高中数学 必修5 24.二元一次不等式表示的平面区域

习题部分
{x + y ≤ 1, x - y ≤ 1,
习题部分
x ≥ 0} 表示的平面区域的边界是哪几个三角形？
题目2：不等式组
习题部分
{x - y + 1 ≥ 0, x + y - 3 ≤ 0,
x - 2y ≤ 0}
习题部分
表示的平面区域是什么形状？
{x + y - 2 ≤ 0,
题目3：不等式组
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
01
二元一次不等式的概念 与性质
二元一次不等式的定义
定义
二元一次不等式是指形如 ax + by ≤ c (或 ≥ c) 的不等式，其中 a、b、c 是常数，且 a 和 b 不都 为零。
解释
二元一次不等式表示一个平面区 域，这个区域是满足该不等式的 点的集合。
详细描述
在生产计划问题中，二元一次不等式可以用来表示生产过程中的各种约束条件，如原料供应、设备能 力、人力资源等。通过求解这些不等式，企业可以制定出符合市场需求且不超出生产能力的最优生产 计划，提高生产效率和盈利能力。
投资决策问题
总结词
投资决策问题是在金融领域中常见的应用场景，主要涉及如何在不确定的金融 环境中做出最优的投资决策。
02
平面区域可以由多个不 等式组合而成，表示多 个方向的约束条件。
03
平面区域的形状和大小 取决于不等式的系数和 符号。
04
平面区域可以表示为凸 多边形、凸多面体等不 同形状，取决于不等式 的组合方式。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
二元一次不等式表示平 面区域的作图方法

数学 必修5
第三章 不等式
(3)若直线 l：Ax＋By＋C＝0，记 f(x，y)＝Ax＋By＋C，M(x1， y1)，N(x2，y2)，则
点M，N在l的同侧 ⇔ fx1，y1·fx2，y2>0 点M，N在l的异侧 ⇔ fx1，y1·fx2，y2<0
数学 必修5
第三章 不等式
1．不等式x－2y≥0表示的平面区域是( )
() A.32 4 C.3
B.23 D．34
数学 必修5
第三章 不等式
解析： 如图所示为不等式表示的平 面区域，平面区域为一三角形，三个顶点 坐标分别为(4,0)，43，0，(1,1)，所以三角 形的面积为 S＝12×4－43×1＝43.
答案： C
数学 必修5
第三章 不等式
用二元一次不等式(组)表示实际问题
数学 必修5
第三章 不等式
答案：
4x＋3y≤480， 2x＋5y≤500， x≥0， y≥0， x，y∈N*
数学 必修5
第三章 不等式
4．画出不等式组x0－≤yx≤＋1y0≤，20， 0≤y≤15，
表示的平面区域．
解析： 根据题意画出不等式组表示的平面区域，如图所
示．
数学 必修5
第三章 不等式
数学 必修5
第三章 不等式
3．一工厂生产甲、乙两种产品，生产每种1 t产品的资源 需求如下表：
品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人
甲
2
3
5
乙ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
5
2
该厂有工人200人，每天只能保证160 kW·h的用电额度， 每天用煤不得超过150 t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两 种产品允许的产量的范围．

第三十五页，共47页。
提醒：解答含参数的问题难点在于参数取值范围的不同导致平面区域或 者曲线位置的改变，解答的思路可能会有变化，所以求解时要根据题意进行 必要的分类讨论及对特殊点、特殊值的考虑.
第三十六页，共47页。
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．已知 P1(0,1)，P2(2,1)，P3(－1,2)，P4(3,3)，则在 4x－5y＋1≤0 表示的 平面区域内的点的个数是________．
(1)“直线定界”，即画出边界直线 Ax＋By＋C＝0，若有等号，则画实线； 若无等号，则画虚线.
(2)“特殊点定域”，即取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，根据 Ax0＋By0＋ C 的符号确定出相应的不等式表示的平面区域.一般地，当 C＝0 时，常把(1， 0)或(0，1)作为特殊点；当 C≠0 时，取(0，0)作为特殊点.
在△ABC 中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC 区域(包 括边界)所表示的二元一次不等式组．
[思路探究] 先由两点式求方程，画出草图，再由图写出不等式组．
第十七页，共47页。
[解] 如图所示，
第十八页，共47页。
可求得直线 AB，BC，CA 的方程分别为 x＋2y－1＝0，x－y＋2＝0,2x＋y －5＝0.
第八页，共47页。
思考 4：如何理解二元一次不等式组表示的平面区域？ [提示] ①含义．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区 域的公共部分． ②画法．不等式组表示的平面区域的画法依然采用“直线定界，特殊点 定域”的方式．在作直线的过程中，作图要规范，相对的位置要准确，用特 殊点代入 Ax＋By＋C 定域时，若 C≠0，则一般选取(0,0)代入；当 C＝0 时， 一般选取点(1,0)或(0,1)．

预习导航1．了解二元一次不等式(组)的概念．2．理解二元一次不等式(组)解集的几何意义．3．会画二元一次不等式(组)所表示的平面区域．1．二元一次不等式(组)的概念(1)二元一次不等式是指含有两个未知数，且未知数的最高次数是1的整式不等式．二元一次不等式组是指由几个含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的整式不等式组成的不等式组．(2)二元一次不等式(组)的解集是指满足这个不等式(组)的实数x 和y 构成的有序数对(x ，y )构成的集合．(3)二元一次不等式的一般形式为Ax ＋By ＋C ＞0或Ax ＋By ＋C ＜0．【做一做1－1】 若点P (1，－2)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，则( )A ．A －2B ＋C ＝0 B ．A －2B ＋C ≠0 C ．A ＋2B ＋C >0D ．A －2B ＋C <0 答案：B【做一做1－2】 完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则x ，y 满足的约束条件是________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋40y ≤2 000，x ∈N ＋，y ∈N ＋2．二元一次不等式表示的平面区域(1)直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面．开半平面与l 的并集叫做闭半平面．以不等式解(x ，y )为坐标的所有点构成的集合，也叫做不等式表示的区域或不等式的图象．(2)坐标平面内的任一条直线都有如下性质：直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0把坐标平面内不在直线l 上的点分为两部分，直线l 的同一侧的点的坐标使式子Ax ＋By ＋C 的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使Ax ＋By ＋C 的值的符号相反，一侧都大于0，另一侧都小于0．在判断不等式Ax ＋By ＋C >0(或Ax ＋By ＋C <0)所表示的平面区域时，“代点法”无疑是快捷且准确的方法．即基本方法是“直线定界，特值定域”．其步骤：(1)画直线Ax ＋By ＋C ＝0；(2)在直线的一侧任取一点P (x 0，y 0)，可取较特殊的点，易计算；(3)将P (x 0，y 0)代入Ax ＋By ＋C 求值；(4)若Ax 0＋By 0＋C >0，则此点所在的半平面为不等式Ax ＋By ＋C >0所表示的平面区域；反之此点所在的半平面不是不等式Ax ＋By ＋C >0所表示的平面区域．【做一做2－1】 图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是( )A ．x ＋y －1<0B ．x ＋y －1>0C ．x －y －1<0D ．x －y －1>0答案：B【做一做2－2】 以下各点在3x ＋2y <6表示的平面区域内的是______．①(0，0)；②(1，1)；③(0，2)；④(2，0)．答案：①②③3．二元一次不等式组表示的平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式组表示的平面区域就是这个不等式组中每个二元一次不等式表示的平面区域的公共部分．【做一做3】 在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a(a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图，由题意，△ABC 的面积为9，则|BC |＝(a ＋4)－(－a )＝2a ＋4，A 到直线BC 的距离为a －(－2)＝a ＋2，∴12(a ＋2)·(2a ＋4)＝9，解得a ＝1或－5(舍去)．答案：1。