动的加速度大小； (2)国旗匀速运动时的速度大小．思路点拨：①国旗上升的高度是国旗匀加速运动、匀速运动、匀减速运动的位移之和． ②国旗匀速上升的时间为48 s －4 s －4 s ＝40 s. ③国旗匀加速运动的末速度为国旗匀速上升的速度．[解析] 由题意知，国旗匀加速上升时间t 1＝4 s ，匀减速上升时间t 3＝4 s ，匀速上升时间t 2＝t 总－t 1－t 3＝40 s ，对于国旗加速上升阶段：x 1＝12a 1t 21对于国旗匀速上升阶段：v ＝a 1t 1，x 2＝vt 2 对于国旗减速上升阶段：x 3＝vt 3－12a 2t 23根据运动的对称性，对于全过程：a 1＝a 2x 1＋x 2＋x 3＝17.6 m由以上各式可得：a 1＝0.1 m/s 2v ＝0.4 m/s.[答案] (1)0.1 m/s 2(2)0.4 m/s对公式x ＝v 0t －12at 2的理解(1)表示以初速度方向为正方向的匀减速直线运动． (2)a 表示加速度的大小，即加速度的绝对值．1．汽车以20 m/s 的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5 m/s 2，那么开始刹车后2 s 内与开始刹车后6 s 内汽车通过的位移之比为( )A ．1∶1B ．1∶3C ．3∶4D ．4∶3C [汽车从刹车到停止用时t 刹＝v 0a ＝205s ＝4 s ，故刹车后2 s 和6 s 内汽车的位移分别为x 1＝v 0t －12at 2＝20×2 m－12×5×22 m ＝30 m ，x 2＝v 0t 刹－12at 2刹＝20×4 m－12×5×42m ＝40 m ，x 1∶x 2＝3∶4，故C 正确．]1．x t 图象的物理意义：x t 图象反映了物体的位移随时间的变化关系，图象上的某一点表示运动物体在某时刻所处的位置或相对于坐标原点的位移．2．x t 图象的应用(1)位移—时间图象不是物体的运动轨迹．(2)位移—时间图象只能描述直线运动，不能描述曲线运动． 【例2】 某一做直线运动的物体的图象如图所示，根据图象求：(1)物体距出发点的最远距离； (2)前4 s 内物体的位移； (3)前4 s 内物体通过的路程．思路点拨：①t ＝1 s 时物体速度最大，t ＝3 s 时物体速度方向将发生改变，此时位移最大．②利用v -t 图象求位移一般采用“面积”法计算，即计算v -t 图线与时间轴所围成的面积．[解析] (1)物体距出发点最远的距离x m ＝12v 1t 1＝12×4×3 m＝6 m.(2)前4 s 内的位移x ＝x 1－x 2＝12v 1t 1－12v 2t 2＝12×4×3 m－12×2×1 m＝5 m. (3)前4 s 内通过的路程s ＝x 1＋x 2＝12v 1t 1＋12v 2t 2＝12×4×3 m＋12×2×1 m＝7 m. [答案] (1)6 m (2)5 m (3)7 m上例中，若将图象的纵轴改为位移x ，其他条件不变，求： (1)物体距出发点的最远距离； (2)物体的最大速度． [提示] (1)4 m.(2)最大速度在0～1 s 内v ＝41m/s ＝4 m/s.(1)v -t 图象与t 轴所围的“面积”表示位移的大小.(2)面积在t 轴以上表示位移是正值，在t 轴以下表示位移是负值. (3)物体的总位移等于各部分位移(正负面积)的代数和. (4)物体通过的路程为t 轴上、下“面积”绝对值的和.)2.一质点的v -t 图象如图所示，求它在前2 s 内和前4 s 内的位移．[解析] 位移大小等于图线与时间轴t 所围成的面积，在前2 s 内的位移x 1＝2×5×12 m＝5 m ；在后2 s 内的位移x 2＝(4－2)×(－5)×12 m ＝－5 m ，所以质点在前4 s 内的位移x＝x 1＋x 2＝5 m －5 m ＝0.[答案] 5 m 01.间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半，即v ＝v 12＝12(v 0＋v )＝xt .推导：设物体的初速度为v 0，做匀变速直线运动的加速度为a ，t 秒末的速度为v . 由x ＝v 0t ＋12at 2得，① 平均速度v ＝x t ＝v 0＋12at②由速度公式v ＝v 0＋at 知，当t ′＝t2时，v t 2＝v 0＋a t 2③ 由②③得v ＝v 12④又v ＝v 12＋a 12⑤联立以上各式解得v 12＝v 0＋v 2，所以v ＝v 12＝v 0＋v2.2．逐差相等：在任意两个连续相等的时间间隔T 内，位移之差是一个常量，即Δx ＝x Ⅱ－x Ⅰ＝aT 2推导：时间T 内的位移x 1＝v 0T ＋12aT2①在时间2T 内的位移x 2＝v 0×2T ＋12a (2T )2②则x Ⅰ＝x 1，x Ⅱ＝x 2－x 1③联立①②③得Δx ＝x Ⅱ－x Ⅰ＝aT 2此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度．【例3】 一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m 和64 m ，每一个时间间隔为4 s ，求物体的初速度、末速度及加速度．[解析] 解法一：基本公式法如图所示，由位移公式得x 1＝v A T ＋12aT 2x 2＝v A ·2T ＋12a (2T )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v A T ＋12aT 2 v C ＝v A ＋a ·2T将x 1＝24 m ，x 2＝64 m ，T ＝4 s 代入以上三式，解得a ＝2.5 m/s 2，v A ＝1 m/s ，v C ＝21 m/s.解法二：平均速度法连续两段相等时间T 内的平均速度分别为v 1＝x 1T ＝244 m/s ＝6 m/s ，v 2＝x 2T ＝644m/s ＝16 m/s且v 1＝v A ＋v B2，v 2＝v B ＋v C2，由于B 是A 、C 的中间时刻，则v B ＝v A ＋v C2＝v 1＋v22＝6＋162m/s ＝11 m/s解得v A ＝1 m/s ，v C ＝21 m/s 加速度为a ＝v C －v A 2T ＝21－12×4m/s 2＝2.5 m/s 2. 解法三：逐差法由Δx ＝aT 2可得a ＝Δx T 2＝64－2416 m/s 2＝2.5 m/s 2又x 1＝v A T ＋12aT 2，v C ＝v A ＋a ·2T联立解得v A ＝1 m/s ，v C ＝21 m/s. [答案] 1 m/s 21 m/s 2.5 m/s 2速度的四种求解方法(1)基本公式法，设出初速度和加速度，列方程组求解． (2)推论法，利用逐差法先求加速度，再求速度．(3)平均速度公式法，弄清最大速度是第一个过程的末速度，第二个过程的初速度．平均速度整个过程不变．(4)图象法，通过画v t 图象求解．3．一质点做匀变速直线运动，第3 s 内的位移为12 m ，第5 s 内的位移为20 m ，则该质点运动过程中( )A ．初速度大小为零B ．加速度大小为4 m/s 2C ．第4 s 内的平均速度为8 m/sD ．5 s 内的位移为50 mB [根据题意，v 2.5＝12 m/s ，v 4.5＝20 m/s ，故a ＝Δv Δt ＝v 4.5－v 2.5Δt ＝20－124.5－2.5 m/s 2＝4 m/s 2，选项B 正确；初速度大小v 0＝v 2.5－at 2.5＝12 m/s －4 m/s 2×2.5 s ＝2 m/s ，选项A 错误；第4 s 内的平均速度等于3.5 s 时刻的瞬时速度，即为v 3.5＝v 2.5＋at 1＝12 m/s ＋4×1 m/s＝16 m/s ，选项C 错误；5 s 内的位移为x ＝v 0t 5＋12at 25＝60 m ，选项D 错误．]1．某质点做直线运动的位移随时间变化的关系是x ＝4t ＋2t 2，x 与t 的单位分别为m 和s ，则质点的初速度与加速度分别为( )A ．4 m/s 与2 m/s 2B ．0与4 m/s 2C ．4 m/s 与4 m/s 2D ．4 m/s 与0C [对比x ＝4t ＋2t 2和位移公式x ＝v 0t ＋12at 2，可知其初速度v 0＝4 m/s,2＝12a ，则加速度a ＝4 m/s 2.]2．折线ABCD 和曲线OE 分别为甲、乙物体沿同一直线运动的位移—时间图象，如图所示，t ＝2 s 时，两图线相交于C 点，下列说法正确的是( )A ．两个物体同时、同地、同向出发B ．第3 s 内，甲、乙运动方向相反C ．2～4 s 内，甲做减速运动，乙做加速运动D ．第2 s 末，甲、乙未相遇B [两物体同时、同向出发，但不是同地出发，A 错误；第3 s 内甲图线的斜率为负，向负方向运动，乙图线的斜率为正，向正方向运动，二者运动方向相反，B 正确；2～4 s 内，甲沿负方向做匀速直线运动，乙沿正方向做加速运动，C 错误；第2 s 末，甲、乙的位置相同，甲、乙相遇，D 错误．]3．飞机着陆后做匀减速滑行，着陆时的初速度是216 km/h ，在最初2 s 内滑行114 m ．问： (1)第5 s 末的速度大小是多少？ (2)飞机着陆后12 s 内滑行多远？[解析] (1)最初2 s 内的位移x 1＝v 0t ＋12at 2，代入数据解得：a ＝－3 m/s 2， 5 s 末的速度v 2＝v 0＋at ＝45 m/s. (2)着陆减速总时间t ＝Δva＝20 s ，飞机着陆后12 s 内的位移x 2＝v 0t ＋12at 2＝504 m.[答案] (1)45 m/s (2)504 m。
