小学数学竞赛：图形的分割与拼接.学生版解题技巧培优易错难

本讲主要学习三大图形处理方法： 1．理解掌握图形的分割； 2．理解掌握图形的拼合； 3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合． 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼． 我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．模块一、图形的分割【例 1】 用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？BAO【考点】图形的分割与拼接 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？这就是图形的分割问题．按照规定的要求合理分割图形，是很讲究技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生的创造性思维，发展空间观念，丰富想象，提高观察能力．这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方形中心的任意一条直线都可以把长方形平均分割成两块，根据这点给出如下分法(如右图)：知识点拨例题精讲4-2-3.图形的分割与拼接⑴做长方形的两条对角线，设交点为O⑵过O点任作一条直线AB，直线AB将长方形平均分割成两块．可见用线段平分长方形的分法是无穷多的．【答案】⑴做长方形的两条对角线，设交点为O⑵过O点任作一条直线AB，直线AB将长方形平均分割成两块．用线段平分长方形的分法有无穷多种。

4-2-3,图形的分割与拼接本讲主要学习三大图形处理方法：1 .理解掌握图形的分割；2 .理解掌握图形的拼合；3 .理解图形的剪拼.本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试.通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力.把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割.反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合.将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼.我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考.如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多. 图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形.如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的.如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面枳相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法.模块一、图形的分割【例1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法?【巩固】画一条直线,将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条.【例2】用直线把左图分成面积相等的两部分，在右图中画虚线给出了分法，其中正确的有个。

【例3】在一块长方形的地里有一正方形的水池（如下图）.试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块.【例4】把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法.请你画出4种不同的分法.【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法.请你画出3种不同的分法.【例5］怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形.【例6】下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形.1【例7】把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样.除了剪正方形外，你还有别的方法吗?【例8】下图是一个3x4的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整.【巩固】右图是一个4x4的方格纸,请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整.【例9】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分.【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分.如果分三部分呢？【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形.你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗?【例10］将图中的图形分割成面积相等的三块.【例11】下图是由五个正方形组成的图形.把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分?【例121如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分（除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割）.【例13】已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的.试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形.【巩固】把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形.【例14］如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成的.⑴请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗.⑵分割后每个小图形的周长是厘米.⑶分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差厘米.【例15】下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形.如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形（这些较小的等边三角形的大小不一定都相同），请在图中画出分割的结果.如图，将一个正方形分割成互相不重叠的21个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画图表示.一个正三角形形状的土地上有四棵大树（如下图所示），现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树.应怎样分？A将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个。

专题10平面图形的切割与拼接有的放矢图形的拼切就是把一个图形分成若干块，然后再讲成一个规章的图形。

拼切前后的图形面积大小不变。

利用图形的对称性进行拼切是一种常用的方法，还要学会选择分割的方法和技巧。

力气巩固提升1．用一张长方形纸剪同样的三角形（如下图），最多能剪多少个这样的三角形？2．一个三角形的底是12分米，高是8分米，用两个这样的三角形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的面积是多少平方分米？3．一块装饰玻璃外形如下图所示，这块玻璃的面积是多少平方分米？4．王村有一个宽20米的长方形鱼塘。

因修路，鱼塘的宽削减了6米，这样鱼塘的面积就削减了180平方米。

现在鱼塘的面积是多少平方米？（先画出削减的部分，再解答）5．长方形纸长24厘米、宽14厘米，先剪下一个最大的正方形，再从剩下的长方形中剪下一个最大的正方形。

最终剩下的小长方形的面积是多少？6．欣欣和乐乐想用一张长8分米、宽5.5分米的长方形纸剪边长是2分米的正方形。

乐乐说：“我最多能剪出11个正方形”，欣欣说：“不行能，你吹牛”。

你认为乐乐是在吹牛吗？请你用画示意图的方式说明你的想法。

7．在一张长30厘米、宽18厘米的长方形纸的一端剪掉一个最大的正方形，在剩下的长方形纸的一端再剪掉一个最大的正方形．最终剩下部分是什么图形？它的面积是多少平方厘米？8．一块正方形的玻璃边长8分米，在它一角切下一个长4分米、宽3分米的长方形，这块玻璃剩下部分的周长多少分米？（先画图，再计算）9．李阿姨在一块长为80分米，宽为50分米的长方形花布上剪下一块最大的正方形花布，这块正方形花布的周长是多少分米？剩下的花布的周长是多少分米？10．一张长方形桌布长120厘米、宽90厘米。

这张桌布有了一个洞，为了不铺张，小明想剪下一块最大的正方形桌布。

剪下的这块正方形桌布的面积是多少平方厘米？11．在下图的长方形中，截取一个最大的正方形，剩下的小长方形的周长是多少厘米？12．一块长方形花圃，假如把它的长削减4米，面积就削减64平方米；假如把它的宽增加4米，面积就增加80平方米。

专题4《图形的分割与拼接》破解策略把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割；反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼接成一个完美的图形，就叫做图形的拼接．通常，我们会将一个或多个图形先分割，再拼接成一种指定的图形． 常见的图形的分割与拼接有： 1．三角形分割成两个等腰三角形 （1）已知：Rt△ABC ，∠BAC ＝90°． 作法：取斜边BC 的中点D ，连结A D ． 结论：△DAB 和△DAC 是等腰三角形．D AB C（2）已知：△ABC ，∠BAC ≥∠B ，∠C ＝2∠B ．作法：在边BC 上作一点D ，使得点D 在AB 的垂直平分线上，连结A D ． 结论：△DAB 和△DAC 是等腰三角形．DCB A（3）已知：△ABC ，∠ACB ＝3∠B．作法：在边AB 上作一点D ，使得点D 在BC 的垂直平分线上，连结C D ． 结论：△DBC 和△CAD 是等腰三角形．ABDC2．三角形分割成多个等腰三角形（1）已知：任意等腰△ABC ，AB ＝A C ． ①作法：一条垂线＋两条斜边中线．结论：△EAD ，△FAD ，△EBD ，△FCD 均为等腰三角形．ABFCED②作法：一条角平分线＋两条平行线．结论：△AFD ，△FBD ，△EBD ，△DEC 均为等腰三角形．DECF BA③作法：两条角平分线＋一条平行线．结论：△AEF ，△EBD ，△FCD ，△DBC 均为等腰三角形．ABF CE D（2）已知：等腰△ABC ，∠B ＝∠C ＝36°．作法：在BC 上取两点D ，E ，使得其分别在AB ，AC 的垂直平分线上，连结AD ，AE ．结论：△DAB ，△ADE ，△EAC 均为含36°内角的等腰三角形，所以可以无限分等腰三角形．36°36°ABCDE（3）已知：等腰△ABC ，AB ＝AC ，∠A ＝36°． 作法：作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于点D ．结论：△DAB ，△BCD 均为含36°内角的等腰三角形，所以可以无限分等腰三角形．AB 36°DC（4）已知：任意△AB C ．作法：一条垂线＋两条斜边中线．结论：△EAD ，△FAD ，△EBD ，△FCD 均为等腰三角形．AB CDEF3．三角形的剪拼（1）剪拼成直角三角形．作法：取AB ，AC 的中点D ，E ；过D 作BC 的垂线，垂足为点F ；过点A 作BC 的平行线，分别交直线DF ，EF 于点G ，H ． 结论：△FGH 为直角三角形．D HG EFCB A（2）剪拼成等腰三角形． 作法：取AB 、AC 的中点D 、E ，连结DE 的垂直平分线FG 交BC 于点G ;过点A 作BC 的平分线，分别交直线GD 、GE 于点H 、I 结论：△GHI 为等腰三角形F GIHD EC BA（3）剪拼成平行四边形．作法：取BC 、AC 的中点D 、E ，分别过点A 作BC 的平行线，交直线DE 于点F ． 结论：四边形ABDF 为平行四边形．EFDCBA（4） 剪拼成矩形．①作法：取AB 、AC 的中点D 、E ，分别过点D 、E 作BC 的垂线，垂足为F 、G ．过点A 作BC 的平行线，分别交直线FD 、GE 于点H 、I ． 结论：四边形HFGI 为矩形．I H ED GAB C②作法：取AB 、AC 的中点D 、E ，分别过点B 、C 作直线DE 的垂线，垂足为F 、G ． 结论：四边形FBCG 为矩形．F G ED CBA③作法：取BC 、AC 的中点D 、E ，过点A 作BC 的平行线，交直线DE 于点F ;分别过点A 、F 作BC 的垂线，垂足为G 、H结论：四边形AGHF 为矩形（先将△ABC 剪拼成平行四边形ABDF ，再将平行四边形剪拼成矩形AGHF ）EFH D G CB A（5）剪拼成正方形（三角形一边上的高是该边长的一半）．①作法：取BC 、AC 的中点D 、E ，过点A 作BC 的平行线，交直线DE 于点F ，分别过A 、F 作BC 的垂线，垂足为G 、H ． 结论：四边形AGHF 为正方形．ABC GDHFE②作法：取AB 、AC 的中点D 、E ，分别过点D 、E 作BC 的垂线，垂足为F 、G ;过点A 作BC 的平行线，分别交直线FD 、GE 于点H 、I 结论：四边形HFGI 为正方形CB AFGD EH I（6）剪拼成等腰梯形．作法：作AD ＝AB 交BC 于点D ，取AC 的中点E ，过点E 作AD 的平行线，交BC 于点F ，过点A 作BC 的平行线，交直线FE 于点G ． 结论：四边形AGFB 为等腰梯形．GFDECBA4．矩形的剪拼（1）剪拼成直角三角形作法：取AD 中点E ，连结CE 并延长，交直线AB 于点F ． 结论：△FBC 是直角三角形．FEDCB A（2）剪拼成等腰三角形①作法：延长CD 至点E ，使得DE ＝CD ，连结AC 、AE ． 结论：△ACE 为等腰三角形，其中AC ＝AEA CDE②作法：取AB 、CD 、AD 的中点E 、F 、G ，连结GE 、GF 并延长，分别交直线BC 于点H 、I 结论：△GHI 为等腰三角形，其中GH ＝GIIHGA BCD E F③作法：取AD 的中点E ，向矩形外作AD 的垂线EF ，使得EF ＝AB ，连结FB 、FC 结论：△FBC 为等腰三角形，其中FB ＝FCAB CDEF④作法：取BC 、CD 、AD 的中点E 、F 、G ，连结FE 、FG 并延长，分别交直线AB 于H 、L 结论：△FHI 为等腰三角形，其中FH ＝FI（3）剪拼成菱形．作法：取BC 的中点E ，向矩形外作BC 的垂线EG ，使得EG ＝AB ，取AD 的中点F ，连结BG 、GC 、CF 、F B ．结论：四边形BGCF 为菱形GABCDEF（4）剪拼成正方形作法：延长CB 至点E ，使得BE ＝AB ，以EC 为直径作圆，交BA 的延长线于点F;在BC 上取一点G ，使得BG ＝BF ，过点F 作BF 的垂线，过点G 作BG 的垂线，两线交于点H 结论：四边形BGHF 为正方形5．正方形的剪拼（1）两个正方形剪拼成一个正方形作法：连结AE ，过点A 作AI 丄AE 交CB 的延长线于点I ;分别以E ，I;为圆心AE 长为半径画弧，交于点H ，连结HI 、HE ． 结论：四边形AEHI 为正方形NHLGFEDC BA（2）一个正方形剪拼成两个正方形作法：以B 为端点在正方形ABCD 内部作射线，分别过A 、C 、D 作射线的垂线，垂足分别为E 、F 、G ，再分别过点A 、C 作DG 的垂线，垂足分别为H 、I 结论：四边形AEGH 和四边形CFGI 为正方形．进阶训练1. 在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝63°，如图1，取三边中点，可以把△ABC 分割成四个等腰三角形，请你在图2中，用另外四种不同的方法把△ABC 分割成四个等腰三角形，并标明分割后的四个等腰三角形的底角的度数（如果经过变换后两个图形重合，则视为同一种方法）图2图1C BACBAABCABC C BA答案：2. 小明在研究四边形的相关性质时发现，在不改变面积的条件下，一般梯形很难转化为菱形，但有些特殊的梯形通过分割可以转化为菱形，如图1，已知在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD ＝2AD ，∠C ＝60°．图2图1CBADDABC（1）果将该梯形分割成几块，然后可以重新拼成菱形，试在图1中画出变化后的图形；（2）在完成上述任务后，他又试着在直角梯形（如图2，AD∥BC，CD＝2AD，∠C＝60°）中，将梯形分成几块，拼成新的图形；①它能拼成一个菱形吗？如果能，请画出相应的图形；②它能拼成一个正方形吗？如果能，请画出相应的图形．答案：（1）能拼成菱形：C BA D（2）能拼成菱形：DAB C能拼成正五边形DAB C3．下列网格中的六边形ABCDEF是由一个边长为6的正方形剪去左上角一个边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形．（1）根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长；（2）如图甲，把六边形ABCDEF沿EH，BG剪成①，②，③三个部分，请在图甲中画出将②，③与①拼成的正方形，然后标出②，③变动后的位置；（3）在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条剪裁线，并画出将此六边形剪拼成的正方形．图甲图乙答：（1）42；（2）如图；（3）如图：。

第十讲动手剪拼图形一、剪剪拼拼图形的分割与剪拼都需要一定的技巧，下面举例说明某些常用技巧的来路及依据。

例1 你能想出几种方法，将任意一个三角形分成面积相等的六个三角形？分析：把一个三角形分成面积相等的六个三角形，根据等底等高的三角形面积相等这一结论。

只要把原三角形分成六个等底等高的小三角形即可。

为此，只要把三角形的任一边六等分，再将分点与这边相对的顶点用线段连接起来，问题就解决了。

另外，6=1×6=3×2=2×3。

如果我们把分得的每一个小三角形的面积看成“1”，那么1×6就可看成把原三角形的面积直接六等分，而3×2可看成先把原三角形的面积二等分，再把其中的每一份分成面积相等的三个小三角形。

同理，2×3可看成先把原三角形分成三个面积相等的三角形，再把其中的每一个三角形又分成两个面积相等的小三角形。

除了上面的几种分法外，还可以这样想，因为6=1+5=2+4=3+3。

所以对余下的三角形分成五个面积相等的小三角形。

对6=2+4而言，可先从原三角形分出的三角形和剩下的三角形分别分成2个和4个面积相等的小三角形，对6=3+3可采用与上面类似的方法进行分割。

解法1 将三角形的任一边六等分，再将分点与这边相对的顶点用线段连接起来，见图10-1。

解法2 以面积而言，先将原三角形二等分再三等分，或先将原三角形三等分再二等分。

分法见图10-2。

解法3 先将原三角形分成两个三角形，使它们面积比为1∶5或2∶4或3∶3。

再将面积为“5”、“2”、“4”、“3”的那个三角形分成5个或2个或4个或3个面积相等的小三角形，分法见图10-3。

图10-1至图10-3中，在同一三角形中，标有相同符号的线段彼此相等。

还有别的分法，请读者自己给出。

例2把图10-4两个图形中的某一个，分成三块，最后都拼在一起，正好拼成一个正方形，应怎么分与拼？分析与解：不管将图10-4中的哪一个图形如何分成三块，最后拼得的正方形面积总等于图10-4中两个图形面积之和。

4-2-3.圖形的分割與拼接知識點撥本講主要學習三大圖形處理方法：1．理解掌握圖形的分割；2．理解掌握圖形的拼合；3．理解圖形的剪拼．本講中很多類型的題目還要求同學們去動手嘗試．通過本講知識的學習，讓同學們瞭解不同圖形的分割、拼合、剪拼的方法，鍛煉同學們的平面想像能力以及增強學生的動手操作能力．把一個幾何圖形按某種要求分成幾個圖形，就叫做圖形的分割．反過來，按一定的要求也可以把幾個圖形拼成一個完美的圖形，就叫做圖形的拼合．將一個或者多個圖形先分割開，再拼成一種指定的圖形，則叫做圖形的剪拼．我們在圖形的分割、拼合和剪拼的過程中，都要結合所提供的圖形特點來思考．如果把一個圖形分割成若干個大小、形狀相等的部分，那麼就要想辦法找圖形的對稱點，把圖形先分少，再分多．圖形中，如果有數量方面的要求，可以先從數量入手，找出平分後每塊上所含數量的多少，再結合數量來分割圖形．如果是要把幾個圖形拼合成一個大圖形，要特別注意每條邊的長度，把相等的邊長拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼圖形，要抓住“剪、拼前後圖形的面積相等”這個關鍵，根據已知條件和圖形的特點，通過分析推理和必要的計算，確定剪拼的方法．模組一、圖形的分割【例 1】用一條線段把一個長方形平均分割成兩塊，一共有多少種不同的分割法？BA O【考點】圖形的分割與拼接【難度】2星【題型】解答【解析】怎樣把一個圖形按照規定的要求分割成若干部分呢？這就是圖形的分割問題．按照規定的要求合理分割圖形，是很講究技巧的，多做這種有趣的訓練，可以培養學生的創造性思維，發展空間觀念，豐富想像，提高觀察能力．這道題要求把長方形平均分割成兩塊，過長方形中心的任意一條直線都可以把長方形平均分割成兩塊，根據這點給出如下分法(如右圖)：⑴做長方形的兩條對角線，設交點為O⑵過O點任作一條直線AB，直線AB將長方形平均分割成兩塊．可見用線段平分長方形的分法是無窮多的．【答案】⑴做長方形的兩條對角線，設交點為O⑵過O點任作一條直線AB，直線AB將長方形平均分割成兩塊．用線段平分長方形的分法有無窮多種。

4-2-3.图形的分割与拼接知识点拨本讲主要学习三大图形处理方法：1．理解掌握图形的分割；2．理解掌握图形的拼合；3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．模块一、图形的分割【例 1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？BA O【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条．【例 2】用直线把左图分成面积相等的两部分，在右图中画虚线给出了分法，其中正确的有________个。

例题精讲llll【例 3】在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．AO【例 4】把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．【例 5】怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．【例 6】下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．231DCBA【例 7】把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？20402060【例 8】下图是一个34⨯的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【巩固】右图是一个44⨯的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【例 9】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分．如果分三部分呢？【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？【例 10】将图中的图形分割成面积相等的三块．【例 11】下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？【例 12】如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割)．【例 13】已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的．试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形．【巩固】把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形．【例 14】如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成的．⑴ 请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．⑵ 分割后每个小图形的周长是厘米．⑶ 分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差厘米．第3题【例 15】下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．【例 16】如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果．【例 17】如图，将一个正方形分割成互相不重叠的21个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画图表示．【例 18】一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？【例 19】将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○．【例 20】请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪？奥数读本【例 21】请把下面的图形分成形状、大小都相同的4块，使每一块里面都有“春蕾杯赛”4个字．春春蕾杯赛春春蕾蕾蕾杯杯杯赛赛赛第13题【例 22】 学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分？学习思考学习思考学习思考考思习学（5）（4）（3）（2）（1）【例 23】 如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字．学而思奥数数奥思而学【例 24】如下图所示的正方形是由36个小正方格组成的．如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子．试问如何切割？【例 25】如图，要求把正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○．【例 26】将下页图所示图形拆成形状相同、面积相等的三部分，使每个部分中含有一个，请将第一部分的六边形都标上“1”，第二部分的六边形都标上“2”。

图形的分割和拼接提高知识框架把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．（1）如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．（2）图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．（3）如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．（4）如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．例题精讲模块一、图形的分割【例1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？【巩固】图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．【例2】下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○．欢迎关注：奥数轻松学【例3】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？【例4】如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字.【巩固】如右图所示的正方形是由36个小正方格组成的.如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子.试问如何切割？欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270模块二、图形的拼接【例5】用四块相同的不等腰的直角三角板，拼成一个外面是正方形，里面有正方形孔的图形【巩固】用下面的3个图形，拼成右边的大正方形．【例6】用6个完全一样的等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合．你能拼出几种图形?把它们画出来．【巩固】用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中．④③②①【例7】有6个完全相同的，你能将它们拼成下面的形状吗？【巩固】将下图分成相同的两块．【例8】试用图a中的8个相等的直角三角形，拼成图b中的空心正八边形和图c中的空心正八角星．【巩固】三种塑料板的型号如图：(A)(B)(C)正方形10个，B型板每块价格5元，C型已有A型板30块，要购买B、C两种型号板若干，拼成55板每块价格为4元．请你考虑要各买多少块，使所花的总钱数尽可能少，那么购买B、C两种板要花多少元？模块三、图形的剪拼【例9】将下图分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．【巩固】将图1分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．图1图2图3【例10】把一个正方形分成8块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形和长方形的面积相等.【巩固】长方形的长和宽各是9厘米和4厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并使它们拼成一个正方形．【例11】如图所示，四个等腰直角三角形和一个正方形，已知正方形的面积是4平方厘米，长方形ABCD 的面积是多少平方厘米？【巩固】正六边形ABCDEF的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如右图的图形，求这个图形的面积.课堂检测【随练1】试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形．【随练2】如何把一个长20厘米、宽12厘米的长方形切成两块，拼成一个长16厘米、宽15厘米的新长方形．【随练3】下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？【随练4】学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分?课后作业【作业1】试将任意一个矩形分成三块，然后拼成一个三角形．【作业2】有一块长8米、宽3米的长方形地毯，现在要把它移到长6米、宽4米的新房间里．请找出一种剪裁方法，使剪后的各块拼合后正好能铺满房间的地面，为了使剪后的地毯尽量完整，就要使剪裁的块数尽可能地少，应怎样剪拼？【作业3】将图中的图形分割成面积相等的三块．【作业4】小龙的妈妈在街上卖边角布料的地摊上，买回了一块形状是等腰直角三角形的绸布，想用它来做长方形的窗帘，为了不把布剪的太碎，裁剪的块数就要尽可能的少，请问小龙的妈妈应该怎样剪拼呢？【作业5】请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪?【作业6】正三角形ABC的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形（如右图），求六边形的面积.教学反馈学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：。

北京大学附属小学 2014年5月27日
1、 分割和拼合的过程中，图形的面积保持不变。

2、 轴对称图形和旋转对称图形是常见的对称图形，利用对称性分割是常见的分割方法。

3、 在图形拼接过程中，寻找图形的特点以及不规则图形之间的联系是解决问题的关键。

典型例题
例1将下图分成两块，然后拼成一个正方形。

例2将下图分割成两块，然后拼成一个正方形。

例3长方形的长和宽各是9厘米和4厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并使它们拼成一个正方形.
例4你将下图切成相等的两块，拼成一个5×6的长方形。

北京大学附属小学 2014年5月27日
例6沿虚线把下面的长方形分成若干个正方形， 画出正方形的个数最少的方法。

（原来的长方形不允许有剩余部分）
例7下图的长方形分割成4
（1） 分割后的4个图形面积可大可小，但形状是相似的。

（2） 分割后的4个图形的面积有些是相等的，但4个图形的面积不能全部都是相等的。

请画出4种分割方法，并分别在图中用实线画出，翻转后如果和另一个重叠的话，视为同一种方法。

7
3
4
4
3 1。

本讲主要学习三大图形处理方法： 1．理解掌握图形的分割； 2．理解掌握图形的拼合； 3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合． 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼． 我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．知识点拨4-2-3.图形的分割与拼接模块一、图形的分割【例 1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？BA O【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条．【例 2】用直线把左图分成面积相等的两部分，在右图中画虚线给出了分法，其中正确的有________个。

ll ll【例 3】在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．AO【例 4】把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．例题精讲【巩固】 把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．【例 5】 怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．【例 6】 下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．231DCBA【例 7】 把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？20604020【例 8】下图是一个34 的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【巩固】右图是一个44 的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【例 9】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分．如果分三部分呢？【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？【例 10】将图中的图形分割成面积相等的三块．【例 11】下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？【例 12】如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割)．【例 13】已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的．试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形．【巩固】把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形．【例 14】如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成的．⑴请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．⑵分割后每个小图形的周长是厘米．⑶分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差厘米．第3题【例 15】下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．【例 16】如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果．【例 17】如图，将一个正方形分割成互相不重叠的21个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画图表示．【例 18】一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？【例 19】 将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○．【例 20】 请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪？奥数读本【例 21】 请把下面的图形分成形状、大小都相同的4块，使每一块里面都有“春蕾杯赛”4个字．春春蕾杯赛春春蕾蕾蕾杯杯杯赛赛赛第13题【例 22】 学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分？学习思考学习思考学习思考考思习学（5）（4）（3）（2）（1）【例 23】 如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字．学而思奥数数奥思而学【例 24】 如下图所示的正方形是由36个小正方格组成的．如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子．试问如何切割？【例 25】 如图，要求把正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○．【例26】 将下页图所示图形拆成形状相同、面积相等的三部分，使每个部分中含有一个，请将第一部分的六边形都标上 “1”，第二部分的六边形都标上“2”。

几何面积问题除了利用常规的五大模型、各种公式求得之外，还可以用图形分割的思想来做。

我们发现，在迎春杯几何问题中，这类题目很多。

掌握好这种思想方法，可以帮助我们解决很多几何难题。

解题关键：分割其实就是运用特殊的三角形（等角直角三角形、等边三角形等）、正方形、等边图形的特殊性质进行分割而得，所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题。

解题思想：这其实就是一种化整为零的思想，各位同学不仅要学会几何题中的这种方法，更要细细体味这种思想在解决各种问题中的妙用。

模块一、简单分割【例 1】 3个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起(如图)，顶点A 和B 分别与正方形中心点重合，如果所构成图形的周长是48厘米，那么这个图形覆盖的面积是__________平方厘米.【考点】图形的分割 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级组，复试，4题 【解析】 将这3个正方形分割，可知这个图形的周长即为两个正方形纸片的周长之和，故正方形边长为48÷8=6（厘米），则图中每个分割得到的小正方形边长为6÷2=3（厘米），所以这个图形覆盖的面积为6×6×2+3×3×2=90（平方厘米）。

【答案】90平方厘米【例 2】 正方形ABCD 的面积是1平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方形(如图)，求大正方形的面积．DCB A【考点】图形的分割 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 四条边分别向两端各延长一倍，很容易可以观察出，大正方形有9个小正方形组成，所以，大正方形的面积是：199⨯=(平方米)．【答案】9平方米【例 3】 将边长为a 的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连结成第三个正方形，依此规律，继续下去，得到下图那么，边长为a 的正方形面积是图中阴影部分面积的________ 倍.例题精讲知识点拨4-2-4.图形的分割【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第6题，4分 【解析】 阴影部分是大正方形的0.5×0.5×0.5×0.5=116，所以正方形是阴影的16倍 【答案】16倍【例 4】 正三角形ABC 的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形(如右图)，求六边形的面积．CBA【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 采用分割法，过A 、B 、C 分别作平行线，得到右上图，其中所有小三角形的面积都相同，所以六边形面积等于13平方米．【答案】13平方米【例 5】 正六边形ABCDEF 的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积．FED CB A FAB CDE【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：122⨯= (平方米)【答案】2平方米【例 6】 长方形ABCD 的面积是40平方厘米，E 、F 、G 、H 分别为AC 、AH 、DH 、BC 的中点。

本讲主要学习三大图形处理方法： 1．理解掌握图形的分割； 2．理解掌握图形的拼合； 3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合． 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼． 我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．板块一 图形的分割【例 1】 用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？BAO【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有 条．【例 2】 把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．例题精讲图形的分割与拼接【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．【例 3】 怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．【例 4】 下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．321DCBA【例 5】 在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．【例 6】 把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？20604020【例 7】 下图是一个34 的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【巩固】右图是一个44的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【例 8】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分．如果分三部分呢？【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？【例 9】下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？【例 10】已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的．试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形．【巩固】把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形．【例 11】下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．【例 12】 一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？【例 13】将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○．【例 14】 请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪？本读数奥【例 15】 (2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)请把下面的图形分成形状、大小都相同的4块，使每一块里面都有“春蕾杯赛”4个字．春春蕾杯赛春春蕾蕾蕾杯杯杯赛赛赛第13题【例 16】 学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分？学习思考学习思考学习思考考思习学【例 17】 如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字．学而思奥数数奥思而学【巩固】如下图所示的正方形是由36个小正方格组成的．如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子．试问如何切割？【例 18】 如图，甲、乙是两个大小一样的正方形．要求把每一个正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○．甲 乙【例 19】 正三角形ABC 的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形(如右图)，求六边形的面积．CBA【巩固】正方形ABCD 的面积是1平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方形(如图)，求大正方形的面积．DCB A【巩固】正六边形ABCDEF 的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积．【例 20】 (第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛)如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成的．⑴ 请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗． ⑵ 分割后每个小图形的周长是 厘米．⑶ 分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差 厘米．第3题【例 21】 如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割)．【例 22】 (2003年《小学生数学报》数学邀请赛)如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果．【例 23】(2005年《小学生数学报》数学邀请赛)如图，将一个正方形分割成互相不重叠的21个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画图表示．板块二图形的拼合【例 24】用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？【巩固】用3个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形？【巩固】用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形？若能，画出示意图．【例 25】下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？【例 26】用下面的3个图形，拼成右边的大正方形．【巩固】用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中．④③②①【例 27】有6个完全相同的，你能将它们拼成下面的形状吗？【例 28】(保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)三种塑料板的型号如图：(A ) (B ) (C )已有A 型板30块，要购买B 、C 两种型号板若干，拼成55 正方形10个，B 型板每块价格5元，C 型板每块价格为4元．请你考虑要各买多少块，使所花的总钱数尽可能少，那么购买B 、C 两种板要花多少元？【例 29】试用图a 中的8个相等的直角三角形，拼成图b 中的空心正八边形和图c 中的空心正八角星．板块三图形的剪拼【例 30】试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形．【例 31】把两个小正方形剪开以后拼成一个大正方形．【例 32】将下图分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．【例 33】试将一个49的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形，然后拼成一个正方形．【巩固】长方形的长和宽各是9厘米和4厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并使它们拼成一个正方形．【例 34】将下图分成两块，然后拼成一个正方形．【例 35】将图1分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．图1图2图3【例 36】小龙的妈妈在街上卖边角布料的地摊上，买回了一块形状是等腰直角三角形的绸布，想用它来做长方形的窗帘，为了不把布剪的太碎，裁剪的块数就要尽可能的少，请问小龙的妈妈应该怎样剪拼呢？【例 37】试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形．【巩固】试将任意一个矩形分成两块，然后拼成一个三角形．【巩固】试将任意一个矩形分成三块，然后拼成一个三角形．【例 38】把一个正方形分成8块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形和长方形的面积相等．【例 39】有一块长8米、宽3米的长方形地毯，现在要把它移到长6米、宽4米的新房间里．请找出一种剪裁方法，使剪后的各块拼合后正好能铺满房间的地面，为了使剪后的地毯尽量完整，就要使剪裁的块数尽可能地少，应怎样剪拼？【例 40】如何把一个长20厘米、宽12厘米的长方形切成两块，拼成一个长16厘米、宽15厘米的新长方形．【例 41】长方形长24厘米，宽15厘米．把它剪成两块，使它们拼成一个长20厘米，宽18厘米的长方形．【例 42】如下图长方形的长、宽分别为120厘米、90厘米，正中央开有小长方形孔，长为80厘米，宽为10厘米，要拼成面积为100平方厘米的正方形．问如何切分，能使划分的块数最少．【例 43】把下图中两个图形中的某一个分成三块，最后都拼在一起，使它们成为一个正方形．【例 44】如下图两个正方形的边长分别是a和b(a b)，将边长为a的正方形切成四块大小、形状都相同的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形．ab ba【例 45】如下图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线将它剪成两片，然后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形．。

年级三年级学科奥数版本通用版课程标题图形的分割与拼接（一）图形的分割与拼接是一个关于解题方法的训练，它可帮助我们更加简单地进行图形的周长计算，面积计算，并且灵活地解决一些图形问题等，对于学生思维的培养很有帮助。

这节课，我们就一起来研究图形的分割与拼接。

定义：1. 把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割。

2. 反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完整的图形，就叫做图形的拼接。

3. 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼。

方法：我们在进行图形的分割、拼接和剪拼的过程中，都要结合题目所提供的图形特点来思考：1. 如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找到图形的对称点，把图形先分少，再分多。

2. 分割图形时，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每部分上所含数量的多少，再结合数量来分割图形。

例1图中是一个3×4的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的部分，但要保持每个小方格的完整。

分析与解：因为要分割成完全相同的两部分，即大小、形状完全相同。

方格纸一共有3×4＝12（个）小格，所以分成的两部分每部分有12÷2＝6（个）小格，并且这两部分要关于中心点对称，且大小和形状完全一样。

我们从对称线入手，先选中一个小格，找到它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符号。

找到它关于中心线的对称位置是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况，具体如下图所示。

（染色法）例2请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪?分析与解：图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在它们中间划出分割线。

题目要求将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是6×4的，所以分割后的每一块都由6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部分，对称分割如下图所示：例3图中是由三个正三角形组成的梯形。

图形的剪拼，即把一个几何图形剪成几块形状相同的图形，或是把一个几何图形剪开后拼成另一种满足某种条件的图形。

完成这样的图形剪拼，需要考虑图形剪开后各部分的形状、大小以及它们之间的位置关系。

在拼图形的过程中，多动手画一画，剪一剪，拼一拼是最好的方法。

分图形时要从图形的性质入手，观察它的对称点、对称轴，从这些性质出发解决问题。

用四种不同的方法，沿格子线把下面的图形分割成形状相同、大小相等的四块，应该怎样分？用四种不同的方法，沿格子线把下面的图形分割成形状相同、大小相等的两块（非长方形），应该怎样分？把下图分成形状、大小完全相同的4块，而且每块中有一个字母。

DACB将下列的各图分别切成大小、形状相同的三块，使每块都带有一个圆圈“○”。

如下图所示是由三个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四个图形。

如下图所示是由5个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四个图形。

如下图所示，请你分割成几块后，再拼成一个正方形。

如下图所示，请你分割成几块后，再拼成一个正方形。

下面的五个图形能拼成一个正方形吗？① ② ③ ④ ⑤将下面的图形拼成一个5×5的正方形。

①②③④⑤把一个正方形分成8块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形和长方形的面积相等。

将下面的图形剪三刀，把它拼成一个正方形。

少女峰为什么成为著名的游览区少女峰是瑞士的一座非常著名的山，是阿尔卑斯山脉中最高大的山峰，在欧洲也被看作是最高峰。

远远望去，这座山就像一位年轻美丽的姑娘，披着过肩的长发，穿着耀眼的银装，静静地躺在白云之间。

山上有许多冰洞，洞内左弯右转，一会儿宽，一会儿窄，使人感到进了迷宫一样，摸不清它的底细。

冰洞里面展出用冰雕成的人像、器物等景物。

山顶的大石头是圆形的，像馒头一样，冰雪盖在上面，发出闪闪的亮光。

几条小冰川顺着山峰滑下来，聚在一起，称为大冰川，景色十分美好。

现在这里已经是世界上非常著名的游览区。

为方便游人，已经建成铁路，直通这座山峰。