2021届海南省海南中学、文昌中学高三联考理科数学

2021年高考新高考卷II海南数学试题含答案解析姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、选择题（共12题）1、设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（）A. {x|2<x≤3}B. {x|2≤x≤3}C. {x|1≤x<4}D. {x|1<x<4}2、（）A. 1B. −1C. iD. −i3、 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种4、日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A. 20°B. 40°C. 50°D. 90°5、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A. 62%B. 56%C. 46%D. 42%6、基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫0情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （）A. 1.2天B. 1.8天C. 2.5天D. 3.5天7、已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范用是（）A. B.C. D.8、若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）A. B.C. D.9、已知曲线.（）A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D. 若m=0，n>0，则C是两条直线10、下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （）A. B. C. D.11、已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）A. B.C. D.12、信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（）A若n=1，则H(X)=0B. 若n=2，则H(X)随着的增大而增大C. 若，则H(X)随着n的增大而增大D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)二、填空题（共5题）1、斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．2、将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为________．3、某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．4、已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．5、在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．三、解答题（共4题）1、已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）求.2、为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：32 18 46 8 123 7 10（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？附：，0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.8283、如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．4、已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.四、综合题（共1题）1、已知函数．（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．============参考答案============一、选择题1、 C【解析】【分析】根据集合并集概念求解.【详解】故选：C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.2、 D【解析】【分析】根据复数除法法则进行计算.【详解】故选：D【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.3、 C【解析】【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.4、 B【解析】【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点处的纬度，计算出晷针与点处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得..由于，所以，由于，所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.5、 C【解析】【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，则，，，所以所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.6、 B【解析】【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.【详解】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.7、 A【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.8、 D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.9、 ACD【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10、 BC【解析】【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,当时，，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC.【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.11、 ABD【解析】【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12、 AC【解析】【分析】对于A选项，求得，由此判断出A选项的正确性；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出，利用对数函数的性质可判断出C选项的正确性；对于D选项，计算出，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项的正确性.【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，若，则，，所以，当时，，当时，，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若，则，则随着的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.二、填空题1、【解析】【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：代入抛物线方程消去y并化简得，解法一：解得所以解法二：设，则,过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.故答案为：【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题. 2、【解析】【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.3、【解析】【分析】利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【详解】设，由题意，，所以，因为,所以，因，所以，因为与圆弧相切于点，所以，即为等腰直角三角形；在直角中，，，因为，所以，解得；等腰直角面积为；扇形的面积，所以阴影部分的面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.4、.【解析】【分析】根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果.【详解】如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得.故答案为：.【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.5、详见解析【解析】【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值，得到角的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.【详解】解法一：由可得：，不妨设，则：，即.选择条件①的解析：据此可得：，，此时.选择条件②的解析：据此可得：，则：，此时：，则：. 选择条件③的解析：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴,若选①，,∵,∴,∴c=1;若选②，,则,;若选③,与条件矛盾.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．三、解答题1、（1）；（2）【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.【详解】(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，整理可得：，，数列的通项公式为：.(2)由于：，故：.【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.2、（1）；（2）答案见解析；（3）有.【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据可得列联表；（3）计算出，结合临界值表可得结论.【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天，所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为；（2）由所给数据，可得列联表为：合计64 16 8010 10 20合计74 26 100（3）根据列联表中的数据可得，因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善列联表，考查了独立性检验，属于中档题.3、（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，从而得到平面；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面所成角的正弦值的最大值.【详解】（1）证明：在正方形中，，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以因为所以平面；（2）如图建立空间直角坐标系，因为，则有，设，则有，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为，则根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.4、（1）；（2）12.【解析】【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.当y=0时，解得，所以a=4，椭圆过点M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)设与直线AM平行的直线方程为：，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程与椭圆方程，可得：，化简可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：，直线AM方程为：，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：，由两点之间距离公式可得.所以△AMN的面积的最大值：.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．四、综合题1、（1）（2）【解析】。

2021-2022学年海南省海口市海南中学高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件A ，用随机模拟的方法估计事件A 发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：由此可以估计事件A 发生的概率为（ ）A. B. C. D.参考答案：C 【分析】事件A 即为表中包含数字0和1的组，根据表中数据，即可求解【详解】事件A 包含“瓷”“都”两字，即包含数字0和1，随机产生的18组数中，包含0,1的组有021,001,130,031,103，共5组，故所求概率为，故选C【点睛】本题考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属基础题。

2. 如图，一个空间几何体的正视图和俯视图都是周长为4，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为（ ）A ．2πB ．C ．πD ．参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知三视图得到几何体是两个圆锥的组合体，根据数据计算表面积．【解答】解：由已知三视图得到几何体是同底的两个圆锥的组合体，底面半径为，圆锥的高为，所以几何体的表面积为；故选C ．3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）AB 40 CD参考答案：C由三视图知，直观图如图所示：底面是直角三角形，直角边长为4，5，三棱锥的一个后侧面垂直底面，并且高为4，所以棱锥的体积为：．4. 在实数的原有运算法则（“” “”仍为通常的乘法和减法）中，我们补充定义新运算“”如下：当时，；当时，，则当时，函数的最大值等于A ．－1B ．1 C. 6 D ．12参考答案：C此题是信息类的题目，考查分段函数的最值问题的求法、学生的自学能力和逻辑推理能力；由已知得所以，可求出：当时，函数最大值是-1；当时，函数最大值是6；当时，函数不存在最大值是；所以函数的最大值等于6，选C5. 已知是内角,命题:；命题：，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A6. 已知平面向量，满足，，与的夹角为，以为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为（）A．2 B． C.1 D．参考答案：B因为与的夹角为，所以此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为，而，故选B.7. 已知，，则的值为（）A. B. C.D.参考答案：B.考点：三角恒等变形.8. 已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（）A. 关于点（，0）对称B. 关于直线x＝对称C. 关于点（，0）对称D. 关于直线x＝对称参考答案：A略9. 执行如图的程序框图，则输出的S值为（）A．33 B．215 C．343 D．1025参考答案：C【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的S，k的值，当k=10时不满足条件k＜9，输出S的值为343．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=2，k=0满足条件k＜9，执行循环体，S=3，k=2满足条件k＜9，执行循环体，S=7，k=4满足条件k＜9，执行循环体，S=23，k=6满足条件k＜9，执行循环体，S=87，k=8满足条件k＜9，执行循环体，S=343，k=10不满足条件k＜9，退出循环，输出S的值为343．故选：C．10. 若关于的方程在区间上有实数根，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：【知识点】二次函数B5B解析：因为在区间上有实数根，令所以，即，，故选B.【思路点拨】二次函数在给定区间上根的分布问题，只需找准条件即可，不能丢解.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A的三等分点，点P在BN上且，则实数m的值为__________.参考答案：，由系数和为1得.12. 如图是某算法的程序框图，若任意输入中的实数，则输出的大于的概率为.参考答案：略13. 已知函数f（x）=asinxcosx﹣sin2x+的一条对称轴方程为x=，则函数f（x）的最大值为．参考答案：1【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．【分析】本题运用离对称轴远近相同的点函数值相等求出a值，再求三角函数的最值．【解答】解：f（x）=，∵是对称轴，f（0）=f（），∴，∴，最大值为1．故答案为1．14. 已知函数满足，且f(x)的导函数，则的解集为________参考答案：(1,+∞)【分析】根据条件构造函数，原不等式等价于,然后由已知，利用导数研究函数的单调性，从而可得结果.【详解】设，则,因为,,即函数在定义域上单调递减,,所以当时,,不等式的解集为,故答案为:.【点睛】本题主要考查不等式的解法,利用条件构造函数, 利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.15. 将四个人（含甲、乙）分成两组，则甲、乙为同一组的概率为．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】4人分成两组，通过讨论每2人一组以及一组一人，一组3人的情况即可求出结论．【解答】解：4人分成两组，若一组2人，则有=3种分法，若一组一人，一组3人，则有=4种分法，∴甲、乙分别同一组的概率为+=．故答案为：．【点评】平均分组问题是概率中最困难的问题，解题时往往会忽略有些情况是相同的，本题是一道中档题．16. 焦点为F的抛物线上有三点A、B、C满足：①△ABC的重心是F；②|FA|、|FB|、|FC|成等差数列．则直线AC的方程是________________________．参考答案：略17. 正六边形的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2024—2025学年度第一学期高三第二次月考试题数 学时量：120分钟 分值：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷 选择题（共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．“” 是 “” 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f (x )＝ ，则f (2024)的值为（）A ．－1B ．0C ．1D ．2{}32|<<-=x x M {}045|2>+-=x x x N =N M )1,2(--)4,2(-),4()1,(+∞-∞ ),4()3,(+∞-∞ 32πα=21cos -=α0,2)ln(0),1(≤++->-x e x x x f6．已知函数f (x )＝若函数g (x )＝f (x )－b 有三个不同的零点，则实数b 的取值范围为（ ）A ．(0，1]B ．[0，1]C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)7．若α∈，tan 2α＝cos α2－sin α，则tan α＝（ ）A ．1515 B ．55 C ．53 D ．1538．挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（ ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内） A ．11 B ．12C ．13 D ．14二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）A ．的最小值是4B ．的最大值是1C ．的最小值是1D ．的最大值是10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．函数的图象关于直线对称C ．函数图象向右平移个单位后得到函数的图像D ．函数在区间上是减函数11．对于已知函数，下列论述正确的有（ ）0,lg 0,)1(2>≤+x x x x ⎪⎭⎫⎝⎛2,0πy x ,2=+y x yx 11+xy 22y x +)1(+y x 49)sin()(ϕω+=x A x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛<>>2,0,0πϕωA 1=ω)(x f π125-=x )(x f 3π⎪⎭⎫ ⎝⎛-=652cos 2)(πx x g )(x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ125,1211b ax x x x f ++-=233)(A ．若，则函数的单调递减区间为B ．若函数在区间上是增函数，则C ．当，时，函数图像的对称轴为D ．当，时，函数图像的对称中心为9-=a )(x f y =)3,1(-)(x f y =),0(∞+4≥a 3=a 0=b )(x f 2=x 0=a 2=b )(x f 0）1，（第Ⅱ卷 非选择题（共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分）12．函数是定义在上的奇函数，当时，，则＝ 。

2015届高三海南中学与文昌中学数学（理）联考题满分：150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题：共60分）一， 选择题（共12小题，每小题5分，每小题只有一个正确选项）1. 已知集合全集U R =，{|1}M x x =<，2{|log 1}N x x =<，则=)(N C MU( )（A ）∅ （B ）{|0}x x ≤ （C ）{|1}x x < （D ）{|2}x x ≥ 2,2131,,ii z Z Z i ++-=复数的共轭复数是虚数单位若则Z 在复平面对应的点为（ ） A,)5,5( B,)5,5(- C,)1,1( D,)1,1(-3, 在右图的正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估圆周率的值：经查数，落在正方形中的豆子的总数为n 粒，其中()m m n ＜粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π为( )(A)m n (B)2m n (C)3m n(D)4m n4，设}{n a 是由正数组成的等比数列，nS 为其前n 项和．已知13,81342==S a a ,则5S 等于()A. 40B. 81C. 121D. 243第3题图5, 已知函数1cos sin 32sin 2)(2-+=x x x x f 的图象关于)0,(ϕ对称，则ϕ的值可以是( )A ．6π- B. 6πC ．12π- D. 127π6, 已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-20062x y x y x ，若目标函数y mx z +-=的最大值为102+-m ，最小值为22--m ，则实数m 的取值范围是( ) A.[]2,1- B.[]1,2- C.[]3,2 D.[]3,1-7，抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功.若设在90次试验中成功次数为ξ, 则E ξ=（ ）（A ）30 （B ）40 （C ）45 （D ）50 8，某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为()A ．1 B.12 C.14D.189，如图是一个三棱锥的三视图，俯视图是一个斜边长为2的直角三角形, 设它的外接球的表面积为S ，则( ) (A) S 是定值，=8S π(B) S 不是定值，有最小值min =8S π(C) S 不是定值，有最大值max =8S π 正视图 左视图2 a2(D) S 不是定值，与a 的大小有关俯视图 10，对于函数∈∈+-=c R b a c bx x a x f ,,(sin )(其中Z ),选取c b a ,,的一组值计算)2()2(-f f 与,所得出的正确结果一定不可能是( )A,6)2(,4)2(=-=f f B,1)2(,3)2(=-=f f C,2)2(,1)2(=-=f f D, 4)2(,2)2(=-=f f11，在平面直角坐标系中，过动点P 分别作圆0964:221=+--+y x y x C 与圆:2C 012222=++++y x y x 的切线),(为切点与B A PB PA ，若PB PA = 若O 为原点,则OP 的最小值为（ ）A, 2 B,54C,53 D,512, 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,,A B 是椭圆上关于原点对称的两点,P 是椭圆上任意一点，且直线PA PB 、的斜率分别为12k k 、，若椭圆的离心率为22，则12||=k k ⋅ ( )(A) 12(B) 22 (C) 32 (D) 23第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二，填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13,计算下列定积分,dx x x ⎰+π)2(cos =___________14,平面向量→→b a 与的夹角为43π,____2,2),0,2(=+==→→→→b a b a 则15，已知双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的离心率为2,且双曲线与抛物线y x342-=的准线交于B A ,,3=∆OAB S ,则双曲线的实轴长________16,BD DC BC D AC AB BAC ABC 4,,2,1,120,,====∠∆︒且上在中如图,则的长为AD ________________三，解答题（共6小题，共70分）17，（本小题12分）已知数列}{n a 中,有14,4411=++=+a a a a n n 且(1)求}{n a 的通项公式n a 与前n 项和公式n s (2)令kn s b nn +=,若}{n b 是等差数列,求数列}1{1+n n b b 的前n 项和n T18，（本小题12分）如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，∠BAC＝30°，BM ⊥AC,交AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，FC ∥EA ，AC ＝4，EA ＝3，FC ＝1.(1)证明：EM ⊥BF ；(2)求平面BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．19，（本小题12分）某新开业的冷饮店为了促销举办买冷饮送套圈活动：每买1元的冷饮送两次套圈的机会，套中即送成本价为a 元(0a >)的纪念杯一个.在一段时间内统计的消费金额和套中奖杯的个数之间的数据如下表且具有线性相关关系： 消费金额x 元 2 4 68 12 15 16 获得纪念杯个数y1 1 23455(Ⅰ)预计消费者在消费30元时可获得的纪念杯的个数；(Ⅱ)试利用函数的单调性，讨论冷饮店的利润预期与纪念杯的成本价a 之间的关系 .参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii nii x ynx y bay bx xnx==-==--∑∑(其中x ,y 分别是x 与y 的平均数)提示:245772211=+++y x y x y x ,745272221=+++x x x20，（本小题12分）已知动圆过定点)2,0(A ，且在x 轴上截得的弦长4=MN （Ⅰ）求动圆的圆心C 的轨迹方程L 。

2021-2022学年海南省海口市昌江中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=log0.4(–x2+3x+4)的值域是（）．（A）(0，–2] （B）[–2，+∞)（C）(–∞，–2] （D）[2，+∞)参考答案：B【知识点】函数的值域．B1解析：；∴有；所以根据对数函数log0.4x的图象即可得到：=﹣2；∴原函数的值域为[﹣2，+∞）．故选B．【思路点拨】先通过配方能够得到0，所以根据对数函数的图象即可得到，进行对数的运算从而求出原函数的值域．2. 已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则椭圆的离心率为（）A. B．C．D．参考答案：B3. 已知f(x)＝则下列函数的图象错误的是()．参考答案：D4. 已知函数有两个极值点，若，则关于x的方程的不同实根个数为A．4 B．4 C．5 D．6参考答案：A略5. 已知向量a，b满足（a+2b）·（a-b）=－6，且1，，则a与b的夹角为（）参考答案：C6. 复数z=|（﹣i）i|+i2017（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i参考答案：A【考点】A8：复数求模．【分析】i4=1，可得i2017=（i4）504?i=i．再利用复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵i4=1，∴i2017=（i4）504?i=i．∴z=|（﹣i）i|+i2017=|i+1|+i=+i=2+i，则复数z的共轭复数为2﹣i．故选：A．7. 已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 ()A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)参考答案：D8. 若集合且，则集合可能是（）A． B． C． D．参考答案：A试题分析：由于，，因为，故答案为A．考点：集合交集的性质．9. 设k＞1，f（x）=k（x﹣1）（x∈R）．在平面直角坐标系xOy中，函数y=f（x）的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f﹣1（x）的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点．已知四边形OAPB的面积是3，则k等于( )A．3 B．C．D．参考答案：B考点：反函数．专题：计算题；压轴题．分析：先根据题意画出图形，由于互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称，从而两个函数的图象交于P点必在直线y=x上．且A，B两点关于y=x对称，利用四边形OAPB的面积=AB×OP，求得P （3，3）从而求得k值．解答：解：根据题意画出图形，如图．由于互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称，所以这两个函数的图象交于P点必在直线y=x上．且A，B两点关于y=x对称，∴AB⊥OP∴四边形OAPB的面积=AB×OP=×OP=3，∴OP=3．∴P（3，3）代入f（x）=k（x﹣1）得：k=故选B．点评：本题主要考查反函数，反函数是函数知识中重要的一部分内容．对函数的反函数的研究，我们应从函数的角度去理解反函数的概念，从中发现反函数的本质，并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题．10. 设的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式的解集为.参考答案：得，即，所以不等式的解集为。

海南省文昌中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题一、单选题1．已知集合{23}M xx =-<<∣，{}2540N x x x =-+>∣，则M N ⋃=（ ） A ．(2,1)-- B ．(2,4)-C ．(,1)(4,)-∞+∞UD ．(,3)(4,)-∞⋃+∞2．若复数z 满足(13i)3i z -=-（i 为虚数单位），则z 的模z =（ ）A ．35B ．1CD ．53．“2π3α=”是“1cos 2α=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()()()1,0ln e 2,0f x x f x x x ⎧->⎪=⎨-++≤⎪⎩，则()2024f 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．25．已知0.43a =，0.5log 4b =，πcos 18c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>6．已知函数()()21,0lg ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x b =-有三个不同的零点，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(0,1]B ． 0,1C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞7．若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（ ）A B C D 8．挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（ ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内）A ．11B ．12C ．13D ．14二、多选题9．已知正数x ，y 满足2x y +=，则下列选项正确的是（ ） A ．11x y+的最小值是4B ．xy 的最大值是1C ．22x y +的最小值是1D ．(1)x y +的最大值是9410．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π||2ϕ<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．1ω=B ．函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称 C ．函数()f x 图象向右平移π3个单位后得到函数5π()2cos 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像D ．函数()f x 在区间115π,π1212⎛⎫-- ⎪⎝⎭上是减函数11．对于已知函数32()3f x x x ax b =-++，下列论述正确的有（ ）A ．若9a =-，则函数()y f x =的单调递减区间为(1,3)-B ．若函数()y f x =在区间(0,)+∞上是增函数，则4a ≥C ．当3a =，0b =时，函数()f x 图像的对称轴为2x =D ．当0a =，2b =时，函数()f x 图像的对称中心为(1,0)三、填空题12．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则(4)f -=．13．如图是某个函数()y f x =的图象在[0,2]x ∈的一段图像．写出函数()y f x =在[0,2]x ∈时满足图象的一个解析式()f x =（写出一个即可）．14．设()cos sin x x f ααα=-（其中N x +∈，α为任意角），则求下列： （1）当4x =时，且π0,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f α的取值范围为；（2）当8x =时，且π0,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f α的取值范围为．四、解答题15．某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2:3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意.(1)完成22⨯列联表，依据表中数据，以及小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关?(2)从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为X .求出X 的分布列及数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：16．已知函数()2()cos cos sin f x x x x x =+-．(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； (2)若把()y f x =的图像先向右平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到()y g x =的图像，则当[0,2π]x ∈时，求使得()2gx =时所有x 的取值．17．在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(cos cos)cos ca Bb A C+=． (1)求角C ；(2)若c =ABABC V 的面积S ．18．已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>的焦距为1A ，2A ，过点(4,0)T 的直线l 与双曲线C 的右支交于M ，N 两点．(1)求双曲线的方程； (2)若直线MN MN ； (3)记直线1A M ，2A N 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 是定值． 19．已知函数()ln (2)f x x mx b b =+->， (1)若1m =-，3b =时，求()f x 的极值； (2)若2m =时，①证明：()f x 有唯一零点a ，且(1,)a b ∈；②若我们任取1(1,)x a ∈开始，实施如下步骤：在()()11,x f x 处作曲线()f x 的切线，交x 轴于点()2,0x ；在()()22,x f x 处作曲线()f x 的切线，交x 轴于点()3,0x ；……．在()(),n n x f x 处作曲线()f x 的切线，交x 轴于点()1,0n x +；可以得到一个数列{}n x ，它的各项都是()f x 不同程度的零点近似值．设()1n n x g x +=，求()n g x 的解析式（用n x 表示1n x +）；并证明：当1(1,)x a ∈，总有1n n x x a +<<．。

2024—2025学年海南省文昌中学高三上学期第一次月考数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 若复数是纯虚数，则实数（）A．B．C．D．(★★★) 3. “幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要(★★) 4. 已知，则等于（）A．1B．－C．D．－(★★★) 5. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（）A．2720B．3160C．3000D．2940(★★★) 7. 已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★★) 8. 已知函数，若对任意都有，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 下列不等式一定成立的有（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知前项和为的正项等比数列中，，，，则（）A．B．C．D．数列中的最大项为(★★★) 11. 四棱锥的底面为正方形，与底面垂直，，，动点在线段上，则（）A．不存在点，使得B．的最小值为D．点到直线的距离的最小值为C．四棱锥的外接球表面积为三、填空题(★★) 12. 已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为 ______ .(★★★) 13. 设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 ______ .(★★★) 14. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是______ .四、解答题(★★★) 15. 已知、，分别是内角，，的对边，，．（1）求；（2）若的面积为，求．(★★★) 16. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，底面ABCD，，，，E为棱CP上一点.(1)证明：平面平面ADP；(2)若，求平面ABE与平面CDP所成二面角的平面角的正弦值.(★★★) 17. 已知椭圆方程为，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)对于，是否存在实数k，使得直线分别交椭圆于点P，Q，且，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．(★★★★) 18. 已知函数．(1)求曲线在处的切线方程.(2)讨论函数的单调性；(3)设函数．证明：存在实数，使得曲线关于直线对称.(★★★★) 19. 若有穷数列（是正整数），满足，，…，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”．(1)已知数列是项数为8的对称数列，且，，，成等差数列，，，试写出的每一项．(2)已知是项数为（其中，且）的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？(3)对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，并分别求出所有对称数列的前项和．。

【校级联考】海南省华中师大琼中附中、屯昌中学2019届高三上学期期中联考数学（理科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1≤x ＜2} B ．{x |0＜x ＜2} C ．{x |0＜x ≤1} D ．{x |0＜x ＜1} 2．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 为（ ）A ．1355i +B ．1355i -+ C ．1355i - D ．1355i -- 3．设x R ∈，则“1x <”是“()12log 210x ->”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．95．函数()ln f x x x =-的单调递减区间为（ ）A ．(0,1)B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞6．若sinα=√33，则cos2α=( ) A ．−23 B ．−13 C ．13 D ．23 7．已知函数()4log,03,0x x x f x x >⎧=≤⎨⎩，则1(16f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦) A ．19 B ．19- C ．9 D ．9- 8．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x +2)=−f(x)，若f(1)=1，则f(3)−f(4)=( )A ．−1B ．1C ．−2D ．29．关于函数f(x)=x 3−3x +1，下列说法正确的是( )A ．f(x)是奇函数且x =−1处取得极小值B ．f(x)是奇函数且x =1处取得极小值C ．f(x)是非奇非偶函数且x =−1处取得极小值D ．f(x)是非奇非偶函数且x =1处取得极小值10．函数2sin y x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数()f x 的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，那么函数()f x 的图像与lg y x =函数的图像的交点共有（ ）A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个二、填空题12．命题[]0,1x ∀∈，则12m x x+≥的否定形式是______．13．已知α为第三象限的角，且sin 5α=-，则tan α=__________． 14．已知()(2016ln )f x x x =+，0()2017f x '=，则0x 等于______．15．函数y =log 12(x 2−5x +6)的单调增区间为______．三、解答题16．已知函数()2cos cos .f x x x x =- (Ⅰ)求()f x 的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值． 17．已知等差数列{}n a 满足466,10a a ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 各项均为正数，其前n 项和n T ，若332,3b a T ==，求n T ． 18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，满足c =，cos (2)cos 0c B b a C +-=.（1）求角C 的大小；（2）求ABC ∆面积最大值.19．已知函数()()()11x f x x m e x =--++，m R ∈． ()1求()f x 在[]0,1上的最小值；()2若m 为整数，当0x >时，()0f x >恒成立，求m 的最大值．20．已知直线的参数方程：1cos sin x t y t ，，θθ=+⎧⎨=⎩（为参数），曲线的参数方程：2cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，，（为参数），且直线交曲线于A ，B 两点． （1）将曲线的参数方程化为普通方程，并求时，的长度； （2）已知点，求当直线倾斜角变化时，的范围．21．已知函数()1f x x a x =-++()1若2a =，求函数()f x 的最小值；()2如果关于x 的不等式()2f x <的解集不是空集，求实数a 的取值范围．参考答案1．A【分析】利用交集定义直接求解．【详解】由集合{}|02A x x =<<，{}|1B x x =≥，所以{}|12AB x x =≤<. 故选：A.【点睛】本题考查交集的求法，交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．2．D【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由()121i z i +=-， 得()()()()11211312121255i i i z i i i i ---===--++-． 故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．B【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【详解】 由()12log 210x ->得0211x <-<，解得112x <<， 则“1x <”是“()12log210x ->”的必要不充分条件，故选B ．【点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系判断充要性是解决本题的关键． 4．D【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ，平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．A【分析】求出函数的导数为y '，再解110y x ＜'=-得x 的范围．结合函数的定义域，即可得到单调递减区间．【详解】函数y x lnx =-的导数为11y x '=-， 令110y x ＜'=- ，得1x ＜ ∴结合函数的定义域，得当01x ∈（，）时，函数为单调减函数． 因此，函数y x lnx =-的单调递减区间是01（，）. 故选A ．【点睛】本题考查考查函数的单调区间的求法，着重考查了利用导数研究函数的单调性和函数的定义域等知识，属于基础题．6．C【解析】【分析】直接利用二倍角的余弦公式的变形，求得cos2α的值．【详解】∵sinα=√33，则cos2α=1−2sin 2α=1−2×13=13， 故选：C ．【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．7．A【解析】【分析】 先由函数的解析式求出1216f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得要求的式子即()223f --=，运算求得结果． 【详解】由题意可得411log 21616f ⎛⎫==-⎪⎝⎭，()211[23,169f f f -⎛⎤⎛⎫=-== ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦故选A ．【点睛】 本题主要考查利用分段函数求函数的值的方法，体现了分类讨论的数学思想，对数的运算性质，属于中档题．8．A【解析】【分析】由f(x +2)=−f(x)，可得f(x +4)=f(x)，则f(3)−f(4)=f(−1)−f(0)，结合已知代入可得解.【详解】∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴−f(x)=f(−x)∵f(x +2)=−f(x)，∴f(x +4)=f(x)即函数是以4为周期的周期函数∴f(1)=1则f(3)−f(4)=f(−1)−f(0)=−f(1)−0=−1故选：A ．【点睛】本题关键“寻规律，找周期”.要特别利用好题中的关系式：f(x +2)=−f(x)得到f(x +4)=f(x).9．D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和导数和极值之间的关系即可得到结论．【详解】∵f(x)=x 3−3x +1，∴f(−x)=−x 3+3x +1≠f(x)，且f(−x)≠−f(x)，即f(x)是非奇非偶函数，f′(x)=3x 2−3=3(x 2−1)，由f′(x)=3(x 2−1)>0，解得x >1或x <−1，f′(x)=3(x 2−1)<0，解得−1<x <1，即函数在x =1处取得极小值，在x =−1处取得极大值，故选：D ．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判定，以及利用导数判定函数的极值问题，考查学生的计算能力． 10．B【解析】由()()f x f x -=-可得函数为奇函数，选项C 错误，当2x >时，2sin 20y x x x =->->，排除D 选项；'12cos y x =-，则函数在()0,∞+上的单调增区间不唯一，排除A 选项； 本题选择B 选项.11．A【分析】根据函数的周期性以及函数表达式，画出函数的图象，然后根据图象进行判断即可.【详解】由题可知，如图所示：当10x =时，1y =，根据图像可知，交点个数为10故选：A【点睛】本题考查两函数图象的交点个数，利用数型结合，形象直观，属基础题.12．[]10,1,2m x x x∃∈+< 【解析】【分析】 利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【详解】因为全称命题是否定是特称命题，所以，命题[]0,1x ∀∈，则12m x x+≥的否定形式是：[]0,1x ∃∈，12m x x+< 故答案为：[]0,1x ∃∈，12m x x+< 【点睛】 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题否定关系，是基础题．13．12【解析】由sin α=得cos α=1tan 2α= 14．1【解析】【分析】求函数的导数，利用方程关系进行求解即可．【详解】函数的导数()1'2016ln 2017ln f x x x x x=++⋅=+， ()0'2017f x =，()00'2017ln 2017f x x ∴=+=，则0ln 0x =，01x =，故答案为1【点睛】本题主要考查函数的导数的计算，根据条件求出函数的导数，解方程是解决本题的关键． 15．(−∞,2)【解析】【分析】本题即求函数t =x 2−5x +6=(x −2)(x −3)>0时的减区间，再由函数t 的图象可得结果．【详解】令t =x 2−5x +6=(x −2)(x −3)，则y =log 12t ，根据复合函数的同增异减的原则可得， y =log 12(x 2−5x +6)的单调增区间，即函数t =x 2−5x +6=(x −2)(x −3)>0时的减区间．由x 2−5x +6>0可得x <2或 x >3.故函数的定义域为(−∞,2)∪(3,+∞)．而由函数t 的图象可得函数t =x 2−5x +6>0时的减区间为(−∞,2)，t =x 2−5x +6>0时的增区间为(3,+∞)．故答案为:(−∞,2)．【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质的应用，复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．16．（I ）πT =,()πππ,π63k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（II ）当π3x =时有最大值12，当0x =时，有最小值1-.【解析】【分析】()I 根据倍角公式及和差角公式，我们可以化简函数的解析式，进而根据正弦型函数的周期性和单调性，可求出()f x 的最小正周期和单调递增区间；()II 当πx 0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2x 666-≤-≤，结合正弦函数的最值，可求出函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值．【详解】()()2111I cos cos cos2sin 222262f x x x x x x x π⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭ 2ω=， T π∴=，即()f x 的最小正周期为π由222262k x k πππππ-≤-≤+ 得63k x k ππππ-≤≤+()f x ∴的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦()0,2II x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 52666x πππ∴-≤-≤ 当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 的最大值为12, 当266x ππ-=-，即0x =时，()f x 的最小值为1-.【点睛】本题考查的知识点是两角和与差的正弦函数，熟练掌握正弦型函数的周期性，单调性，最值等性质是解答的关键．17．（1）22n - （2）21n -【解析】试题分析：（1）利用表示出,解出；（2）利用等比数列通项公式和前项和公式建立方程组,解出代入即可.试题解析：解：（1）46a =， 610a =，得1136,{510.a d a d +=+=解得10,{ 2.a d ==故数列{}n a 的通项公式为22n a n =-． （2）设等比数列{}n b 的公比为q （0q ≠），∵234b a ==， 23T =，∴21114,{ 3b q b b q =+=，∴2413q q =+， ∴23440q q --=，∴2q =或23q =-． ∵数列{}n b 的各项均为正数，∴2q =， 11b =，∴12n n b -=，∴()1122112nn n T ⨯-==--．考点：等比数列基本量的计算.18．（1）3C π=;（2）max S =.【解析】试题分析： （1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简题中的已知等式cos (2)cos 0c B b a C +-=，可得：sin 2sin cos 0A A C -=，再注意到在三角形中sin 0A ≠，从而求出cos C ，进而由0C π<<得到角C 的大小；（2）由正弦定理可得到：4sin ,4sin ,a A b B ==再注意到23A B π+=，从而可用一个角的三角函数将△ABC 的面积表示成一个三角函数，然后求此函数的最大值即得.试题解析：（1）由正弦定理得：∴sin cos sin cos 2sin cos 0C B B C A C +-=∴sin 2sin cos 0A A C -=∵sin 0A ≠∴1cos 2C =∴3C π=（2）由正弦定理得得，4sin ,4sin ,a A b B ==又23A B π+=，23B A π=-，∴△ABC 面积12sin sin sin()23S ab C A B A A π===-，化简得：)6S A π=-+当3A π=时，S 有最大值，max S =．考点：1、正弦定理；2、三角函数的最值．19．（1）详见解析；（2）2.【分析】()1求出函数的导函数，讨论m 的取值，研究函数在[]0,1上的单调性进行求解即可得到结论．()2把当0x >时()0f x >恒成立，转化为11x x m x e +<+-，构造函数()11x x g x x e +=+-，利用导数求得函数()g x 的最小值的范围得答案．【详解】()1函数的导数()()()()'111x x x f x e x m e x m e =-+-+=+-，由()'0f x =得1x m =-，由()'0f x >得1x m >-，此时函数()f x 为增函数，由()'0f x <得1x m <-，此时函数()f x 为减函数，即当1x m =-时，函数取得极小值，()()11)1m f m e m --==--+，． 若10m -<即1m <时，函数()f x 在[]0,1上是增函数，此时函数的最小值为()01f =， 若11m ->即2m >时，函数()f x 在[]0,1上是减函数，此时函数的最小值为()()()1112f m e =--+，若011m ≤-≤，即12m ≤≤时，函数的最小值为()()11)1m f m e m --==--+；()2当0x >时，10x e ->，∴不等式()0f x >，等价为()()110x x m e x --++>，即11x x m x e +<+- ① 令()11x x g x x e +=+-，则()()22'(1)x x x e e x g x e --=-， 函数()2x h x e x =--在()0,+∞上单调递增，而()10h <，()20h >， ()h x ∴在()0,+∞上存在唯一的零点，故()'g x 在()0,+∞上存在唯一的零点．设此零点为a ，则()1,2a ∈．当()0,x a ∈时，()'0g x <；当(),x a ∈+∞时，()'0g x >；()g x ∴在()0,+∞上的最小值为().g a 由()'0g a =，可得2a e a =+，()()12,3g a a ∴=+∈，由于①式等价于().2m g a m <∴<，故整数m 的最大值为2．【点睛】本题考查了利用导数求函数的最小值，以及函数恒成立问题，着重考查了数学转化思想方法，考查了函数最值的求法，利用参数分离法以及分类讨论的思想是解决本题的关键.综合性较强，难度较大．20．(1)2212x y +=3，(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】分析：（1）联立直线和椭圆方程得到2340x x -=，∴1240,3x x ==，由点点距离公式得到AB 的长度；（2）联立直线和椭圆得到t 的二次方程，根据韦达定理得到1222211cos 2sin 1sin PA PB t t θθθ⋅=-⋅==++，进而得到范围. 详解：（1）曲线C 的参数方程：x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），曲线C 的普通方程为2212x y +=． 当4πθ=时，直线AB 的方程为1y x =-， 代入2212x y +=，可得2340x x -=，∴1240,3x x ==.∴403AB =-= （2）直线参数方程代入2212x y +=， 得()222cos 2sin 2cos 10t t θθθ++⋅-=．设,A B 对应的参数为12,t t ， ∴12222111,1cos 2sin 1sin 2PA PB t t θθθ⎡⎤⋅=-⋅==∈⎢⎥++⎣⎦． 点睛：这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t 的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t 的应用更广泛一些.21．（1）3；（2）()3,1-.【分析】()1当2a =时，()()()21213f x x x x x =-++≥--+=，当()()210x x -+≤时，取等号，由此()f x 的最小值是3．()2关于x 的不等式()2f x <的解集不是空集，只需12a +<，由此能求出实数a 的取值范围．【详解】解：()1当2a =时，()()()21213f x x x x x =-++≥--+=，当()()210x x -+≤，即12x -≤≤时，取等号，()f x ∴的最小值是3．()()()()2111f x x a x x a x a =-++≥--+=+，当()()10x a x -+≤时取等号，∴若关于x 的不等式()2f x <的解集不是空集， 只需12a +<，解得31a -<<，∴实数a 的取值范围是()3,1-．【点睛】本题考查函数的最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．。

海南省文昌中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知{*|3}A x x =∈≤N ，{}2|40B x x x =-≤，则A B =I （ ）A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．(0,3]D ．(3,4]2．若复数3i2ia ++是纯虚数，则实数a =（ ） A ．32-B ．32C ．23-D ．233．“幂函数()()21mf x m m x =+-在()0,∞+上为增函数”是“函数()222x xg x m -=-⋅为奇函数”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要4．已知()1tan 3π2α-=，则()()πsin sin π2πcos cos π2αααα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭⎛⎫-+- ⎪⎝⎭等于（ ）A ．1B ．－12C ．13D ．－135．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，1F ，2F 为椭圆E ：()222210,0x ya b a b+=>>的左、右焦点，中心为原点，椭圆E，直线4x =上一点P 满足12F PF V 是等腰三角形，且12120F F P ∠=︒，则E 的离心率为（ ）ABC ．15D ．256．将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（ ） A ．2720B ．3160C ．3000D ．29407．已知等边ABC VP 为ABC V 所在平面内的动点，且||1PA =u u u r ，则PB PC ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ） A ．39,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．111,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[1,4]D ．[1,7]8．已知函数()()e xf x x a =+⋅，若对任意121x x >>都有()()12210x f x x f x -<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)4,-+∞B ．[)3,∞-+C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞二、多选题9．下列不等式一定成立的有（ ） A ．12x x+≥ B ．12(1)4x x -≤ C．22311x x +≥+ D2≥ 10．已知前n 项和为n S 的正项等比数列{}n a 中，148a a =，322a a =+，2log 1nn n a b S =+，则（ ） A ．65448a a -=- B ．7127S =C ．21n n S a =-D ．数列{}n b 中的最大项为2b11．四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA 与底面垂直，2PA =，1=AB ，动点M 在线段PC 上，则（ ）A ．不存在点M ，使得AC BM ⊥B ．MB MD +C ．四棱锥P ABCD -的外接球表面积为6π D ．点M 到直线AB的距离的最小值为三、填空题12．已知平面向量a r ，b r 满足||1a =r ，(1,2)b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则向量a r，b r 夹角的余弦值为.13．设函数()y f x =的定义域为R ，且()1f x +为偶函数，()1f x -为奇函数，当[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，则()20231k f k ==∑.14．已知函数()21,1ln ,1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()()()22120f x m f x m +--=⎡⎤⎣⎦有5个不同的实数解，则实数m 的取值范围是.四、解答题15．已知a 、b ，c 分别是ΔABC 内角A ，B ，C 的对边，()cos (cos cos )b a C c A B -=-，22b ac =．（1）求cos C ；（2）若ΔABCc ．16．如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，60ADC ∠=︒，22AP AD BC ===，E 为棱CP 上一点.(1)证明：平面ABE ⊥平面ADP ；(2)若AE BE =，求平面ABE 与平面CDP 所成二面角的平面角的正弦值.17．已知椭圆方程为()222210+=>>x y a b a b，过点(),0A a -，()0,B b 的直线倾斜角为π6，原(1)求椭圆的方程；(2)对于()1,0D -，是否存在实数k ，使得直线2y kx =+分别交椭圆于点P ，Q ，且DP D Q =，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 18．已知函数()()ln 1f x x =+． (1)求曲线y =f x 在3x =处的切线方程. (2)讨论函数()()()F x ax f x a =-∈R 的单调性； (3)设函数()()1111g x x f f x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．证明：存在实数m ，使得曲线y =g x 关于直线x m =对称.19．若有穷数列12,n a a a L （n 是正整数），满足1n a a =，21n a a -=，…，1n a a =即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”．(1)已知数列 b n 是项数为8的对称数列，且1b ，2b ，3b ，4b 成等差数列，11b =，410b =，试写出 b n 的每一项．(2)已知{}n c 是项数为2k （其中1k ≥，且Z k ∈）的对称数列，且122,,,k k k c c c ++L 构成首项为15，公差为2-的等差数列，数列{}n c 的前2k 项和为2k S ，则当k 为何值时，2k S 取到最大值？最大值为多少？(3)对于给定的正整数1i >，试写出所有项数为21i -的对称数列，使得211,2,22i -K 成为数列中的连续项；当2000i >时，并分别求出所有对称数列的前2024项和2024S ．。

海南侨中2021届高三第5次数学（理科）测试卷第I 卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分.) 1.复数i iz 2143++=的共轭复数z =（ C ） A.i 52511- B.i 51152- C.i 52511+ D.i 51152+ 2.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥--020222x x x x 的解集用数轴表示为（ B ）3.如右图所示的程序框图.假设两次输入x 的值别离为π和3π-，那么两次运行程序输出的b 值别离为（ A ） A.π，23-B.1，23C. ,023 D . π-，23-4.双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的一个核心F 到它的一条渐近线距离x 知足a x a 3≤≤，那么该双曲线的离心率的取值范围为（ D ）A.),2[+∞B.)10,1(C. )10,2[D. )10,2[ 5.已知m ，n 为两条不同的直线,α，β为两个不同的平面,以下命题中正确的选项是（ D ）A ．l m ⊥,l n ⊥,且,m n α⊂,那么l α⊥B ．假设平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,那么βα//C ．假设n m m ⊥⊥,α,那么α//nD ．假设α⊥n n m ,//,那么α⊥m 6. 假设锐角α知足3cos 32sin 2=+αα，那么)322tan(πα+的值是（ B ） A.73- B. 73 C.773-D. 7737.如图是一台微波炉的操作界面.假设一个两岁小孩触碰E D C B A 、、、、 五个按钮是等可能的，那么他不超过两次按钮启动微波炉的概率为（ B ） A.257 B. 259 C. 258 D . 25118. 以下命题中真命题的个数为（ B ）①R x ∈∃0,使得2cos sin =+x x . ②锐角ABC ∆中，恒有1tan tan >B A . ③R x ∈∀,不等式012<--ax ax 成立的充要条件为：04<<-aA.0B.1C.2D.39.（理）二项式nx )1(+展开式的二项式系数之和为64，那么nx )1(-展开式第四项的系数为( C ) A.15 B.20 C.20- D.15- 10.平行四边形ABCD 中，点E 为AD 中点，连接AC BE 、且交于点F .假设AE y AB x AF +=)(R y x ∈、，那么=y x :（ C ）A.3:1B. 3:2C. 2:1D.4:311.已知集合},,20,20|),{(R c a c a c a A ∈<<<<=，那么任取(,)a c A ∈，关于x 的方程022=++c x ax 无实根的概率（ D ） A ．22ln 1+ B ．42ln 21+ C ．22ln 1- D ．42ln 23- 12.(理)某几何体的三视图如右所示，假设该几何体的外接球的表面积为π3，那么正视图中=a ( A ) A.2 B.23C.2D.π 第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共4小题，每题5分，把答案填在答题卡中的指定位置） 13．关于n N +∈的命题，下面四个判定：①若2()1222n f n =++++，则(1)1f =；②若21()1222n f n -=++++，那么(1)12f =+；③若111()12321f n n =+++++，则(1)f 11123=++； ④若111()1231f n n n n =++++++，则1111(1)()3233341f k f k k k k k +=+++-++++ 其中正确命题的序号为___③④__________．15在ABC ∆中，角,,A B C 的对边别离为a ，b ，c.已知5sin 13B =，且a ，b ，c 成等比数列.则11tan tan A C+= 513. 15．已知实数,x y 知足0024x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，当23s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值函数()f s 的最小值为_____6________．16．将正奇数1,3,5,7,按右表的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，假设2013ij a =，那么i j +的值为 254 .三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答题应写出文字说明、证明进程或演算步骤.请将大体的进程写在答题卷中指定的位置） 17.（本小题总分值12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）假设数列{}n b 知足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（1）21n n S na n n +=-- …①212(1)(1)(1)n n S n a n n ++∴=+-+-+ …②由②-①得：121(1)22n n n a n a na n +++=+--- ，21(1)(1)2(1)n n n a n a n +++=+++212n n a a ++=+ ，即：212n n a a ++-=…③ ;又21122a S a =+=+ ，即：212a a -=…④综合③、④可得：对*n N ∈ ,有12n n a a +-=成立.∴ 数列{}n a 是以10a =为首项，公差2d =的等差数列.因此数列{}n a 的通项公式为：22n a n =- . （2）数列{}n b 知足22log log n n a n b +=，∴ 2222log log n n n b -+=，2log 22nb n n∴=- ，14n n b n -∴=⋅ . 01221142434(1)44 0n n n T n n --∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅+ …⑤12140 1424(1)44n n n T n n -∴=+⋅+⋅++-⋅+⋅…⑥ 由⑤-⑥可得：0121344444n nn T n --=++++-⋅ 41441n n n -=-⋅- ，18．某校学生会组织部份同窗，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取12名，如下图的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一名数字为茎，小数点后的一名数字为叶)： (1)指出这组数据的众数和中位数；(2)假设幸福度不低于9.5分，那么称该人的幸福度为“极幸福”.求从这12人中随机选取3人，最多有1人是“极幸福”的概率； (3)以这12人的样本数据来估量整个社区的整体数据，假设从该社区(人数很多)任选2人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的散布列及数学期望． 18. 解：（1）众数：8.6； 中位数：8.7；……………………………2分（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，最多有1人是“极幸福”记为事件A ，那么3129390133121248()()()55C C C P A P A P A C C =+=+= ； …………………6分（3）ξ的可能取值为0，1，2. 239(0)()416P ξ===；12133(1)448P C ξ==⨯⨯= ；211(2)()416P ξ=== ；…….10分 因此ξ的散布列为：9311()012168162E ξ=⨯+⨯+⨯=………..……….…12分可能取值为0，1， 2.则1~(2,)4B ξ ，另解：ξ的2213()()()(0,1,2)44k k kP k C k ξ-===其中因此11()242E ξ=⨯= . 19. 已知四边形ABCD 是菱形,2==DB DA ,ABCD DD 面⊥1，点P 为线段1OD 上的任一点. (1)假设21=DD ,1OD DP ⊥,求OD 与面1D AC 所成角的正切值；(2)假设二面角D AD C --1的平面角的余弦值为515，求线段1DD 的长. ξ12P91638116解析： （1）AC BD 、 为四边形ABCD 的两条对角线，AC BD ∴⊥ .又ABCD DD 面⊥1，AC ABCD ⊂面 ,1AC DD ∴⊥ . 且1111,,DD DB D DD D DB DB D DB ⋂=⊂⊂面面 ，1AC D DB ∴⊥面 . 再1DP D DB ⊂面 ,DP AC ∴⊥ ,且1OD DP ⊥，1DP D AC ∴⊥面 .OD ∴ 与面1D AC 所成角为DOP ∠ .由条件21=DD ，1DO = ,1tan 2DD DOP DO∴∠== （2）如图成立空间直角坐标系oxyz ，那么)0,0,3(A ，)0,1,0(-D ,)2,1,0(1-D ,易求得面DA D 1的一个法向量)0,3,1(1-=n .设线段1DD 的长为0z ，),1,0(01z D -∴，),1,3(01z AD --=，)0,0,32(-=AC ,设面C AD 1的一个法向量),,(2z y x n =.由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00221n AC n AD ，可得：⎩⎨⎧==-+0030x z z y x ，由0=x ，z z y 0=，令1=z ，可得：0z y = )1,,0(02z n =∴,由（2）已知面面DA D 1的一个法向量)0,3,1(1-=n ，再因二面角D AD C --1的平面角的余弦值为515，515123||||2002121=+=⋅z z n n n n ，可解得：20=z ，即：线段1DD 的长为2. 20. （本小题总分值12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 通过点)23,1(P ，离心率21=e ，直线l 的方程为 4=x .(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是通过右核心F 的任一弦（不通过点P ），设直线AB 与l 相交于点M ，记PA ,PB ,PM 的斜率别离为321,,k k k ，问：是不是存在常数λ，使得321k k k λ=+？假设存在，求出λ的值，假设不存在，说明理由。