下载文档原格式
【matlab-7】Matlab与线性代数（⼀）⼀、线性代数基本⽅程组基本⽅程组：矩阵表⽰：解决问题的视⾓：1、解联⽴⽅程的视⾓ (⾏阶梯变换 & 矩阵运算)着重研究解x，即研究线性⽅程组的解法。
中学⾥的解⽅程和MATLAB的矩阵除法就是这样。
要点：矩阵的每⼀⾏代表⼀个⽅程，m⾏代表m个线性联⽴⽅程。
n列代表n个变量。
如果m是独⽴⽅程数，根据m<n、m=n、m>n确定⽅程是 ‘⽋定’、‘适定’ 还是 ‘超定’。
对这三种情况都会求解了，研究就完成了。
必须剔除⾮独⽴⽅程。
⾏阶梯形式、⾏列式和秩的概念很⼤程度上为此⽬的⽽建⽴。
2、向量空间中向量的合成的视⾓ (⽤向量空间解⽅程组)把A各列看成n个m维基本向量，线性⽅程组看成基向量的线性合成：要点：解x是这些基向量的系数。
它可能是常数(适定⽅程)，也可能成为其中的⼀个⼦空间(⽋定⽅程) 。
要建⽴其⼏何概念，并会求解或解空间。
3、线性变换或映射的视⾓ (线性变换及其特征)把b看成变量y，着重研究把Rn空间的x变换为Rm空间y 的效果，就是研究线性变换系数矩阵A的特征对变换的影响。
要点：就是要找到适当的变换，使研究问题的物理意义最为明晰。
特征值问题就是⼀例。
⼆、线性代数建模与应⽤概述介绍⼀些⼤的系统⼯程中使⽤线性代数的情况，使读者知道为什么线性代数在近⼏⼗年来变得如此的重要。
Leontief教授把美国的经济⽤500个变量的500个线性⽅程来描述，在1949年利⽤当时的计算机解出了42×42的简化模型，使他于1973年获得诺贝尔经济奖，从⽽⼤⼤推动了线性代数的发展。
把飞⾏器的外形分成若⼲⼤的部件，每个部件沿着其表⾯⼜⽤三维的细⽹格划分出许多⽴⽅体，这些⽴⽅体包括了机⾝表⾯以及此表⾯内外的空⽓。
对每个⽴⽅体列写出空⽓动⼒学⽅程，其中包括了与它相邻的⽴⽅体的共同边界变量，这些⽅程通常都已经简化为线性⽅程。
对⼀个飞⾏器，⼩⽴⽅体的数⽬可以多达400,000个，⽽要解的联⽴⽅程可能多达2,000,000个。
附录二 Matlab 在线性代数中的应用§1 向量组的线性相关性求列向量组 A 的一个最大线性无关组可用命令 rref(A)将 A 化成行最简形，其中单 位向量对应的列向量即为最大线性无关组所含向量，其它列向量的坐标即为其对应向量 用最大线性无关组线性表示的系数。
例 1 求下列矩阵列向量组的一个最大无关组。
- 2 4 -1 3 -1 2 0 3 ϒ 10 6 2 3 2 /'- 2 - 6∞A = '∞ 3 ∞' 2 ' ∞ƒ3 4 ≤ 解 编写 M 文件 ex1.m 如下： format rata=[1,-2,-1,0,2;-2,4,2,6,-6;2,-1,0,2,3;3,3,3,3,4]; b=rref(a) 求得b = 1 0 0 0 0 1 0 0 1/3 2/3 0 0 0 0 1 0 16/3 -1/9 -1/3 0记矩阵 A 的五个列向量依次为α1 、α2 、α3 、α4 、α5 ，则α1 、α2 、α4 是列向 量组的一个最大无关组。
且有α = 1 α + 2 α = 16 α 3ϒ 2 - 1 α - 1α . ， α 3 1 2 5 1 2 4339 3 2 - 1/1 4/ ∞ϒ ' ∞ ' 例 2 设 A = [a 1 , a 2 , a 3 ] = ' 2 '≤- 1 - 1 2 2 ∞ ， B = [b 1 , b 2 ] = ' 03∞ ，2 ∞ƒ '≤- 4 2∞ƒ3验证 a 1 , a 2 , a 3 是 R 的一个基，并把 b 1 , b 2 用这个基线性表示。
解 编写 M 文件 ex2.m 如下： format rata=[2,2,-1;2,-1,2;-1,2,2];b=[1,4;0,3;-4,2]; c=rref([a,b])求得c= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2/3 -2/3 -1 4/3 1 2/322 4 23 说明 a 1 , a 2 , a 3 是 R 的一个基，且有 b 1 = a 1 - a 2 - a 3 ，b 2 = a 1 + a 2 + a 3 。
