海南省海口市灵山中学2020届高三第三次月考数学试题

海南中学2020届高三第三次月考数学试题一、单选题（每个小题只有一个正确选项，每小题4分，共10小题，满分40分）1.已知集合{}{}1log |,1|22<=<=x x B x x A ，则如图所示阴影部分表示的集合为 （ ）A 、{}11|<<-x xB 、{}10|<<x xC 、{}20|<<x xD 、{}21|<<-x x【解答】A ={x |−1<x <1}, B ={x |0<x <2}∴A ∩B =0<x <1, 【答案】选B.2. 【虚则实之，实则虚之；虚实相生，皆成妙境】若复数1iz i=-，其中是i 虚数单位，则Z = （ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+D ．1122i --【解答】解：由(1)111(1)(1)22i i i z i i i i +===-+--+， ∴1122z i =--．【答案】选D ．3. 【世界上没有垃圾，只有放错位置的宝藏】2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”、“有害垃圾”、 “湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为A ．13B ．23C ．14D ．34【解答】厨房里产生的“湿垃圾”只能丢到放“湿垃圾”的垃圾桶,该上海居民向四个垃圾桶内随意丢垃圾,有四种可能,投放错误有三种结果,故被罚款和行政处罚的概率为3/4. 【答案】选D ．4．【不必仰望别人，自己亦是风景。

生活中幸福的标准不是唯一的，而数学中的实数的大小是确定的,只要你找到了标准】已知3log 4a =，log 3b π=，0.55c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c << 【解答】1<3log 4a =<2,0 <log 3b π=<1,2<0.55c =,∴b a c <<. 【答案】选D ．5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为A ．32B ．32-C ．23D ．23-【解答】解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，816S =，61a =， ∴816187816251S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得1133a =，23d =-，数列{}n a 的公差为23-．【答案】选D ．6．【盛夏季节，我们曾经邂逅相遇；晚秋时分，你可记得我的倩影?】《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”。

海南省海口市灵山中学2020届上学期高三第三次月考试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1等于（ ）A ．iB ．i -C i +D i2．已知向量(3,4),(2,1)a b →→==，若()()a x b a b →→→→+⊥-，则x 等于（ ）A ．3B ．-2C ．D ．-33．若等差数列{}n a 的前5项之和525S =，且23a =，则7a = （ ） A ．12B ．13C ．14D ．154．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n =3n +1+a ，n ∈N *，则实数a 的值是（ ） A ．-3B ．3C ．-1D ．15．已知()11234561n n S n +=-+-+-++-⋅，则61015S S S ++等于（ ）A ．5-B ．1-C ．0D ．66．在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ） A ．若向量(,)a x y =，向量(,)b y x =-，(xy ≠0)，则a b ⊥B ．平行四边形ABCD 是菱形的充要条件是()()0AB AD AB AD +-=.C ．ABC 中，AB 和CA 的夹角等于180-AD ．点G 是ABC 的重心，则0GA GB CG ++= 7．若0<a <b 且a +b =1，则四个数12，b ，2ab ，22a b +中最大的是（ ） A ．12B ．bC ．2abD ．22a b +8．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a －b 等于（ ） A ．10B ．14C ．－4D ．－109．在OAB ∆中，P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB =+，且2BP PA =，则 A ．23x =，13y =B ．13x =，23y =C ．14x =，34y =D ．34x =，14y = 10．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A ．2B ．2C ．2-D ．32-11．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin cos a A B b A +=，则ba=（ ）A ．B ．C D12．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞二、填空题13．若向量1a =，2b =，2a b -=，则a b +=______________.14．已知ABC 的面积S =3A π∠=，则AB AC ⋅=________；15．函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图像向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图像重合，则ϕ=___________.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12(2)n n n S a n S ++=≥，123a =-，则n S =___________.三、解答题17．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量2cos,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,2sin 22A A n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭若1m n ⋅=-.（1）求角A 的大小；（2）若2a b ==，求c 的值.18．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．19．等差数列{}n a 中，13a =，前项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =. （1）求n a 与n b ； （2）证明：121111233n S S S ≤+++<. 20．如图，正方形ABCD 所在平面与等腰三角形EAD 所在平面相交于AD ，AE ⊥平面CDE .（I ）求证：AB ⊥平面ADE ；（II）在线段BE 上存在点M ，使得直线AM 与平面EAD ，试确定点M 的位置．21．已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．(1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；(2)若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．22．已知曲线1C 的极坐标方程为2cos 28ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为=6πθ，曲线12C C 、相交于A B 、两点.()R ρ∈（1）求A B 、两点的极坐标；（2）曲线1C与直线112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）分别相交于,M N 两点，求线段MN 的长度.23．设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围．参考答案1．A 【分析】根据复数的除法运算法则可解得结果. 【详解】=44ii ==.故选：A 【点睛】本题考查了复数除法运算法则，属于基础题. 2．D 【分析】首先求出a x b →→+，a b →→-的坐标，再根据向量垂直得到数量积为零，计算可得； 【详解】解：因为(3,4),(2,1)a b →→==，所以()23,4a x b x x →→+=++，()1,3a b →→-=， 因为()()a x b a b →→→→+⊥-，所以()()0a x b a b →→→→+-=，所以()()231430x x +⨯++⨯=，解得3x =- 故选：D 【点睛】本题考查平面向量坐标运算，向量垂直的坐标表示，属于基础题. 3．B 【解析】试题分析：由题意得，155155()25102a a S a a +==⇒+=，又3152a a a =+，则35a =，又23a =，所以等差数列的公差为2d =，所以72535213a a d =+=+⨯=． 考点：等差数列的通项公式． 4．A 【分析】等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S a +=+，*n N ∈，根据公式1n n n a S S -=-，求出n a ，则1a 也要满足通项公式，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S a +=+，*n N ∈，当1n =时，可得11113a a S ++==，可得19a a =+，当2n ≥时，13nn S a -=+，则()113323n n n n n n a S S a a +-==-+-+=⋅因为{}n a 为等比数列，所以1239a ⋅=+，解得3a =- 故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列的定义和性质，等比数列的前n 项和公式，第n 项与前n 项和的关系，求出等比数列的前三项，是解题的关键． 5．C 【分析】相邻两项依次结合，即可求出61015S S S ++的值. 【详解】由()11234561n n S n +=-+-+-++-⋅可知相邻两项的和为1-，所以()6123456133S =-+-+-=-⨯=-，()10123456910155S =-+-+-++-=-⨯=-， ()1512345613141517158S =-+-+-++-+=-⨯+=，所以()()610153580S S S ++=-+-+=. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列求和，解题时要注意数列中项之间的关系，属于基础题. 6．D 【分析】A. 利用平面向量的数量积运算判断B.利用平面向量几何意义结合运算判断；C. 利用平面向量的夹角定义判断；D.根据G 是ABC 的重心，则0++=GA GB GC 判断. 【详解】A. 因为0-=⋅=+b xy xy a ，所以a b ⊥，故正确；B.平行.若四边形ABCD 是菱形则AB AD =，即()()0AB AD AB AD +-=， 若()()0AB AD AB AD +-=，则AB AD =，平行四边形ABCD 是菱形，故正确；C. 由平面向量的夹角定义知， AB 和CA 的夹角等于180-A ，故正确；D. 如图：设G 是ABC 的重心，则()2==--+GA GD GB GC ，即0++=GA GB GC ，故错误； 故选：D 【点睛】平面向量的数量积运算，加法运算的几何意义，还考查数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 7．B 【分析】由0a b <<得222a b ab +>，由0a b <<且1a b +=，把a 换为b 可得12b >，下面只要比较22a b +与b 的大小，两数作差，再根据b 的范围，可得差的最大值小于0，所以b 最大． 【详解】 解：（1）0a b <<且1a b +=，01b b ∴<-<，∴112b <<， （2）0a b <<，2222()a b ab a b ∴+-=-，222a b ab +>，（3）22222(1)231(21)(1)a b b b b b b b b b +-=-+-=-+=--，又112b <<，220a b b ∴+-<， 22a b b ∴+<，综上可知：b 最大． 故选：B ． 【点睛】本题考查不等式比较大小，用到完全平方式，二次函数求最值，这种题目比较灵活，用到知识点多，不易掌握，训练逻辑推理，综合运用能力． 8．D 【分析】由题意结合一元二次不等式与一元二次方程的关系可得方程220ax bx ++=的两根为12-和13，由韦达定理解出a 、b 后即可得解. 【详解】因为一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以方程220ax bx ++=的两根为12-和13，则112311223b a a⎧⎛⎫-+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得12a =-，2b =-，则12210a b -=-+=-. 故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 9．A 【分析】根据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出 OP ，利用平面向量基本定理求出x ，y 的值 【详解】由题意，∵2BP PA =，∴22BO OP PO OA +=+，即 32OP OB OA =+， ∴2133OP OA OB =+，即 2133x y ==， 故选A ． 【点睛】本题以三角形为载体，考查向量的加法、减法的运算法则；利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，是解题的关键． 10．A 【详解】(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为AB CD CD⋅==，故选A ．11．D 【分析】由题意结合正弦定理得22sin sin sin cos A B B A A +=，再由同角三角函数的平方关系可得sin B A =，再根据正弦定理即可得解.【详解】由正弦定理得22sin sin sin cos A B B A A +=，所以22sin (sin cos )B A A A ⋅+=，sin B A =，∴sin sin b Ba A==． 故选：D. 【点睛】本题考查了正弦定理及同角三角函数平方关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 12．A 【详解】构造新函数()()f x g x x=,()()()2'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <.所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A .点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()xg x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()x f x g x e=，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2x g x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e=，等便于给出导数时联想构造函数.13 【分析】根据平面向量数量积运算律可得21a b =，再根据()2222a b a ba ab b +=+=++计算可得； 【详解】解：因为1a =，2b =，2a b -=，所以222a b -=，即2224a a b b -+=，所以21a b =所以()222221a b a ba ab b +=+=++=+=【点睛】本题考查平面向量数量积的运算律及向量模的计算，属于基础题. 14．2 【分析】由三角形的面积可解得4bc =，再通过数量积的定义即可求得答案【详解】由题可知1sin 2S bc A ==3A π∠= ，所以解得4bc = 由数量积的定义可得1cos 422AB AC bc A ⋅==⨯=【点睛】本题考查三角形的面积公式以及数量积的定义，属于简单题． 15．56π 【解析】因为y ＝cos(2x ＋φ)＝cos(－2x －φ)＝sin ()22x πϕ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦＝sin 22x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，图象向右平移2π个单位后为y ＝sin 22x πϕ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，与y ＝sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭重合，所以φ－2π＝3π，解得φ＝56π.16．12n n S n +=-+ 【分析】利用n S 和n a 之间的关系，化简已知等式，求出数列{}n S 前几项，猜想得到通项公式，最后利用数学归纳法证明即可. 【详解】因为当2n ≥时，有1n n n a S S -=-，因此由12n n nS a S ++=， 可得112n n n n S S S S -++=-，化简得：112n n S S -=-+，因为1123S a ==-, 所以121132242()3S S =-=-=-++-， 321143252()4S S =-=-=-++-， 由此猜想数列{}n S 的通项公式为：12n n S n +=-+，现用数学归纳法证明：当1n =时，123S =-，显然成立；假设当n k =时成立，即12k k S k +=-+， 当1n k =+时，11122(213)2k k S S k k k k ++-+=-=-+-+++=， 综上所述：12n n S n +=-+. 故答案为：12n n S n +=-+【点睛】本题考查了求数列的通项公式，考查了数学归纳法的应用，考查了数学运算能力. 17．（1）23π；（2）2 【分析】（1）根据向量的数量积定义，结合余弦的倍角公式，即可求得； （2）由余弦定理，及（1）中所求角度，即可直接求得. 【详解】（1）由已知易得：222cos2sin 122A A-=- 所以1cos 2A =-，又()0,A π∈故23A π=. （2）由23A π=及余弦定理可得：222cos 2b c a A bc+-=所以21412222c c+--=⨯⨯，所以2280c c +-=得：24c c ==-或（舍） 所以2c =. 【点睛】本题考查余弦定理，余弦的倍角公式，涉及向量的数量积，属基础题. 18．（1）C ＝60°.（2）2． 【解析】试题分析：（1）连接BD,因为角A 和C 互补，所以,那么在和内用余弦定理表示,方程联立可得和BD;（2）根据（1）的结果表示和,代入三角形的面积公式．试题解析：（1）由题意及余弦定理，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC·CDcos C ＝13－12cos C ① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB·DAcos A ＝5＋4cos C ② 由①，②得cos C ＝，故C ＝60°，BD ＝．（2）四边形ABCD 的面积 S ＝AB·DAsin A ＋BC·CDsin C＝sin 60°考点：1．余弦定理；2．三角形面积公式．19．解：（1）13,3n n n a n b -==；（2）证明过程见解析. 【分析】（1）由2212b S +=和 22S q b =可以构成关于2,q a 的方程组，结合已知，解方程求出2,q a ，根据等差数列、等比数列的通项公式，写出数列{}{}n n a b 、的通项公式； （2）先用等差数列前n 项和公式求出n S ，再利用裂项相消法求出1231111nS S S S ++++的值，最后利用函数的单调性证明出不等式成立. 【详解】（1）因为2212b S +=，所以1122129b q a a q a ++=⇒+=，又因为22S q b =，所以有212213a a q q a b q +=⇒=+，因此有22222934,3613q a q q q a a a +===-⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨=+==⎩⎩⎩，由题意可知等比数列{}n b 各项均为正数，故0q >，所以236q a =⎧⎨=⎩，因此121(1)()3n a a n a a n =+--=，1113n n n b b q --=⋅=；（2）因为等差数列{}n a 的通项公式为3n a n =，所以1()3(1)12223(1)n n n a a n n n S S n n ++==⇒=+， 因此123111121111[]3122334(1)n S S S S n n ++++=++++⨯⨯⨯+12311112111111121(1)(1)322334131n S S S S n n n ⇒++++=⨯-+-+-++-=-++111212101123313n n n ⎛⎫≥∴<≤∴≤-< ⎪++⎝⎭，12311111233n S S S S ⇒≤++++<. 【点睛】本题考查了求等差数列、等比数列的通项公式，考查了等差数列前n 项和公式，考查了用裂项相消法求数列的和证明不等式成立问题. 20．（I ）证明见解析; （II ）M 为BE 的中点. 【分析】（I ）根据已知条件,可得AE CD ⊥,根据线面关系,可得CD ⊥平面ADE ,结合//AB CD ,即可证明结论.（II ）解法一建立空间直角坐标系,设AB 长度, 写出各个点的坐标,根据向量共线基本定理表示出AM , 由平面ADE 的法向量与AM 的夹角即可求得参数,得M 的位置; 解法二过M 作//MN AB ,根据直线AM 与平面EAD 所成角的正弦值求得MN 与AN 的关系,进而得AB 与MN 的关系,即可得M 的位置. 【详解】 （I ）证明:AE 平面CDE ,CD ⊂平面CDEAE CD ∴⊥在正方形ABCD 中,CD AD ⊥AD AE A ⋂=,CD 平面ADE//AB CD所以AB ⊥平面ADE（II ） 解法一:由（I ）可知平面ADE ⊥平面ABCD ,取AD 中点O,连接EOEA ED =EO AD ∴⊥EO ∴⊥平面ABCD建立如图所示的空间直角坐标系,设2AB =则(1,0,0),(1,2,0),(0,0,1)A B E 设(,,)M x y z(1,2,),1,2,1BM x y z BE ∴=--=〈--〉,,B M E 三点共线BM BE λ∴=(1,22,)M λλλ∴-- (,22,)AM λλλ∴=--设AM 与平面ADE 所成的角为θ ∵平面ADE 的法向量(0,1,0)n =sin |cos ,|AM n θ∴=<>3==解得12λ=即M 为BE 的中点解法二:过点M 作//MN AB ,交EA 于N,如下图所示AB ⊥平面ADE MN ∴⊥平面ADEMAN ∴∠为直线AM 与平面ADE 所成的角∴sin MAN ∠=tan MAN ∴∠=即MNAN=//MN ABEN MNEA AB∴=EN EA MN AB ==EAMN∴==即2AB MN = 即M 为BE 的中点 【点睛】本题考查了线面垂直的证明,直线与平面夹角的应用,点满足某种条件下的求解,属于中档题.21．(1)a =(2)1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：本题主要考查利用导数求函数的极值、单调区间、最值等基础知识及分类讨论思想，也考查了学生分析问题解决问题的能力及计算能力.第一问先对函数进行求导，再把极值点代入导函数求得实数a 的值；第二问对任意的x 1，x 2∈[1，e]都有f(x 1)≥g(x 2)成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x)min≥g(x)max，利用导数分别判断函数f (x)、g(x)的单调性并求其在定义域范围内的最值，判断单调性时可对实数a进行分类讨论，则可求得实数a的取值范围．试题解析：(1)∵h(x)＝2x＋2ax＋ln x，其定义域为(0，＋∞)，∴h′(x)＝2－22ax＋1x，∵x＝1是函数h(x)的极值点，∴h′(1)＝0，即3－a2＝0.∵a＞0，∴a经检验当a x＝1是函数h(x)的极值点，∴a.(2)对任意的x1，x2∈[1，e]都有f(x1)≥g(x2)成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x)min≥g(x)max.当x∈[1，e]时，g′(x)＝1＋1x＞0.∴函数g(x)＝x＋ln x在[1，e]上是增函数，∴g(x)max＝g(e)＝e＋1.∵f′(x)＝1－22ax＝，且x∈[1，e]，a＞0.①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，f′(x)＝＞0，∴函数f(x)＝x＋2ax在[1，e]上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1＋a2.由1＋a2≥e＋1，得0＜a＜1，∴a不合题意．②当1≤a≤e时，若1≤x≤a，则f′(x)＝＜0，若a＜x≤e，则f′(x)＝＞0.∴函数f(x)＝x＋2ax在[1，a)上是减函数，在(a，e]上是增函数．∴f(x)min＝f(a)＝2a.由2a≥e＋1，得a≥12e+. 又1≤a≤e，∴12e+≤a≤e.③当a ＞e 且x ∈[1，e]时f′(x)＝＜0，函数f(x)＝x ＋2a x 在[1，e]上是减函数．∴f(x)min ＝f(e)＝e ＋2a e . 由e ＋2a e≥e ＋1，得a ＞e ，∴a ＞e. 综上所述，a 的取值范围为[12e +，＋∞)． 考点：1.利用导数求函数的极值、单调区间、最值；2.分类讨论思想. 22．（1）A B 、两点的极坐标为：4,,4,66A B ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或74,6B π⎛⎫⎪⎝⎭（2）MN =【解析】试题分析：（1）由2286cos ρθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒2cos 83πρ=⇒2=1644,,4,66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫=±- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或74,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）由曲线1C 的普通方程为228x y -=，将直线112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入228x y -=，整理得2140t MN +-==.试题解析：（1）由2286cos ρθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得：2cos 83πρ=， ∴2=16ρ， 即4ρ=±.∴A B 、两点的极坐标为：4,,4,66A B ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或74,6B π⎛⎫⎪⎝⎭. （2）由曲线1C 的极坐标方程2cos28ρθ=化为()222cos sin 8ρθθ-=，得到普通方程为228x y -=.将直线112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入228x y -=，整理得2140t +-=. ∴MN =23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ））． 【分析】（1）根据绝对值三角不等式求得函数的最小值，然后利用基本不等式即可证明； （2）先求得()3f ，然后对参数a 分情况讨论求得a 的范围. 【详解】（I ）由0a >，有()f x 111()2x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥，∴()f x ≥2． （Ⅱ）1(3)33f a a=++-． 当时a ＞3时，(3)f =1a a +，由(3)f ＜5得3＜a ＜52+； 当0＜a ≤3时，(3)f =16a a -+，由(3)f ＜5＜a≤3．综上：a）． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的最值及绝对值不等式的解法，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.。

天一大联考2019-2020学年海南省高三年级第三次模拟考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|60A x x x =--<，{}2|4B x x =…，则A B =I （ ） A ．()2,3B ．(2,3]C ． [2,3)D ．[2,3]2.已知复数z 满足()121 i z i -=+，则z =（ ）ABCD3.函数3sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．2x π=C ．23x π=D ．56x π=4.已知函数，(2),0,()2,0x k x x f x k x +⎧=⎨+>⎩„，则“1k <”是“()f x 单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺。

问日织几何？”其意思为：“有一女子很会织布，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织布5尺。

问：每天分别织多少布？”则上述问题中，该女子第3天织布的尺数为（ ） A ．2031B ．1031C ．516D ．156.函数2()1sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．7.2020年初，新型冠状病毒（19COVID -）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：由表格可得y 关于x 的二次回归方程为$26y x a =+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（ ） A ．5B ．4C ．1D ．08.已知双曲线22221(0,0)x y a b ba -=>>的左、右焦点分别为1(-, 0)F c ，2(, 0)(0)F c c >，点P 在双曲线上，且2PF 垂直于x 轴。

海口市灵山中学2020届高三第三次月考试题数学◇考试时间：120分钟总分：150分◇一、选择题（本大题共有12道小题，每小题5分，共60分）1．（） A ．i B ．i - Ci Di2．已知向量(3,4),(2,1),()(),a b a x b a b x →→→→→→==+⊥-若则等于（）A ．3B ．－2C ．5-D ．－33．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（）A ．12B ．13C ．14D ．154．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋1＋a ，n ∈N *，则实数a 的值是( )A ．－3B ．3C ．－1D ．15．已知S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n ＋1·n ，则S 6＋S 10＋S 15等于( )A ．－5B ．－1C ．0D ．66．在以下关于向量的命题中，不正确．．．的是（） A ．若向量),(y x a =，向量),(x y b -=, (xy ≠0)，则b a ⊥ B ．平行四边形ABCD 是菱形的充要条件是.C ．ABC △中，和的夹角等于180°－AD ．点G 是ABC △的重心，则=++7．若0<a<b 且a+b=1，则四个数21，b ，2ab ，22b a +中最大的是（ ） A 、 21B 、bC 、2abD 、22b a +8．不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则b a -等于（）A ．10B ．14C ．－10D ．－49．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )A ．x ＝13，y ＝23B ．x ＝23，y ＝13C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝1410．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为（）A 32B 315C ．32D ．31511．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a A b B A a 2cos sin sin 2=+，则=ab（） A 、32 B 、22 C 、3 D 、212．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞二、填空题（本大题共有4道小题，每小题5分，共20分）13．若向量||1,||2,||2,a b a b ==-=则||a b += 14．已知△ABC 的面积3=S ，3π=A ，则=⋅15．函数))(2cos(πϕπϕ<≤-+=x y的图像向右平移2π个单位后，与函数)32sin(π+=x y 的图像重合，则ϕ=___________.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足)2(21≥=++n a S S n n n，321-=a ，则=n S◇温馨提示：请将答案填在答题卡上◇三、解答题（本大题共有6道小题，共70分。

灵山县灵山中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，12,F F 分别在其左、右焦点，点P 为双曲线的右支上的一点，圆M 为三角形12PF F 的内切圆，PM 所在直线与轴的交点坐标为(1,0)，与双曲线的一条渐近线平行且距离为2，则双曲线C 的离心率是（ ）A B ．2 C D ．22． 若函数f （x ）=log a （2x 2+x ）（a ＞0且a ≠1）在区间（0，）内恒有f （x ）＞0，则f （x ）的单调递增区间为（ ）A ．（﹣∞，）B ．（﹣，+∞）C ．（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣）3． S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（ ） A ．S 18＝72 B ．S 19＝76 C ．S 20＝80D ．S 21＝844． 设x ∈R ，则x ＞2的一个必要不充分条件是（ ） A ．x ＞1 B ．x ＜1 C ．x ＞3 D ．x ＜35． sin3sin1.5cos8.5，，的大小关系为（ ） A ．sin1.5sin3cos8.5<< B ．cos8.5sin3sin1.5<< C.sin1.5cos8.5sin3<<D ．cos8.5sin1.5sin3<<6． 给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各 面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中 正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 7． 函数()()f x x R Î是周期为4的奇函数，且在02[,]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x ì-＃ï=íp <?ïî，则1741()()46f f +=（ ） A ．716 B ．916 C ．1116 D ．1316【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力． 8．双曲线=1（m ∈Z ）的离心率为（ ） A．B ．2C．D ．39． 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的（ ） A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 10．某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（ ） A ．80＋20π B ．40＋20π C ．60＋10π D ．80＋10π11．已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1-<mB ．10<<mC ．1>mD ．1≥m【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ．x=1，y=1B ．x=1，y= C ．x=，y=D ．x=，y=1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC 与平面ABC 所成角的正弦值为______________.【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．14．在（x 2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ． 15．平面内两定点M （0，一2）和N （0,2），动点P （x ，y ）满足，动点P 的轨迹为曲线E ，给出以下命题： ①∃m ，使曲线E 过坐标原点； ②对∀m ，曲线E 与x 轴有三个交点；③曲线E 只关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；④若P 、M 、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为m ＋4;⑤曲线E 上与M,N 不共线的任意一点G 关于原点对称的另外一点为H ，则四边形GMHN 的面积不大于m 。

1. C 【详解】{}|23A x x =-<<，{|2B x x =-或}2x ，[)2,3A B =.2. B 【详解】由()121i z i -=+，得()()()()121121311122i i i z i i i i ---===--++-，所以z ==. 3. D 【详解】令()262x k k Z πππ-=+∈，得23k x ππ=+，取1k =，得56x π=. 4. D 【详解】若()f x 单调递增，则0k >且()0022k k ++，解得01k <因为“1k <”与“01k <”没有包含的关系，所以充分性和必要性都不成立. 5. A 【详解】设第n 天织布的尺数为n a ，则{}n a 是公比为2的等比数列，所以()5112512512a a a a -++⋯+==-，解得1531a =，所以23120231a a =⨯=. 6. A 【详解】()211sin sin 11x xxe f x x x ee ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，故()()f x f x -=则()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当()0,0x f x →> 故选：A. 7. A 【详解】设2t x =，则()11491625115t =++++=，()12173693142585y =++++= 586118a =-⨯=-，所以2ˆ68yx =-.令4x =，得2444936485ˆe y y =-=-⨯+=.故选：A 8. B 【详解】根据题意知122F F c =，直线1PF 的斜率为34，则212123tan 4PF PF F F F ∠== 则有232PF c =，则152PF c ，则122a PF PF c =-=，又因为12PF F ∆的面积为132622S c c =⨯⨯=，解得2c =，即1a =.故选：B二、多选题9. BD 【详解】对于A ，若0a b >>，则11a b<，所以A 错误；对于B ，因为0a b ->，所以20201a b ->，故B 正确；对于C ，函数ln y x =的定义域为()0,+∞，而a ，b 不一定是正数，所以C 错误；对于D ，因为210c +>，所以()()2211a c b c +>+，所以D 正确.故选：BD10. AC 【详解】对于A ，2cos 1b α==，A 正确；对于B ，若//a b cos 0αα-=，tan α∴=，B 错误； 对于C ，3cos sin 2sin 3a b πααα⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭，最大值为2，C 正确；对于D ，||(3a b -=-因为0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以5,336πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin ,132πα⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即max ||5a b -=-，D 错误.故选：AC 11. ABD 【详解】如图，连接MN ，易知//MN PB ，由线面平行的判定定理得//PB 面AMC ，A 正确.在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，BAD ∴为等边三角形.设AD 的中点为O ，连接OB ，OP ，则OP AD ⊥，OB AD ⊥，由线面垂直的判定定理得出AD ⊥平面POB ，AD PB ∴⊥，B 正确. 平面PAD ⊥平面ABCD ，由面面垂直的性质可得POB 为直角三角形设4AD =，则OP OB ==，PB ∴=，12MN PB ==在MAN △中，AM AN ==MN =cos AMN ∠=,故异面直线PB 与AM ,在MAN △中222AM AN MN ≠+，则ANM ∠不是直角，则AMC ∆不是等腰三角形，即AM 与CM 长度不等，故C 错误，D 正确故选：ABD12. BD 【详解】由题知2()3f x x a '=+.对于A ，由()f x 是奇函数，知0b =，因为0a <，所以()f x 存在两个极值点，由(0)0f =知，()f x 有三个零点，A 错误；对于B ，因为211b +，所以0a ，()0f x '，所以()f x 单调递增，则()f x 仅有一个零点，B 正确；对于C ，若取2b =，2()33f x x '=-，则()f x 的极大值为()14f -=，极小值为(1)0f =，此时()f x 有两个零点，C 错误；对于D ，3()1f x x x =-+，2()31x f x '=-易得()f x 的极大值为10f ⎛= ⎭>⎝，极小值为10f =⎝>⎭.可知()f x 仅有一个零点，D 正确.故选：BD 三、填空题13. 16 【详解】设从学校A 和C 分别抽取的教师人数为x 和y ，由题意可知872144216x y ==，所以4x =，12y =，16x y +=.故答案为：16 14. 240【详解】636621661(2)()(1)2rrrr r r rr T C x C x x---+=-=-，令，得常数项为240，故答案为240. 15.323【详解】圆22280x x y -+-=即()2219x y -+=，圆心坐标为()1,0，则12p =抛物线方程为24y x =，所以2DF =.如图，3FA FB =-，所以:3:1AF FB = 又::DF BC AF AB =，所以2:3:4BC =，得83BC BF ==所以3243AB BF ==.故答案为：323四、双空题如图，设M 为AC 的中点，因为PA PC =，所以PM AC ⊥，又因为平面PAC ⊥平面ABC ，所以由面面垂直的性质定理得PM ⊥平面ABC ，所以PM MB ⊥=PM MB =从而可得PMAC =设1O ，2O 分别为对应面的内心，分别过1O ，2O 作MP ，MB 的平行线，交于点O 即O 为所求的球心，易知12OO MO 是正方形设Rt PAC △内切圆的半径为r ，球O 的半径为R，由图可知OM R ==，而22r -=，所以1R =.1五、解答题17.（1）给出的通项公式为24n a n =+.因为对任意*n N ∈()1214242n n a a n n +-=++--=， 所以{}n a 是公差为2的等差数列.对任意*,m n ∈N ，且m n ≠，()22424224m n m n a a m n m n a +++=+++=+++=，所以{}n a 是“Q 数列”.（2）因为{}n a 是等差数列，所以()()2*62452n n n S n n n N ++==+∈.因为n S 单调递增，且2775784100S =+⨯=<，28858104100S =+⨯=>，所以n 的最小值为8. 注：以下答案也正确，解答步骤参考上面内容：①33n a n =+，23922n S n n =+，n 的最小值为7；②6n a n =，233n S n n =+，n 的最小值为6.18. （1）43（2）(【详解】（1）因为A B C π++=，所以()sin sin A C B +=. 所以2sin 4sin2sin cos 222B B B B ==，因为0B π<<，所以022B π<<，所以sin 02B≠， 所以1tan 22B =.于是2212tan2422tan 311tan122B B B ⨯===⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知4tan 3B =，又()0,B π∈，根据同角三角函数关系可得4sin 5B =，3cos 5B =.根据余弦定理得()222261655b ac ac a c ac =+-=+-又()()()()22221641555a c ac a c a c a c +-+-+=+所以()2255a c b +=，即5a c+，当且仅当a c ==时取等号.又因为1a c b +>=，所以a c +的取值范围是(. 19. （1）1.2（2）9.3（3）0.1808【详解】（1）由题意得2100.4 2.2 2.2 5.2a b c ++=---=， 又2b a c =+，2c a =，解得0.8a =， 1.2b =， 1.6c =. 因为前四组的频率之和为()0.40.8 1.6 2.20.10.5+++⨯=， 所以估计样本中闪存芯片的数据传输速度的中位数为1.2 （2）估计样本中闪存芯片的使用寿命的平均数为 7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）样本中数据传输速度为优的产品有0.510050⨯=件 使用寿命为优的产品有()0.20.0510025+⨯=件至少有一项为优的产品有1004555-=件，所以S 级产品有50255520+-=件. 故任意一件产品为S 级产品的概率为15.则从这一批产品中任意抽取4件，其中S 级产品的数量服从二项分布14,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故所求的概率为43014441411310.1808555625P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20. 【答案】（1）见解析（2）【详解】（1）连接1AC 1AA AC =，∴平行四边形11AA C C 为菱形，11AC AC ∴⊥. 平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，BC AC ⊥BC ∴⊥平面11AA C C .11//BC B C ，11B C ∴⊥平面11AA C C ，111B C AC ∴⊥.又1111AC B C C =，111,AC B C ⊂平面11AB C 1AC ∴⊥平面11AB C . 1AB ⊂平面11AB C ，11AC AB ∴⊥.（2）取11A C 的中点为M ，连接CM .由160A AC ︒∠=，可知11CM AC ⊥，CM AC ⊥.又BC ⊥平面11AA C C ，故可知C 为坐标原点，CA ，CB ，CM 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图.则()0,0,0C，(1A ，()2,0,0A ，()0,1,0B，(1B -. 由（1）知，平面11AB C的一个法向量为(1CA =. 设平面1ABB 的法向量为(),,n x y z =，则10n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩. ()2,1,0AB =-，(13,1AB =-，2030x y x y -+=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩.令1x =，得2y =，z =，即31,2,n ⎛= ⎝⎭.111cos ,162CA n CA n CA n ⋅∴===⋅⨯结合图可知，二面角11C AB B --为钝角，则二面角11C AB B --的余弦值为21. 【答案】（1）22143x y +=（2）存在，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【详解】（1）设椭圆E 的半焦距为c 因为离心率12e =，所以2a c =，222243b c c c =-= 由222214320x y c c x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩解得x =.不妨设,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ⎫⎪⎪⎭，则AB =所以1c =，从而2a =，23b =.所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）假设存在点(),P x y ，设()11,A x y ，()22,B x y . 由2214320x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-=.因为44m -<<，所以()22416120m m ∆=-->，且122m x x +=-，212124m x x -=.由APB ∠的平分线平行于y 轴，得0AP BP k k +=所以12120y y y y x x x x --+=--，即1212220x m x my y x x x x ++--+=--， 可得()()()()12121222220x x x x x m y x m y x x +-+---+=， 所以()()2212220222m m y mx m m y x ---+-+-=，整理得()321280x y m xy -+-=. 当m 变化时，上式恒成立，所以3201280x y xy -=⎧⎨-=⎩，解得132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩.故满足条件的P 点的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.22. 【答案】（1）见解析（2）13a =-.【详解】 （1）当0a =时，()()21ln 12f x x x x =+-+，定义域为()1,-+∞.()21111x f x x x x =-+=++'.当1x >-时，()0f x '>，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增.又因为()00f =，所以当10x -<<时()0f x <，当0x >时，()0f x >. （2）若0a ，由（1）知，当0x >时，()()()21ln 1002f x x x x f +-+>=.这与0x =是()f x 的极大值点矛盾.若0a <，()()32223311331131113ax a x ax a f x x ax x x x x a +++⎛⎫=-++==+ ⎪+++⎝⎭'，1x >-. 令()0f x '=，可得0x =或313a x a+=-. ①若13a <-，则3103a a+-<. 当3113a x a +-<<-时，()0f x '>，当313a x a+>-时，()0f x '. 所以()f x 在31,3a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，与0x =是()f x 的极大值点矛盾. ②若103a -<<，则3103a a+->. 当3113a x a +-<<-时，()0f x '，当313a x a+>-时，()0f x '<. 所以()f x 在311,3a a +⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，与0x =是()f x 的极大值点矛盾. ③若13a =-，则3103a a+-=. 当10x -<<时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<. 所以()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,+∞上单调递减. 此时0x =是()f x 的极大值点.综上所述，若0x =是()f x 的极大值点，则13a =-.。

2019-2020年高三年级第三次质量检测数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120 分钟.2．请将第第I 卷选择题的答案用2B 铅笔填涂在答题卡上，第II 卷在各题后直接作答。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

）1．设集合U=R ，集合P={x|x 2≥x}，Q={x|x>0}，则下列关系中正确的是 （ ）A ．P ∩Q ⊂QB ．P ∪Q ⊂QC ．P ∪Q ≠RD ．Q ∩Q=φ2．已知f (x )的反函数0)(),2(log )(21=+=-x f x x f 则方程的根为（ ）A ．1B ．0C ．－23D ．23．设a 、b 表示直线，α、β表示平面，P 是空间一点，下面命题正确的是 （ ） A ．a ⊄α，则a//α B ．a//α，b ⊂α，则a//b C ．α//β，a ⊄α，b ⊂α，则a//b D ．P ∈a ，P ∈β，a//α，α//β则a ⊂β 4．设圆x 2+y 2－2x+6y+1=0上有关于直线2x+y+c=0对称的两点，则c 的值为 （ ） A ．2 B ．－1 C ．－2 D ．1 5．在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120，则a 9－31a 11的值为 （ ）A ．14B ．15C ．16D ．17 6．设复数z+i （z 为复数）在映射f 下的象为zi ，则－2+2i 的象是 （ ）A ．1－2iB ．－1－2iC ．2－2iD ．－2－2i 7．已知)tan(,cos )sin(),2(53sin βααβαπβπβ+=+<<=则等于 （ ）A ．－2B ．2C ．1D ．258 8．点P 是椭圆6410022y x +=1上一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△PF 1F 2有面积为（ ）A ．64B ．3364C ．64（2+3）D ．64（2－3）9．已知△ABC 中，S ABC 与则,5||,3||,415,0,,===<⋅==∆的夹角是（ ）A ．30°B ．－150°C ．150°D ．120° 10．已知αααπα22sincos33)(),2,0(+=∈M 则的最小值为（ ）A ．3B ．23C ．4D ．不存在11．某公司新招聘进8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部分，另外三名电脑编程人员也不能分在同一个部门，则不同的分配方案共有 （ ） A ．36种 B ．38种 C ．108种 D ．24种 12．若f(x)=2ax 2+bx+c(a>0，x ∈R)，f(－1)=0，则“b<－2a ”是“f(2)<0”的 （ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）13．某校对全校男女学生共1200名进行健康调查，选用分层抽样取一个容量为200的样本，已知男生比女生多抽了10人，则该校男生人数为 人. 14．(1－x+x 2)(1+x)6展开式中x 3项的系数是 . 15．表面积为S 的正八面体的各项点均在体积为π32的球面上，则S 的值为 . 16．已知实数x 、y 满足约速条件：y x z N y x y x x x y +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥+-≤≤+且,,012,4,3的最大值为12，则k 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知M （1+cos2x ，1）N （1，3sin2x +a ）（x ∈R ，a ∈R ，a 是常数），且y=OM ⋅（O 为坐标原点）. （Ⅰ）求y 关于x 的函数关系式y=f (x )（Ⅱ）若x ∈[0，2π]时，f (x )的最大值为4，求a 的值，并说明此时f (x )的图象可由 )6sin(2π+=x y 的图像经过怎样的变换而得到.18．（本小题满分12分）在长方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AD=DC=3. （Ⅰ）求直线A 1C 与D 1C 1所成角的大小；（Ⅱ）在线段A 1C 1上有一点Q 使平面QDC 与平面A 1DC所成的角为30°，求C 1Q 的长.19．（本小题满分12分）某人参加一项专业技能考试，最多有5次参加考试机会，每次考试及格的概率均为32，每次考试的成绩互不影响，当有两次考试及格，考试就能通过.（以后有考试机会也不能参加）（Ⅰ）求某人通过专业技能考试的概率；（Ⅱ）如果考试通过或已参加5次考试则不再参加考试.设某人参加考试次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.20．（本小题满分12分）已知函数f(x)=ln(e x +1)－ax(a>0).（Ⅰ）若函数y=f(x)的导函数是奇函数，求a 的值；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间. 21．（本小题满分12分）设P 是双曲线16422=-y x 右支上任一点. （Ⅰ）过点P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为E 、F ，求||||⋅的值； （Ⅱ）过点P 的直线与两渐近线分别交于A 、B 两点，△ABO 的面积为9，且PB AP λ= （λ>0），求λ的值.22．（本小题满分14分）已知函数f (x )满足ax ·f (x )=b +f (x ),(ab ≠0)，f (1)=2，并且使f (x )=2x 成立的实数x 有且只有一个.（Ⅰ）求f (x )的解析式；（Ⅱ）若数列{a n }前n 项和为S n ，a n 满足n a f S n a n n =-≥=)(2,2,231时当，求数列{a n } 的通项公式；（Ⅲ）当n ∈N *，且n ≥3时，在（II ）的条件下，令求证：.1341122110+->+++++--n d C d C d C d C C n n n n n n n n n参考答案一、选择题1—5AADDC 6—10BADCB 11—12AB二、填空题：13.63014.1115.23 16. )14,12[三、解答题：17．解：（1）a x x y +++=⋅=2sin 32cos 1∴f (x )=cos2x +3sin2x +1+a .………………………………………………（5分） （2）a x x f +++=1)62sin(2)(π]2,0[6,262ππππ∈==+∴x x 即时，f (x )取最大值3+a ，由3+a =4，得a =1∴f (x )=2sin(2x +6π)+2……………………………………………………（10分） ∴将y=2sin(x +6π)图像上每一点的横坐标缩短到原来的21,纵坐标保持不变，再向上平移2个单位长度可得y=2sin(2x +6π)+2的图像…………………………（12分）18．解法一：（I ）建立空间直角坐标系，如图所示，则D （0，0，0）D 1（0，0，1），A 1（3，0，1）， C （0，3，0），C 1（0，3，1）..721373,cos ).0,3,0(),1,3,3(111111111111=⋅=>=<∴=--=∴C D A C D C A ∴直线A 1C 与D 1C 1所成的角为arccos721.……………………6′（II ）设Q （x 0，y 0，z 0）∵点Q 在直线A 1C 1上，).1),1(3,3(.1),1(3,3)0,3,3()1,3,(000000111λλλλλλ-∴=-==⇒-=--⇔=∴Q z y x z y x A C C设平面QDC 与平面A 1DC 的法向量分别为n 1=（x 1，y 1，z 1），n 2=（x 2，y 2，z 2）.……3′由⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0)1),1(3,3(),,(,0)0,3,0(),,(,0,011111111λλz y x z y x DQ n n 01).3,0,1(,1.03,00)1,0,3(),,(,0)0,3,0(),,(0,08).3,0,1(,1.03,02222222222212211111'-==⎩⎨⎧=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅'-==⎩⎨⎧=+=⇒ n x z x y z y x z y x DA n n n x z x y 则令由则令λλ∵二面角Q —DC —A 1为30°，21.36||31||||11.3123|31231|23|,cos |11111221'==='⇒⇒=++⇒=><∴ A C A C Q C n n λλλλ故 解法二：（I ）∵A 1B 1 //D 1C 1，∴∠B 1A 1C 为异面直线A 1与D 1C 1所成的角……2′ 连B 1C ，在Rt △A 1B 1C 中，A 1B 1=3，B 1C=2，)772sin 721(cos .33232tan 111111111=∠=∠===∠∴C A B C A B B A C B C A B 或∴异面直线A 1C 与D 1C 1所成的角为arctan332.……………………6′ （II ）在平面A 1C 1内过点Q 作EF//A 1B 1， ∴EF//CD ，连FC 、ED.∵B 1C ⊥DC ，FC ⊥DC ，∴∠B 1CF 为二面角A 1—DC —Q 的平面角.…………………………9′ ∴∠B 1CF=30°.又B 1C 1=3，CC 1=1， ∴tan 311111==∠CC C B CC B , ∴∠B 1CC 1=60°，∴CF 为∠B 1CC 1的角平分线，∴∠FCC 1=30°，3631.3330tan 11111111111==⇒===∴A C Q C B C F C A C Q C CC FC 又19．解：（1）记“考试通过”为事件A ，其对立事件为A ，则5415)31()31(32)(+⨯⨯=C A P∴243232])35()31(32[1)(5415=+⨯⋅-=C A P …………………………（6分） （2）考试次数ξ的可能取值为2，3，4，524327)31()32()31(32)31(32)5(27432)31(32)4(278323132)3(94)32()2(5415314213122=+⨯+⨯⨯⨯===⨯⨯⨯===⨯⨯⨯=====C C P C P C P P ξξξξ……………………………………（11分） 24371124327527442783942=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………………（12分） 21．解：（1）由已知得a e e x f xx-+='1)(………………………………（2分） ∵函数y=f (x )的导函数是奇函数，.21),()(='-=-'∴a x f x f 解得……………………………………（4分）（2）由（1）a e a e e x f x xx -+-=-+='1111)( 当a ≥1时，f ′(x )<0恒成立.∴当a ≥1时，函数y= f (x )在R 上单调递减…………………………（7分） 当0<a <1时，解f ′(x )>0得（1－a ）（e x +1）>1，………………12′即aax a e x->-+->1ln,111 当),1(ln )(,10+∞-=<<aax f y a 在时内单调递增 在)1ln,(aa--∞内单调递减……………………………………（11分） ∴当a ≥1时，函数y=f (x )在R 上单调递减 当0<a <1时，y=f (x )在（aa-1ln ，+∞）内单调递增 在)1ln,(aa--∞内单调递减……………………………………（12分） 21．（I ）设.1641164),,(2020202000=-⇒=-y x y x y x P 则∵两渐近线方程为2x ±y=0，……………………………………（2分） 由点到直线的距离公式得)5(.5165|4|||||5|2|||,5|2|||20200000分 =-=⋅∴+=-=y x y x PF y x PE（II ）如图，设渐近线y=2x 的倾斜角为θ则542sin sin ,532cos 2tan ==∠-=⇒=θθθAOB ，……（7分）设A （x 1，2x 1），B （x 2，－2x 2）， ∵0,>=λλ∴P 为有向线段AB 的内分点， ∴x 1>0，x 2>0. ∴,5||,5||21x OB x OA ==)9(.29,922sin ||||212121分 =∴===∴∆x x x x OB OA S ABO θ 又)12,1(,2121λλλλλ+-++=x x x x p 得，代入双曲线方程化简得：.212,)1(29)1(2221或解得即=+=+=λλλλλx x故21=λ或2.……………………………………………………（12分） 22．解：（1）由f(1)=2得2a=b+2 ①由f(x)=2x ，得ax ·2x=b+2x ，即2ax 2－2x －b=0只有一个x 满足f(x)=2x ，又a ·b ≠0， 则a ≠0 ∴△=4+8ab=0 ②由①②解得 a=1,21-=b ………………………………（2分） )4()2(22)(2012,1)()12(分则 ≠-=∴≠⇒≠--=-∴x xx f x xx f x（2）当n ≥2时，2222+=+∴=--n a S n a S n n nn∵当23212323,1111=⇒+=+=+=a a S n 时…………（6分） ∴当n ≥2（n ∈N*）时，S n +a n =n+2，则S n －1+a n －1=n+1两式相减得：2a n －a n －1=1（n ≥2）∴2(a n －1)=a n －1－1，即a n －1=21(a n －1－1) （n ≥2） ∴数列{a n －1}是以21为首项，以21为公式的等比数列.n n n n a a 211)21(2111+=∴=-∴-……………………（9分）（3）1)21(log )1211(log 121121+==-+=++n d n n n)14(1341341)1(2112)12(2)(2222,3112])[(11111)11(112)1()1()1()1()1(11]12)2)(1()[1()1()2)(1(111221101101101111101112111112211011分时当分 +->++++∴+-=++>+-∴+>+++=⋅=≥+-=-++++=++++++=+++∴+=⋅-++--+⋅+=⋅--++---=+=∴--++++++++++++--++n d C d C d C d C C n n n n n C C C n n c c c c n n C n C n C d C d C d C C n C K k k k n n n n n k k k k k n n n n k C d C n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nk n k n k k n。

海南省海口市名校2025届高三第三次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ）A ．4B ．289C ．329D ．3272．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．3．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ） A ．23B ．25C ．28D ．295．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12B ．5C ．52D ．56．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺 7．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( )A ．3π B ．23π C ．2π D ．π8．如图，2AB =是圆O 的一条直径，,C D 为半圆弧的两个三等分点，则()AB AC AD ⋅+=（ ）A ．52B ．4C ．2D ．13+9．执行如图的程序框图，若输出的结果2y =，则输入的x 值为( )A ．3B ．2-C ．3或3-D ．3或2-10．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对11．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ）A ．函数()f x 在()0,3上单调递增B ．函数()f x 在()0,3上单调递减C ．函数()f x 图像关于32x =对称 D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 12．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。