概率统计期末练习 (1)
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习题一1.1 写出下列随机试验的样本空间,并把指定的事件表示为样本点的集合:(1)随机试验:考察某个班级的某次数学考试的平均成绩(以百分制记分,只取整数); 设事件A 表示:平均得分在80分以上。
(2)随机试验:同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和;设事件A 表示:第一颗掷得5点;设事件B 表示:三颗骰子点数之和不超过8点。
(3)随机试验:一个口袋中有5只球,编号分别为1,2,3,4,5,从中取三个球; 设事件A 表示:取出的三个球中最小的号码为1。
(4)随机试验:某篮球运动员投篮练习,直至投中十次,考虑累计投篮的次数; 设事件A 表示:至多只要投50次。
(5)随机试验:将长度为1的线段任意分为三段,依次观察各段的长度。
1.2 在分别标有号码1~8的八张卡片中任抽一张。
(1)写出该随机试验的样本点和样本空间;(2)设事件A 为“抽得一张标号不大于4的卡片”,事件B 为“抽得一张标号为偶数的 卡片”,事件C 为“抽得一张标号能被3整除的卡片”。
试将下列事件表示为样本点的集合,并说明分别表示什么事件?(a )AB ; (b) B A +; (c) B ; (d) B A -; (e) BC ; (f) C B + 。
1.3 设A 、B 、C 是样本空间的事件,把下列事件用A 、B 、C 表示出来:(1)A 发生; (2)A 不发生,但B 、C 至少有一个发生;(3)三个事件恰有一个发生; (4)三个事件中至少有两个发生;(5)三个事件都不发生; (6)三个事件最多有一个发生;(7)三个事件不都发生。
1.4 设}10,,3,2,1{Λ=Ω,}5,3,2{=A ,}7,5,3{=B ,}7,4,3,1{=C ,求下列事件:(1)B A ; (2))(BC A 。
1.5 设A 、B 是随机事件,试证:B A AB A B B A +=-+-)()(。
1.6 在11张卡片上分别写上Probability 这11个字母,从中任意抽取7张,求其排列结果为ability 的概率。
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 设A、B为两个事件,且P(A) = 0.5,P(B) = 0.6,则P(A∪B)等于()A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案:D2. 设随机变量X的分布函数为F(x),若F(x)是严格单调增加的,则X的数学期望()A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案:A3. 设X~N(0,1),以下哪个结论是正确的()A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案:A4. 在伯努利试验中,每次试验成功的概率为p,失败的概率为1-p,则连续n次试验成功的概率为()A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案:A5. 设随机变量X~B(n,p),则X的二阶矩E(X^2)等于()A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案:A二、填空题(每题3分,共15分)1. 设随机变量X~N(μ,σ^2),则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案:μ2. 若随机变量X、Y相互独立,且X~N(0,1),Y~N(0,1),则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案:f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立,且X~B(n,p),Y~B(m,p),则X+Y~_______。
参考答案:B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0,则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案:ρ = 05. 设随机变量X~χ^2(n),则X的期望E(X) = _______,方差Var(X) = _______。
参考答案:E(X) = n,Var(X) = 2n三、计算题(每题10分,共40分)1. 设随机变量X、Y相互独立,且X~N(0,1),Y~N(0,1),求X+Y的概率密度函数f(x)。
概率论与数理统计开/闭卷闭卷A/B 卷 A课程编号 2219002801—2219002811课程名称 概率论与数理统计学分 3基本题6小题,每小题5分,满分30分。
在每小题给出的四个选项中,只有一把所选项前的字母填在题后的括号内)(每道选择题选对满分,选错分)。
事件表达式A B 的意思是 ( ) ) 事件A 与事件B 同时发生 (B ) 事件A 发生但事件B 不发生) 事件B 发生但事件A 不发生 (D) 事件A 与事件B 至少有一件发生D ,根据A B 的定义可知。
假设事件A 与事件B 互为对立,则事件A B ( )) 是不可能事件 (B ) 是可能事件 C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 :选A,这是因为对立事件的积事件是不可能事件。
已知随机变量X ,Y 相互独立,且都服从标准正态分布,则X 2+Y 2服从 ( ) A) 自由度为1的χ2分布 (B ) 自由度为2的χ2分布 ) 自由度为1的F 分布 (D) 自由度为2的F 分布选B ,因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的2分布.已知随机变量X ,Y 相互独立,X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( ) X +Y ~P (4) (B ) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D ) +Y ~N (0,3)C ,因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布,而E (X +Y )=E (X )+E (Y )D (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。
样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ,E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B )1233X X X ++是μ的无偏估计) 22X 是σ2的无偏估计(D ) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计:选B ,因为样本均值是总体期望的无偏估计,其它三项都不成立。
《概率论与数理统计A 》期末习题一答案一、简答题(本题满分30分,共含6小题,每小题5分)1、设A ,B 为随机事件,A 与B 相互独立,2.0)(=A P ,4.0)(=B P ,求()P AB 。
解:32.04.08.0)()()(=⨯==B P A P B A P 。
(5分)2、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他 010 )(x cx x f ,求常数c 的值。
解:121)(1===⎰⎰+∞∞-c dx cx dx x f ,因此2=c 。
(5分) 3、 已知随机变量)4,1(~N X ,求}21{<<X P 。
解:()021}21221211{}21{Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=-<-<-=<<X P X P (3分) 1915.05.06915.0=-=。
(2分)4、设随机变量X 和Y 相互独立,)4,3(~N X ,)9,2(~N Y ,求变量12+-=Y X Z 的数学期望和方差。
解:()()()()51261212=+-=+-=+-=Y E X E Y X E Z E ; (2分)()()()()25916412=+=+=+-=Y D X D Y X D Z D 。
(3分) 5、 已知10个产品中有3个次品,现从中有放回地取3次,每次任取1个,求所取的3个产品中恰有2个次品的概率。
解:设X :所取得3个产品中次品的个数,则⎪⎭⎫⎝⎛103,3~B X (2分)1000189107103}2{223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==C X P (3分) 6、设随机变量X 、Y 相互独立,且都服从标准正态分布,则Z(同时要写出分布的参数) ?~(1)t 。
(5分)二、(本题满分10分) 编号为1,2,3的三台仪器正在工作的概率分别为0.9,0.8和0.4,从中任选一台。
(1) 求此台仪器正在工作的概率;(2) 已知选到的仪器正在工作,求它编号为2的概率。
以下解题过程可能需要用到以下数据:正态分布的上α分位点:0.025z =1.96,0.05z =1.645。
t 分布的上α分位点:)8(025.0t =2.3060,)8(05.0t =1.8595, t 0.025 (18 ) = 2.101,t 0.05 (18 ) = 1.734。
F 分布的上α分位点:F 0.975 ( 9,9 ) = 0.248 ,F 0.025 ( 9,9 ) = 4.026 。
一、填空题(共26分)。
1. 若12,,,n X X X 是来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本,则在样本容量趋于无穷大时,统计量211ni iX n=∑依概率收敛于 。
2. 设1215,,,X X X 是来自正态总体)1,0(N 的简单随机样本,若随机变量()22110221115++=++X X Y c X X 服从F 分布,则实数c = ,此F 分布的自由度为( , )。
3. 若12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本,则()21ni i E X X=⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ 。
4. 设随机变量)(~m t X ,对给定的α(0<α<1),数()t m α满足{}()P X t m αα>=,若{}P X x α<=,则x= 。
5. 若显著性平为α的假设检验问题0010::H H θθθθ≤↔>的拒绝域为02θ≤,则参数θ的置信水平为1-α的单则置信区间为 。
6. 若1216,,,X X X 是来自正态总体(,1)N θ的简单随机样本,则假设检验问题01:0:0H H θθ≤↔>的拒绝域{}0.49C x =≥的显著性水平为 ,在*0.49θ=处的功效为 。
7. 为检验一粒骰子是否均匀,进行n 次投掷试验,记i f 为n 次试验中出现点数为i 的次数()1,,6i=,则检验零假设“0:H 骰子是均匀的”的2χ统计量26216i i f n nχ==-∑的极限分布为 ( 需写出自由度 ) 。
概率统计期末考试试题及答案试题一:随机变量的概率分布某工厂生产的产品合格率为0.9,不合格率为0.1。
假设每天生产的产品数量为100件,求下列事件的概率:1. 至少有80件产品是合格的。
2. 至多有5件产品是不合格的。
试题二:连续型随机变量的概率密度函数设随机变量X的概率密度函数为f(x) = 2x,0 ≤ x ≤ 1,0 其他,求:1. X的期望E(X)。
2. X的方差Var(X)。
试题三:大数定律与中心极限定理假设某银行每天的交易量服从均值为100万元,标准差为20万元的正态分布。
求:1. 该银行连续5天的总交易量超过500万元的概率。
2. 根据中心极限定理,该银行连续20天的总交易量的平均值落在90万元至110万元之间的概率。
试题四:统计推断某工厂生产的零件长度服从正态分布,样本数据如下:95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104求:1. 零件长度的平均值和标准差。
2. 零件长度的95%置信区间。
试题五:假设检验某公司对两种不同品牌的打印机进行了效率测试,测试结果如下:品牌A:平均打印速度为每分钟60页,标准差为5页。
品牌B:平均打印速度为每分钟55页,标准差为4页。
样本量均为30台打印机。
假设两种打印机的平均打印速度没有显著差异,检验假设是否成立。
答案一:1. 至少有80件产品是合格的,即不合格的产品数少于或等于20件。
根据二项分布,P(X ≤ 20) = Σ[C(100, k) * (0.1)^k *(0.9)^(100-k)],k=0至20。
2. 至多有5件产品是不合格的,即不合格的产品数不超过5件。
根据二项分布,P(X ≤ 5) = Σ[C(100, k) * (0.1)^k * (0.9)^(100-k)],k=0至5。
答案二:1. E(X) = ∫[2x * x dx],从0到1,计算得 E(X) = 2/3。
2. Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = ∫[2x^2 * x dx] - (2/3)^2,从0到1,计算得 Var(X) = 1/18。
大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案一、填空题(每空 3 分,共 30分)在显著性检验中,若要使犯两类错误的概率同时变小,则只有增加 样本容量 .设随机变量具有数学期望与方差,则有切比雪夫不等式 .设为连续型随机变量,为实常数,则概率= 0 . 设的分布律为,,若绝对收敛(为正整数),则=.某学生的书桌上放着7本书,其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为. 设服从参数为的分布,则=. 设,则数学期望= 7 .为二维随机变量, 概率密度为, 与的协方差的积分表达式为 .设为总体中抽取的样本的均值,则= . (计算结果用标准正态分布的分布函数表X ()E X μ=2()D X σ={}2P X μσ-≥≤14X a {}P X a =X ,{}1,2,k k P X x p k ===2Y X =1n k k k x p ∞=∑n()E Y 21k k k x p ∞=∑17X λpoisson (2)E X 2λ(2,3)YN 2()E Y (,)X Y (,)f x y X Y (,)Cov X Y (())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰X N (3,4)14,,X X {}15P X ≤≤2(2)1Φ-()x Φ示)10. 随机变量,为总体的一个样本,,则常数=.A 卷第1页共4页 概率论试题(45分) 1、(8分)题略解:用,分别表示三人译出该份密码,所求概率为 (2分)由概率公式 (4分)(2分) 2、(8分) 设随机变量,求数学期望与方差.解:(1) = (3分) (2) (3分) (2分)(8分) 某种电器元件的寿命服从均值为的指数分布,现随机地取16只,它们的寿命相互独立,记,用中心极限定理计算的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数表示).2(0,)XN σn X X X ,,,21 X221()(1)ni i Y k X χ==∑k 21n σA B C 、、P A B C ()P A B C P ABC P A P B P C ()=1-()=1-()()()1-1-1-p q r =1-()()()()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====()E X Y +(23)D X Y -()E X Y +E X E Y ()+()=1+3=4(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-8361244XYρ=+-=-100h i T 161ii T T ==∑{1920}P T ≥()x Φ解: (3分) (5分)(4分)(10分)设随机变量具有概率密度,.(1)求的概率密度; (2) 求概率.解: (1) (1分)A 卷第2页共4页(2分)(2分)概率密度函数 (2分)(2) . (3分) (11分) 设随机变量具有概率分布如下,且.i i ET D T E T D T 2()=100,()=100,()=1600,()=160000{1920}0.8}1P T P ≥=≥≈-Φ(0.8)X 11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩,,其它21Y X =+Y ()Y f y 312P Y ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭12Y Y y F y y F y≤>时()=0,时()=1212,{}{1}()d Y y F yP Y y P X y f x x <≤≤=+≤=()=02d 1x y ==-2()=Y Y y f y F y≤⎧'⎨⎩1,1<()=0,其它3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311()-(-1)=222(,)X Y {}110P X Y X +===(1)求常数; (2)求与的协方差,并问与是否独立?解: (1) (2分)由(2分) 可得 (1分)(2), , (3分) (2分) 由可知与不独立 (1分) 三、数理统计试题(25分)1、(8分) 题略. A 卷第3页共4页 证明:,相互独立(4分) ,(4分),p q X Y (,)Cov X Y X Y 1111134123p q p q ++++=+=,即{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X p P X Y X P X P X p +====+========+,,1p q ==EX 1()=2E Y 1()=-3E XY 1()=-6,-CovX Y E XY E X E Y ()=()()()=0..ij i j P P P ≠X Y 222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ--22(1)X n S σ-2(1)X t n -(1)X t n -(10分) 题略解:似然函数 (4分)由 可得为的最大似然估计 (2分)由可知为的无偏估计量,为的有偏估计量 (4分) 、(7分) 题略 解: (2分)检验统计量,拒绝域 (2分)而 (1分)因而拒绝域,即不认为总体的均值仍为4.55 (2分)A 卷第4页共4页2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑2,μσ221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==11ˆn i i x n μ==∑μ2211ˆ()ni i x n σμ==-∑2σ01: 4.55: 4.55H H μμ=≠x z =0.025 1.96z z ≥=0.185 1.960.036z ==>0H。
模拟试题一(一)一、 填空题(每空3分,共45分)1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。
P( A ∪B) = 。
3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率;4、已知随机变量X 的密度函数为:,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A=, 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<=;5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y ,则Z=max(X,Y)的分布律:;6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互,则D(2X-3Y)=, COV(2X-3Y, X)=;7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本,则当k =时,~(3)Y t =;8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本,11nii X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为:。
9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =,求参数a 的置信度为95%的置信区间:;二、 计算题(35分)1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为:1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求:1){|21|2}P X -<;2)2Y X =的密度函数()Yy ϕ;3)(21)E X -;2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1) 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ;2) 问X 与Y 是否?是否相关? 3) 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ;3、(11分)设总体X 的概率密度函数为:1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。
期末复习题一、填空题1. 设A,B 为随机事件,已知P(A)=0.7,P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,则P (B-A )= 。
2.设有20个零件,其中16个是一等品,4个是二等品,今从中任取3个,则至少有一个是一等品的概率是 .3.设()4 ,3~N X ,且c 满足()()c X P c X P ≤=>,则=c 。
4. 设随机变量X 服从二项分布,即===n p EX p n B X 则且,7/1,3),,(~ .5. 设总体X 服从正态分布)9,2(N ,921,X X X 是来自总体的样本,∑==9191i i X X 则=≥)2(X P 。
6. 设B A ,是随机事件,满足===)(,)(),()(B P p A P B A P AB P 则 .7. B A ,事件,则=⋃B A AB 。
8. 设随机变量Y X ,相互独立,且)16,1(~),5,1(~N Y N X ,12--=Y X Z 则的相关系数为与Z Y9.随机变量=≤≤-=Φ=Φ}62{,9772.0)2(,8413.0)1(),4,2(~X P N X 则 . 10. 设随机变量X 服从二项分布,即===n p EX p n B X 则且,5/1,3),,(~ . 11. B A ,事件,则=⋃B A AB 。
12. 连续型随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧≤>=-00,0,3x x e x f x λ则=λ .13. 盒中有12只晶体管,其中有10只正品,2只次品.现从盒中任取3只,设3只中所含次品数为X ,则()==1X P .14. 已知二维随机变量221212(,)~(,;,;)X Y N μμσσρ,且X 与Y 相互独立,则ρ=______ .15. 设随机变量X 服从二项分布),(p n B ,则=+)83(X D . .二、选择题1. 设离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为F(x),则F(3)= .A. 0B. 0.3C. 1D. 0.8 2. 设随机变量X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=其它,021,210,x x x x x f则X 落在区间()2.1 ,4.0内的概率为( ).(A) 0.64;(B) 0.6; (C) 0.5; (D) 0.42.3. 矩估计是( )A. 点估计B. 极大似然估计C. 区间估计D. 无偏估计 4. 甲乙两人下棋,每局甲胜的概率为0.4,乙胜的概率为0.6,。
概率论与数理统计 期末复习(一)第二章 随机变量及其分布一、了解离散性随机变量及其概率分布:特征:可列无穷多 二、熟练掌握三种常用离散性随机变量的分布律(0-1)分布 、 二项分布、 泊松分布(泊松定理的应用) (知道:期望方差)【例1-1】某种型号器件的寿命X(以小时计)具有概率密度()⎪⎩⎪⎨⎧>=,其他00100,10002x x x f现有一大批此种器件(设备损坏与否相互独立),任取5只,问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率.【例1-2】设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(min)服从指数分布,其概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧>=-,其他00,515/x ex f x X 某顾客在窗口等待服务,若超过10min ,他就离开,他一个月要到银行5次,以Y 表示一个月内他未等到服务而从窗口离开的次数,写出Y 的分布律,并求出{}1≥Y P .【例1-3】设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是由4人维护,每人维护20台;其二是由3人共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.【例2-1】一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布,求某一分钟内呼唤次数大于2的概率.【例2-2】保险公司在一天内承保了5000张相同年龄,为期一年的寿险保单,每人一份.在合同有效期内若投保人死亡,则公司需赔付3万元. 设在一年内,该年龄段的死亡率为0.0015,且各个投保人是否死亡相互独立. 求该公司对于这批投保人的赔付金额总数不超过30万元的概率.三、熟练掌握连续型随机变量分布函数的概念,以及概率密度和随机变量分布函数的关系要点: {}x X P x F ≤=)(;⎰=∞-xdt t f x F )()(,若)(x F 在x 点连续,则有)()('x f x F =; 概率密度的性质:⎰=≥∞∞-1)(,0)(dx x f x f 满足这两个条件的函数才可以认为是概率密度;四、熟练掌握三种连续型随机变量的分布 均匀分布、指数分布、正态分布(知道:概率密度、分布函数、期望方差) 【例3-1】设随机变量X 的分布函数为:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=e x e x x x x F X ,11,ln 1,0)((1) 求{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<≤<<252,30,2X P X P X P ;(2) 求概率密度)(x f X .【例3-2】设随机变量X 的概率密度为:()⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=其他,,,021210x x x x x f求X 的分布函数.【例3-3】设()()x g x f ,都是概率密度函数,求证:()()()()10,1≤≤-+=αααx g x f x h 是一个概率密度函数.【例4-1】设K 在(0,5)服从均匀分布,求关于x 的方程:02442=+++K Kx x有实数根的概率.【例4-2】(记住正态分布引理) 设随机变量()22,3~N X :(1) 求{}52≤<X P ;(2) 试确定常数c,使得{}{}c X P c X P ≤=>;(3) 试确定常数d 的最小值,使得{}9.0≥>d X P .【例4-3】设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(min)服从指数分布,其概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧>=-,其他00,515/x ex f x X 某顾客在窗口等待服务,若超过10min ,他就离开,他一个月要到银行5次,以Y 表示一个月内他未等到服务而从窗口离开的次数,写出Y 的分布律,并求出{}1≥Y P .五、求随机变量的函数分布的两种方法: (1)直接法:{}{})]'())[(?()())(?()()(111y g y g x f y f y g x F y x g P y Y P y F X Y X Y ---=⇒=≤=≤=(2)定理法:P52 定理直接套公式(套公式要注意在x 的定义域上)(x g y =必须是严格单调!)【例5-1】设)1,0(~N X (1) 求X e Y =的概率密度;(2) 求122+=X Y 的概率密度; (3) 求X Y =的概率密度.【例5-2】设随机变量X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧>=-,其他00,x e x f x 求2X Y =的概率密度.【练习】1. 某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02,独立射击400次,试估计他至少击中2次的概率.2. 设()λπ~X ,且{}{}21===X P X P ,求{}4=X P .3. 设()λπ~X ,其分布律为{},...2,1,0,!===-k k e k X P kλλ,试确定k 的值,使得{}k X P =最大.4. 设()p n b X ,~,其分布律为{}10.,...,2,1,0,)1(<<=-==-p n k p p C k X P k n kk n ,试确定k 的值,使得{}k X P =最大.5. 设连续型随机变量X 的分布函数为: ()()+∞<<∞-+=x x B A x F arctan(1) 求B A ,的值;(2) 求X 的概率密度()x f .6. 设连续型随机变量X 的概率密度为:()⎩⎨⎧<<+=其他,010,x b ax x f且8521=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>X P ,(1) 求b a ,的值;(2) 求⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<2141x P ;(3) 求随机变量X 的分布函数()x F .7. 对某地区考生抽样调查的结果表明,考生的数学成绩(百分制)近似服从()2,72σN ,其中σ未知,已知96分以上的考生占总数的2.3%.试求考生的数学成绩介于60分与84分之间的概率.8. 设321,,X X X 是随机变量,且()()()232213,5~,2,0~,1,0~N X N X N X ,{}22≤≤-=x P P j ,(j=1,2,3),则( )(13-8)(A) 321P P P >> (B) 312P P P >> (C) 213P P P >> (D) 231P P P >>9. (13-14)设随机变量Y 服从参数为1的指数分布,a 为常数且大于零,则{}a Y a Y P >+≤1的值为.10. (11-8)设()()x F x F 21,为2个分布函数,其相对应的概率密度为()()x f x f 21,,其都是连续函数,则下列选项中必为概率密度的是( )(A) ()()x f x f 21 (B) ()()x F x f 122 (C) ()()x F x f 21 (D) ()()()()x F x f x F x f 1221+11. (10-8)设()x f 1为标准正态分布的概率密度,()x f 2为[-1,3]上均匀分布的概率密度,若()()())0,0(0,0,21>>⎩⎨⎧>≤=b a x x bf x x af x f 为概率密度,则b a ,应该满足( )(A) 432=+b a (B) 423=+b a (C) 1=+b a (D) 2=+b a12. (06-14)设随机变量X 服从正态分布()2111,σμN ,随机变量Y 服从正态分布()2222,σμN ,且{}{}1121<-><-μμY P X P ,则下列结论成立的是( )(A) 21σσ< (B) 21σσ> (C) 21μμ< (D) 21μμ>13. (02-21)设随机变量X 的概率密度为: ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,00,2cos 21πx x x f 对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.14. 设随机变量),(~σμN X ,求证:随机变量)0,(≠+=a b a b aX Y 为常数,也服从正态分布 ()2','~σμN Y ,并指出2','σμ的值.15. 设随机变量X 在区间()10,服从均匀分布. (1) 求X e Y =的概率密度;(2) 求X Y ln 2-=的概率密度.。
概率论与数理统计练习(一)一、填空题1. A 、B 、C 是三个随机事件,且A 与B 相互独立,A 与C 互不相容。
已知P( A ) = 0.2,P( B ) = 0.6,P( B | C ) = 0.5,P( BC ) = 0.4。
请计算以下事件的概率:P(A )= , P( AB ) = , P( AC ) = ,P( C ) = ,P( A+B ) = , P( C | B ) = 。
2. 假设有某种彩票叫“10选2”,每周一期。
其规则是从1到10的10个自然数中不重复地任意选2个数组成一注,每注1元。
如果所选的2个数与本期出奖的结果(也是从1到10中不重复选出的2个自然数)完全相同,则中奖,奖额为40元。
则购买一注彩票能中奖的概率是 。
引进随机变量X ,如果买1注彩票中奖了则令X 等于1,否则令X 等于0,那么X 服从 分布,X 的数学期望等于 。
3. 已知某对夫妇有三个小孩,但不知道他们的具体性别。
设他们有Y 个儿子,如果生男孩的概率为0.5,则Y 服从 分布。
这对夫妇恰好有一个儿子的概率是 。
他们的孩子的男女性别比例最可能是 。
4. 假设东莞市公安机关每天接到的110报警电话次数可以用泊松(Poisson)分布)100(π来描述。
则东莞市公安机关在某一天没有接到一个110报警电话的概率为 。
东莞市公安机关平均每天接到的110报警电话次数为 次。
5. 指数分布又称为寿命分布,经常用来描述电子器件的寿命。
设某款电器的寿命(单位:小时)的密度函数为⎩⎨⎧>=-其它 ,00 ,001.0)(001.0t e t f t 则这种电器没有用到500小时就坏掉的概率为 ,这种电器的平均寿命为 小时。
6. 根据世界卫生组织的数据,全球新生婴儿的平均身长为50厘米,身长的标准差估计为2.5厘米。
设新生婴儿的身长服从正态分布,则全球范围内大约有 %新生婴儿身长超过53厘米,有 %新生婴儿身长不足48厘米,身长在49厘米到51厘米之间的新生婴儿大约占 %。
1、 设A 与B 为互不相容的两个事件,0)B (P >,则=)|(B A P 0 。
2、 事件A 与B 相互独立,,7.0)(,4.0)(=+=B A P A P 则 =)(B P 0.5 。
3、 设离散型随机变量X 的分布函数为 0 1-<x=)(x F a 11<≤-xa 32- 21<≤x b a + 2≥x且21)2(==X P ,则=a61 =b , 65。
4、 某人投篮命中率为54,直到投中为止,所用投球数为4的概率为___6254________。
5、 设随机变量X 与Y 相互独立,X 服从“0-1”分布,4.0=p ;Y 服从2=λ的泊松分布)2(π,则._______24.2____)(_______,4.2____)(=+=+Y X D Y X E6、 已知,31,9)Y (D ,16)X (D X Y =ρ== 则.___36___)Y 2X (D =-7、 设总体X 服从正态分布),,0(2σN 从总体中抽取样本,,,,4321X X X X 则统计量24232221X X X X ++服从_______)2,2(F ______________分布。
8、 设总体X 服从正态分布),1,(μN 其中μ为未知参数,从总体X 中抽取容量为16的样本,样本均值,5=X 则总体均值μ的%95的置信区间为____(4.51,5.49)____。
(96.1975.0=u )9、 若),(~),,(~222211σμσμN Y N X ,且X 与Y 相互独立,则Y X Z +=服从______),(222121σσμμ++N ______分布。
一、 计算题(每小题10分,共60分)1、 (10分)已知8只晶体管中有2只次品,从其中取两次,每次任取一只,做不放回抽样。
求下列事件的概率:(1)一只是正品,一只是次品;(2)第二次才取得次品;(3)第二次取出的是次品。
概率论与数理统计期末考试试卷答案一、选择题(每题5分,共25分)1. 下列事件中,不可能事件是()A. 抛掷一枚硬币,正面朝上B. 抛掷一枚硬币,正面和反面同时朝上C. 抛掷一枚骰子,出现7点D. 抛掷一枚骰子,出现1点答案:C2. 设A、B为两个事件,若P(A-B)=0,则下列选项正确的是()A. P(A) = P(B)B. P(A) ≤ P(B)C. P(A) ≥ P(B)D. P(A) = 0答案:B3. 设随机变量X服从二项分布B(n, p),则下列结论正确的是()A. 当n增加时,X的期望值增加B. 当p增加时,X的期望值增加C. 当n增加时,X的方差增加D. 当p增加时,X的方差减少答案:B4. 设X~N(μ, σ^2),下列选项中错误的是()A. X的期望值E(X) = μB. X的方差D(X) = σ^2C. X的概率密度函数关于X = μ对称D. 当σ增大时,X的概率密度函数的峰值减小答案:D5. 在假设检验中,显著性水平α表示()A. 原假设为真的情况下,接受原假设的概率B. 原假设为假的情况下,接受原假设的概率C. 原假设为真的情况下,拒绝原假设的概率D. 原假设为假的情况下,拒绝原假设的概率答案:C二、填空题(每题5分,共25分)6. 设A、B为两个事件,P(A) = 0.5,P(B) = 0.6,P(A∩B) = 0.3,则P(A-B) = _______。
答案:0.27. 设随机变量X服从泊松分布,已知P(X=1) = 0.2,P(X=2) = 0.3,则λ = _______。
答案:1.58. 设随机变量X~N(μ, σ^2),若P(X<10) = 0.2,P(X<15) = 0.8,则μ = _______。
答案:12.59. 在假设检验中,若原假设H0为μ=10,备择假设H1为μ≠10,显著性水平α=0.05,则接受原假设的临界值是_______。
答案:9.5或10.510. 设X、Y为两个随机变量,若X与Y相互独立,则下列选项正确的是()A. E(XY) = E(X)E(Y)B. D(X+Y) = D(X) + D(Y)C. D(XY) = D(X)D(Y)D. 上述选项都正确答案:D三、解答题(每题25分,共100分)11. 设某班有50名学生,其中有20名男生,30名女生。
《概率论》期末 A 卷考试题一 填空题(每小题 2分,共20 分)1.甲、乙两人同时向一目标射击,已知甲命中的概率为0.7,乙命中的概率为0。
8,则目标被击中的概率为( ).2.设()0.3,()0.6P A P AB ==,则()P AB =( ).3.设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x a x x F ,则=a ( ),()6P X π>=( ).4.设随机变量X 服从参数为2=λ的泊松分布,则=-)1(2X E ( )。
5.若随机变量X的概率密度为236()x X p x -=,则(2)D X -=( )6.设Y X 与相互独立同服从区间 (1,6)上的均匀分布,=≥)3),(max(Y X P ( )。
7.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布律为X Y 1 2 •i p0 a 121 61 131b 则 ( ), ( ).a b ==8.设二维随机变量(X ,Y )的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=--其它00,0),(2y x ae y x f yx ,则=a ( )9.若随机变量X 与Y 满足关系23X Y =-,则X 与Y 的相关系数XY ρ=( )。
10。
设二维随机变量)0,4,3,2,1(~),(N Y X ,则=-)52(Y X D ( ).二.选择题(每小题 2分,共10 分)1.设当事件C B 和同时发生时事件A 也发生,则有( )。
)()()(1)()()()(1)()()()()()()(C B P A P d C P B P A P c C P B P A P b BC P A P a =-+≤-+≥=2.假设事件B A 和满足1)|(=B A P ,则( ). (a ) B 是必然事件 (b )0)(=-A B P (c) B A ⊂ (d ) 0)|(=B A P 3.下列函数不是随机变量密度函数的是( ).(a )sin 0()20 x x p x π⎧<<⎪=⎨⎪⎩,,其它 (b ) ⎩⎨⎧<<=其它0102)(x x x p(c) sin 0()0 x x p x π<<⎧=⎨⎩,,其它 (d) ⎩⎨⎧<<=其它103)(2x x x p4.设随机变量X 服从参数为2=λ的泊松分布,则概率==)(EX X P ( ).112211()()2 () ()222a eb ec ede ---- 5.若二维随机变量(X ,Y )在区域{(,)/01,01}D x y x y =<<<<内服从均匀分布,则1()2P X Y X ≥>=( )。
概率统计期末试题及答案[注意:根据题目要求,本文按照试题及答案的格式进行编写。
]试题一:概率基本概念1. 假设事件A的概率为0.3,事件B的概率为0.5,事件A与事件B相互独立,则事件A与事件B同时发生的概率是多少?答案:根据独立事件的概率计算公式,事件A与事件B同时发生的概率为P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0.3 × 0.5 = 0.15。
试题二:概率分布2. 随机变量X的概率密度函数为f(x) = 3x,其中0 ≤ x ≤ 1,求该随机变量的期望值E(X)。
答案:随机变量的期望值计算公式为E(X) = ∫xf(x)dx,代入概率密度函数得:E(X) = ∫x(3x)dx = 3∫x^2dx = 3 × (x^3/3) = x^3。
由于0 ≤ x ≤ 1,所以 X 的期望值为 E(X) = 1^3 = 1。
试题三:概率分布3. 一批产品中有10% 的次品率。
从该批产品中随机抽取8个,计算恰好有2个次品的概率。
答案:根据二项分布的计算公式,恰好有2个次品的概率可以计算为:P(X=2) = C(8, 2) × (0.1)^2 × (0.9)^(8-2) = 28 × 0.01 × 0.6561 ≈ 0.1837。
试题四:统计推断4. 根据一份样本调查,甲市的某产品的平均寿命为58天,标准差为5天。
现在又进行了新的样本调查,从中随机抽取36个样本,计算新样本的平均寿命的95%的置信区间。
答案:根据中心极限定理和样本调查的标准误差公式,新样本的平均寿命的95%的置信区间可以计算为:样本平均数 ± 1.96 × (标准差/√样本容量)= 58 ± 1.96 × (5/√36)= 58 ± 1.96 × (5/6)≈ 58 ± 1.96 × 0.833≈ 58 ± 1.63因此,新样本的平均寿命的95%的置信区间为 (56.37, 59.63)。
1、 设A 与B 为互不相容的两个事件,0)B (P >,则=)|(B A P 0 。
2、 事件A 与B 相互独立,,7.0)(,4.0)(=+=B A P A P 则 =)(B P 0.5 。
3、 设离散型随机变量X 的分布函数为 0 1-<x=)(x F a 11<≤-xa 32- 21<≤x b a + 2≥x且21)2(==X P ,则=a61 =b , 65。
4、 某人投篮命中率为54,直到投中为止,所用投球数为4的概率为___6254________。
5、 设随机变量X 与Y 相互独立,X 服从“0-1”分布,4.0=p ;Y 服从2=λ的泊松分布)2(π,则._______24.2____)(_______,4.2____)(=+=+Y X D Y X E6、 已知,31,9)Y (D ,16)X (D X Y =ρ== 则.___36___)Y 2X (D =-7、 设总体X 服从正态分布),,0(2σN 从总体中抽取样本,,,,4321X X X X 则统计量24232221X X X X ++服从_______)2,2(F ______________分布。
8、 设总体X 服从正态分布),1,(μN 其中μ为未知参数,从总体X 中抽取容量为16的样本,样本均值,5=X 则总体均值μ的%95的置信区间为____(4.51,5.49)____。
(96.1975.0=u )9、 若),(~),,(~222211σμσμN Y N X ,且X 与Y 相互独立,则Y X Z +=服从______),(222121σσμμ++N ______分布。
一、 计算题(每小题10分,共60分)1、 (10分)已知8只晶体管中有2只次品,从其中取两次,每次任取一只,做不放回抽样。
求下列事件的概率:(1)一只是正品,一只是次品;(2)第二次才取得次品;(3)第二次取出的是次品。
高二理科数学《概率》练习11.已知射手甲射击一次,命中9环(含9环)以上的概率为0.56,命中8环的概率为0.22,命中7环的概率为0.12.(1)求甲射击一次,命中不足8环的概率;(2)求甲射击一次,至少命中7环的概率.2.已知射手甲射击一次,击中目标的概率是23.(1)求甲射击5次,恰有3次击中目标的概率;(2)假设甲连续2次未击中...目标,则中止其射击,求甲恰好射击5次后,被中止射击的概率.3.某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行5次统一测试,学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是31,每次测试时间间隔恰当,每次测试通过与否互相独立. (1)求该学生考上大学的概率.(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束,记该生参加测试的次数为ξ,求ξ的分布列4.某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为34,且各次射击的结果互不影响. (1)求射手在3次射击中,3次都击中目标的概率(用数字作答); (2)求射手在3次射击中,恰有两次连续击中目标的概率(用数字作答); (3)求射手第3次击中目标时,恰好射击了4次的概率(用数字作答).5.一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为R的函数:23123456f(x)=x,f(x)=x,f(x)=x,f(x)=sinx,f(x)=cosx,f(x)=2.(1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函数的概率;(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数ξ的分布列6.甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试,已知甲能通过测试的概率是25,甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是320,甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是340,且乙通过测试的概率比丙大.(Ⅰ)求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少;(Ⅱ)求测试结束后通过的人数ξ的数学期望Eξ.0.01频率组距7.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段[)50,40,[)60,50…[]100,90后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:(Ⅰ)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和 平均分;(Ⅲ) 从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选两人, 求他们在同一分数段的概率.8.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在 下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A 袋或B 袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是12.(Ⅰ)求小球落入A 袋中的概率()P A ;(Ⅱ)在容器入口处依次放入4个小球,记ξ为落入A 袋中的小球个数,试求3ξ=的概率和ξ的数学期望E ξ.高二理科数学《概率》练习1答案1.解:记“甲射击一次,命中7环以下”为事件A ,“甲射击一次,命中7环”为事件B ,由于在一次射击中,A 与B 不可能同时发生,故A 与B 是互斥事件, (1)“甲射击一次,命中不足8环”的事件为A B +,由互斥事件的概率加法公式,()()()0.120.10.22P A B P A P B +=+=+=. 答:甲射击一次,命中不足8环的概率是0.22.…………………………………6分 (2)方法1:记“甲射击一次,命中8环”为事件C ,“甲射击一次,命中9环(含9环)以上”为事件D ,则“甲射击一次,至少命中7环”的事件为A C D ++, ∴()()()()0.120.220.560.9P A C D P A P C P D ++=++=++=.答:甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9.…………………………………12分 2.解:(1)设“甲射击5次,恰有3次击中目标”为事件A ,则()32352180C 33243P A ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.答:甲射击5次,恰有3次击中目标的概率为24380.………………………………6分 (2)方法1:设“甲恰好射击5次后,被中止射击”为事件C ,由于甲恰好射击5次后被中止射击,所以必然是最后两次未击中目标,第三次击中目标,第一次与第二次至少有一次击中目标,则()2221222212116C C 33333243P C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.答:甲恰好射击5次后,被中止射击的概率为16243.……………………………12分 方法2:设“甲恰好射击5次后,被中止射击”为事件C ,由于甲恰好射击5次后被中止射击,所以必然是最后两次未击中目标,第三次击中目标,第一次与第二次至少有一次击中目标,则()2222121161C 333243P C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 答:甲恰好射击5次后,被中止射击的概率为16243.……………………………12分 3.(1)记“该生考上大学”的事件为事件A ,其对立事件为A ,则5415)32()32)(31()(+=C A P2分 243131])32()32)(31([1)(5415=+⋅-=∴C A P 4分 答:该生考上大学的概率为2431315分 (2)参加测试次数ξ的可能取值为2,3,4,5,6分,91)31()2(2===ξP274313231)3(12=⋅⋅⋅==C P ξ 27431)32(31)4(213=⋅⋅⋅==C P ξ 8148)32()32(31)5(4314=+⋅⋅==C P ξ 10分故ξ的分布列为:4.解: (1)记事件“射手在3次射击中,3次都击中目标”为事件A , 3327()()464P A ==;………………………………………4分 (2)记事件“射手在3次射击中,恰有两次连续击中目标”为事件B , 2319()2()4432P B =⋅⋅=;………………………………………8分 (3)记事件“射手第3次击中目标时,恰好射击了4次”为事件C , 31381()3()44256P C =⋅⋅=………………………………………12分 5. 解:(1)记事件A 为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”,由题意知.51)(2623==C C A P ………………………………………………………………4分(2)ξ可取1,2,3,4.103)2(,21)1(151316131613=⋅=====C C C C P C C P ξξ,201)4(,203)3(1313141115121613141315121613=⋅⋅⋅===⋅⋅==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ; …………8分 故ξ的分布列为6.解(Ⅰ)设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是x 、y 依题意得:23,52033(1)(1),540xy x y ⎧=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩ 即3,41.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或 1,23.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去)┅┅┅┅┅┅┅4分 所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是34、12. ┅┅┅┅┅┅┅6分 (Ⅱ)因为3(0)40P ξ== 3(3)20P ξ==2312312317(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)54254254220P ξ==--+--+--=7.(Ⅰ)因为各组的频率和等于1,故第四组的频率:41(0.0250.01520.010.005)100.03f =-+*++*=……2分直方图如右所示……………………………….4分(Ⅱ)依题意,60及以上的分数所在的第三、四、五、六组, 频率和为 (0.0150.030.0250.005)100.75+++*=所以,抽样学生成绩的合格率是75%......................................6分 利用组中值估算抽样学生的平均分123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅………………….8分=450.1550.15650.15750.3850.25950.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ =71估计这次考试的平均分是71分………………………………………….9分(Ⅲ)[70,80),[80,90) ,[90,100]”的人数是18,15,3。
概率论与数理统计期末考试试题及解答概率论与数理统计》期末试题一、填空题(每小题3分,共15分)1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3,且P(A)+P(B)=0.5,则A,B至少有一个不发生的概率为0.9.解:由题意可得P(AB+AB)=0.3,即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB),所以P(AB)=0.1,P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布,且P(X≤1)=4P(X=2),则P(X=3)=1-e^(-6)。
解:由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ),P(X=2)=λ^2e^(-λ)/2,且P(X≤1)=4P(X=2),可得λ=1,因此P(X=3)=λ^3e^(-λ)/3!=1-e^(-6)。
3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布,则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2,0<y<2;f_Y(y)=1,2<y<4;其它为0.解:设Y的分布函数为F_Y(y),X的分布函数为F_X(x),密度为f_X(x),则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=P(-y≤X≤y)=F_X(y)-F_X(-y)。
因为X~U(0,2),所以F_X(-y)=0,即F_Y(y)=F_X(y)。
又因为f_Y(y)=F_Y'(y)=f_X(y),所以f_Y(y)=1/2,0<y<2;f_Y(y)=1,2<y<4;其它为0.另解:在(0,2)上函数y=x严格单调,反函数为h(y)=y,所以f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1/2,0<y<2;f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1,2<y<4;其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,P(X>1)=e^(-2),则λ=2,P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-2)。
一 是非题1.设A ,B ,C 为随机事件,则A 与C B A ⋃⋃是互不相容的 ( ) 2.)(x F 是正态随机变量的分布函数,则)(1)(x F x F -≠- ( ) 3.若随机变量X 与Y 独立,它们取1与1-的概率均为5.0,则Y X =( ) 4.等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布 ( ) 5. 样本均值的平方2X 不是总体期望平方2μ的无偏估计 ( ) 7.在参数的假设检验中,拒绝域的形式是根据备择假设1H 而确定的 ( )1、设A ,B ,C 是3个事件,则表示事件A,B,C 至少有一个发生。
2、设A,B 是两个相互独立事件,则概率:。
3、= 34、若A,B 是两个互不相容事件,则A,B 必为对立事件。
5、随机变量X 服从二项分布B(10,0.2),则X 的方差D (X )= 26、设X 1 , X 2 , , X 100为取自正态总体N ( 10 , 9 )的随机样本, 则:样本均值服从的分布为N( 10, 0.32)。
9、 若X,Y 不线性相关,则X,Y 的相关系数的符号小于零。
二、选择题(15分,每题3分)(1)设A B ⊂,则下面正确的等式是 。
(a))(1)(A P AB P -=; (b))()()(A P B P A B P -=-; (c))()|(B P A B P =; (d))()|(A P B A P =(2)离散型随机变量X 的概率分布为k A k X P λ==)(( ,2,1=k )的充要条件是 。
(a)1)1(-+=A λ且0>A ; (b)λ-=1A 且10<<λ; (c)11-=-λA 且1<λ; (d)0>A 且10<<λ. (3) 设10个电子管的寿命i X (10~1=i )独立同分布,且A X D i =)((10~1=i ),则10个电子管的平均寿命Y 的方差=)(Y D .(a)A ; (b)A 1.0; (c)A 2.0; (d)A 10.1、已知()0.5,()0.4,()0.6,P A P B P A B ==⋃=则(|)P A B =(A) 0.75 (B) 0.6 (C) 0.45 (D) 0.22、设随机变量X 的密度函数为()f x ,且()()f x f x -=,()F x 为X 的分布函数,则对任意实数a ,则下面式子成立的是(A) 01()(),2a F a f x dx -=-⎰ (B) ()(),F a F a -=(C) 0()1(),aF a f x dx -=-⎰ (D) ()2() 1.F a F a -=-3、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为(),01,02(,)0,a x y x y f x y +<<<<⎧=⎨⎩其他,则常数a = (A) 3 (B) 2 (C)12 (D) 134、已知(,)X B n p ,且8, 4.8EX DX ==,则n =(A) 10 (B) 20 (C) 15 (D) 25 5、离散型随机变量X 的分布函数()F x 一定是(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 周期函数 (D) 有界函数6、随机变量X 的分布函数为40,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩,则EX =(A)144x dx ⎰(B)133x dx ⎰(C)134x dx ⎰(D)150x dx ⎰7、设~(2,4)X N ,且~(0,1)aX b N +,则(A) 2,2a b ==- (B) 2,1a b =-=- (C) 0.5,1a b ==- (D) 0.5,1a b ==8、设,X Y 为两个随机变量,1,4,cov(,)1DX DY X Y ===,令122,2Z X Y Z X Y =-=-,则1Z 与2Z 的相关系数为(A) 0 (B) 1(C)(D)9、设随机变量~(0,1)X N ,21Y X =+,则~Y(A) (1,4)N (B) (0,1)N (C) (1,1)N (D) (1,2)N12.设离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为 且Y X ,相互独立,则A ) 9/1,9/2==βαB ) 9/2,9/1==βαC ) 6/1,6/1==βαD ) 18/1,15/8==βα13.若X ~211(,)μσ,Y ~222(,)μσ那么),(Y X 的联合分布为A ) 二维正态,且0=ρB )二维正态,且ρ不定C ) 未必是二维正态D )以上都不对15.下列二无函数中, 可以作为连续型随机变量的联合概率密度。
A )f(x,y)=cos x,0,⎧⎨⎩x ,0y 122ππ-≤≤≤≤其他 B) g(x,y)=cos x,0,⎧⎨⎩1x ,0y 222ππ-≤≤≤≤其他C) ϕ(x,y)=cos x,0,⎧⎨⎩0x ,0y 1π≤≤≤≤其他D) h(x,y)=cos x,0,⎧⎨⎩10x ,0y 2π≤≤≤≤其他16.掷一颗均匀的骰子600次,那么出现“一点”次数的均值为A ) 50B ) 100C )120D ) 150(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3X Y P αβ17. 设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布,令1231()3Y X X X =++,则 2()E Y =A )1.B )9.C )10.D )6. 18.对于任意两个随机变量X 和Y ,若()()()E XY E X E Y =⋅,则A )()()()D XY D X D Y =⋅B )()()()D X Y D X D Y +=+C )X 和Y 独立D )X 和Y 不独立19.设()πλX ,且()(1)21E X X --=⎡⎤⎣⎦,则λ= A )1, B )2, C )3, D )020. 设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0,则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y 的 A )不相关的充分条件,但不是必要条件; B )独立的必要条件,但不是充分条件; C )不相关的充分必要条件; D )独立的充分必要条件21.设X ~2(,)N μσ其中μ已知,2σ未知,123,,X X X 样本,则下列选项中不是统计量的是A )123X X X ++B )123max{,,}X X XC )2321i i X σ=∑ D )1X μ-三、填空题1.设 A 、B 、C 是三个随机事件。
试用 A 、B 、C 分别表示事件 1)A 、B 、C 至少有一个发生 2)A 、B 、C 中恰有一个发生 3)A 、B 、C 不多于一个发生2.设 A 、B 为随机事件, P (A)=0.5,P(B)=0.6,P(B A)=0.8。
则P(B )A = 3.若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3,P(A B)=0.7, 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===⋅⋅⋅则A=______________7. 已知随机变量X 的密度为()f x =⎩⎨⎧<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________8. 设X ~2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8081,则该射手的命中率为_________10.若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=,4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成,二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布,则(x,y )关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。
15.已知)4.0,2(~2-N X ,则2(3)E X += 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ,且X 与Y 相互独立,则(3)D X Y -=17.设X 的概率密度为2()x f x-=,则()D X =18. 设随机变量X 1,X 2,X 3相互独立,其中X 1在[0,6]上服从均匀分布,X 2服从正态分布 N (0,22),X 3服从参数为λ=3的泊松分布,记Y=X 1-2X 2+3X 3,则D (Y )=19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===,则()D X Y +=20.设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ~ 或~ 。
特别是,当同为正态分布时,对于任意的n ,都精确有X ~或~ .24.设X 1,X 2,…X n 为来自正态总体2(,)N μσX 的一个简单随机样本,则样本均值11ni i n =X =X ∑服从四、解答题4.仓库中有十箱同样规格的产品,已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的,且甲厂,乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品,求取得正品的概率。
5. 一箱产品,A ,B 两厂生产分别个占60%,40%,其次品率分别为1%,2%。
现在从中任取一件为次品,问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大? 8.设随机变量X 的密度函数为()xf x Ae -= ()x -∞<<+∞,求 (1)系数A, (2) {01}P x ≤≤ (3) 分布函数)(x F 。
12. 设随机变量X 的分布函数为:F(x)=A+Barctanx,(-x ∞<<+∞). 求:(1)系数A 与B ;(2)X 落在(-1,1)内的概率; (3)X 的分布密度。
16. 设),(Y X 的联合密度为x y x x Ay y x f ≤≤≤≤-=0,10),1(),(,(1)求系数A ,(2)求),(Y X 的联合分布函数。