用matlab解决线性代数的问题

线性代数作为高等院校一门重要的基础数学课程［１－２］，在自然科学、工程技术和管理科学等诸多领域有着广泛的应用．但长时间以来，线性代数课程的重要作用并没有得到充分体现，学生没有认识到线性代数和实际工作的联系，该课程的教学效率低，教学效果差．为提高线性代数课程的教学质量，让学生认识到线性代数和实际应用问题的联系，会用线性代数解决后续课程中出现的一些问题，引入计算机辅助线性代数教学是必要的．本文从传统线性代数教学的不足及Ｍａｔｌａｂ强大功能的介绍入手，阐述在线性代数教学中引入Ｍａｔｌａｂ的必要性，进而通过例题介绍Ｍａｔｌａｂ在解决线性代数中矩阵的行列式、逆、特征值、特征向量以及在解线性方程组和实际问题中的具体应用．1线性代数课程中引入Matlab 教学的必要性传统的线性代数教学以理论为主导，偏重理论的证明和推导，不用计算机解题，不联系实际应用，不能满足后续课程的需求，按所教的方法后续课程无法用来解高阶、复数的矩阵题目，后续课程普遍不用线性代数解题．另外，课程本身所固有的抽象性、逻辑性、人工计算的复杂性，使得学生学习起来费力，学习兴趣不高，学习效果不理想．Ｍａｔｌａｂ是由美国Ｍａｔｈｗｏｒｋｓ公司开发的一种功能强大的科学及工程计算软件，简单易学，具有数值运算、符号运算、计算结果和编程可视化、数学和文字同时处理等功能［３－５］．引入Ｍａｔｌａｂ辅助线性代数教学，使得线性代数抽象的概念能从图形的角度进行引入；可以用简单的程序解决线性方程组、行列式、矩阵的逆等问题；用数学建模思想和实例［６］实践线性代数知识的应用，达到理论对实践的指导目的．在线性代数教学中引入Ｍａｔｌａｂ软件能培养学生分析问题和解决问题的能力，改变被动接受式学习的枯燥乏味，有利于调动学生的学习积极性，提高教学质量．2Matlab 解决线性代数课程中的典型问题我们知道，线性代数中行列式、矩阵的逆、特征值、特征向量以及线性方程组等很多方面涉及的计算量是很大的，即占用了学生大量的时间，又因为课时少，使得学生对于理论的学习往往很不到位，教学效果很差．下面通过典型的例题来展示Ｍａｔｌａｂ软件在解决线性代数课程相关问题中的便利．例1求矩阵Ａ＝２－３７５－４１－２３３４６－７８－２３－!"""#$%%%&５的行列式ｄｅｔＡ．解输入：＞＞Ａ＝［２－３７５；－４１－２３；３４６－７；８－２３－５］；＞＞ｄｅｔ（Ａ）ａｎｓ＝－２３５例2求例１中矩阵Ａ的逆．解输入：＞＞Ａ＝［２－３７５；－４１－２３；３４６－７；８－２３－５］；＞＞ｉｎｖ（Ａ）ａｎｓ＝０．０２１３１．６３８３０．０６３８０．９１４９０．００４３２．１２７７０．２１２８０．９８３００．０８０９－０．５７４５０．０４２６－０．３２３４０．０８０９１．４２５５０．０４２６０．６７６６例3求例１中矩阵Ａ的特征值与特征向量．解输入：＞＞Ａ＝［２－３７５；－４１－２３；３４６－７；８－２３－５］；＞＞［Ｖ，Ｄ］＝ｅｉｇ（Ａ）Ｖ＝０．５９６７－０．６８０５－０．６８０５０．５４９７０．３０２１０．２３７２＋０．０１２７ｉ０．２３７２－０．０１２７ｉ０．６６５９－０．４５２２－０．０１０５－０．４９２９ｉ－０．０１０５＋０．４９２９ｉ－０．１７９９－０．５９０１－０．４８３０＋０．０６３７ｉ－０．４８３０－０．０６３７ｉ０．４７１２Ｄ＝－９．７６７３００００６．７０３１＋４．６５８０ｉ００００６．７０３１－４．６５８０ｉ０００００．３６１１其中Ｖ是特征向量矩阵，Ｄ是特征值矩阵，并且相互对应．Matlab 在线性代数教学中的应用研究杜玉霞，梁武，段鹏举（宿州学院数学与统计学院，安徽宿州２３４０００）摘要：针对目前线性代数教学效果不够理想的现状，尝试将Ｍａｔｌａｂ引入线性代数教学中，以提高线性代数教学质量，为学生后续课程的学习和实际应用问题的解决打下基础．同时通过几个典型问题来说明Ｍａｔｌａｂ在线性代数教学中的应用．关键词：Matlab ；线性代数；教学；应用中图分类号：Ｏ１５１．２文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－２６０Ｘ（２０１２）１１－０００３－０２基金项目：安徽省教育厅教学研究项目(20101071)；宿州学院教学研究项目(szxyjyxm201143)Ｖｏｌ．２８Ｎｏ．１１Ｎｏｖ．２０１２赤峰学院学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｆｅｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）第２８卷第１１期（上）２０１２年１１月３－－例4解方程组ｘ１＋３ｘ２＋ｘ３＋２ｘ４＝４３ｘ１＋４ｘ２＋２ｘ３－３ｘ４＝６－ｘ１－５ｘ２＋４ｘ３＋ｘ４＝１１２ｘ１＋７ｘ２＋ｘ３－６ｘ４＝－!#####"#####$５解输入：＞＞Ａ＝［１３１２；３４２－３；－１－５４１；２７１－６］；＞＞Ｂ＝［４；６；１１；－５］；＞＞Ｃ＝［ＡＢ］；＞＞Ｒ＝ｒｒｅｆ（Ｃ）Ｒ＝１０００３０１００－１００１０２０００１１第五列为所求解向量，即（ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４）＝（３，－１，２，１）．通过以上的实例，我们可以看出Ｍａｔｌａｂ在解决线性代数典型问题中的优势，可以使得繁琐的计算通过简单的程序语言得以轻松解决，既能提高学生的动手能力，又能引发学生的学习兴趣，从而取得较好的教学效果．另外，在求诸如矩阵的转置、迹、正交矩阵等许多方面，都可以使用Ｍａｔｌａｂ软件得到轻松解决．3Matlab在实际问题中的应用数学来源于现实，并应用于现实．学生在学好理论的同时，还应该学会应用数学去解决问题，下面借助Ｍａｔｌａｂ来解决一个实际问题．例5某车间有Ⅰ、Ⅱ两台车床，可用于加工三种工件．假定这两台车床的可用台时数分别为８００和９００，三种工件的数量分别为４００、６００和５００，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表．问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？解这个问题可以应用线性方程组来描述，设在Ⅰ车车床类型单位工件所需加工台时数单位工件的加工费用可用台时数工件1工件2工件3工件1工件2工件3Ⅰ0.4 1.1 1.013910800Ⅱ0.5 1.2 1.311128900床加工工件１、２、３的数量分别为ｘ１、ｘ２、ｘ３，在Ⅱ车床上加工工件１、２、３的数量分别为ｘ４、ｘ５、ｘ６．可建立以下模型：ｍｉｎｚ＝１３ｘ１＋９ｘ２＋１０ｘ３＋１１ｘ４＋１２ｘ５＋８ｘ６ｓ．ｔ．＝ｘ１＋ｘ４＝４００ｘ２＋ｘ５＝６００ｘ３＋ｘ６＝５０００．４ｘ１＋１．１ｘ２＋ｘ３≤８０００．５ｘ４＋１．２ｘ５＋１．３ｘ６≤９００ｘｉ≥０，ｉ＝１，２，…，!########"########$６我们借助Ｍａｔｌａｂ来求解：输入：＞＞ｆ＝［１３９１０１１１２８］；Ａ＝［０．４１．１１０００；００００．５１．２１．３］；ｂ＝［８００；９００］；Ａｅｑ＝［１００１００；０１００１０；００１００１］；ｂｅｑ＝［４００６００５００］；ｖｌｂ＝ｚｅｒｏｓ（６，１）；ｖｕｂ＝［］；［ｘ，ｆｖａｌ］＝ｌｉｎｐｒｏｇ（ｆ，Ａ，ｂ，Ａｅｑ，ｂｅｑ，ｖｌｂ，ｖｕｂ）＞＞ｘ＝０．００００６００．０００００．００００４００．０００００．００００５００．００００ｆｖａｌ＝１．３８００ｅ＋００４即在Ⅰ车床上加工６００个工件２，在Ⅱ车床上加工４００个工件１、５００个工件３，可在满足条件的情况下使总加工费用最少，为１３８００．4小结与建议在教学实践中，引入Ｍａｔｌａｂ软件解决线性代数问题，把Ｍａｔｌａｂ软件渗透到线性代数的各章节中，使得学生在学习理论知识的同时也学会了应用，为后续专业课奠定了坚实的基础，这样不仅开拓了学生的视野，提高了学习兴趣，获得了良好的教学效果，而且让学生学有所用，用有所值，为数学基础学习和实际计算应用搭建了一座桥梁．但线性代数的教学不应因引入软件而改变其理论体系，只是有些理论可以通过计算机来验证，具体到每一节课该怎么将Ｍａｔｌａｂ软件与线性代数理论很好的结合起来，怎样把握，还是一个值得再继续探讨的话题．不能太向计算机软件靠拢，但是也不该像以前一样排斥数学软件，一定要掌握好计算机软件只是辅助线性代数教学，以达到好的教学效果．应用Ｍａｔｌａｂ软件来辅助线性代数教学可以改变“繁”、“难”的现状，而且可以把大量的应用问题纳入课程的习题中，加强它的工程背景，从而提高学生进行数学建模的能力和解决实际问题的本领．———————————————————参考文献：〔1〕同济大学数学系.线性代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2007.〔2〕陆剑虹.线性代数[M].北京：航空工业出版社，2002.〔3〕周建兴,岂兴明,矫津毅，等.MATLAB从入门到精通[M].北京:人民邮电出版社,2008.〔4〕巩萍,赵杰.Matlab在数字信号处理中的应用[J].长沙大学学报,2009,23(5):78-79.〔5〕徐小湛.数学软件在国外工科数学教学中的应用[J].高等数学研究,1999,2(4):7-11.〔6〕赵静,但琦.数学建模与数学实验(第2版)[M].北京:高等教育出版社,2003.４－－。

【关键字】学习用Matlab学习线性代数__行列式实验目的理解行列式的概念、行列式的性质与计算Matlab函数det实验内容前面的四个练习使用整数矩阵，并演示一些本章讨论的行列式的性质。

最后两个练习演示我们使用浮点运算计算行列式时出现的不同。

理论上将，行列式的值应告诉我们矩阵是否是奇异的。

然而，如果矩阵是奇异的，且计算其行列式采用有限位精度运算，那么由于舍入误差，计算出的行列式的值也许不是零。

一个计算得到的行列式的值很接近零，并不能说明矩阵是奇异的甚至是接近奇异的。

此外，一个接近奇异的矩阵，它的行列式值也可能不接近零。

1.用如下方法随机生成整数元素的5阶方阵：A=round(10*rand(5)) 和B=round(20*rand(5))-10用Matlab计算下列每对数。

在每种情况下比较第一个是否等于第二个。

（1）det(A) ==det(A T) （2）det(A+B) ；det(A)+det(B)（3）det(AB)==det(A)det(B) （4）det(ATBT) ==det(AT)det(BT)（5）det(A-1)==1/det(A) （6）det(AB-1)==det(A)/det(B)> A=round(10*rand(5));>> B=round(20*rand(5))-10;>> det(A)ans =5972>> det(A')ans5972>> det(A+B)ans =36495>> det(A)+det(B)ans =26384>> det(A*B)ans =4>> det(A)*det(B)ans =4>> det(A'*B')ans =4>> det(A')*det(B')ans =4>> det(inv(A))ans =0.00016745>> 1/det(A)ans =0.00016745>> det(A*inv(B))ans =0.29257>> det(A)/det(B)ans =0.29257>>2.n阶的幻方阵是否奇异？用Matlab计算n=3、4、5、…、10时的det(magic(n))。

如何使用Matlab解决数学问题使用Matlab解决数学问题引言:数学作为一门基础学科，广泛应用于各个学科领域。

而Matlab作为一款数学软件，拥有强大的计算能力和丰富的函数库，成为了数学问题解决的得力工具。

本文将介绍如何使用Matlab解决数学问题，并通过实例来展示其强大的功能和灵活性。

一、Matlab的基本使用方法1. 安装和启动Matlab首先，我们需要从官方网站下载并安装Matlab软件。

安装完成后，打开软件即可启动Matlab的工作环境。

2. 变量和运算符在Matlab中，变量可以用来存储数据。

我们可以通过赋值运算符“=”将数值赋给一个变量。

例如，可以使用“a=5”将数值5赋给变量a。

Matlab支持常见的运算符，如加、减、乘、除等，可以通过在命令行输入相应的表达式进行计算。

3. Matirx和向量的操作Matlab中，Matrix和向量（Vector）是常用的数据结构。

我们可以使用方括号将数值组成的矩阵或向量输入Matlab，比如“A=[1 2; 3 4]”可以创建一个2x2的矩阵。

4. 函数和脚本Matlab提供了丰富的内置函数和函数库，可以通过函数来解决各种数学问题。

同时，我们还可以自己编写函数和脚本。

函数用于封装一段可复用的代码，而脚本则是按照特定的顺序执行一系列的命令。

二、解决线性代数问题1. 线性方程组求解Matlab提供了“solve”函数用于求解线性方程组。

例如，我们可以使用“solve([2*x + y = 1, x + 3*y = 1], [x, y])”来求解方程组2x + y = 1和x + 3y = 1的解。

2. 矩阵运算Matlab提供了丰富的矩阵运算函数，如矩阵的加法、乘法、转置等。

通过这些函数，我们可以快速进行矩阵运算，解决线性代数问题。

三、解决数值计算问题1. 数值积分对于某些无法解析求解的积分问题，Matlab可以通过数值积分方法求得近似解。

Matlab提供了“integral”函数用于数值积分，我们只需要给出被积函数和积分区间即可。

利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例引言线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。

而Matlab作为一种功能强大的数值计算软件，提供了各种实用的工具和函数，可以方便地解决线性代数问题。

本文将介绍一些常用的线性代数问题求解方法，并通过具体的案例来展示Matlab在实际应用中的效果。

一、线性方程组的求解线性方程组是线性代数中最基础的问题之一。

Matlab提供了多种求解线性方程组的函数，如“backslash”操作符（\）和“linsolve”函数等。

下面通过一个实例来说明Matlab的线性方程组求解功能。

案例：假设有以下线性方程组需要求解：2x + 3y - 4z = 53x - 2y + z = 8x + 5y - 3z = 7在Matlab中输入以下代码：A = [2 3 -4; 3 -2 1; 1 5 -3];b = [5; 8; 7];x = A\b;通过以上代码，我们可以得到线性方程组的解x=[1; -2; 3]。

这表明在满足以上方程组的条件下，x=1，y=-2，z=3。

可以看出，Matlab在求解线性方程组时，使用简单且高效。

二、矩阵的特征值和特征向量求解矩阵的特征值和特征向量也是线性代数中的重要概念。

利用特征值和特征向量可以得到矩阵的许多性质和信息。

在Matlab中，我们可以通过“eig”函数来求解矩阵的特征值和特征向量。

案例：假设有一个2x2矩阵A，需要求解其特征值和特征向量。

在Matlab中输入以下代码：A = [2 3; 1 4];[V, D] = eig(A);通过以上代码，我们可以得到矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D。

具体结果如下：特征向量矩阵V = [0.8507 -0.5257; 0.5257 0.8507]特征值矩阵D = [1.5858 0; 0 4.4142]由结果可知，矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D可以提供有关该矩阵的很多信息，如相关线性变换、对称性等。

MATLAB软件在线性代数教学中的应用
MATLAB是一个具有强大计算和图形处理功能的数学软件，它广泛应用于各个领域，包括线性代数教学。

在线性代数教学中，MATLAB可以帮助学生更好地理解和应用矩阵和线性方程组等基础概念。

首先，在矩阵的操作方面，MATLAB可以用来进行矩阵的创建、转置、逆矩阵计算、乘法运算、矩阵方程求解等操作。

例如，通过输入命令行“A=[1 2;3 4]”创建一个
$2\times 2$矩阵，通过输入命令行“B=A'”可以得到A的转置矩阵，通过输入命令行
“inv(A)”可以得到A的逆矩阵，通过输入命令行“C=A*B”可以得到A和B的乘积矩阵，在输入命令行“x=A\b”可以求解矩阵方程$Ax=b$。

其次，在解决线性方程组的问题上，MATLAB可以用来求解线性方程组、得到线性方程组解的唯一性和存在性，并且可以比较不同求解方法的效率。

例如，通过输入命令行
“x=A\b”就可以得到线性方程组$Ax=b$的解，通过输入命令行“rank(A)”可以得到矩阵
A的秩，通过输入命令行“cond(A)”可以得到矩阵A的条件数。

此外，在线性代数的复杂问题求解上，MATLAB可以用来进行特征值和特征向量的计算、矩阵的奇异值分解等问题的求解。

例如，通过输入命令行“[V,D]=eig(A)”可以得到矩阵
A的特征值和特征向量，通过输入命令行“[U,S,V]=svd(A)”可以得到矩阵A的奇异值分解。

总之，MATLAB的强大计算和图形处理功能，可以为线性代数教学的理解和应用提供很好的帮助。

通过学生编写MATLAB程序，实现矩阵和线性方程组的数值求解，可以加深对
线性代数基础概念的理解，提高线性代数教学的效果。

《MATLAB语言》课成论文利用MATLAB求线性方程组姓名：郭亚兰学号：12010245331专业：通信工程班级：2010级通信工程一班指导老师：汤全武学院：物电学院完成日期：2011年12月17日利用MATLAB求解线性方程组（郭亚兰 12010245331 2010 级通信一班）【摘要】在高等数学及线性代数中涉及许多的数值问题，未知数的求解，微积分，不定积分，线性方程组的求解等对其手工求解都是比较复杂，而MATLAB语言正是处理线性方程组的求解的很好工具。

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。

因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。

因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。

【关键字】线性代数MATLAB语言秩矩阵解一、基本概念1、N级行列式A：A等于所有取自不同性不同列的n个元素的积的代数和。

2、矩阵B：矩阵的概念是很直观的，可以说是一张表。

3、线性无关：一向量组（a1,a2,…,an）不线性相关，既没有不全为零的数k1,k2,………kn使得：k1*a1+k2*a2+………+kn*an=04、秩：向量组的极在线性无关组所含向量的个数成为这个向量组的秩。

5、矩阵B的秩：行秩，指矩阵的行向量组的秩；列秩类似。

记：R(B)6、一般线性方程组是指形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=*+++ssn s s n n n n b a x a x a b x a x a x a b x a x a x n 22112222212111212111x ********a 二、基本理论三种基本变换：1，用一非零的数乘某一方程；2，把一个方程的倍数加到另一方程；3，互换两个方程的位置。

【matlab-7】Matlab与线性代数（⼀）⼀、线性代数基本⽅程组基本⽅程组：矩阵表⽰：解决问题的视⾓：1、解联⽴⽅程的视⾓ (⾏阶梯变换 & 矩阵运算)着重研究解x，即研究线性⽅程组的解法。

中学⾥的解⽅程和MATLAB的矩阵除法就是这样。

要点：矩阵的每⼀⾏代表⼀个⽅程，m⾏代表m个线性联⽴⽅程。

n列代表n个变量。

如果m是独⽴⽅程数，根据m<n、m=n、m>n确定⽅程是 ‘⽋定’、‘适定’ 还是 ‘超定’。

对这三种情况都会求解了，研究就完成了。

必须剔除⾮独⽴⽅程。

⾏阶梯形式、⾏列式和秩的概念很⼤程度上为此⽬的⽽建⽴。

2、向量空间中向量的合成的视⾓ (⽤向量空间解⽅程组)把A各列看成n个m维基本向量，线性⽅程组看成基向量的线性合成：要点：解x是这些基向量的系数。

它可能是常数(适定⽅程)，也可能成为其中的⼀个⼦空间(⽋定⽅程) 。

要建⽴其⼏何概念，并会求解或解空间。

3、线性变换或映射的视⾓ (线性变换及其特征)把b看成变量y，着重研究把Rn空间的x变换为Rm空间y 的效果，就是研究线性变换系数矩阵A的特征对变换的影响。

要点：就是要找到适当的变换，使研究问题的物理意义最为明晰。

特征值问题就是⼀例。

⼆、线性代数建模与应⽤概述介绍⼀些⼤的系统⼯程中使⽤线性代数的情况，使读者知道为什么线性代数在近⼏⼗年来变得如此的重要。

Leontief教授把美国的经济⽤500个变量的500个线性⽅程来描述，在1949年利⽤当时的计算机解出了42×42的简化模型，使他于1973年获得诺贝尔经济奖，从⽽⼤⼤推动了线性代数的发展。

把飞⾏器的外形分成若⼲⼤的部件，每个部件沿着其表⾯⼜⽤三维的细⽹格划分出许多⽴⽅体，这些⽴⽅体包括了机⾝表⾯以及此表⾯内外的空⽓。

对每个⽴⽅体列写出空⽓动⼒学⽅程，其中包括了与它相邻的⽴⽅体的共同边界变量，这些⽅程通常都已经简化为线性⽅程。

对⼀个飞⾏器，⼩⽴⽅体的数⽬可以多达400,000个，⽽要解的联⽴⽅程可能多达2,000,000个。

M A T L A B-平方根法和改进平方根法求解线性方程组例题与程序（2）设对称正定阵系数阵线方程组12345678424024000221213206411418356200216143323218122410394334411142202531011421500633421945x x x x x x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢---⎢⎥⎢⎥⎢--⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎥ (1,1,0,2,1,1,0,2)T x *=--二、数学原理 1、平方根法解n 阶线性方程组Ax=b 的choleskly 方法也叫做平方根法，这里对系数矩阵A 是有要求的，需要A 是对称正定矩阵，根据数值分析的相关理论，如果A 对称正定，那么系数矩阵就可以被分解为的T A=L L •形式，其中L 是下三角矩阵，将其代入Ax=b 中，可得：T LL x=b 进行如下分解：T L xL by y ⎧=⎨=⎩ 那么就可先计算y,再计算x ，由于L 是下三角矩阵，是T L 上三角矩阵，这样的计算比直接使用A 计算简便，同时你应该也发现了工作量就转移到了矩阵的分解上面，那么对于对称正定矩阵A 进行Cholesky 分解，我再描述一下过程吧： 如果你对原理很清楚那么这一段可以直接跳过的。

设T A=L L •，即1112111112112122221222221212....................................n n n n n n nn n n nn nn a a a l l l l aa a l l l l a a a l l l l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中,,1,2,...,ij ji a a i j n ==第1步，由矩阵乘法，211111111,i i a l a l l ==g 故求得111111,2,3,...i i a l l i n a === 一般的，设矩阵L 的前k-1列元素已经求出 第k 步，由矩阵乘法得112211k k kk kmkkik im km ik kkm m a l l a l l l l --===+=+∑∑, 于是11(2,3,...,n)1(),1,2,...kk k ik ik im km m kk l k l a l l i k k n l -=⎧=⎪⎪=⎨⎪=-=++⎪⎩∑ 2、改进平方根法在平方根的基础上，为了避免开方运算,所以用TLDL A =计算；其中，11122.........n d D D D d ⎤⎤⎡⎤⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎣；得1121212212111111n n n n n d l l l d l A l l d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L M MO O O M L按行计算的L 元素及D 对元素公式 对于n i ,,2,1Λ=11(1,21)j ij ij ik jk k t a t l j i -==-=-∑…，./(1,2,)ij ij j l t d j ==…，i-1.11i i ii ik ikk d a t l -==-∑计算出LD T =的第i 行元素(1,2,i-1)ij t j =…，后，存放在A 的第i 行相置，然后再计算L 的第i 行元素，存放在A 的第i 行.D 的对角元素存放在A 的相应位置.对称正定矩阵A 按T LDL 分解和按T LL 分解计算量差不多，但T LDL 分解不需要开放计算。

线性代数的MATLAB 软件实验一、实验目的1.熟悉矩阵代数主要MATLAB 指令。

2.掌握矩阵的转置、加、减、乘、除、乘方、除法等MATLAB 运算。

3.掌握特殊矩阵的MATLAB 生成。

4.掌握MATLAB 的矩阵处理方法。

5.掌握MATLAB 的矩阵分析方法。

6.掌握矩阵的特征值与标准形的MATLAB 验算。

7.掌握线性方程组的MATLAB 求解算法。

二、实验原理1.线性方程组 【基本观点】自然科学和工程实践很多问题的解决都涉及线性代数方程组的求解和矩阵运算.一方面，许多问题的数学模型本身就是一个线性方程组，例如结构应力分析问题、电子传输网分析问题和投入产出分析问题；另一方面，有些数值计算方法导致线性方程组求解，如数据拟合，非线性方程组求解和偏微分方程组数值解等.n 个未知量m 个方程的线性方程组一般形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,22112222212111212111m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (3.1) 令,,,2121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m n mn m m n n b b b b x x x x a a a a a aa a a A则得矩阵形式Ax=b. (3.2)若右端b=0,即Ax=0, (3.3)则称方程组为齐次的.方程组（3.1）可能有唯一解，可能有无穷多解，也可能无解，主要取决于系数矩阵A 及增广矩阵（A,b ）的秩.若秩（A ）=秩（A,b ）=n,存在唯一解，其解理论上用Cramer 法则求出，但由于这种方法要计算n+1个n 阶行列式，计算量太大通常并不采用；若秩（A ）=秩（A,b ）<n,存在无穷多解，其通解可表示为对应齐次方程组（3.3）的一个基础解系与（3.2）的一个特解的叠加；若秩（A ）≠秩（A,b ），则无解，这时一般寻求最小二乘近似解，即求x 使向量Ax-b 模最小.P50矩阵左除的数学思维:恒等变形Ax=b 方程两边的左边同时除以A ，得：b AAx A11=，即：b A b Ax 11-==MATLAB 的实现（左除）：x=A\b 2.逆矩阵 【基本观点】方阵A 称为可逆的，如果存在方阵B ，使 AB=BA=E,这里E 表示单位阵.并称B 为A 的逆矩阵，记B=1-A .方阵A 可逆的充分必要条件是A 的行列式det A ≠0.求逆矩阵理论上的公式为*1det 1A AA =-， (3.4)这里*A 为A 的伴随矩阵.利用逆矩阵，当A 可逆时，（3.2）的解可表示为b A x 1-=.由于公式（3.4）涉及大量行列式计算，数值计算不采用.求逆矩阵的数值算法一般是基于矩阵分解的方法.3.特征值与特征向量 【基本观点】对于方阵A ，若存在数λ和非零向量x ，使,x Ax λ= (3.5) 则称λ为A 的一个特征值，x 为A 的一个对应于特征值λ的特征向量.特征值计算归结为特征多项式的求根.对于n 阶实数方阵，特征多项式在复数范围内总有n 个根。

求解线性方程组solve,linsolve例：A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1];%矩阵的行之间用分号隔开,元素之间用逗号或空格B=[3;1;1;0]X=zeros<4,1>;%建立一个4元列向量X=linsolve<A,B>diff〔fun,var,n〕：对表达式fun中的变量var求n阶导数.例如：F=sym〔'u<x,y>*v<x,y>'〕; %sym〔〕用来定义一个符号表达式diff<F>; %matlab区分大小写pretty<ans> %pretty〔〕：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式非线性方程求解fsolve<fun,x0,options>其中fun为待解方程或方程组的文件名；x0位求解方程的初始向量或矩阵；option为设置命令参数建立文件fun.m：function y=fun<x>y=[x<1>-0.5*sin<x<1>>-0.3*cos<x<2>>, ...x<2> - 0.5*cos<x<1>>+0.3*sin<x<2>>];>>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve<fun,x0,optimset<'fsolve'>>注：...为续行符m文件必须以function为文件头,调用符为；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve〔〕主要求解复杂非线性方程和方程组,求解过程是一个逼近过程.Matlab求解线性方程组AX=B或XA=B在MATLAB中,求解线性方程组时,主要采用前面章节介绍的除法运算符"/"和"\".如：X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解.对方程组X＝A\B,要求A和B用相同的行数,X和B有相同的列数,它的行数等于矩阵A的列数,方程X＝B/A同理.如果矩阵A不是方阵,其维数是m×n,则有：m＝n 恰定方程,求解精确解；m>n 超定方程,寻求最小二乘解；m<n 不定方程,寻求基本解,其中至多有m个非零元素.针对不同的情况,MATLAB将采用不同的算法来求解.一．恰定方程组恰定方程组由n个未知数的n个方程构成,方程有唯一的一组解,其一般形式可用矩阵,向量写成如下形式：Ax=b 其中A是方阵,b是一个列向量；在线性代数教科书中,最常用的方程组解法有：〔1〕利用cramer公式来求解法；〔2〕利用矩阵求逆解法,即x=A-1b；〔3〕利用gaussian消去法；〔4〕利用lu法求解.一般来说,对维数不高,条件数不大的矩阵,上面四种解法所得的结果差别不大.前三种解法的真正意义是在其理论上,而不是实际的数值计算.MATLAB中,出于对算法稳定性的考虑,行列式与逆的计算大都在lu分解的基础上进行.在MATLAB中,求解这类方程组的命令十分简单,直接采用表达式：x=A\b.在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后,就对它进行lu分解,并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大,MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性.如果矩阵A是奇异的,则Ax=b的解不存在,或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时,MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的,则计算结果为inf,并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵,也会给出警告信息.注意：在求解方程时,尽量不要用inv<A>*b命令,而应采用A\b的解法.因为后者的计算速度比前者快、精度高,尤其当矩阵A的维数比较大时.另外,除法命令的适用行较强,对于非方阵A,也能给出最小二乘解.二．超定方程组对于方程组Ax=b,A为n×m矩阵,如果A列满秩,且n>m.则方程组没有精确解,此时称方程组为超定方程组.线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合.对于超定方程,在MATLAB中,利用左除命令〔x=A\b〕来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求,即x=pinv<A>,所得的解不一定满足Ax=b,x只是最小二乘意义上的解.左除的方法是建立在奇异值分解基础之上,由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上,其算法可靠性稍逊与奇异值求解,但速度较快；[例7]求解超定方程组A=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13]A=2 -1 33 1 -54 -1 11 3 -13b＝[3 0 3 -6]’;rank<A>ans=3x1=A\bx1=1.00002.00001.0000x2=pinv<A>*bx2=1.00002.00001.0000A*x1-bans=1.0e-014-0.0888-0.0888-0.1332可见x1并不是方程Ax=b的精确解,用x2=pinv<A>*b所得的解与x1相同.三．欠定方程组欠定方程组未知量个数多于方程个数,但理论上有无穷个解.MATLAB将寻求一个基本解,其中最多只能有m个非零元素.特解由列主元qr分解求得.[例8]解欠定方程组A＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5]A=1 -2 1 11 -2 1 -11 -2 1 -11 -2 1 5b=[1 -1 5]’x1=A\bWarning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015x1=-0.00001.0000x2=pinv<A>*bx2=-0.00000.00001.0000四．方程组的非负最小二乘解在某些条件下,所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的.虽然方程组可以得到精确解,但却不能取负值解.在这种情况下,其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义.在MATLAB中,求非负最小二乘解常用函数nnls,其调用格式为：〔1〕X=nnls<A,b>返回方程Ax=b的最小二乘解,方程的求解过程被限制在x 的条件下；〔2〕X=nnls<A,b,TOL>指定误差TOL来求解,TOL的默认值为TOL=max<size<A>>*norm<A,1>*eps,矩阵的－1范数越大,求解的误差越大；〔3〕[X,W]=nnls<A,b> 当x<i>=0时,w<i><0；当下x<i>>0时,w<i>0,同时返回一个双向量w.[例9]求方程组的非负最小二乘解A=[3.4336 -0.5238 0.6710-0.5238 3.2833 -0.73020.6710 -0.7302 4.0261];b=[-1.000 1.5000 2.5000];[X,W]=nnls<A,b>X=0.6563 0.6998 W=-3.6820 -0.0000 -0.0000 x1=A\bx1=-0.3569 0.5744 0.7846A*X-b ans=1.1258 0.1437 -0.1616 A*x1-b ans=1.0e-0.15 -0.2220 0.4441。

线性代数方程组数值解法及MATLAB 实现综述廖淑芳 20122090 数计学院 12计算机科学与技术1班（职教本科） 一、分析课题随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。

其数值计算中线性代数方程的求解问题就广泛应用于各种工程技术方面。

因此在各种数据处理中，线性代数方程组的求解是最常见的问题之一。

关于线性代数方程组的数值解法一般分为两大类：直接法和迭代法。

直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。

直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。

迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。

迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。

迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。

迭代法包括Jacobi 法SOR 法、SSOR 法等多种方法。

二、研究课题-线性代数方程组数值解法 一、 直接法 1、 Gauss 消元法通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，以使A 对角线以下的元素化为零，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x 向量。

1.1消元过程1. 高斯消元法(加减消元)：首先将A 化为上三角阵，再回代求解。

11121121222212n n n n nn n a a a b a a a b a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (1)(1)(1)(1)11121311(2)(2)(2)(2)222322(3)(3)(3)3333()()000000n n n n n nn n a a a a b a a a b a a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 步骤如下：第一步：1111,2,,i a i i n a -⨯+=第行第行11121121222212n n n n nnn a a a b a a a b a a a b ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭ 111211(2)(2)(2)2222(2)(2)(2)200n n n n n n a a a b a a b a a b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 第二步：(2)2(2)222,3,,i a i i n a -⨯+=第行第行111211(2)(2)(2)2222(2)(2)(2)200n nn nnn a a a b a a b a a b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11121311(2)(2)(2)(2)222322(3)(3)(3)3333(3)(3)(3)300000n n n n nn n a a a a b a a a b a a b a a b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭类似的做下去，我们有：第k 步：()()k ,1,,k ikk kka i i k n a -⨯+=+第行第行。

关于MATLAB软件在线性代数教学中的应用探讨关于MATLAB软件在线性代数教学中的应用探讨一、引言线性代数作为数学的一个重要分支，在各个领域都有广泛的应用。

线性代数的教学过程中，理论与实践相结合，能够更好地培养学生的分析和解决问题的能力。

而MATLAB软件作为数学建模、仿真和计算的工具，能够为线性代数的教学提供有力的支持。

本文将探讨MATLAB软件在线性代数教学中的应用。

二、MATLAB软件的介绍MATLAB是一种强大的高级计算机语言和交互式环境，该软件提供了丰富的数学、图形和数据分析工具，适用于各种科学与工程计算。

MATLAB在科研领域有广泛的应用，尤其在线性代数、信号处理和图像处理方面具有突出的优势。

三、MATLAB在线性代数教学中的应用1. 线性方程组的求解线性方程组是线性代数的基本内容之一，而MATLAB提供了直接求解线性方程组的工具。

学生可以通过编程的方式输入线性方程组，使用MATLAB求解方程组，并将结果可视化展示。

这样不仅可以加深学生对线性方程组求解方法的理解，还能提高他们的编程能力。

2. 矩阵运算与特征值分解矩阵运算是线性代数的重要内容，而MATLAB提供了丰富的矩阵运算函数。

学生可以通过编写MATLAB程序，实现矩阵的加减乘除、转置和求逆等操作，并进行相应的结果验证。

此外，MATLAB还能够进行特征值分解，对于矩阵的特征向量和特征值进行计算。

通过这些实践操作，学生可以更好地理解矩阵运算的概念和原理，提高解决实际问题的能力。

3. 图形绘制与可视化MATLAB具备强大的图形功能，能够进行二维和三维图形的绘制。

在线性代数教学中，学生可以通过编写MATLAB程序，将矩阵、向量或线性方程组的解表示为图形，从而更直观地展示线性代数的概念和应用。

这种图形化的可视化方式有助于学生理解和记忆线性代数的重要概念，提高他们的学习兴趣和积极性。

四、MATLAB在线性代数教学中的优势1. 提高学生的编程能力MATLAB作为一种编程语言，可以提高学生的编程能力。