函数的奇偶性(1)

函数奇偶性、周期性、对称性（一）函数的奇偶性、周期性、对称性一、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义：函数f (x) 的定义域必须关于原点对称，对定义域内的任意一个x 都满足① f (x) f (x) 函数f (x) 为偶函数；② f (x) f (x) f (x) f (x) 0 函数f (x) 为奇函数.2．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；反过来如果一个函数的图像关于原点对称，则该函数为奇函数，若该函数的图像关于y 轴对称，该函数为偶函数.3．函数奇偶性的性质①既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f (x) 0 ，xD ，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集.②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.即奇函数 f (x) 在区间[a, b](0 a b) 上单调递增（减），则f (x) 在区间[b,a] 上也是单调递增（减）；③偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.即偶函数 f (x) 在区间[a, b](0 a b) 上单调递增（减），则f (x) 在区间[b,a] 上也是单调递减（增）；④任意定义在R 上的函数f (x) 都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) .2 2二、函数的周期性1．函数的周期性定义：对于函数f (x) ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个个x 值，都满足f (x T ) f (x) ，那么函数f (x) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，应注意nT （n Z 且n 0 )也是函数的周期．2．最小正周期：如果在周期函数f (x) 的所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x) 的最小正周期.并非所有的函数都有最小正周期，如 f (x) c （ c 为常数），任意一个实数x 都是该函数的一个周期，却没有最小正周期.三、函数的对称性1．函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.2．中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心.【必记结论】1．奇函数f (x) 若在x 0 处有定义，则必有f (0) 0 ，但若不能判断奇函数 f (x) 的定义域中一定有x 0 ，则不能使用f (0) 0 ，求取参数的值.2．函数f (x) 的定义域关于原点对称，则函数F (x) f (x) f (x) 为偶函数，函数F (x) f (x) f (x) 为奇函数.3．几类函数的周期(约定a 0 )问题：① 若函数f (x) 满足：f (x a) f (x a) 或f (x a) f (x) 或f (x a) kf (x)( f (x) 0, k 0) ，或f (x a) kf (x) ( f (x) 0, k 0) ,或f (x a) 1 f (x) 或f (x a) f (x) b 等，则f (x) 的周期T 2a ；1 f (x)②若y f (x) 的图象关于直线x a , x b (a b) 对称，则函数y f (x) 是周期为2 a b 的周期函数；③若y f (x) 的图象关于(a,0) 对称，同时关于点(b,0) 对称，（ b a ），则函数y f (x) 是周期为2 | b a | ；④若y f (x) 的图象关于x a 对称，同时关于点(b,0) 对称，（ b a ），则函数y f (x) 是周期为4 | b a | .4．函数y f (x) 的图像的对称性①函数y f (x) 的图像关于直线x a 对称 f (a x) f (a x) f (2a x) f (x) .②函数y f (x) 的图像关于点(a,0) 对称 f (x)f (2ax) f (a x) f (a x) .③函数y f (x) 满足f (a x) f (b x) ，则y f (x) 的图像关于直线x b a2对称.④ 若函数y f (x) 对定义域中任意x 均有f (a x) f (b x)c 0 ，则函数y f (x) 的图像关于点( a b , c ) 成中心对称图形.5．高中涉及对称性问题的几个基本函数的对称轴、对称中心的问题①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴.②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴.③二次函数f (x) ax 2 bx c(a 0) ：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x b .2a k ④反比例函数y (k 0) ：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，x y x 与y x 均为它的对称轴.推广：函数a (cx d ) b ad b ady ax b c ca c c 2，由函数图象的平移知识易知：函数cx d cx d c x d c dax 2 的对称中心为(, ) .（思考：如何快速作出函数y c c 2x 5 的图象？找对称中心，化分母变量的系数为正，并将分母为零点时的自变量的值代入分子，看正负，从而快速画出图形.）⑤函数y a | x b | c 的图象关于直线x b 对称.b c ⑥函数y | ax b | | ax c | (a 0) 的对称轴为xa abc ；2 2a y | ax b | | ax c | (a 0) 的对称中心为( b c , 0) .⑦函数y x a (a 0) 是奇函数，图象关于原点(0, 0) 对称.x⑧函数y Asin( x ) k 、y A cos( x ) k 的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形，它们的对称轴在函数取得最值（最大或最小）时取到，它们的对称中心是“平衡点”.⑨三次函数f (x) ax 3 bx 2 cx d (a 0) 的图象是中心对称图形，对称中心为( b3a, f ( b )) （二阶导数为零时的自变量的取值为对称中心的横坐标，在该点的函3a 数值是对称中心的纵坐标）.⑩绝对值函数：这里主要说的是y f (| x |) 和y | f (x) | 两类.前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称；后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y ln x 就没有对称性，而y | sin x | 却仍然是轴对称.6．两个函数图像的对称性①互为反函数的两个函数的图像关于直线y x 对称.如指数函数ya x 与对数函数y log a x 的图象关于直线y x 对称.②函数y f (a x) 与函数y f (b x) 的图像关于直线x b a对称.③函数y f (a wx) 与函数y f (b wx) 的图像关于直线x b a2w对称.【解题方法】1．定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件.2．函数奇偶性的判断方法：①定义法判断，步骤：1）求出函数的定义域；2）判断定义域是否关于原点对称；3）根据定义域化简函数的解析式，并求出f (x) ；4）判断f (x) f (x) 或f (x) f (x) 是否对定义域内的每一个x 恒成立（恒成立要给予证明，否则要举出反例，若在函数f (x) 的定义域内有 f (m) f (m) ，则可以断定 f (x) 不是偶函数，同样，若在函数 f (x) 的定义域内有 f (m) f (m) ，则可以断定 f (x) 不是奇函数）；（1）判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (x) 与f (x) 的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．（2）对于抽象函数奇偶性的判断，应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判定．②函数的图像法判断（函数的图像是否关于原点对称；函数的图像是否关于y 轴对称）；③函数f (x), g(x) 的公共定义域关于原点对称1）若函数f (x), g(x) 都为奇函数或都为偶函数，则函数F (x) f (x)g(x) 为偶函数；2）若函数f (x), g(x) 其中一个为奇函数，另一个为偶函数，则函数F (x) 为奇函数；f (x)g(x)3）若函数f (x), g(x) 都为奇函数，则函数F (x) f (x) g(x) 为奇函数；4）若函数f (x), g(x) 都为偶函数，则函数F (x) f (x) g(x) 为偶函数.复合函数y f [g(x)] 的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇.3．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数：常采用待定系数法，利用f (x) f (x) 0 产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值.4．如果函数f (x) 是偶函数，那么f (x) f (| x |) ，通常在求解与偶函数、单调性有关的不等式时，利用此公式进行转化所求解的不等式.5．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．6．对抽象函数的周期性、对称性问题的总结①当括号里面x 前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性，其中的对称为多少我们可以用特殊值代入来猜测,这里并不主张记结论，因为很容易与后面的结论相混淆.②而当x 前面的符号相同时告诉我们的是周期性.③当x 前面的符号相同，同时告诉我们奇偶性时我们也可以推出对称性，因为奇偶性有制造负号的能力.7．证明一个函数y f (x) 关于直线x a 对称的步骤：①设函数y f (x) 图像上的任意点(x, y) ；②找到点(x, y) 关于直线x a 的对称点(2a x, y) ；③设法证明点(2a x, y) 也在函数y f (x) 的图像上；④下结论.8．证明一个函数y f (x) 关于点(a, b) 对称的步骤：①设函数y f (x) 图像上的任意点(x, y) ；② 找到点(x, y) 关于点(a, b) 的对称点(2a x, 2b y) ；③ 设法证明点(2a x, 2b y) 也在函数y f (x) 的图像上；④下结论.9．对于证明两个函数的图像关于直线x a 对称或关于点(a, b) 对称的方法参照一个函数的证明方法进行即可.10．已知定义在R 上的周期函数f (x) ，周期为T ，函数f (x) 的一个对称中心为(a, b) 或对T T 称轴为x a ，则点(k a, b) 必是函数f (x) 的对称中心，直线x k a 必是函 2 2 数 f (x) 的对称轴（每相邻两个对称中心之间相差半周期，每相邻两条对称轴之间相差半周期，只要有有一个对称中心，根据周期就可求出所有的对称中心，只要知道一条对称轴，就可以根据周期找出所有的对称轴，但是由对称中心及周期，却不能找出对称轴，同样由对称轴及周期，也不能找到对称中心）.11．若函数y f (x) 有对称中心，则函数y f (x) 的对称中心求解类型有：①若函数y 的横坐标；②若函数y 坐标；f (x) 的定义域有对称中心，则对称中心的横坐标就是定义域的对称中心f (x) 的值域有对称中心，则对称中心的纵坐标就是值域的对称中心的纵③ 若函数y f (x) 的定义域与值域都是R ，则设对称中心为(a, b) ，由f (a x) f (a x) 2b 确定参数a, b 的值即可.④上些具体函数的对称中心问题：三次函数的对称中心，可通过二阶导数为零求出，对于一些明显可以来奇函数平移得来的函数，可以借用奇函数的性质与平移方法得到函数的对称中心.注：函数y 111 的对称中心为 n , 0 .x x 1 x n 2 【易错提醒】1．判断函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称.如函数f (x) x 2 (x 1) ，该函数是没有奇偶性，但如果没有判断函数的定义域，而直接f (x) (x) 2 x 2 f (x) ，容易得出错误的结论：f (x) x 2 (x 1) 是偶函数.2．奇函数f (x) 在x 0 处可以没有定义，如f (x) 定义，则f (0) 0 .1 ；但如果奇函数f (x) 在x 0 处有x3．周期函数f (x) 的定义域至少有一边是无界的.如：命题“ 函数f (x) sin x 在[1000 ,1000 ] 是周期函数”是错误的；命题“函数f (x) sin x 在[0, ) 是最小正周期为2 的周期函数”是正确的，该函数没有负周期；命题“函数f (x) sin x 在(, 0] 是周期为 2 的周期函数”是正确的，但该函数却没有最小正周期.4．有对称性（对称轴x a ，对称中心(a, b) ）的一个或两个函数的定义域必须关于x a对称.5．在具体练习中，务必注意一个函数的对称性还是两个函数对称性，这两者是有区别的.如函数y f (x) 满足 f (2 x) f (4x) ，则函数y f (x) 的图象关于直线x 2 4 3 对称；函数y 2 x 2 4 1 对称.2f (2 x) 的图象与函数y f (x 4) 的图象则关于直线。

函数奇偶性典型例题（一）
例1、已知，
⑴判断的奇偶性；
⑵证明.
解：⑴的定义域为，它关于原点对称，又
∴，
∴为偶函数；
⑵证明：∵当时，，
∴；
当时，，
∴.
又为偶函数，
∴，
故当时，.
综上可得：成立.
例2、已知f（x）的定义域为（0，＋∞），且在其定义域内为增函数，满足f（xy）＝f （x）＋f（y），f（2）＝1，试解不等式f（x）－f（x－2）＞3.
解：由f（2）＝1及f（xy）＝f（x）＋f（y）可得
3f（2）＝3＝f（2）＋f（2）＋f（2）＝f（4）＋f（2）＝f（8）
∴f（x）－f（x－2）＞3
∴f（x）＞f（x－2）＋3＝f（x－2）＋f（8）＝f [8（x－2）]
又函数f（x）在定义域（0，＋∞）上是增函数
∴
即2＜x＜
例3. （1）定义在上的奇函数为减函数，且，求实数的取值范围。

（2）定义在上的偶函数，当时，为减函数，若
成立，求的取值范围。

解：（1）∵
∴
∵奇函数
∴
又∵在上为减函数，
∴
解得.
（2）因为函数在上是偶函数，
则，
可得
又当时，为减函数，
得到
解之得.。

函数的奇偶性与函数的图象一、复习目标掌握函数的奇偶性的判断方法以及图象的对称性。

二、考纲要求函数的奇偶性：B 函数的图象：B 三、例题精讲例1.试判断以下函数的奇偶性（1）1)(2-=x x f （2）x x f 2)(=（3）||)(x x f = （4）2)1()(-=x x f（5）x x x f -+-=44)( （6）xxx x f -+-=11)1()(（7）3|3|1)(2-+-=x x x f变式：（1） 判断函数 )0(,2≥+-x x x 的奇偶性. =)(x f)0(,2<+x x x（2）证明：函数f （x ）=11212xx ⎛⎫+⎪-⎝⎭+a （其中a 为常数）为偶函数.题型二：根据函数的奇偶性求值例2. （1）若=)(x f 121x-+a 是奇函数，则a =___________. （2）已知()x f 为R 上的奇函数，当0≥x 时，()()1+=x x x f 。

若()2-=a f ，则实数=a ____.（3）若函数)(x f 是奇函数，且在区间),0(+∞上是单调增函数，又,0)2(=f 则0)(<x xf 的解集为_______________________.（4）已知函数7)(3++=bx ax x f ，,3)5(=f 则=-)5(f _______________.（5）已知)(),(x g x f 均为奇函数，若2)()()(++=x bg x af x H 在区间),0(+∞上有最大值5，则)(x H 在区间)0,(-∞上的最小值为___________________.（6）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2+=，若)2(2a f -)(a f >，则实数a 的取值范围是_________.（7）已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，当0x >时，()ln f x x ax =-.若函数()f x 在其定义域上有且仅有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.（8）已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，若()22f =，则()2006f 的值为 .题型三：作函数的图象 例3作出以下函数的图象 （1） y =|x 2-2x |+1 （2）23x y x -=- （3）|12|-=xy(4)|1|lg +=x y (5)xx y ln 1= (6)||ln x ey =变式：（1）为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数y=lgx 的图象上所有的点向___________平移3个单位长度，再向___________平移___________个单位长度. （2）已知)(x f 的图象关于直线1=x 对称，则，)12(+x f 的图象关于直线 对称.（3）对任意实数x ，设)(x f 是42,2,14+-++x x x 三个函数中最小者，那么)(x f 的最大值为 .题型四：应用函数的图象解题例4方程x x sin lg =的实根有多少个？变式：（1）x x sin ||lg =的实根有________个.（2） 试讨论方程kx x =-|1|的实根的个数.（3） 已知不等式,0log 2<-x x a 当)21,0(∈x 时恒成立，则实数a 的取值范围是___________.（4）设函数12,0()(1),0x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩,方程f(x)＝x+a 有且只有两相不等实数根，则实a 的取值范围为 .（5）已知函数4)(x ax x f -=，]1,21[∈x ，B A ,是其图象上不同的两点.若直线AB 的斜率k 总满足421≤≤k ，则实数a 的值是 . （6）已知函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出以下四个命题： ① 存有实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ② 存有实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③ 存有实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存有实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题的序号为____ _____． 题型五：函数性质的综合应用例5 已知函数)(x f 对一切R y x ∈,,都有)()()(y f x f y x f +=+. （1） 求证：)(x f 是奇函数；（2） 若0)293()3(<--+⋅xxxf k f 对任意的R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围．变式：（1）设曲线C 的方程是x x y -=3，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移)0(,≠t s t 个单位长度后得到曲线1C .①写出曲线1C 的方程；② 证明：曲线C 与1C 关于点,22t s A ⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③ 若曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，证明：t t s -=42． （2）设)(x f 是定义在]1,1[-上的奇函数，)(x g 图象与)(x f 的图象关于直线1=x 对称，而当]3,2[∈x 时，44)(2-+-=x x x g ①求)(x f 的解析式；②对于任意的]1,0[,21∈x x 且21x x ≠，求证：||2|)()(|2121x x x f x f -<-；③ 对于任意的]1,0[,21∈x x 且21x x ≠，求证：1|)()(|21≤-x f x f . 四、作业1.若函数ax x f +=1)(为定义域内的奇函数，则实数=a ___________. 2.定义在实数集上的偶函数)(x f y =在),0(+∞上单调增，且满足)2()(f a f <，则实数a 的取值范围是__________________.3.已知函数)(x f y =是R 上奇函数，且当x >0时，x x x f 2)(2+-=，则函数)(x f y =的表达式是________________.4.设奇函数)(x f 在),0(+∞上为单调增函数，且0)2(=f ，则不等式)()(≥--xx f x f 的解集为___________.5．已知函数f (x ＋1)是奇函数，f (x －1)是偶函数，且f (0)＝2，则f (4)＝________. 6.已知()f x 是奇函数，满足()()2f x f x += ，当[]0,1x ∈时，()21xf x =- ，则21log 24f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是 .7.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，0)()(2>-'xx f x f x 0x >（），则不等式0)(2>x f x 的解集是 ．设()x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若()()()()3212,11-+=>a a f f ，则a 的取值范围是则____________.8. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，且 ()0,2x ∈时，()21f x x =+，则()7f 的值为 ．9.定义在R 上的函数)(x f ，给出以下四个命题：（1）若)(x f 是偶函数，则)3(+x f 的图象关于直线3=x 对称 （2）若),3()3(x f x f --=+则)(x f 的图象关于点)0,3(对称（3）若)3(+x f =)3(x f -，且)4()4(x f x f -=+，则)(x f 的一个周期为2 （4）)3(+=x f y 与)3(x f y -=的图象关于直线3=x 对称 其中准确命题的序号为 .10.（1）减函数)(x f y =是定义在]1,1[-上的奇函数，若0)54()1(2>-+--a f a a f ，求实数a 的取值范围是.（2）设函数f （x ）=x 3+2x 2,若函数g (x )的图象与f （x ）的图象关于点（2，1）对称，求函数g (x )的解析式.答案例1.试判断以下函数的奇偶性（1）1)(2-=x x f （2）x x f 2)(= （3）||)(x x f = （4）2)1()(-=x x f （5）x x x f -+-=44)( （6）xxx x f -+-=11)1()( （7）3|3|1)(2-+-=x x x f变式：（1） 判断函数 )0(,2≥+-x x x 的奇偶性. =)(x f)0(,2<+x x x 奇函数（2）证明：函数f （x ）=11212xx ⎛⎫+⎪-⎝⎭+a （其中a 为常数）为偶函数. ［解答］易知此函数的定义域为（-∞,0）∪（0,+∞），关于原点对称.∵f （-x ）=1121212212x x x x a x a -⎛⎫⎛⎫-++=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭2111212x x x a x ⎛⎫-+=-+= ⎪-⎝⎭11212x a -⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=f (x )∴f （x ）11212xx a ⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭（其中a 为常数）为偶函数.题型二：根据函数的奇偶性求值例2. （1）若=)(x f 121x-+a 是奇函数，则a =___________. a =12 （2）已知()x f 为R 上的奇函数，当0≥x 时，()()1+=x x x f 。