高中数学教师解题比赛试题.

绝密⋆启用前试卷类型：A云南省文山州高中教师技能大赛数学试题命题人：崔用亮2024年3月本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.函数f (x )=e x +a e −x 为奇函数，则实数a 的值为()1A.−1B.0C.eD.2.若正四面体的棱长为√6，则该正四面体的外接球体积为()9πA.92πB.94πC.98πD.3.2024年3月5日，十四届全国人大二次会议举行首场“部长通道”集中采访活动。

农业农村部部长唐仁健在回答记者提问时表示，尽管去年中国遭遇了频繁、极端的自然灾害，但还是实现“以秋补夏”“以丰补歉”。

根据国家统计局公布的统计数据显示，2023年全年粮食产量69541万吨，比上年增加888万吨，增产1.3%。

其中，夏粮产量14615万吨，减产0.8%；早稻产量2834万吨，增产0.8%；秋粮产量52092万吨，增产1.9%。

谷物产量64143万吨，比上年增产1.3%。

其中，稻谷产量20660万吨，减产0.9%；小麦产量13659万吨，减产0.8%；玉米产量28884万吨，增产4.2%。

大豆产量2084万吨，增产2.8%。

以下说法正确的是()2022年全国粮食产量低于6亿吨A.与上一年相比，2023年秋粮中，玉米的增产量约为谷物的增产量的3倍B.与上一年相比，2023年全年粮食的增产量大于秋粮的增产量C.2023年，夏粮和秋粮的总产量占全年粮食产量的90%以上D.4.由sin α+π3 +sin 2α+π6 =−98，则cos α−π6 =()14A.18B.−14C.−18D.5.若数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列{a n }满足：对任意m 、n 、p 、q ∈N ∗，若m +n =p +q ，则a m +a n =a p +a q .下列说法正确的是()数列{a n }是等差数列A.数列{a n }不可能是等比数列B.数列{S n }是等差数列C.数列ßS n n™不可能是等差数列D.6.函数f (x )=2x sin x +e x 在x =0处的切线方程为()x +y +1=0A.x −y +1=0B.x −y −1=0C.x +y −1=0D.7.某次跳水比赛计分规则如下：针对运动员每次跳水，共有7个裁判评分，去掉最高分与最低分，剩下的分数相加后乘以难度分，即可得出最终得分.下列说法正确的是()去掉最高分与最低分前后，两组数据的中位数不变A.去掉最高分与最低分前后，两组数据的方差不变B.去掉最高分与最低分前后，两组数据的平均数不变C.去掉最高分与最低分前后，两组数据的众数不变D.8.若函数f (x )=e ·a x −a a +1·x a +1(a >0)在(0,+∞)上单调递增，则a 的值为()1A.1e B.e C.e 2D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √4答案：B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。

A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A3. 一个等差数列的前三项分别为1, 4, 7，求第四项的值。

A. 10B. 11C. 13D. 15答案：A4. 计算复数z = 1 + i的模。

A. √2B. 2C. 1D. √3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等比数列的公比为2，首项为1，求第5项的值。

答案：326. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的点积。

答案：-67. 计算函数y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x = 2处的导数值。

答案：18. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标。

答案：(2, 3)三、解答题（每题10分，共60分）9. 求证：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

证明：设n = 3k, 3k + 1, 3k + 2，其中k为整数。

当n = 3k时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 9k + 2 = 3(3k^2 + 3k + 1)，能被3整除。

当n = 3k + 1时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 9k + 3 + 2 =3(3k^2 + 5k + 2)，能被3整除。

当n = 3k + 2时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 12k + 4 + 9k + 6 + 2 = 3(3k^2 + 7k + 4)，能被3整除。

因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)的单调区间。

解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

1 高中青年教师解题比赛试卷一、选择题：1、下列各式中正确的是（ ）A 、0=φB 、φ={}0C 、∈0φD 、φ{}0⊆2、若x sin >tgx >ctgx ，（2π-<x <2π）。

则∈x （ ） A 、)4,2(ππ-- B 、)0,4(π- C 、)4,0(π D 、)2,4(ππ 3、已知极坐标系中的两点)8,1(πP ，)83,2(πQ ，则直线PQ 与极轴所在直线的夹角是（ ） A 、3π B 、4π C 、2π D 、83π 4、n x )2(- 的展开式中，第二项与第四项的系数之比为2:1，则2x 项的系数是（ ）A 、220B 、220-C 、12D 、12-5、各项都是正数的等比数列}{n a 的公比1≠q ，且653,,a a a 成等差数列，则6453a a a a ++ 的值为：（ ） A 、215+ B 、215- C 、21 D 、2 6、已知)(x f 是周期为T （T >0）的周期函数，则)12(+x f 是（ ）A 、周期为T 的周期函数B 、周期为2T 的周期函数C 、周期为2T 的周期函数 D 、不是周期函数 7、将函数x x f y sin )(⋅=的图象向右平移4π个单位后再作关于x 轴对称的曲线，得到 函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 是（ ）A 、x cosB 、2x cosC 、x sinD 、x sin 28、四边形ABCD 中，,1====BD CD BC AB 则成为空间四面体时，AC 的取值范围是（ ）A 、（0，1）B 、（1，2 ）C 、[1，2]D 、（0，2）9、定义在R 上的奇函数)(x f 为减函数，设b a +≤0，给出下列不等式：（1）)()(a f a f -⋅≤0；（2）)()(b f b f -⋅≥0；（3）)()(b f a f +≤)()(b f a f -+-；（4）)()(b f a f +≥)()(b f a f -+-其中成立的是（ ） A 、（1）和（3）； B 、（2）和（3）； C 、（1）和（4）； D 、（2）和（4） 10、移动通讯公司对“全球通”手机用户收取电话费标准是月租50元+通话费，其中 通话费按每分钟4.0元2 计算。

高中数学竞赛赛题精选一、选择题（共12题）1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（）Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a-的最大值是（ ）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根，则的弧度数为 ( )A ．6B ．12或512C ．6或512D ．12解：由方程有重根，故14=4cos 2－cot =0，∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B ． 8．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，2b 2≤3，b ∈[－62，62]．选A ．9．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，x ∈[2，4)，选C ．10．设点O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53解：如图，设AOC=S ，则OC 1D=3S ，OB 1D=OB 1C 1=3S ，AOB=OBD=1.5S ．OBC=0.5S ，ABC=3S ．选C ．11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，PB ⊥AB ，AB ⊥面POB ，面PAB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，OH ⊥面PAB ，OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，PC ⊥面OCH ．PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=PO tan30=263．又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，S B 11OABCABPO H C而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=，则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2，V B －PCO =124R 3sin2． PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2．V O －PHC =sin23+cos2112R 3． ∴ 令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos =33， ∴ OB=263，选D ．二、填空题（共10题）13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.15．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-， ．解： 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．16．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．17．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 ． 解：22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 ． 解：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．解：设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1)，ky)，（λ=k1）。

广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题第一部分选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请将答案代号填在答题卷的相应位置上．1．已知点A（－1，0）、B（1，3），向量，若，则实数k的值为A．－2 B．－1 C．1 D．22．设，，，则下列关系中正确的是A． B．C． D．3．已知圆被直线所截得的弦长为，则实数a的值为A．0或4 B．1或3C．－2或6 D．－1或34．已知为平面，命题p：若，则；命题q：若上不共线的三点到的距离相等，则．对以上两个命题，下列结论中正确的是A．命题“p且q”为真B．命题“p或”为假C．命题“p或q”为假D．命题“”且“”为假5．设，且，则等于A．B．C．D．6．椭圆的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是A．B．C． D．7．已知函数的大致图像如图所示，则函数的解析式应为A．B．C． D．8．设x，y满足约束条件则的取值范围为A．B．C．D．9．如图，所在的平面和四边形所在的平面互相垂直，且，，，，若，则点在平面内的轨迹是A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分10．已知满足方程，则的最大值是A．4B．2C．D．第二部分非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请将答案填在答题卷的相应位置上．11．等差数列有如下性质：若是等差数列，则数列也是等差数列．类比上述性质，相应地，若是正项等比数列，则数列_______________也是等比数列．12．已知集合，，若，则m所能取的一切值构成的集合为．13．在△ABC中，若，则_____________．14．在四面体ABCD中，已知AB＝CD＝5，AC＝BD＝5，AD＝BC＝6．则四面体ABCD的体积为；四面体ABCD外接球的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.15．（本小题满分12分）已知向量，，函数．（Ⅰ）求函数的最小值以及取得最小值时的值；（Ⅱ）求函数的单调递增区间．16．（本小题满分12分）箱中装有12张大小、重量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到12中的一个号码，正面号码为的卡片反面标的数字是．（卡片正反面用颜色区分）（Ⅰ）如果任意取出一张卡片，试求正面数字不大于反面数字的概率；（Ⅱ）如果同时取出两张卡片，试求他们反面数字相同的概率．17．（本小题满分14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，又P A⊥平面ABCD，P A＝4．（Ⅰ）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围；（Ⅱ）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值．。

高中青年教师教学基本功竞赛数学试卷及参考答案江苏省兴化市周庄高级中学教育教学研究室江苏省兴化市教育局教研室数学试卷(考试时间为150分钟，满分150分．)本卷由三部分组成；解题研究；试题命制；教学设计．1．解题研究本题满分40分(问题1为必答题，问题2、问题3两题任选一题做答，每题满分20分)．1．1．错因分析学生在学习中，总会产生错误，错误往往是正确认知的前兆，这正是失败乃成功之母，所以教师要珍视学生学习中的错误，并以此为契机，培养学生的批判性思维，发展思维能力．写出学生解决下面问题有可能出现的典型错误，并分析产生错误的根本原因(至少分析两个典型错误)，最后请您给出本题的正确解答．问题1：求函数y＝sin（-3x+π/4）(x∈的单调递减区间．1．2．总结策略教学目的之一是为了让学生掌握思考问题和解决问题的方法，当学生面临一个新的情境下的问题时总要联想，把以往获得的方法再加工迁移到新的问题上，因此有教育家提出了为“迁移而教”的口号，为了实现“迁移”就必须对学习加以总结概括，总结概括得越精当，越有利于“迁移”的产生，从而能够迅速地解决新问题．解下列问题，完成后请您总结解决该类“恒成立”问题的解题策略．问题2：已知c>0，设P：函数y=Cx在R上单调递减；Q：不等式x+∣x-2c∣>1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求C的取值范围。

1．3 探究拓展著名数学家、教育家波利亚说过，解题就像采蘑菇一样，当我们发现一个蘑菇时，它的周围可能有一个蘑菇圈．在解题中，当您解完了一道题，可以借助如，类比，(1)类比推理：根据两种事物在某些方面属性的相似，推想此两种事物在其他一些方面的属性也相似；(2)方法类比：将处理某种事物卓有成效的经验或方法移植到处理与其相似的另一事物上，以及其他一些科学思维策略和数学思想方法，对问题进行探索与拓展，从而解决一类问题，发展思维能力。

完成下面一道题后，根据探索的要求进行探索与拓展。

2014年广州市高中数学教师解题比赛决 赛 试 题（2014年4月13日上午9∶00－11∶00）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请将答案代号填在答题卷的相应位置上．1．设集合{},,M a b c =，{}0,1N =，映射f ：M N →满足()()()f a f b f c +=，则映射f ：M N →的个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．直角梯形ABCD 中，AB DC ，2AB CD =，45A ∠=，2AD =.以直线AB 为轴将梯形ABCD 旋转一周所得旋转体的体积为A ．π328 B ．π34 C ．π3210D ．π243．已知()f x 是奇函数，定义域为{},0x x x ∈≠R ，又()f x 在区间()0,+∞上是增函数，且()10f -=，则满足()f x 0>的x 的取值范围是 A ．()1,+∞B ．()()1,01,-+∞ C ．()0,1 D ．()(),11,-∞-+∞4．已知虚数z =()2i x y -+，其中x 、y 均为实数，当1z =时，yx的取值范围是 A．⎡⎢⎣⎦B．30,⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪⎣⎭⎝⎦C ．⎡⎣D ．)(0,3⎡⎤⎣⎦5．设()2f x x ax b =++，且()112f ≤-≤，()214f ≤≤，则点(),a b 在aOb （O 为坐标原点）平面上的区域的面积是 A ．12 B ．1 C ．2 D ．926．已知向量()2,1=，()1,7=， ()5,1=，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么⋅的最小值是A ．－16B ．－8C ．0D ．47．等比数列{}n a 的公比为q ，则“10a >，且1q >”是“∀*n ∈N ，都有1n n a a +>”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件CDBA8．若不论k 为何值，直线2y kx b k =+-与曲线221x y -=总有公共点，则b 的取值范围是A ．(B ．⎡⎣C ．()2,2-D ．[]2,2-9．已知集合A 、B 、C ，{}直线=A ，{}平面=B ，B A C =，若A a ∈，B b ∈，C c ∈，给出四个命题: ①c a bc b a //⇒⎩⎨⎧⊥⊥；②c a bc b a ⊥⇒⎩⎨⎧⊥//；③c a bc b a //////⇒⎩⎨⎧；④c a bc b a ⊥⇒⎩⎨⎧⊥//，则正确命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．310．在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛（每两队之间赛两场），已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.积分多的前两名可出线（积分相等则要比净胜球数或进球总数）.赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为A ．22B ．23C ．24D ．25二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填在答题卷的相应位置上． 11．已知x 是三角形的一个内角，满足231cos sin -=+x x ，则x = * ． 12．已知正三棱锥S ABC -的高为3，底面边长为4，在正三棱锥内任取一点P ，使得P ABC V -12S ABC V -<的概率是 * ．13．对于正整数n 和m ，其中n m <，定义!()(2)(3)()m n n m n m n m n km =----…，其中k 是满足km n >的最大整数，则=!20!1864 * ． 14．有两个向量1(1,0)=e ，2(0,1)=e ，今有动点P ，从0(1,2)P -开始沿着与向量12+e e 相同的方向作匀速直线运动，速度为12+e e ；另一动点Q ，从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232+e e 相同的方向作匀速直线运动，速度为1232+e e ．设P 、Q 在时刻0t =秒时分别在0P 、0Q 处，则当00PQ P Q ⊥时，t = * 秒． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 15．（本小题满分12分）若函数21()sin sin cos (0)2f x ax ax ax a =-->的图象与直线y m =相切，若函数()f x 图象的两条相邻对称轴间的距离为4π． （1）求m 的值；（2）若点()0,0A x y 是()y f x =图象的对称中心，且00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求点A 的坐标．一个口袋中装有n 个红球（5n ≥且n ∈*N ）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（1）试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；（2）若5n =，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ，当n 取多少时，P 最大？ 17．（本小题满分14分）如图所示，正四棱锥P ABCD -中，侧棱PA 与底面ABCD 所成角的正切值为26. （1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的大小；（2）若E 是PB 中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；（3）在侧面PAD 上寻找一点F ，使EF ⊥侧面PBC . 试确定F 点的位置，并加以证明.18．（本小题满分14分）这是一个计算机程序的操作说明：（1）初始值1x =，1y =，0z =，0n =； （2）1n n =+（将当前1n +的值赋予新的n ）； （3）2x x =+（将当前2x +的值赋予新的x ）； （4）2y y =（将当前2y 的值赋予新的y ）； （5）z z xy =+（将当前z xy +的值赋予新的z ）；（6）如果7000z >，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行； （7）打印n ，z ； （8）程序终止.由语句（7）打印出的数值为 ， . 以下写出计算过程：P DEACB如图，已知过点D (2,0)-的直线l 与椭圆2212x y +=交于不同的两点A 、B ，点M 是弦AB 的中点． （1）若OP OA OB =+，求点P 的轨迹方程；（2）求||||MD MA 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知函数()e x f x x =-（e 为自然对数的底数）． （1）求()f x 的最小值；（2）设不等式()f ax x >的解集为P ，且{}|02P x x ⊆≤≤，求实数a 的取值范围；（3）设n *∈N ，证明：1e e 1nnk k n =⎛⎫<⎪-⎝⎭∑．2014年广州市高中数学教师解题比赛决赛试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11.56π 12.7813.21514. 2三、解答题，本大题共6小题，满分80分． 15．（本小题满分12分） 解：（1）2()sin sin cos f x ax ax ax =-12-1cos21sin 222ax ax -=-12-24ax π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由题意知，m 为()f x 的最大值或最小值， 所以m =或m =. （2）由题设知，函数()f x 的周期为2π， 所以2a =． 所以()sin 44f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令sin 404x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得44x k ππ+=()k ∈Z ，即416k x ππ=-()k ∈Z ． 因为04162k πππ≤-≤()k ∈Z ， 得1k =或2k =，因此点A 的坐标为3,016π⎛⎫ ⎪⎝⎭或7,016π⎛⎫⎪⎝⎭.16．（本小题满分12分）解：（1）一次摸奖从5n +个球中任选两个，有25n C +种，它们等可能，其中两球不同色有115n C C 种，所以一次摸奖中奖的概率1152510(5)(4)n n C C np C n n +==++．（2）若5n =，一次摸奖中奖的概率59p =， 三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是123380(1)(1)243P C p p =⋅⋅-=． （3）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为123233(1)(1)363P P C p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<， 因为2'91233(1)(31)P p p p p =-+=--，所以在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上P 为增函数，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上P 为减函数，当13p =时P 取得最大值． 所以101(5)(4)3n p n n ==++，解得20n =．故当20n =时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大． 17．（本小题满分14分）（1）解：连结AC ，BD 交于O ，连结PO .因为P —ABCD 为正四棱锥，所以PO ⊥底面ABCD .作PM ⊥AD 于M ，连结OM ， 所以OM ⊥AD .所以∠PMO 为侧面P AD 与底面ABCD 所成二面角的平 面角.因为PO ⊥底面ABCD ，所以∠P AO 为P A 与底面ABCD 所成的角.所以tan PAO ∠=． 设AB a =，所以,.2a AO MO ==所以.PO =所以tan POPMO MO∠==60PMO ∠=︒．所以侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为60°.（2）解：连结EO ，因为E 为PB 的中点，O 为BD 的中点，所以EO ∥PD .所以∠AEO 为异面直线AE 与PD 所成的角．在Rt ,,PAO AO PO ∆==中，所以PA =，12EO PD ==．由AO ⊥截面PDB ，可知AO ⊥EO . 在Rt △AOE中，tan AO AEO EO ∠==即异面直线AE 与PD 所成角的正切值是1052．（3）证明：延长MO 交BC 于N ，连结PN ，取PN 中点G ，连结EG ，MG .因为P —ABCD 为正四棱锥且M 为AD 的中点，所以N 为BC 中点. 所以BC ⊥NM ，BC ⊥PN .因为NM PN N =，所以BC ⊥平面PMN .因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PMN ⊥平面PBC .因为PM =PN ，∠PMN =60°，所以△PMN 为正三角形. 所以MG ⊥PN . 所以MG ⊥平面PBC . （苏元高考吧： ） 取AM 中点为F ，连结FE ，则由EG ∥MF 且GE =MF ，得到MFEG 为平行四边形， 所以FE ∥MG .所以FE ⊥平面PBC .分 18．（本小题满分14分）解：设n i =时，x ，y ，z 的值分别为i x ，i y ，i z .依题意，01x =，12n n x x -=+， 所以{}n x 是等差数列，且21n x n =+. 因为011,2.n n y y y -==所以{}n y 是等比数列，且n n y 2=． 因为n n n n y x z z z +==-10,0， 所以1122n n n z x y x y x y =++⋅⋅⋅+即n z 23325272(21)2nn =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅． ① 所以23412325272(21)2(21)2n n n z n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅． ② ①—②得，1322)12(22222223+⋅++⋅-⋅⋅⋅-⋅-⋅-⋅-=n nn n z()12122n n +=-+．依题意，程序终止时：7000n z >，17000n z -≤，即()()121227000,23227000.n nn n +⎧-+>⎪⎨-+≤⎪⎩ 解得8n =，进而7682z =．19．（本小题满分14分）解法1：（1）①若直线l ∥x 轴，则点P 为(0,0)．②设直线():2l y k x =+，并设点,,,A B M P 的坐标分别是112200(,),(,),(,),(,)A x y B x y M x y P x y ， 由()222,22y k x x y ⎧=+⎨+=⎩消去x ，得 ()2222(21)82410k y k x k +++-=， （*）由直线l 与椭圆有两个不同的交点，可得()()222288(21)410k k k ∆=-+->，所以212k <． （苏元高考吧： ） 由OP OA OB =+及方程（*），得2122821k x x x k =+=-+，()()1212242221ky y y k x k x k =+=+++=+，即2228,214.21k x k k y k ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩消去k ，并整理得，22240x y x ++=（20)x -<<．综上所述，点P 的轨迹方程为22240x y x ++=（20)x -<≤．（2）①当l ∥x 轴时，,A B 分别是椭圆长轴的两个端点，则点M 在原点O 处，所以，||2,||MD MA =||||MD MA = ②由方程（*），得212022,221x x k x k +==-+所以，0|||D MD x x =-=01|||MA x x=-==所以||||MDMA=因为212k<()0,1，所以)||||MDMA∈+∞．综上所述，)||||MDMA∈+∞．解法2：（1）①若直线l∥x轴，则点P为(0,0)．②设直线:2l x my=-，并设点,,,A B M P的坐标分别是112200(,),(,),(,),(,)A x yB x y M x y P x y，由222,22x myx y=-⎧⎨+=⎩消去x，得22(2)420m y my+-+=，（*）由直线l与椭圆有两个不同的交点，可得22(4)8(2)0m m∆=--+>，即28(2)0m->，所以22m>．由OP OA OB=+及方程（*），得12242my y ym=+=+，121228(2)(2)2x x x my mym=+=-+-=-+，即228,24.2xmmym⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩由于0m≠（否则，直线l与椭圆无公共点），消去m，并整理得，22240x y x++=（20)x-<<．综上所述，点P的轨迹方程为22240x y x++=（20)x-<≤．（2）①当l∥x轴时，,A B分别是椭圆长轴的两个端点，则点M在原点O处，所以，||2,||MDMA=||||MDMA=②由方程（*），得12022,22y y mym+==+所以，0|||D MD y y =-=01|||MA y y =-==，所以||||MD MA ==因为22m >(0,1)，所以)||||MD MA ∈+∞．综上所述，)||||MD MA ∈+∞． 20．（本小题满分14分）（1）解：因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-．令()0f x '=，得0x =．所以当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<．所以函数()x f x e x =-在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增． 所以当0x =时，()f x 有最小值1．（2）解：因为不等式()f x ax >的解集为P ，且{}|02P x x ⊆≤≤，所以对任意[]0,2x ∈，不等式()f x ax >恒成立．由()f x ax >，得()1e xa x +<，（苏元高考吧： ）当0x =时，上述不等式显然成了，所以只需考虑(]0,2x ∈的情况．将()1e xa x +<变形为e 1xa x<-． 令()e 1xg x x =-，则()()21e xx -g x x '=．当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<， 所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递增．广州市高中数学教师解题比赛试题参考答案 第11页（共7页） 所以当1x =时，函数()g x 取得最小值e 1-．故实数a 的取值范围为(),e 1-∞-．（3）证明：由（1）知，对任意实数x 均有1x e x -≥，即1xx e +≤． 令k x n=-（*,1,2,,1n k n ∈=-N ），则01k n k e n -<-≤， 所以1(1,2,,1)n n k k n k e e k n n --⎛⎫⎛⎫-≤==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 即(1,2,,1)n k n k e k n n --⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭． 所以(1)(2)211211n n n n n n n n e e e e n n n n -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 因为(1)(2)2111111111n n n e e e e e e e e e ----------+++++=<=---， 所以 1211n n n nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．。

高中数学教师解题比赛试题时量：120分钟 满分：150分注意: 1.本次考试允许使用各型计算器.2.若认为试题少了条件,请自行补充.若认为试题有误,可自行修改.不必要的修改为错解.填空题(每题7分,共56分)：．求和：1×21+2×22+3×23+…+n ×2n (n ∈N,n ≥5)=______________。

．已知三角形ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，则cosB 的范围是______________。

． 已知x 2+xy+y 2=3，则x 2+y 2的范围是______________。

．函数f(x)=3,.x x R ∈请给出它的单调递增区间:______________ 。

．已知函数f （x ）满足以下条件：在定义域R 上连续，图象关于原点对称，值域为 -1，1）。

请给出一个这样的函数：______________。

．已知点O 在△ABC 内部，且有24OA OB OC ++=0，则△OAB 与△OBC 的面积之比为。

．已知四面体ABCD 的五条棱长为2，一条棱长为1，那么它的外接球半径为________。

．从1到10的十个整数中任选三个,使它们的和能被3整除,这样的选法共有__________种。

解答题(每题20分,共80分)： ．设是x 1,x 2,x 3,…,x n 是非负实数，且112nk k x =<∑， n ∈N,n ≥5.求证：121(1)(1)(1)2n x x x --⋅⋅⋅->。

10．有人玩掷硬币走跳棋的游戏.已知硬币出现正面和反面的概率都是0.5,棋盘上标有第0站,第1站,第2站,…,第20站.一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若掷出正面,棋子向前跳一站,若掷出反面,则棋子向前跳两站,直到棋子跳到第19站(胜利之门)或第20站(失败之门)时,该游戏结束.求玩该游戏获胜(即进入胜利之门)的概率.11．已知在一个U形连通管内始终保持着4升的液体（当一端注入液体时，另一端将同时排出同样体积的液体），原来全是A液体。

ABCD 兴化市高中数学青年教师解题比赛试卷(考试时间：150分钟 满分：160分) 2011年9月25日一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在各题的相应的横线上．1．若ABC ∆的内角,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B 的值为 ． 2．已知()y f x =是定义在R 上的函数，且(2)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =图象关于直线 对称．3．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若3620a a +=，则63S S 的值是 ． 4．若函数()2x x f x e e -=+定义域是[0,1]，则函数()f x 的值域是 ． 5．设2121221021)1(x a x a x a a x ++++=- ，则a a 1011+的值为 ． 6．已知x 是实数且2,3x ≠．若11min{,}|2||3|S x x =--，那么max S = ．7．设123,,,,nA A A A⋅⋅⋅是空间中给定的(3)n n ≥个不同的点，则使1230n MA MA MA MA +++⋅⋅⋅+=成立的点M 的个数为 ．8．如图，直线MN 过ABC ∆的重心G ，且,AM mAB AN nAC ==（其中0,0m n >>)，则mn 的最小值是 ．(第8题图) (第9题图)9．如图，在四面体D ABC -中，DA ⊥面ABC ，AB BC ⊥，1DA AB BC ===，则四面体D ABC -的外接球的表面积为 ．Read xIf x >0 Then2011y x ←+Else2011y x ←-End If Print y (第11题图)10．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率为 ．11．如图，是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数列12010n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(*)n N ∈ 中的前10000项，则输出y 值中的最小值为 ．12．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，过坐标原点的直线交椭圆于A P ,两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，若 PB PA ⊥，则椭圆的离心率为__ ．13．设函数32()23(1)61f x x a x ax =-+++，当[]1,3x ∈时，()f x 的最小值为5，则实数a 的值 ．14．设正实数,,x y z 满足21x y z ++=，则19()x yx y y z++++的最小值为 ．DC 1A 1B 1CBA二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,2B C b ==．（1）求cos A 的值；（2）求cos(2)4A π+的值．16．（本小题满分14分）如图,在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ,,⊥AB BC D 为AC 的中点，12A A AB ==,3BC =.（1）求证：1//AB 平面1BC D ； （2求四棱锥11-B AAC D 的体积．17．（本小题满分14分）如图，点A （非顶点）为抛物线),0(22>=p px y 上任一点，F 是抛物线的焦点．求作抛物线在点A 处的切线，并证明．18．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项为1，记1212()k nn n k n n nf n a C a C a C a C =+++++ ()n N +∈. （1）若{}n a 为常数列，求(4)f 的值；（2）若{}n a 为公比为2的等比数列，求()f n 的解析式；（3）数列{}n a 能否成等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n N +∈都成立?若能，求出数列{}n a 的通项公式；若不能，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知Ra∈，函数axxxf-=)(，（1）当a=2时，写出函数)(xfy=的单调递增区间；（2）求函数)(xfy=在区间[]2,1上的最小值；（3）设0≠a，函数)(xf在),(nm上既有最大值又有最小值，请分别求出nm、的取值范围（用a表示）．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈）， 将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c ．（1）求1234,,,c c c c ；（2）求证：在数列{}n c 中．但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ； （3）求数列{}n c 的通项公式．EODC 1A 1B 1CBA兴化市高中数学青年教师解题比赛参考答案1．1116； 2．1x =； 3．12； 4．2]e e+； 5．0； 6．2； 7．1； 8．49； 9．3π； 10．25； 11．2011； 12； 13．2； 14．7．15．解：（1）由,2B C b ==，可得2c b a ==，所以222222331cos 23a a a b c a A bc +-+-===．（2）因为1cos ,(0,)3A A π=∈，所以sin 3A ==27cos 22cos 19A A =-=-，sin 22sin cos 9A A A ==所以7cos 2cos 2cos sin 2sin 4449292A A A πππ⎛⎫⎛⎫+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 16．（1）证明:连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD , ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点. ∵D 为AC 的中点， ∴OD 为△1ABC 的中位线, ∴ 1//OD AB . ∵OD ⊂平面1BC D ,1⊄AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D .（2）解法1：∵1⊥AA 平面ABC ,1AA ⊂平面11AAC C ,EODC 1A 1B 1CBA∴ 平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC 平面11AAC C AC =. 作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C ， ∵12AB BB ==，3BC =， 在Rt ABC ∆中，AC ===AB BC BE AC ⋅==， ∴四棱锥11-B AAC D 的体积()1111132V AC AD AA BE =⨯+⋅⋅126=3=. ∴四棱锥11-B AAC D 的体积为3.解法2：1⊥AA 平面ABC ,AB ⊂平面ABC ，∴1⊥AA AB . ∵11//BB AA , ∴1BB ⊥AB .∵1,AB BC BC BB B ⊥= ， ∴AB ⊥平面11BB C C .取BC 的中点E ,连接DE ,则1//,2DE AB DE AB =， ∴DE ⊥平面11BB C C . 三棱柱111-ABC A B C 的体积为1162V AB BC AA =⋅⋅⋅=， 则1111111326D BC C V BC CC DE V -=⨯⋅⋅⋅==，111111111112323A BBC V B C BB A B V -=⨯⋅⋅⋅==. 而V =1D BCC V -+111A BB C V -+11B AA C D V -,∴6=12+11B AAC DV -+. ∴113B AA C D V -=. ∴四棱锥11-B AAC D 的体积为3.17．解：作法一：以抛物线的焦点F 为圆心，以|F A |为半径画弧与抛物线的对称轴交于一点B ，且点B 在顶点O 的左侧，则直线AB 就是抛物线在点A 处的切线．证明：抛物线的焦点F 的坐标为（0,2），设A （00,y x ），则|F A|=20px +，从而B （0,0x -），故过点A 、B 的直线方程为)(200x x x y y +=（*） 利用方程0202px y =将方程（*）整理得00()y y p x x ⋅=+，此方程即为抛物线在点A 处的切线点方程．作法二：过A 作y 轴垂线，交y 轴于D 点，在x 轴上截取BO DA =，且点B 在顶点O 的左侧，连BA ，则直线BA 为所求作的切线．证明同上．18．解:（1）∵{}n a 为常数列，∴1n a =()n N +∈.∴12344444(4)15f C C C C =+++=.（2）∵{}n a 为公比为2的等比数列，∴12n n a -=()n N +∈.∴1231()242n n n n n nf n C C C C -=++++ ， ∴1223312()12222n n n n n nf n C C C C +=+++++ ，(12)3nn+=， 故31()2n f n -=.（3）假设数列{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n N +∈都成立，设公差为d ，则121121()kn nn n k n n nn nf n a C a C a C a C a C --=++++++ ， 且121121()n n k n n n n k n n nf n a C a C a C a C a C --=++++++ ， 相加得 121112()2()()k n n n n n n n f n a a a C C C C --=+++++++ ， ∴12111()()2k n n n n n n n a a f n a C C C C --+=++++++11(22)2nn n a a a -+=+-[]11(1)2(2)(21)n n d n d -=+-++--. ∴[]1()1(2)2(2)2n f n d n d --=-++-(1)2n n =-恒成立， 即02)2)(2()2(1=--+--n n d d n N +∈恒成立，∴2d =.故{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n N +∈都成立，它的通项公式为21n a n =-. （也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分） 19．解：（1）当2=a 时，=-=|2|)(x x x f ⎩⎨⎧<-≥-2),2(2),2(x x x x x x由图象可知，单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）（开区间不扣分）（2）当1<a 时，12,4)2()()(22<--=-=aa a x a x x x f ∴a f x f -==1)1()(min当21≤≤a 时，0||min =-a x ，∴0)(min =x f当2>a 时，（Ⅰ）当32≤<a 时，42)2()(min -==a f x f（Ⅱ）当3>a 时，1)1()(min -==a f x f∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤≤<-=3,132,4221,01,1)(mina a a a a a a x f （3）⎩⎨⎧<-≥-=ax x a x ax a x x x f ),(),()(①当0>a 时，图象如右图所示由⎪⎩⎪⎨⎧-==)(42a x x y a y 得2)12(a x += ∴20am <≤，a n a 212+≤< ②当0<a 时，图象如右图所示由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)(42x a x y a y 得a x 2)21(+= ∴a m a <≤+221， 02≤<n a ．20．解：（1） 12349,11,12,13c c c c ====； （2） ① 任意*n N ∈，设213(21)66327n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即2132n n a b --=．② 假设26627n k a n b k =+==+⇔*132k n N =-∈（矛盾），∴ 2{}n n a b ∉． ∴ 在数列{}n c 中．但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ． （3） 32212(32)763k k b k k a --=-+=+=，3165k b k -=+，266k a k =+，367k b k =+，∵ 63656667k k k k +<+<+<+，∴ 当1k =时，依次有111222334,,,b a c b c a c b c =====，……∴ *63(43)65(42),66(41)67(4)n k n k k n k c k N k n k k n k +=-⎧⎪+=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩．EODC 1A 1B 1CBA兴化市高中数学青年教师解题比赛参考答案1．1116； 2．1x =； 3．12； 4．2]e e+； 5．0； 6．2； 7．1； 8．49； 9．3π； 10．25； 11．2011； 12； 13．2； 14．7．15．解：（1）由,2B C b ==，可得2c b a ==，所以222222331cos 23a a a b c a A bc +-+-===．（2）因为1cos ,(0,)3A A π=∈，所以sin 3A ==27cos 22cos 19A A =-=-，sin 22sin cos 9A A A ==所以7cos 2cos 2cos sin 2sin 4449292A A A πππ⎛⎫⎛⎫+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 16．（1）证明:连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD , ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点. ∵D 为AC 的中点， ∴OD 为△1ABC 的中位线, ∴ 1//OD AB . ∵OD ⊂平面1BC D ,1⊄AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D .（2）解法1：∵1⊥AA 平面ABC ,1AA ⊂平面11AAC C ,EODC 1A 1B 1CBA∴ 平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC 平面11AAC C AC =. 作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C ， ∵12AB BB ==，3BC =， 在Rt ABC ∆中，AC ===AB BC BE AC ⋅==， ∴四棱锥11-B AAC D 的体积()1111132V AC AD AA BE =⨯+⋅⋅126=3=. ∴四棱锥11-B AAC D 的体积为3.解法2：1⊥AA 平面ABC ,AB ⊂平面ABC ，∴1⊥AA AB . ∵11//BB AA , ∴1BB ⊥AB .∵1,AB BC BC BB B ⊥= ， ∴AB ⊥平面11BB C C .取BC 的中点E ,连接DE ,则1//,2DE AB DE AB =， ∴DE ⊥平面11BB C C . 三棱柱111-ABC A B C 的体积为1162V AB BC AA =⋅⋅⋅=， 则1111111326D BC C V BC CC DE V -=⨯⋅⋅⋅==，111111111112323A BBC V B C BB A B V -=⨯⋅⋅⋅==. 而V =1D BCC V -+111A BB C V -+11B AA C D V -,∴6=12+11B AAC DV -+. ∴113B AA C D V -=. ∴四棱锥11-B AAC D 的体积为3.17．解：作法一：以抛物线的焦点F 为圆心，以|F A |为半径画弧与抛物线的对称轴交于一点B ，且点B 在顶点O 的左侧，则直线AB 就是抛物线在点A 处的切线．证明：抛物线的焦点F 的坐标为（0,2），设A （00,y x ），则|F A|=20px +，从而B （0,0x -），故过点A 、B 的直线方程为)(200x x x y y +=（*） 利用方程0202px y =将方程（*）整理得00()y y p x x ⋅=+，此方程即为抛物线在点A 处的切线点方程．作法二：过A 作y 轴垂线，交y 轴于D 点，在x 轴上截取BO DA =，且点B 在顶点O 的左侧，连BA ，则直线BA 为所求作的切线．证明同上．18．解:（1）∵{}n a 为常数列，∴1n a =()n N +∈.∴12344444(4)15f C C C C =+++=.（2）∵{}n a 为公比为2的等比数列，∴12n n a -=()n N +∈.∴1231()242n n n n n nf n C C C C -=++++ ， ∴1223312()12222n n n n n nf n C C C C +=+++++ ，(12)3nn+=， 故31()2n f n -=.（3）假设数列{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n N +∈都成立，设公差为d ，则121121()kn nn n k n n nn nf n a C a C a C a C a C --=++++++ ， 且121121()n n k n n n n k n n nf n a C a C a C a C a C --=++++++ ， 相加得 121112()2()()k n n n n n n n f n a a a C C C C --=+++++++ ， ∴12111()()2k n n n n n n n a a f n a C C C C --+=++++++11(22)2nn n a a a -+=+-[]11(1)2(2)(21)n n d n d -=+-++--. ∴[]1()1(2)2(2)2n f n d n d --=-++-(1)2n n =-恒成立， 即02)2)(2()2(1=--+--n n d d n N +∈恒成立，∴2d =.故{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n N +∈都成立，它的通项公式为21n a n =-. （也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分） 19．解：（1）当2=a 时，=-=|2|)(x x x f ⎩⎨⎧<-≥-2),2(2),2(x x x x x x由图象可知，单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）（开区间不扣分）（2）当1<a 时，12,4)2()()(22<--=-=aa a x a x x x f ∴a f x f -==1)1()(min当21≤≤a 时，0||min =-a x ，∴0)(min =x f当2>a 时，（Ⅰ）当32≤<a 时，42)2()(min -==a f x f（Ⅱ）当3>a 时，1)1()(min -==a f x f∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤≤<-=3,132,4221,01,1)(mina a a a a a a x f （3）⎩⎨⎧<-≥-=ax x a x ax a x x x f ),(),()(①当0>a 时，图象如右图所示由⎪⎩⎪⎨⎧-==)(42a x x y a y 得2)12(a x += ∴20am <≤，a n a 212+≤< ②当0<a 时，图象如右图所示由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)(42x a x y a y 得a x 2)21(+= ∴a m a <≤+221， 02≤<n a ．20．解：（1） 12349,11,12,13c c c c ====； （2） ① 任意*n N ∈，设213(21)66327n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即2132n n a b --=．② 假设26627n k a n b k =+==+⇔*132k n N =-∈（矛盾），∴ 2{}n n a b ∉． ∴ 在数列{}n c 中．但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ． （3） 32212(32)763k k b k k a --=-+=+=，3165k b k -=+，266k a k =+，367k b k =+，∵ 63656667k k k k +<+<+<+，∴ 当1k =时，依次有111222334,,,b a c b c a c b c =====，……∴ *63(43)65(42),66(41)67(4)n k n k k n k c k N k n k k n k +=-⎧⎪+=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩．。

2008年江苏省淮安市楚州区高中数学青年教师解题能力大赛试题（本试卷共20小题，满分100分，时间100分钟）一.填空题:本大题共14个小题,每小题3分,共42分,将答案填在题中的横线上.1．已知][,x R x ∈表示不大于x 的最大整数，如,0]21[,1]21[,3][=-=-=π则使3]1[-=-x 成立的x 的取值范围是 .2．已知(,)2παπ∈,3sin 5α=，则tan （4πα+）等于 。

3．在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为 。

4．已知向量a =(1，3)，b ＝(2，1)，若(a +2b )与(3a +λb )平行，则实数λ的值等于5．已知命题p ：|23|1x ->，命题q ：212log (5)0x x +-<，则p ⌝是q ⌝的_______条件．6. 如下图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为______7．右图给出的是计算1111246100++++值的一个程序 框图，其中判断框中应该填的条件是 ．8. 公差不为零的等差数列}{n a 中，有02211273=+-a a a ，数列}{n b 是等比数列，且8677,b b a b 则== .9.已知⎩⎨⎧≥〈-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式2)(≤+x x xf 的解集是 。

10、已知数列{}n a满足：*110,()n a a n N +==∈，则20a = ；（第7题）11. 某公司一年需购买某种货物100吨，每次都购买x 吨，运费为a 万元/次，一年的总存储费用为ax 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨.12. 以下四个关于圆锥曲线的命题中①过圆内一点（非圆心）作圆的动弦AB ，则AB 中点的轨迹为椭圆；②设A 、B 为两个定点，若||||2PA PB -=，则动点P 的轨迹为双曲线的一支；③方程2410x x -+=的两个根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④无论方程22152x y k k +=+-表示的是椭圆还是双曲线，它们都有相同的焦点. 其中真命题的序号为 . （写出所有真命题的序号）.13、设,,x y z 是空间中不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，则下列结论中能保证“若x z ⊥，且y z ⊥，则//x y ”为真命题的是 （把你认为正确的结论的代号都填上）；①x 为直线，y 、z 为平面，②x 、y 、z 为平面，③x 、y 为直线，z 为平面，④x 、y 为平面，z 为直线，⑤x 、y 、z 为直线。

高中数学青年教师解题比赛试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin β-α+β+α=βα l c c S )'(21+=台侧其中'c 、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos β-α-β+α=βα 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长)]cos()[cos(21cos cos β-α+β+α=βα 球体的体积公式 334R V π=球)]cos()[cos(1sin sin β-α-β+α-=βα 其中R 表示球的半径一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，1．若3)sin(=+πα，则)2cos(α-的值等于 （A ）31 （B ）31- （C ）322 （D ）-3222．若函数y=f （x ）的反函数的图象经过点)1,2(-，则此函数可能是x y D y C y B x y A x x 2log )(2)()21()(21)(-===-=3．双曲线116922=-y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于 (A)3 (B)3 (C) 4 (D) 24．圆台母线与底面成450角，侧面积为π23，则它的轴截面面积是（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）23 5．若{a n }是无穷等比数列，且a 1＋a 2＋a 3=43, a 2＋a 3＋a 4=－83，则此数列所有项的和为（A ）31（B ）32 （C ）1 （D ）34 6．设函数|log |)(x x f a =（10<<a ），则下列各式中成立的是)2()31(41()()41()2()31()()31()2()41()(41()31()2()(f f f D f f f C f f f B f f f A >>>>>>>>7．如图，点P 是正方形ABCD 所在的平面外一点，AD PD ABCD PD =⊥,平面，则PA 与BD 所成角的度数为 （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°8．过圆）（4cos2πθρ-=的圆心，且与极轴所在直线垂直的直线方程为22sin 22cos -=-=θρθρ）（）（B A 22sin 22cos ==θρθρ）（）（D C 9. 有5个身高均不相同的学生排成一排合影留念，高个子站在中间，从中间到左边一个比一个矮，从中间到右边也是一个比一个矮，则这样的派法有 (A) 6种 （B ）8种 （C ）12种 （D ）16种10. 设点P 在直线1=x 上变化，O 为坐标原点．以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰OPQ Rt ∆，则动点Q 的轨迹是(A)两条平行直线 （B ）一条直线 （C ）抛物线 （D ）圆11．由(3x+32)100展开所得的x 的多项式中,系数为有理数的共有 (A)50项 (B)17项 (C)16项 (D)15项12. 某大学的信息中心A 与大学各部门、各院系B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I 之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示（单位：万元）.请观察图形，可以不建立部分网线，而使得中心与各部门、各院系都能连通（直接或中转），则最小的建网费用是 (A)16万元 （B ）14万元 （C ）13万元 （D ）12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．)13.如果直线b y x =+与圆222=+y x 相切，则实数b 的值为___________；14.已知,52,4321i z i z --=+=则211arg z z i z +-= ；15.已知αγβα(1sin sin sin 222=++、β、γ均为锐角），那么γβαcos cos cos 的最大值等于____________________；16.定义在R 上的偶函数f （x ）满足：)()1(x f x f -=+，且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f （x ）的判断：（1）f （x ）是周期函数；（2）f （x ）的图象关于直线x=1对称；（3）f （x ）在[0，1]上是增函数；（4）f （x ）在[1，2]上是减函数；（5）f （2）=f （0），其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）已知函数3)2(cos 32)2sin()(2-+++=θθx x x f⑴ 求函数)(x f 的周期;⑵ 若πθ≤≤0,求θ,使函数)(x f 为偶函数.18.（本小题满分12分）已知函数)(3)(2a x ax x x f ≠-+=, a 为非零常数，⑴ 解不等式x x f <)(;⑵ 设a x >时，)(x f 的最小值为6,求a 的值.19.（本小题满分12分）如图，三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠APC=600，PA=3，PB=2，ΔPBC 为正三角形（1） 求证：平面PBC ⊥平面ABC ；（2） 求棱PA 与侧面PBC 所成的角；PCBA（3）求点B到侧面PAC的距离.20.（本小题满分12分），0）和B（3，0），动点P到A、B两点的距离差的绝对值为2, 已知点A（3(1)求动点P的轨迹方程;(2)过点C（1，1）能否作直线l，使它与动点P的轨迹交于两点M，N，且点C是线段MN的中点，问这样的直线l是否存在，若存在，求出它的方程，若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）国内某大报纸有如下报道：学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密. 在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案. 一是每年年末加一千；二是每半年结束时加300元. 例如，在第二年的年末，依第一种方案可以加得1000+2000=3000（元）；而第二种方案在第一年加得300+600=900（元），第二年加得900+1200=2100（元），总数也是3000元.⑴ 如果在该公司干十年，问选择第一种还是第二种的方案所加的工资高？高多少？ ⑵ 如果第二种方案中的每半年加300元改为每半年加a 元，问a 为何值时，总是选择第二方案比选择第一方案多加薪？22.（本小题满分14分）已知ax x x f +-=3)(在(0,1)是增函数, (1) 求实数a 的取值范围(2) 当3=a 时,定义数列}{n a 满足)1,0(1∈a ,且)(21n n a f a =+,求证:对一切正整数n 均有)1,0(∈n a .。

武进区高中数学教师解题竞赛试题命题人：于新华一、选择题（每题6分）1、｜x ｜≤2的必要但不充分条件是 （ ）A 、｜x ＋1｜≤3B 、｜x ＋1｜≤2C 、｜x ＋1｜≤1D 、｜x －1｜≤1 2、函数|)1(log |)(21-=x x f 的单调递减区间为 （ ）A 、]2,0(B 、]2,1(C 、]0,1(-D 、),1(∞3、函数xx y 1-=的值域是 （ ） A 、]21,21[-B 、]1,0[C 、]21,0[ D 、],0[+∞ 4、对于不同的r ∈R ，极限nnn r r ||1||lim +∞→ （ ）A 、有唯一确定的值B 、有两个不同的值C 、有三个不同的值D 、有多于三个不同的值 5、若函数p p x x x f +--=22)(在区间[－1,1]内至少存在一个实数m ，使得0)(＞m f ，则实数p 的取值范围是 （A ）0＜p ＜2 B 、－1＜p ＜2 （C ）p ≤－1 （D ）－1＜p ＜0或1＜p ＜26、设)(x f 是（－∞,＋∞）上的奇函数，且)()2(x f x f -=+。

当0≤x ≤1时，x x f =)(，则=)5.23(f （ ）A 、1.5 B 、－1.5 C 、0.5 D 、－0.57、数列{}n a 中，n n n a a a 311+=+，21=a ，则=10a A 、552 B 、192 C 、492 D 、6128、据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3％。

”如果“十·五”期间（2001年～2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内生产年生产总值约为（ ）A 、135000亿元B 、127000亿元C 、120000亿元D 、115000亿元 9、已知两点M （－5,0），N （5,0），给出下列直线方程：① 5x －3y ＝0 ② 5x －3y －30＝0 ③ x －y ＝0 ④ 4x －y ＋5＝0在上述四条直线上，存在点P 满足｜MP ｜＝｜NP ｜＋6的是 （ ）A 、②③B 、②④C 、①③D 、①②③10、如图，向高为H 的水瓶(A)、(B)、(C)、(D)同时以等速注水，注满为止。

高中数学青年教师解题比赛试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．全卷共5页， 满分为150分．考试时间120分钟． 第I 卷（选择题共60分）参考公式：三角函数和差化积公式 正棱台、圆台的侧面积公式 2c o s2s i n2s i n s i n φθφθφθ-+=+ ()l c c S +'=21台侧 其中c '、c 分别表示 2sin2cos2sin sin φθφθφθ-+=- 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长2c o s2c o s2c o s c o s φθφθφθ-+=+ 台体的体积公式：()h S S S S V +'+'=31台体 2sin2sin2cos cos φθφθφθ-+-=- 其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填下表中.区（县级市） 学校 考生号 姓名密 封 线 内 不 要 答 题（1）常数T 满足()x x T cos sin -=+ 和()x x T g ctg t =-,则T 的一个值是（ ）．（A ）π- （B ）π （C ）2π-（D ）2π（2）在等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ,则1092a a - 的值为（ ）．（A ）24 （B ）22 （C ）20 （D ）8-（3）设点P 对应复数是i 33+,以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）．（A）34π⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B）54π⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）53,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）33,4π⎛⎫-⎪⎝⎭（4）设A 、B 是两个非空集合，若规定：{}B x A x x B A ∉∈=-且,则()B A A --等于（ ）．（A ）B （B ）B A （C ）B A （D ）A （5）函数()x f y =的图象与直线1=x 的交点个数为（ ）．（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）0或1（6）设函数()()ϕω+=x A x f sin （其中R x A ∈>>,0,0ω）,则()00=f 是()x f 为奇函数的（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，∠BAC ＝90°，AC BC ⊥1，过1C 作⊥H C 1底面ABC ，垂足为H ，则（ ）．（A ）H 在直线AC 上 （B ）H 在直线AB 上（C ）H 在直线BC 上 （D ）H 在△ABC 内（8）电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超1C 1B 1A AB C过3分钟，以后每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟以1分钟收费.则通话收S （元）与通话时间t （分钟）的函数图象可表示为（ ）．（A ） （B ）（C ） （D ）（9）以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116922=-y x 的渐近线相 切的圆的方程为（ ）．（A ）091022=+-+x y x （B ）091022=--+x y x （C ）091022=-++x y x （D ）091022=+++x y x（10）已知()nx 21+的展开式中所有项系数之和为729，则这个展开式中含3x 项的系数是（ ）．（A ）56 （B ）80 （C ）160 （D ）180（11）AB 是过圆锥曲线焦点F 的弦，l 是与点F 对应的准线，则以弦AB 为直径的圆与直线l 的位置关系（ ）．（A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）由离心率e 决定 （12）定义在R 上的函数()x f y -=的反函数为()x fy 1-=，则()x f y =是（ ）．（A ）奇函数 （B ）偶函数（C ）非奇非偶函数 （D ）满足题设的函数()x f 不存在第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上．（13）函数)23(sin ππ≤≤=x x y 的反函数是 ． （14）已知抛物线的焦点坐标为()12，，准线方程为02=+y x ,则其顶点坐标为 ．（15）如图，在棱长都相等的四面体A —BCD 中，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，则直线 AF 、CE 所成角的余弦值为 ．（16）甲、乙、丙、丁、戊共5人参加某项技术比赛，决出了第1名到第5名的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你 和乙都没拿冠军”，对乙说：“你当然不是最差的.”请从这个回答分析， 5人的名次排列共可能有 种不同情况（用数字作答）.三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）已知复数2cos 2cos 2Ci A u +=，其中A 、C 为△ABC 的内角，且三个内角 满足2B ＝A ﹢C .试求i u -的取值范围.封 线 内 不 要 答 题ABCDEF（18）（本小题满分12分）已知曲线C上的任一点M()y x,（其中0≥x）,到点()02，A的距离减去它到y轴的距离的差是2，过点A的一条直线与曲线C交于P、Q两点，通过点P和坐标原点的直线交直线02=x于N.+（I）求曲线C的方程；（II）求证：N Q平行于x轴.（19）（本小题满分12分） 是否存在一个等差数列{}n a ,使对任意的自然数n ，都有212a a n ⋅…n n n P a 2=.（20）（本小题满分12分）南北方向的两定点，正西方向射出的太阳（用点O表示）光线OCD与地面成锐角θ.（I）遮阳棚与地面成多少度的二面角时，才能使遮影△ABD面积最大？（II）当AC＝3，BC＝4，AB＝5，θ＝30°时，试求出遮影△ABD的最大面积.（21）（本小题满分14分）名姓甲、乙、丙三种食物维生素A 、B 含量及成本如下表：千克丙种食物 配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A 和63000 单位维生素B .试用x 、y 表示混合物的成本M （元）；并确定x 、y 、z 的值， 使成本最低.（22）（本小题满分14分）定义在()1,1-上的函数()x f 满足：①对任意x 、()1,1-∈y ,都有()+x f ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=xy y x f y f 1；②当()0,1-∈x 时，有()0>x f .证明：（I ）函数()x f 在()1,1-上的图象关于原点对称；（II ）函数()x f 在()0,1-上是单调减函数；（III ）⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛21331131712f n n f f f .()z n ∈高中数学青年教师解题比赛试卷参考答案一、选择题：二、填空题：（13）[]0,1,arcsin -∈-=x x y π （14）⎪⎭⎫⎝⎛2,1 （15）3 （16）54三、解答题：（17）（本小题满分10分） 解：由△ABC 的内角关系2602C A B C B A CA B +=︒=⇒⎭⎬⎫=+++=π， 又()C i A Ci A u cos 1cos 2cos 2cos 2++=+=则22cos 122cos 1cos cos 22CA C A i u +++=+=- ()C A 2cos 2cos 211++= ()C A --=cos 211由()︒<-<︒-⇒⎭⎬⎫︒︒∈-︒=-⇒︒=+12012012002120120C A ，C ，A C C A C A()1cos 21≤-<-⇒C A 从而2522<-≤i u 为所求. （18）（本小题满分12分）（I ）解：由题设知：曲线C 上任意一点M ()y x ,到定点()0,2A 距离等于它到直线2-=x 的距离.由抛物线定义知： 曲线C 的方程为x y 82=…（注：若不限制0≥x ，抛物线C 还可为()00<=x y ,即x 轴负半轴） （II ）证明：①当过点A 的直线P Q 不与x 轴垂直时，斜率PQ K 存在， 设P Q 方程为()2-=x k y由()01682822=--⇒⎩⎨⎧-==y k y x k y x y16-=⇒Q P y y又直线OP 方程为x x y y PP⋅=而点N 在直线OP 上，也在直线2-=x 上()P PP y y y 16282-=-⋅=⎭⎬⎫-=⋅-=⋅1616Q P N P y y y yQ N y y =⇒故NO// x 轴②当过点A 的直线P Q 与x 轴垂直时，结论显然成立 （19）（本小题满分12分）解：若存在一个等差数列{}n a 满足题设，则 1=n 时，有121121=⇒=a P a ；2=n 时，有32224212=⇒=a P a a ； 3=n 时，有523363213=⇒=a P a a a .()2-=⇒PPN x y y（证Q 、N 点纵坐标相等）∴猜想存在这样的一个数列{}n a 的通项为()N n n a n ∈-=12以下用数学归纳法证明：（1）当1=n 时， 11=a 满足12-=n a n （2）假设()N k k n ∈=满足题设， 即k k k k P a a a 22112=+ 成立当1+=k n 时 , 12121122+++⋅=⋅k k k n k k a P a a a a()k k P k 2122⋅+=即()()()()()12125321221212532121+-⋅⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅⋅+k k k k k k ()()()()12212+⋅+++=k k k k k()()()()()21132++++⋅+++=k k k k k k k()112++=k k P则1+=k n 也成立.综上（1）、（2）知12-=n a n 对N n ∈都有n n k n P a a a 2212= 成立.（20）（本小题满分12分）（I ）解：设H 为点O 在地面的射影，连结HD 交AB 于E . 则θ=∠CDE ，且OH ⊥平面ABDAB ⊂平面ABD又AB 是南北方向，CD 是西东方向，则CD ⊥AB⎩⎨⎧⊥⇒⊥⇒CE AB DE AB 在△ABD 中，要使面积最大，只须DE 最大 而△CDE 中，由正弦定理DCE CEDE ∠⋅=sin sin θ.（目标函数中CE ,sin θ均为定值） 所以，当∠DCE ＝90°时DCE ∠sin 最大，则DE 最大，从而θ-︒=∠90CED 时，遮影△ABD 面积最大.（II ）解：当AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，θ＝30°时，AB OH ⊥⇒OHD AB 平面⊥⇒DE 是△ABD 中AB 边上的高且∠CED 是C —AB —D 的平面角.()1252452121max =⋅⋅=⋅⋅=∆DE AB S ABD 为所求. （21）（本小题满分14分） （I ）依题设知：z y x M 4911++= 又y x z z y x --=⇒=++100100代入上式则y x M 57400++=为所求.（II ）由题设得⎩⎨⎧≥++≥++6300050040080056000400700600z y x z y x将y x z --=100分别代入①、②得：⎩⎨⎧≥-≥+130316032y x y x 此时y x M 57400++= ()()y x y x -+++=33224001301602400+⋅+≥850=当且仅当⎩⎨⎧=-=+130316032y x y x 即⎩⎨⎧==2050y x 时取等号答：当50=x 千克，20=y 千克，30=z 千克成本最低为850元.（22）（本小题满分14分）证明：（I ）由条件①可取(),1,1-∈-=x y 则()()()0f x f x f =-+再取(),1,10-∈=y 则()()()x f f x f =+0 ()()0=-+⇒x f x f()x f ⇒在()1,1-上图象关于原点对称（II ）令0121<<<-x x由于()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+=-212121211x x x x f x f x f x f x f .1121<-<-x x 且()10102121<-<-⇒<-x x x x 及()2211102121<+<⇒<<x x x x则由（1）（2）得0112121<--<-x x x x①② ⇒⇒<<<-01又21x x由条件②知012121>⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-x x x x f ,从而()()21x f x f >，故()x f 在()0,1-上单调递减函数.（III ）由奇函数的对称性知：()x f 在()1,0上仍是减函数，且()0<x f ※对()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎪⎭⎫⎝⎛++211121112113312n n n n f n n f n n f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+-+-+=21112111211112111n f n f n f n f n n n n f 则有⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛331131712n n f f f⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=211141313121n f n f f f f f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121n f f . 由※式知：1210<+<n 时有⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒<⎪⎭⎫ ⎝⎛+212121021f n f f n f 故⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛21331131712f n n f f f .条件①。

第1页 （共8页）宝安区高中数学教师教育教学技能比赛解题比赛1．如图在ABC ∆中，,484C CA CB =⋅=π，点D 在BC 边上，且352,cos 5AD ADB =∠=. （Ⅰ）求,AC CD 的长； （Ⅱ）求cos BAD ∠的值.学校 姓名 电话号码·································装 订 线 内 不 得 答 题··································第2页 （共8页）2．已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项. （Ⅰ）设22*1,nn n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；（Ⅱ）设()22*11,1,nnn n k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑.-中，已知PB⊥底面3．如图，在四棱锥P ABCD⊥==⊥，,,,2,ABCD BC AB AD BC AB AD CD PD异面直线PA和CD所成角等于60.（1）求证: 平面PCD⊥平面PBD；（2）求直线CD和平面PAD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在一点E，使得平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为5？若存在，指出点E在棱PA上的位置，若不存在，说明理由.第3页（共8页）第4页 （共8页）4．设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足. （1）求函数的解析式和值域；（2）试写出一个区间，使得当时，数列在这个区间上是递增数列，并说明理由； （3）已知，是否存在非零整数，使得对任意，都有 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.)()4()(2R k kx x k x f ∈+-=x 26)(+≤x x f }{n a )(1n n a f a =+)(x f ),(b a ),(1b a a ∈}{n a 311=a λn N *∈()12333312111log log log 12log 1111222n n n a a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+>-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2log 2)1(131n n +-+--λ·····································装 订 线 内 不 得 答 题······································第5页 （共8页）5．气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关. （Ⅰ）天气预报说，在今后的四天中，每一天降雨的概率均为40%，求四天中至少有两天降雨的概率； （Ⅱ）经过数据分析，一天内降雨量的大小x （单位：毫米）与其出售的快餐份数y 成试建立y 关于x 的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数） 附注：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑，a y bx =-第6页 （共8页）6．设函数()()ln 2a xf x x a a R x=-+-+∈. （Ⅰ）当曲线()y f x =在点()()1,1，f 处的切线与直线y x =垂直时，求a 的值；（Ⅱ）若函数()()24a F x f x x=+有两个零点，求实数a 的取值范围..第7页 （共8页）7．已知抛物线C:的焦点为F ，过椭圆的焦点G 与y 轴垂直的直线与抛物线C 交于点H ，且|HF|=2|GH| （I ） 求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点F 任意作互相垂直的两条直线，分别交C 于点A,B 和点M,N ，设线段AB,MN 的中点分别为P,Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； （Ⅲ）在（ⅱ）的条件下，求外接圆面积的最小值。

广州市黄埔区高中数学教师解题比赛试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，把你认为的正确选择支填在答题卷的相应题号下） （1）设集合A ＝{a ，b }，且A ∪B ＝{a ，b ，c }，那么满足条件的集合B 共有（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （2）已知a ＝（1，2），b ＝（x ，1），当（a ＋2b ）⊥（2a －b ）时，实数x 的值为 （A ）6 （B ）－2 （C ）27 （D ）－2，27 （3①若直线a ∥平面α，直线b ⊥α，则a ⊥b ；②若直线a ∥平面α，a ⊥平面β，则α⊥β；③若a ∥b ，且b ⊂平面α，则a ∥α；④若平面α⊥平面β，平面γ⊥β，则α⊥γ.其中不正确的命题个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）已知a ＜0，点A （a ＋a 1，a －a1），点B （1，0），则|AB |的最小值为A9 （B 5 （C ）3 （D ）1 （5）已知，函数f （x ）＝2sin ωx 在［0，4π］上递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω（A ）32 （B ）34或38 （C ）38 （D ）34（6）甲、乙、丙投篮一次命中的概率分别是51、31、41，今三人各投篮一次至少有一人A ）601 （B ）6047 （C ）53 （D ）6013（7）已知复数z －1的辐角为65π，z ＋1的辐角为3π，则复数z 等于（A ）i 2321+ （B ）i 2321+-C ）i 2321± （D ）i 2321±- （8）若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0，x 2－x ＋b ＝0（a ≠b ）的四个实数根组成以41为首项的等差数列，则a ＋b A ）7231 （B ）2413 （C ）2411 （D ）83（9）把正方形ABCD 沿对角线BD 折叠后得到四面体ABCD ，则AC 与平面BCD（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90° （10）若以(y ＋2)2＝4（x －1）上任一点P 为圆心作与y（A ）（1，－2） （B ）（3，－2C ）（2，－2） （D ）不存在这样的点（11）设F 1、F 2为双曲线224y x -＝1的两焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2面积为1时， 21PF ⋅A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）21（12）设偶函数f （x ）＝loga |x －b |在（－∞，0）上递增，则f （a ＋1）与f （b ＋2 （A ）f （a ＋1）＝f （b ＋2）（B ）f （a ＋1）＞f （b ＋2C ）f （a ＋1）＜f （b ＋2）（D ）不能确定第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卷的指定位置上） （13）直线y ＝33x 绕原点逆时针方向旋转30°后，所得直线与圆（x －2）2＋y 2＝3的交点个数是___*____. （14）甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术比赛，决出了第一名到第五名的名 次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这个回答分析，五人的名次排列共可能有___*___（用数字作答）种不同的情况. （15）过曲线y ＝x 3－2x 上点（1，－1）的切线方程的一般形式是__*_____. （16）当k ∈R ，k 为定值时，函数f （x ）＝kx k x +++221的最小值为___*____.三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （17）（本小题满分12要把两种大小不同的钢板截成A 、B 二种规格的材料，每张钢板可同时截得两种规格较A 、B 两种规格材料分别为12及18张. 试求：这两种钢板应各取多少张，才能既满足二种规格成品的需要又能使所用钢板总数最少？ （18）（本小题满分12已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，对于任意n ≥2，3S n －4，a n ，2－132n S -总成等差数列. （Ⅰ）求a 2，a 3，a 4a nn n S ∞→lim .（19）（本小题满分12ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是面积为23的菱形，∠ABC ＝60°，E 、F 分别为CC 1、BB 1上的点，且BC ＝EC ＝2FB .（Ⅰ）求证：平面AEF ⊥平面ACC 1A 1 （Ⅱ）求平面AEF 与平面ABCD 所成角. （20）（本小题满分12如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的底面为扇形小山（P 为TS 上的点），其余部分为平地.今有开发商想在平地上建一个边落在BC 及CD 上的长方形停车场PQCR .求长方形停车场PQCR 面积的最大值及最小值. （21）（本小题满分12以椭圆222y ax +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. （22）（本小题满分14已知，二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x （Ⅱ设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围.B黄埔区高中数学教师解题比赛参考答案一、选择题二、填空题（13）1； （14）54；（15）x ―y ―2＝0或5x ＋4y －1＝0； （16）当k ≤1时，为2；当k ＞1时，为kk 1+.三、解答题（17）解：设所需第一种钢板x 张，第二种钢板y依题意，得21221800,x y x y x y x y N+≥⎧⎪+≥⎪⎪≥⎨⎪≥⎪∈⎪⎩目标函数z ＝x ＋y .依图（图略）可得当x ＝2，y ＝8时，z 最小为10 第一种钢板用2张，第二种钢板用8张 （18）解：（Ⅰ）a 2＝21，a 3＝－41，a4＝81（Ⅱ）∵n ≥2时，a n ＝3S n －4即3S n ＝a n ＋4. ∴3S n ＋1＝a n ＋1＋4.3a n ＋1＝a n ＋1－a n ，即211-=+n n a a ∴a 2，a 3，…a n故a n ＝11(1)1()(2)2n n n -=⎧⎪⎨--≥⎪⎩ （Ⅲ）34311)(lim 1lim 32=+=++++=∞→∞→n n n n a a a S .（19）证明：（Ⅰ） ⇒⎭⎬⎫⊥⊥1CC BD AC BD BD ⊥平面ACC 1AAC ∩BD＝O ，AE 的中点为M ，连OM则OM ＝21EC ＝FB∴FB ∥C E ∥OM ∴BOMF∴FM ∥BO 即FM ∥BD 由①，知⇒⎭⎬⎫⊂⊥AEF FM A ACC FM 平面平面11面AEF ⊥面ACC 1A 1（Ⅱ）∵AC ⊥BD ，平面AEF ∩平面ABCD ＝l ，l 过A 且l ∥BD ∴AC ⊥l ，又BD ⊥平面ACC 1A 1 ∴l ⊥平面ACC 1A 1，∴l ⊥AE∴∠EAC 为所求二面角的平面角θ. ∵∠ABC ＝60°，∴AC ＝BC ＝CE ∴θ＝45°（20）解：设∠P AB ＝θ，θ∈[0，2π]4S P Q C R ＝f （θ）＝（100－90cos θ）（100－90sin θ＝8100sin θcos θ－900（sin θ＋cos θ）＋10000令sin θ＋cos θ＝t则t ＝2sin （θ＋4π）∈[1， 2]. ∴S P Q CR ＝28100t 2－9000t ＋10000－28100当t ＝910时，S P Q CD 最小值为950（m 2）当t ＝2时，S P Q CD 最大值为14050－90002 （m 2） （21）.解：因a ＞1，不防设短轴一端点为B （0，1设BC ∶y ＝kx ＋1（k ＞0则AB ∶y ＝－k1x ＋1 把BC是（1＋a 2k 2）x 2＋2a 2kx ＝0∴|BC |＝2222121k a k a k ++，同理|AB |＝222221ak a k ++由|AB |＝|BC |k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝0（k －1）［k 2＋（1－a 2）k ＋1］＝0∴k ＝1或k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0当k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0时，Δ＝（a 2－1）2－4由Δ＜0，得1＜a ＜3由Δ＝0，得a ＝3，此时，k ＝1 故，由Δ≤0，即1＜a ≤3由Δ＞0即a ＞3时有三解（22）解：依题意，知a 、b ≠0∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0 ∴a ＞0且c ＜0（Ⅰ）令f （x ）＝g （x得ax 2＋2bx ＋c ＝0.（* Δ＝4（b 2－ac ）∵a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，∴Δ＞0∴f （x ）、g （x ）相交于相异两点 （Ⅱ）设x1、x 2为交点A 、B 则|A 1B 1|2＝|x 1－x 2|2，由方程（*|A 1B 1|2＝22224)(444a acc a a ac b -+=-2224()a c ac a =++ 24()1(**)cc aa ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∵020a b c a c a b++=⎧⇒+>⎨>⎩，而a ＞0，∴2ca>- ∵020a b c a c c b++=⎧⇒+<⎨<⎩，∴12c a <- ∴122c a -<<- ∴4［（a c ）2＋ac ＋1］∈（3，12∴|A 1B 1|∈（3，23）。

2007年江苏省苏州市高中数学教师基本功竞赛（解题）试卷本试卷共5页，全卷共三大题21小题，满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请将正确的答案代号填在答卷的表格内． 1． 已知角α的终边上一点坐标为（2sin 3π，2cos 3π），则角α的最小正值为A ．56π B ．116π C ．23πD ．53π2．AB = (1，2)，按a =（3，4）平移后得A B '' ，则A B ''的坐标为A ．(4，6)B ．(－2， －2)C ．(1，2)D ．（3，4）3．已知P = { xx >，x ∈R }，Q ={ x |2x x >，x ∈R }，则“x P ∈”是“x Q ∈”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．不充分也不必要条件4．已知数列}{n a 前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=-n S n n ，则S 15 + S 22 - S 31的值是A ．12B ．-76C ．46D ．765．二项式（nx xx )1-的展开式中含4x 的项， 则n 的一个可能值是A ．8B ．9C ．6D ．106．函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则(1)(1)f f -+的值一定A ．大于0B ．小于0C ．大于－2D ．小于－27．如图，设P 为△ABC 内一点，且2155A P AB AC =+，则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为 A ．15B ．25C ．14D ．138．从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程022=++c byax中的系数，则得到不同的椭圆标准方程．．．．的个数为 BACP第7题9．将一个铁管切割成三段做一个面积为1平方米、形状为直角三角形的铁架框，在下列四 种长度的铁管中，选用最合理（够用，又浪费最少）的是A ．4.6米B ．4.8米C ．5米D ．5.2米10．一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，那么这个三棱锥的体积大小 A ．有唯一确定的值 B ．有2不同的值C ．有3个不同的值D ．有3个以上不同的值2007年苏州市高中数学教师基本功竞赛（解题）答卷得分第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．请将答案直接填在相应的横线上． 11．已知函数2log ,(0),()3,(0).xx x f x x >⎧=⎨⎩≤ 那么1[()]4f f 的值为 ．12．集合A = {,2n x x n =∈Z }，B = {,3n x x n =∈Z }，则A ∩B = ．13．双曲线2216436xy-=上的点P 到右焦点的距离为17，则P 到左焦点的距离为 ．14．一只箱子中有形状相同的4个红球和2个白球，在其中任取一只球，放回后再取一只球，则取出的两球为一红一白的概率为 ．15．若)2,0[π∈x ，则关于x 的方程2tan 4tan 10x x -+=的所有根之和为 ．16．如图，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面ABCD 和平面ABC 1D 1均成30°角，则这样的直线l 的条数为 ．三、解答题：本大题共5小题，满分70分． 17．（本题满分10分）在等差数列{a n }中，已知,p q S q S p ==（p ≠q ），求p q S +的值．1A18．（本题满分14分）已知函数()f x sin cos a x b x ωω=+（,,a b ω∈R ，且0ω>）的部分图象如图所示． （Ⅰ）求,,a b ω的值；（Ⅱ）若方程[]23()()0f x f x m -+= 在2(,)33x ππ∈-内有两个不同的解，求实数m 的取值范围．19．（本题满分14分）如图，在矩形ABCD 中，2A B B C =，E 为A B 上一点，以直线EC 为折线将点B 折起至点P ，并保持∠PEB 为锐角，连结P A 、PC 、PD ，取PD 的中点F ，若有AF ∥平面PEC ． （Ⅰ）试确定点E 的位置；（Ⅱ）若异面直线PE 、CD 所成的角为60°，求证：平面PEC ⊥平面AECD ．20．（本题满分16分）设圆锥曲线C 1的焦点为27(0,)4F -，相应准线为l ：294y =-，且C 1经过点M (2，-3)．（Ⅰ）求C 1的方程；（Ⅱ）设曲线C 2：225x y +=，过点P （0，a ）作与y 轴不垂直的直线m 交C 1于A ，D 两点，交C 2于B ，C 两点，且 AB CD＝，求实数a 的取值范围．P A FC BE D21．（本题满分16分）已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足：（1）21212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+（12,x x ∈R ，a 为常数）； （2）(0)()14f f π==；（3）当0,4x π∈［］时，()f x ≤2．求：（Ⅰ）函数()f x 的解析式；（Ⅱ）常数a 的取值范围．2007年苏州市高中数学教师基本功竞赛（解题）初赛参考答案和评分标准一、选择题（共50分）二、填充题（共30分）三、解答题（共70分）17．设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则11(1) 2(1) 2p q p p S a p d q q q S a q d p -⎧=+=⎪⎪⎨-⎪=+=⎪⎩①②①－②得221() 2p q p qa p q d q p --+-+=－．∴11()()() 2p q a p q p q d q p --+-=＋－．∵P ≠q ∴11()12p q a d +=＋－－． ∴＝1p q ＋－－．18．（Ⅰ）由图象易知函数()f x 的周期为4T =（67π23π-）=2π，∴1ω=．上述函数的图象可由sin y x =的图象沿x 轴负方向平移3π个单位而得到，∴其解析式为()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．∴1,22a b ==（Ⅱ）2(,)33x ππ∈-∴(0,)3x ππ+∈，∴0sin()13x π<+≤．设()f x t =，问题等价于方程230t t m -+=在（0，1）仅有一根或有两个相等的根．方法一：∵- m = 3t 2 - t ，t ∈（0，1），作出曲线C ：y = 3t 2 - t ，t ∈（0，1）与 直线l ：y = - m 的图象如图所示．∵t =16时，y =112-；t = 0时，y = 0；t = 1时，y = 2．∴当 - m =112-或0≤-m <2时，直线l 与曲线C 有且只有一个公共点．∴m 的取值范围是：20m -<≤或112m =方法二：当 230t t m -+=仅有一根在（0，1）时，令2()3g t t t m =-+ 则(0)(1)0g g <得到20m -<<或(0)0g =时0m =，或(1)0g =时2m =-（舍去）当两个等根同在（0,1）内时得到1120m ∆=-=，112m = 综上所述，m 的取值范围是：20m -<≤或112m =19．（Ⅰ）点E 为AB 的中点 …………………………………………2分证明如下：取PC 的中点G ，连GF GE ，． 由条件知CDEA CD GF////，，EAGF//∴．则F A E G 、、、四点共面．//AF 平面PEC ，PAFBE G H则四边形GEAF 为平行四边形．BACD EA CD GF 212121==∴=， ．则E 为AB 的中点．（Ⅱ）CD PE CD EA 、，// 所成的角为o 60，∠PEB 为锐角， ∴∠PEB ＝60°．PE BE = ，∴△PEB 为等边三角形．∴P B P E P C ==．作PH ⊥平面AECD ，垂足为H ，则HB = HE = HC ． ∴H 为△CBE 的外心．∵△CBE 是直角三角形且∠B 为直角，∴外心H 为斜边CE 的中点．∴H 在CE 上PH ∴⊂平面PEC ，∴平面⊥PEC平面AECD ．19．（Ⅰ）∵1|3|4e ==-+，∴C 1为抛物线，其中顶点为(0，-7)，开口向上，p =12，方程为y = x 2- 7．①（Ⅱ）AB CD＝ ∴| AB | = | CD |，无论A 、B 、C 、D 的顺序如何均有AD 的中点与BC 的中点重合．直线m 与两轴都不垂直，设AD ：y = kx + a ，②联立①②，得x 2 - 7 = kx + a ，即x 2 - kx - ( a +7 ) = 0． 设A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），M （x 0，y 0）， 则x 1 + x 2 = k ，x 0 =2k ．代入②，得y 0 =22k+ a ．∴M （2k ，22k+ a ）．∵AD 的中点与BC 的中点重合，而BC ⊥OM ，∴AD ⊥OM ．∴2212ka k k +⋅=-，即221k a =--．③当且仅当点M 在圆内部时，直线m 与圆相交且与抛物线也相交，∴222()()522kka ++<．④ 由③，得 - 2a - 1 > 0，∴12a <-．③代入④，得10a >-．21．（Ⅰ）在21212122()()2()cos 24sin f x x f x x f x x a x ++-=+中,分别令120x x x =⎧⎨=⎩；1244x x x ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；1244x x xππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得22()()2cos 24sin , (+)()2 2(+)()2cos 2)4sin 224f x f x x a x f x f x a f x f x x a x ππππ⎧⎪+-=+⎪⎪+=⎨⎪⎪+-+⎪⎩，＝（＋（＋）①②③由①＋②－③，得1cos 2()1cos 242()22cos 22cos(2)44222x xf x a x x aaππ-+-=+-++［］-［］＝22(cos 2sin 2)2(cos 2sin 2)a x x a x x ++-+∴())sin(2)4f x a a x π=+-+（Ⅱ）当0,4x π∈［］时，sin(2)4x π+∈[,1]2． （1）∵()f x ≤2，当a <1时，1(1)]2a a =+-≤()f x≤)a a +-≤2．即1-(1a -≤2-a ≤1．（2）∵()f x ≤2，当a ≥1时，- 2≤a a +)≤()f x ≤1．即1≤a≤4+故满足条件a 的取值范围[4+．。

深圳市宝安区2023年教师解题比赛(一)(考试时间：60分钟试卷满分：100分)单位：姓名：注意事项：1．答卷前，请老师们务必将自己所在单位名称，姓名填写在试卷指定位置上。

2．共8道试题题，共计100分。

答卷时间60分钟。

3．请在试题下完整书写全部解答过程，错位答题成绩无效。

一、选择题(本题共计3小题，每题8分，合计24分)1.(单选)“关于x 的方程有实数解”的一个充分不必要条件是()A. B. C. D.2.(多选)若(2x -3)(x -2)8=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+a 3(x -1)3+⋯+a 9(x -1)9,则下列结论正确的是()A.a 1+a 2+⋯+a 9=1B.a 5=84C.a 12+a 222+⋯+a 929=1D.a 1+2a 2+⋯+9a 9=03.(多选)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱长为2，如图，M 为CC 1上的动点，AM ⊥平面α．下面说法正确的是( )A.直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为33,22B.点M 与点C 1重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C.点M 为CC 1的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D.已知N 为DD 1中点，当AM +MN 的和最小时，M 为CC 1的中点二、填空题(本题共计2小题，每题8分，合计16分)4.已知α∈0,π2 ，cos α+π6 =13，则cos 2α+π12=．5.已知函数f (x )=(x +1)e x ,x <0(x +1)2e x ,x ≥0,若关于x 的方程f x 2-a f x =0有3个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是．三、解答题(本小题共计3小题，每题20分，合计60分)6.判断sin10°的值落在下面哪个区间中：①17,1 6;②16,15；③15,14;④26,36．请写出判断依据和理由．7.已知数列a n的前n项和S n=-a n-12n-1+2,(n∈N∗)，数列b n 满足b n=2n a n．(1)求证：数列b n是等差数列，并求数列a n的通项公式；(2)设数列c n 满足a n c n-3n=λn-1n-1(λ为非零整数，n∈N∗)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N∗，都有c n+1>c n．8.已知､分别为椭圆：的左，右顶点，为椭圆上一动点，，与直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，，求的最小值．深圳市宝安区2023年教师解题比赛(一)(考试时间：60分钟试卷满分：100分)单位：姓名：注意事项：1．答卷前，请老师们务必将自己所在单位名称，姓名填写在试卷指定位置上。