2020年中考数学 解答题强化练习 5.20(含答案)

2020年中考数学解答题专项练习 一1..11tan 30--︒2.新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A 级为优秀，B 级为良好，C 级为及格，D 级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：(1)本次抽样测试的学生人数是 名；(2)扇形统计图中表示A 级的扇形圆心角α的度数是 ，并把条形统计图补充完整；(3)该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为 ；(4)某班有4名优秀的同学(分别记为E 、F 、G 、H ，其中E 为小明)，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．3.某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？（2）超市销售这种干果共盈利多少元？4.某企业开展献爱心扶贫活动，将购买的60吨大米运往贫困地区帮扶贫困居民，现有甲、乙两种货车可以租用．已知一辆甲种货车和3辆乙种货车一次可运送29吨大米，2辆甲种货车和3辆乙种货车一次可运送37吨大米．（1）求每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能装运多少吨大米？（2）已知甲种货车每辆租金为500元，乙种货车每辆租金为450元，该企业共租用8辆货车．请求出租用货车的总费用w（元）与租用甲种货车的数量x（辆）之间的函数关系式．（3）在（2）的条件下，请你为该企业设计如何租车费用最少？并求出最少费用是多少元？5.如图,四边形ABCD是矩形,点E在CD边上,点F在DC延长线上,AE=BF．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；（2）若∠BEF=∠DAE,AE=3,BE=4,求EF的长．6.如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AF=6，EF=2，求⊙O 的半径长．7.如图，DC是⊙O的直径，点B在圆上，直线AB交CD延长线于点A，且∠ABD=∠C．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AB=4cm，AD=2cm，求tanA的值和DB的长．8.如图，直线y=2x+6与反比例函数y=（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM.（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+6﹣＜0的解集；（3）直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？9.如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线相交于A（﹣1，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1．（1）求m、n的值；（2）求直线AC的解析式．10.某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB=OE；支架BC与水平线AD垂直．AC=40cm，∠ADE=30°，DE=190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD=65°，求OB的长度(结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)11.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1，0)，点B(﹣3，0)，且OB=OC．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，且∠POB=∠ACB，求点P的坐标；(3)抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E．①求DE的最大值；②点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形．参考答案12..13.解：(1)本次抽样测试的学生人数是：12÷30%=40(人)；(2)∵A级的百分比为：×100%=15%，∴∠α=360°×15%=54°；C级人数为：40﹣6﹣12﹣8=14(人)．如图所示：(3)500×15%=75(人)．故估计优秀的人数为 75人；(4)画树状图得：∵共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，∴选中小明的概率为．故答案为：40；54°；75人．14.15.解：（1）设甲种货车x辆，乙种货车y辆，根据题意得：x+3y=29,2x+3y=37，解得：x=8,y=7，答：甲车装8吨，乙车装7吨；（2）设甲车x辆，则乙车为（8﹣x）辆，根据题意得：w=500x+450（8﹣x）=50x+3600（1≤x≤8）；（3）∵当x=1时，则8﹣x=7，w=8+7×7=57＜60吨，不合题意；当x=2时，则8﹣x=6，w=8×2+7×6=58＜60吨，不合题意；当x=3时，则8﹣x=5，w=8×3+7×5=59＜60吨，不合题意；当x=4时，则8﹣x=4，w=8×4+7×4=60吨，符合题意；∴租用4辆甲车，4辆乙车时总运费最省，为50×4+3600=3800元．16.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°．∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°．∴∠D=∠BCF．在Rt△ADE和Rt△BCF中，∴Rt△ADE≌Rt△BCF．∴∠1=∠F．∴AE∥BF．∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形．（2）解：∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90°．∵∠BEF=∠DAE，∴∠BEF+∠1=90°．∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，∴∠AEB=90°．在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，AB=．∵四边形ABFE是平行四边形，∴EF=AB=5．17.（1）证明：∵PD为⊙O的切线，∴OC⊥DP，∵AD⊥DP，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAB；（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=2∠BCE=90°，∴∠OFE+∠OEF=90°，而∠OFE=∠CFP，∴∠CFP+∠OEF=90°，∵OC⊥PD，∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，∴∠PCF=∠CFP，∴△PCF是等腰三角形；（3）解：连结OE．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=90°，即OE⊥AB，设⊙O 的半径为r，则OF=6﹣r，在Rt△EOF中，∵OE2+OF2=EF2，∴r2+（6﹣r）2=（2）2，解得，r1=4，r2=2，当r1=4时，OF=6﹣r=2（符合题意），当r2=2时，OF=6﹣r=4（不合题意，舍去），∴⊙O的半径r=4．18.解：（1）证明：连结OB，如图所示：∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD，∵DC是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，∴∠CDB+∠C=90°，∵∠ABD=∠C，∴∠OBD+∠ABD=90°，即∠OBA=90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：设半径为r，则OA=x+2，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：x2+42=（x+2）2，解得：r=3，∴tanA==，∵∠A=∠A，∠ABD=∠C，∴△ADB∽△ACB，∴==，设DB=x，则BC=2x，∵CD=6，∴由勾股定理得：x2+（2x）2=62，解得：x=，即DB的长为．19.解：20.21.解：设OE=OB=2x，∴OD=DE+OE=190+2x，∵∠ADE=30°，∴OC=OD=95+x，∴BC=OC﹣OB=95+x﹣2x=95﹣x，∵tan∠BAD=，∴2.14=，解得：x≈9，∴OB=2x=18．22.解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(﹣1，0)，点B(﹣3，0)∴设交点式y=a(x+1)(x+3)∵OC=OB=3，点C在y轴负半轴∴C(0，﹣3)把点C代入抛物线解析式得：3a=﹣3∴a=﹣1∴抛物线解析式为y=﹣(x+1)(x+3)=﹣x2﹣4x﹣3(2)如图1，过点A作AG⊥BC于点G，过点P作PH⊥x轴于点H∴∠AGB=∠AGC=∠PHO=90°∵∠ACB=∠POB∴△ACG∽△POH∴∴∵OB=OC=3，∠BOC=90°∴∠ABC=45°，BC==3∴△ABG是等腰直角三角形∴AG=BG=AB=∴CG=BC﹣BG=3﹣=2∴∴OH=2PH设P(p，﹣p2﹣4p﹣3)①当p＜﹣3或﹣1＜p＜0时，点P在点B左侧或在AC之间，横纵坐标均为负数∴OH=﹣p，PH=﹣(﹣p2﹣4p﹣3)=p2+4p+3∴﹣p=2(p2+4p+3)解得：p1=，p2=∴P(，)或(，)②当﹣3＜p＜﹣1或p＞0时，点P在AB之间或在点C右侧，横纵坐标异号∴p=2(p2+4p+3)解得：p1=﹣2，p2=﹣∴P(﹣2，1)或(﹣，)综上所述，点P的坐标为：(，)、(，)、(﹣2，1)或(﹣，)．(3)①如图2，∵x=m+4时，y=﹣(m+4)2﹣4(m+4)﹣3=﹣m2﹣12m﹣35∴M(m，﹣m2﹣4m﹣3)，N(m+4，﹣m2﹣12m﹣35)设直线MN解析式为y=kx+n∴解得：∴直线MN：y=(﹣2m﹣8)x+m2+4m﹣3设D(d，﹣d2﹣4d﹣3)(m＜d＜m+4)∵DE∥y轴∴x E=x D=d，E(d，(﹣2m﹣8)d+m2+4m﹣3)∴DE=﹣d2﹣4d﹣3﹣[(﹣2m﹣8)d+m2+4m﹣3]=﹣d2+(2m+4)d﹣m2﹣4m=﹣[d﹣(m+2)]2+4∴当d=m+2时，DE的最大值为4．②如图3，∵D、F关于点E对称∴DE=EF∵四边形MDNF是矩形∴MN=DF，且MN与DF互相平分∴DE=MN，E为MN中点∴x D=x E ==m+2由①得当d=m+2时，DE=4∴MN=2DE=8∴(m+4﹣m)2+[﹣m2﹣12m﹣35﹣(﹣m2﹣4m﹣3)]2=82解得：m1=﹣4﹣，m2=﹣4+∴m的值为﹣4﹣或﹣4+时，四边形MDNF为矩形．第11 页共11 页。

2020年中考数学专题复习反比例函数解答题1.如图，在平闻直角坐标系中，直线AB与y轴交于点B(0，7)，与反比例函数y=在第二象限内的图象相交于点A(﹣1，a)．(1)求直线AB的解析式；(2)将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求△ACD的面积；(3)设直线CD的解析式为y=mx+n，根据图象直接写出不等式mx+n≤的解集．2.如图，点A(，4)，B(3，m)是直线AB与反比例函数y=(x＞0)图象的两个交点，AC⊥x轴，垂足为点C，已知D(0，1)，连接AD，BD，BC．(1)求直线AB的表达式；(2)△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2．求S2﹣S1．3.已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A，与x轴交于点B(5，0)，若OB=AB，且S△OAB=．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．4.如图，一次函数y=﹣x+2的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称．（1）求A、B两点的坐标；（2）求△ABC的面积．5.如图，已知函数（x>0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，2），过点A作AC∥y轴，AC=1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC、OD．（1）求△OCD的面积；（2）当BE=AC时，求CE的长．6.如图,已知直线l：y1=kx+b分别与x轴、y轴交于A、B两点,与双曲线y2=（a≠0，x＞0）分别交于D、E两点.若点D的坐标为（4,1）,点E的坐标为（1,4）（1）分别直接写出直线l与双曲线的解析式：；（2）若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时,直线l与双曲线有且只有一个交点；（3）当y1＜y2时,直接写出x的取值范围．7.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,A,C分别在坐标轴上,点B的坐标为（4,2）,直线y=﹣x+3交AB,BC于点M,N,反比例函数y=的图象经过点M,N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上,且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等,求点P的坐标．8.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,点C的坐标为（0,3），点A在x轴的负半轴上,点D、M分别在边AB、OA上,且AD=2DB,AM=2MO,一次函数y=kx+b的图象过点D和M,反比例函数y=的图象经过点D，与BC的交点为N．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）若点P在直线DM上,且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．9.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的一个交点为A（-1，n）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若P是x轴上一点,且满足∠APO=45°,直接写出点P的坐标．10.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx-1的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出点P的坐标．11.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数y=kx-1（x>0）的图象经过点A，动直线x=t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．（1）求k的值；（2）求△BMN面积的最大值；（3）若MA⊥AB，求t的值．12.如图，平行四边形ABCD放置在平面直角坐标系A（-2，0）、B（6，0），D（0，3），反比例函数的图象经过点C．（1）求点C的坐标和反比例函数的解析式；（2）将四边形ABCD向上平移m个单位后，使点B恰好落在双曲线上，求m的值．13.如图,反比例函y=kx-1(k<0)的图象与矩形ABCD的边相交于E、F两点,且BE=2AE,E(﹣1,2)．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接EF，求△BEF的面积．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD=5，tan∠COD=4/3．（1）求过点D的反比例函数的解析式；（2）求△DBE的面积；（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．15.已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB=AB，且S△OAB=．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．参考答案1.解：(1))∵点A(﹣1，a)在反比例函数y=的图象上，∴a==8，∴A(﹣1，8)，∵点B(0，7)，∴设直线AB的解析式为y=kx+7，∵直线AB过点A(﹣1，8)，∴8=﹣k+7，解得k=﹣1，∴直线AB的解析式为y=﹣x+7；(2)∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为y=﹣x﹣2，∴D(0，﹣2)，∴BD=7+2=9，联立，解得或，∴C(﹣4，2)，E(2，﹣4)，连接AC，则△CBD的面积=×9×4=18，由平行线间的距离处处相等可得△ACD与△CDB面积相等，∴△ACD的面积为18．(3)∵C(﹣4，2)，E(2，﹣4)，∴不等式mx+n≤的解集是：﹣4＜x＜0或x＞2．2.解：(1)由点A(，4)，B(3，m)在反比例函数y= (x＞0)图象上∴4=∴n=6∴反比例函数的解析式为y= (x＞0)将点B(3，m)代入y= (x＞0)得m=2∴B(3，2)设直线AB的表达式为y=kx+b∴解得∴直线AB的表达式为y=﹣；(2)由点A、B坐标得AC=4，点B到AC的距离为3﹣=∴S1=×4×=3设AB与y轴的交点为E，可得E(0，6)，如图：∴DE=6﹣1=5由点A(，4)，B(3，2)知点A，B到DE的距离分别为，3∴S2=S△BDE﹣S△ACD=×5×3﹣×5×=∴S2﹣S1=﹣3=．3.解：(1)如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B(5，0)，∴OB=5，∵S△OAB=，∴×5×AD=，∴AD=3，∵OB=AB，∴AB=5，在Rt△ADB中，BD==4，∴OD=OB+BD=9，∴A(9，3)，将点A坐标代入反比例函数y=中得，m=9×3=27，∴反比例函数的解析式为y=，将点A(9，3)，B(5，0)代入直线y=kx+b中，，∴，∴直线AB的解析式为y=x﹣；(2)由(1)知，AB=5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB=PB时，∴PB=5，∴P(0，0)或(10，0)，②当AB=AP时，如图2，由(1)知，BD=4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP=BD=4，∴OP=5+4+4=13，∴P(13，0)，③当PB=AP时，设P(a，0)，∵A(9，3)，B(5，0)，∴AP2=(9﹣a)2+9，BP2=(5﹣a)2，∴(9﹣a)2+9=(5﹣a)2∴a=，∴P(，0)，即：满足条件的点P的坐标为(0，0)或(10，0)或(13，0)或(，0)．4.解：5.6.解：（1）∵直线l：y1=kx+b与双曲线y2=（a≠0，x＞0）分别交于D、E两点，点D的坐标为（4,1），点E的坐标为（1,4）,∴，，解得，，a=4，即直线l：y1=﹣x+5，双曲线y2=,故答案为：y1=﹣x+5，y2=；（2）由题意可得，化简，得x2+（m﹣5）x+4=0，∵直线l与双曲线有且只有一个交点,∴（m﹣5）2﹣4×1×4=0，解得，m=1或m=9∵m=1时,直线与双曲线的一个交点在第一象限,当m=9时，直线与双曲的一个交点在第三象限,双曲线y2=（a≠0，x＞0）∴m=1，即当m为1时,直线l与双曲线有且只有一个交点；（3）由图象可知,当0＜x＜1或x＞4时，y1＜y2，故答案为：0＜x＜1或x＞4．7.【解答】解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，∴OA=BC=2，将y=2代入y=﹣x+3得：x=2，∴M（2，2），把M的坐标代入y=得：k=4，∴反比例函数的解析式是y=；（2）把x=4代入y=得：y=1，即CN=1，∵S四边形BMON=S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON=4×2﹣×2×2﹣×4×1=4，由题意得： |OP|×AO=4，∵AO=2，∴|OP|=4，∴点P的坐标是（4，0）或（﹣4，0）．8.解：（1）∵正方形OABC的顶点C（0，3），∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°，∵AD=2DB，∴AD=AB=2，∴D（﹣3，2），把D坐标代入y=得：m=﹣6，∴反比例解析式为y=﹣，∵AM=2MO，∴MO=OA=1，即M（﹣1，0），把M与D坐标代入y=kx+b中得：，解得：k=b=﹣1，则直线DM解析式为y=﹣x﹣1；（2）把y=3代入y=﹣得：x=﹣2，∴N（﹣2，3），即NC=2，设P（x，y），∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，∴（OM+NC）•OC=OM|y|，即|y|=9，解得：y=±9，当y=9时，x=﹣10，当y=﹣9时，x=8，则P坐标为（﹣10，9）或（8，﹣9）．9.【解答】解：（1）∵点A（﹣1，n）在反比例函数y=﹣的图象上，∴n=2，∴点A的坐标为（﹣1，2），∵点A在一次函数y=kx﹣k的图象上，∴2=﹣k﹣k，∴k=﹣1，∴一次函数的解析式为y=﹣x+1；（2）如图所示，当P与F重合时，AE=EF=2，此时P（1，0）；当P与G重合时，AE=EG=2，此时P（﹣3，0）．10.解：（1）∵点A（2，3）在y=mx-1上，∴m=6，∴反比例函数解析式为y=6x-1；又∵点B（﹣3，n）在y=6x-1上，∴n=﹣2，∴点B的坐标为（﹣3，﹣2），把A（2，3）和B（﹣3，﹣2）两点的坐标代入一次函数y=kx+b得2k+b=3,-3k+b=-2解得k=1,b=1，∴一次函数的解析为y=x+1．（2）对于一次函数y=x+1，令x=0求出y=1，即C（0，1），OC=1，根据题意得：S△ABP=0.5PC×2+0.5PC×3=5，解得：PC=2，所以，P（0，3）或（0，﹣1）．11.12.略13.14.解：15.解：。

2020中考数学题位复习系统之解答题专练5函数的图象与性质探究1. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；（3）已知函y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx﹣3|+b≤x﹣3的解集．2．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数y＝﹣2|x|的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函数y＝﹣2|x+2|的对称轴．（2）探索思考：平移函数y＝﹣2|x|的图象可以得到函数y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的图象，分别写出平移的方向和距离．（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数y＝﹣2|x﹣3|+1的图象．若点（x1，y1）和（x2，y2）在该函数图象上，且x2＞x1＞3，比较y1，y2的大小．3. 有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当x≥﹣1时，y＝，当x＜﹣1时y＝；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝的图象；（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质：．（4）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1＝的只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：．4. 有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是；的值为；（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；（4）观察图象，写出该函数的一条性质：；（5）若函数y＝的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为：；5. 小邱同学根据学习函数的经验，研究函数y＝的图象与性质．通过分析，该函数yy﹣1﹣2﹣3.4﹣7.5 2.4（1）函数y＝的自变量x的取值范围是；（2）在图中补全当1≤x＜2的函数图象；（3）观察图象，写出该函数的一条性质：；（4）若关于x的方程＝x+b有两个不相等的实数根，结合图象，可知实数b的取值范围是．6.若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与﹣﹣﹣标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值y＝2时，求自变量x的值；③在直线x＝﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，求x3+x4的值；④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．7.有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当x≥3时，y＝，当x＜3时y＝；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1＝只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：．。

.5.（2019 鄂州）在平面直角坐标系中，点 P （x 0，y 0）到直线 Ax +By +C =0 的距离公式为：d = Ax + By + C A 2+ B 2 ，则点 一次函数一、填空题1.（2019 杭州）某函数满足当自变量 x =1 时，函数值 y =0，当自变量 x =0 时，函数值 y =1，写出一个满足条件的函数表达式__________【答案】y =–x +1.2.（2019 江西）在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），点 P 在 x 轴上，点 D 在直线 AB 上，若 DA =1，CP ⊥DP 于点 P ，则点 P 的坐标为__________.【答案】（2，0）或（2-2 2 ，0）或（2+2 2 ，0）3.（2019 金华）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何日追及之.”如图是两匹马行走路程 s 关于行走时间 t 的函数图象，则两图象交点 P 的坐标是__________.【答案】（32，4800）4.（2019 杭州）某函数满足当自变量 x = 1 时，函数值 y = 0 ；当自变量 x = 0 时，函数值 y = 1 ，写出一个满足条件的函数表达式__________.【答案】 y = - x + 1 或 y = - x 2 + 1 或 y = x -1 等.0 0P （3，-3）到直线 y = - 2 5x + 的距离为__________.3 3【答案】8 13136.（2019 郴州）某商店今年 6 月初销售纯净水的数量如下表所示：日期数量（瓶）1120 2125 3130 4135观察此表，利用所学函数知识预测今年 6 月 7 日该商店销售纯净水的数量约为__________瓶.【答案】1507.（2019 潍坊）当直线 y = (2 - 2k )x + k - 3 经过第二、三、四象限时，则 k 的取值范围是__________.【答案】1 < k < 3P8.（2019烟台）如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为__________.【答案】x<19.（2019无锡）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx-b>0的解集为__________.【答案】x<210.（2019天津）直线y=2x-1与x轴交点坐标为__________.1【答案】(,0)2二、选择题11.（2019衢州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C，设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是A. B.C. D.【答案】C12.（2019聊城）某快递公司每天上午9：00-10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为A.9：15B.9：20C.9：25D.9：30【答案】B13.（2019杭州）已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是A. B.C. D.【答案】A14.（2019邵阳）一次函数y1=k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2=k2x+b2.下列说法中错误的是A.k1=k2C.b1>b2B.b1<b2D.当x=5时，y1>y2【答案】B15.（2019绍兴）若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于A.–1B.0C.3D.4b - 1)4) 7) ， 【答案】C16.（2019 杭州）已知一次函数 y =ax +b 和 y =bx +a (a ≠ b ) ，函数 y 和 y 的图象可能是12 1 2A.B. C. D.【答案】A17.（2019 梧州）直线 y =3x +1 向下平移 2 个单位，所得直线的解析式是A.y =3x +3B.y =3x -2C.y =3x +2D.y =3x -1【答案】D18.（2019 临沂）下列关于一次函数 y = kx + b (k < 0 ，b > 0) 的说法，错误的是A.图象经过第一、二、四象限B. y 随 x 的增大而减小C.图象与 y 轴交于点 (0 ，)D.当 x > - b k时， y > 0【答案】D19.（2019 苏州）若一次函数 y = kx + b （ k 、b 为常数，且 k ≠ 0 ）的图象经过点 A(0 ， 1) ，B(1， ，则不等式 kx + b > 1的解集为A. x < 0B. x > 0C. x < 1D. x > 1【答案】D20.（2019 绍兴）若三点 (1， ， (2 ， ， (a 10) 在同一直线上，则 a 的值等于A.-1B.0C.3D.4【答案】C21.（2019 扬州）若点 P 在一次函数 y = - x + 4 的图象上，则点 P 一定不在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C三、解答题23.（2019 天津）甲、乙两个批发店销售同一种苹果.在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为 6 元/kg.在乙批发店，一次购买数量不超过元 50 kg 时，价格为 7 元/kg ；一次购买数量超过 50kg 时，其中有 50kg 的价格仍为 7 元/kg ，超出 50 kg 部分的价格为 5 元/kg.设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 x kg ( x > 0) .（1）根据题意填表：一次购买数量/kg3050150…当 x =150 时， y 1 = 150 ⨯ 6 = 900 ， y 2 = 50 ⨯ 7 + （150 - 50）= 850 ，甲批发店花费/元乙批发店花费/元300350 ……（2）设在甲批发店花费 y 1 元，在乙批发店花费 y 2 元，分别求 y 1 ， y 2 关于 x 的函数解析式；（3）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为__________kg ；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 120 kg ，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了 360 元，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买数量多.解：（1）当 x =30 时， y 1 = 30 ⨯ 6 = 180 ， y 2 = 30 ⨯ 7 = 210 ，5故答案为：180，900，210，850.（2） y 1 = 6 x ( x > 0) .当 0 < x ≤ 50 时， y 2 = 7 x ；当 x > 50 时， y 2 = 7 ⨯ 50 + 5( x - 50) ，即 y 2 = 5x + 100 .（3）①∵ x > 0 ∴6x ≠ 7 x ，∴当 y 1 = y 2 时，即 6x =5x +100，∴x =100，故答案为：100.②∵x =120 > 50 ，∴ y 1 = 6 ⨯120 = 720 ； y 2 = 5 ⨯120 + 100=700 ，∴乙批发店购买花费少，故答案为：乙.③∵当 x =50 时乙批发店的花费是：350 < 360 ，∵一次购买苹果花费了 360 元，∴x > 50，∴当 y 1 = 360 时，6x =360，∴x =60，∴当 y 2 = 360 时，5x +100=360,∴x =52，∴甲批发店购买数量多.故答案为：甲.⎩-k + b = 2b =1 24.（2019 南京）已知一次函数 y 1 = kx +2 （k 为常数，k ≠0）和 y 2 = x -3 .（1）当 k =﹣2 时，若 y > y ，求 x 的取值范围；1 2（2）当 x <1 时， y 1 > y 2 .结合图象，直接写出 k 的取值范围.解：（1）当 k = -2 时， y 1 = -2 x + 2 ，5 根据题意，得 -2x + 2 > x - 3 ，解得 x < .3（2）当 x =1 时，y =x −3=−2，把（1，−2）代入 y 1=kx +2 得 k +2=−2，解得 k =−4， 当−4≤k <0 时，y 1>y 2； 当 0<k ≤1 时，y 1>y 2.∴k 的取值范围是： -4 ≤ k ≤ 1 且 k ≠ 0 .25.（2019 乐山）如图，已知过点 B （1，0）的直线 l 1 与直线 l 2：y =2x +4 相交于点 P （-1，a ）. （1）求直线 l 1 的解析式；（2）求四边形 PAOC 的面积.解：（1）∵点 P （-1，a ）在直线 l 2：y =2x +4 上， ∴2×（-1）+4=a ，即 a =2，则 P 的坐标为（-1，2），设直线 l 1 的解析式为：y =kx +b （k ≠0），⎧k + b = 0 那么 ⎨ ，⎧k = -1 解得 ⎨ .⎩∴l 1 的解析式为：y =-x +1.（2）∵直线 l 1 与 y 轴相交于点 C ，∴C 的坐标为（0，1），又∵直线 l 2 与 x 轴相交于点 A ，∴A 点的坐标为（-2，0），则 AB =3，∴S四边形PAOC=1-，⎧b=6⎪k=-⎨，解得，⎨5，⎩⎪⎩b=6而S四边形PAOC=△SP AB△SBOC15⨯3⨯2-⨯1⨯1=.22226.（2019天门）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折.设一次购买量为x千克，付款金额为y元.（1）求y关于x的函数解析式；（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？解：（1）根据题意，得①当0≤x≤5时，y=20x；②当x>5，y=20×0.8（x-5）+20×5=16x+20.（2）把x=30代入y=16x+20，∴y=16×30+20=500；∴一次购买玉米种子30千克，需付款500元.27.（2019台州）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯.甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间具有函数关系h=-310x+6，乙离一楼地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示.（1）求y关于x的函数解析式；（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面.解：（1）设y关于x的函数解析式是y=kx+b，⎧115k+b=3即y关于x的函数解析式是y=-15x+6.（2）当h=0时，0=-310x+6，得x=20，当y=0时，0=-∵20<30，∴甲先到达地面.15x+6，得x=30，28.（2019 常德）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为 x 时所需费用为 y 元，选择这两种卡消费时，y 与 x 的函数关系如图所示，解答下列问题：（1）分别求出选择这两种卡消费时，y 关于 x 的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.解：（1）设 y 甲=k 1x ，根据题意得 5k 1=100，解得 k 1=20，∴y 甲=20x ；设 y 乙=k 2x +100，根据题意得：20k 2+100=300，解得 k 2=10，∴y 乙=10x +100.（2）①y 甲<y 乙，即 20x <10x +100，解得 x <10，当入园次数小于 10 次时，选择甲消费卡比较合算； ②y 甲=y 乙，即 20x =10x +100，解得 x =10，当入园次数等于 10 次时，选择两种消费卡费用一样； ③y 甲>y 乙，即 20x >10x +100，解得 x >10，当入园次数大于 10 次时，选择乙消费卡比较合算.29.（2019 山西）某游泳馆推出了两种收费方式.方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡 200 元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费 30 元.方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费 40 元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为 x 次，选择方式一的总费用为 y 1（元），选择方式二的总费用为 y 2（元）. （1）请分别写出 y 1，y 2 与 x 之间的函数表达式.（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数 x 在什么范围时，选择方式一比方式二省钱.解：（1）当游泳次数为 x 时，方式一费用为：y 1=30x +200，方式二的费用为：y 2=40x . （2）由 y 1<y 2 得：30x +200<40x ，解得 x >20 时，当 x >20 时，选择方式一比方式二省钱.30.（2019 北京）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l ：y =kx +1（k ≠0）与直线 x =k ，直线 y =-k 分别交于点 A ，B ，直线 x =k 与直线 y =-k 交于点 C .（1）求直线 l 与 y 轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段 AB ，BC ，CA 围成的区域（不含边界）为 W .①当 k =2 时，结合函数图象，求区域 W 内的整点个数；②若区域 W 内没有整点，直接写出 k 的取值范围.解：（1）令 x =0，y =1，∴直线 l 与 y 轴的交点坐标（0，1）.（2）由题意，A（k，k2+1），B（-k-1k，-k），C（k，-k），①当k=2时，A（2，5），B（-32，-2），C（2，-2），在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，-1），（1，0），（1，-1），（1，1），（1，2）；②直线AB的解析式为y=kx+1，当x=k+1时，y=-k+1，则有k2+2k=0，∴k=-2，当0>k≥-1时，W内没有整数点，∴当0>k≥-1或k=-2时W内没有整数点.31.（2019湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为x（分），图1中线段O A和折线B-C-D分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象（不完整）.根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，画出当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象.（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）解：（1）由题意，得：甲步行的速度是2400÷30=80（米/分），∴乙出发时甲离开小区的路程是80⨯10=800（米）.（2）设直线O A的解析式为:y=kx(k≠0)，∵直线OA过点A(30,2400)，∴30k=2400，解得k=80，∴直线OA的解析式为:y=80x，∴当x=18时，y=80⨯18=1440，∴乙骑自行车的速度是1440÷(18-10)=180（米/分）.∵乙骑自行车的时间为25-10=15（分），200k b 10 b 110∴乙骑自行车的路程为180 15 2700（米）.当 x 25 时，甲走过的路程是 y80x 80 25 2000 （米），∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是 2700 2000700 （米）.（3）乙步行的速度为：80-5=75（米/分），乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分），当 25≤x ≤30 时 s 关于 x 的函数的大致图象如图所示.32.（2019 绍兴）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量 y （千瓦时）关于已行驶路程 x （千米）的函数图象.（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车已行驶的路程.当 0≤x ≤150 时，求 1 千瓦时的电量汽车能行驶的路程.（2）当 150≤x ≤200 时，求 y 关于 x 的函数表达式，并计算当汽车已行驶 180 千米时，蓄电池的剩余电量.解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车已行驶了 150 千米.1 千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：1506 （千米）；60 35（2）当 150≤x ≤200 时，设 y 关于 x 的函数表达式为 y =kx +b （k ≠0），把点（150，35），（200，10）代入表达式，150k b 35得，k0.5∴，∴y =–0.5x +110，把（20，0），（38，2700）代入 y =kx +b ，得 ⎨⎧0 = 20k + b 2700 = 38k + b b = -3000 当 x =180 时，y =–0.5×180+110=20.答：当 150≤x ≤200 时，函数表达式为 y =–0.5x +110，当汽车已行驶 180 千米时，蓄电池的剩余电量为20 千瓦时.33.（2019 宁波）某风景区内的公路如图 1 所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午 8 点发车，以后每隔 10 分钟有一班车从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上午 7：40 到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行 25 分钟后到达塔林.离入口处的路程 y （米）与时间 x （分）的函数关系如图 2 所示.（1）求第一班车离入口处的路程 y （米）与时间 x （分）的函数表达式.（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间.（3）小聪在塔林游玩 40 分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）解：（1）由题意得，可设函数表达式为：y =kx +b （k ≠0），⎧k = 150 ，解得 ⎨ ， ⎩ ⎩∴第一班车离入口处的路程 y （米）与时间 x （分）的函数表达为 y =150x –3000（20≤x ≤38）；（2）把 y =1500 代入 y =150x –3000，解得 x =30，30–20=10（分），∴第一班车从入口处到达塔林所需时间 10 分钟；（3）设小聪坐上了第 n 班车，则 30–25+10（n –1）≥40，解得 n ≥4.5，∴小聪坐上了第 5 班车，等车的时间为 5 分钟，坐班车所需时间为：1200÷150=8（分），步行所需时间：1200÷（1500÷25）=20（分），20–（8+5）=7（分），∴比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了 7 分钟.1 34.（2019 温州）如图，在平面直角坐标系中，直线y = - x+4 分别交 x 轴、y 轴于点 B ，C ，正方形 AOCD 的顶点 D 2（2）设点Q2为（m，n），当n=tan∠EOF时，求点Q2的坐标.∴EM=1在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE.动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点.（1）求点B的坐标和OE的长.1m7（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合.①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q=s，AP=t，求s关于t的函数表达式.②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长.解：（1）令y=0，则-12x+4=0，∴x=8，∴B（8，0），∵C（0，4），∴OC=4，OB=8，在△Rt BOC中，BC=82+42=45，又∵E为BC中点，∴OE=12BC=25；（2）如图1，作EM⊥OC于M，则EM∥CD，∵E是BC的中点，∴M是OC的中点，1OB=4，OE=BC=25，22∴ CN= 由勾股定理得：EF = OE 2 - OF 2 = (2 5) 2 - ( 12 17 = 17 = ， ⎧t = 2 ⎧t = 4 ⎧2k + b = 2 5 ⎪k = 5 2 ⎪s = 2 5 ⎪s = 5 5 ⎪ 4k + b = 5 5 ⎩ 在正方形 OADC 中，CD =OC =4，∵∠CDN =∠NEM ，∠CND =∠MNE∴△CDN ∽△MEN ，CD = = 1， MN EM∴CN =MN =1，∴EN = 12 + 42 = 17 ，∵△S ONE 1 1 EN •OF = ON •EM ， 2 2∴OF = 3 ⨯ 4 12 = 17 ， 17 1714 )2 = 17 ， 17 1714 17∴tan∠EOF = EF 7 OF 12 17 617∴ n 1 7 1 = ⨯ = ， m 7 6 6 1 ∵n = - m +4， 2∴m =6，n =1，∴Q 2（6，1）；（3）①∵动点 P 、Q 同时作匀速直线运动，∴s 关于 t 成一次函数关系，设 s =kt +b ，∵当点 P 运动到 AO 中点时，点 Q 恰好与点 C 重合，∴t =2 时，CD =4，DQ 3=2，∴s =Q 3C = 22 + 42 = 2 5 ，∵Q 3（–4，6），Q 2（6，1），∴t =4 时，s = (6 + 4)2 + (6 - 1)2 = 5 5 ，⎧ 3 将 ⎨ 或 ⎨ 代入得 ⎨ ，解得： ⎨ ， ⎪b = - 5∴s = 3 5 t - 5 ； 2∵BQ =6 5 - s =6 5 - 3 5∵cos∠QBH = AB = ， 3 BQ 3 6 5 5 BQ = = 5 = ②（i ）当 PQ ∥OE 时，如图 2，∠QPB =∠EOB =∠OBE ，作 QH ⊥x 轴于点 H ，则 PH =BH = 1 2 PB ，△Rt ABQ 3 中，AQ 3=6，AB =4+8=12，∴BQ 3 = 62 + 122 = 6 5 ，3 5 t + 5 = 7 5 - 22 BH BQAB 12 2 BH ∴ ， BQ∴BH =14–3t ，∴PB =2BH =28–6t ，t ，∴t +28–6t =12，解得 t =16 5 ； （ii ）当 PQ ∥OF 时，如图 3，过点 Q 作 QG ⊥AQ 3 于点 G ，过点 P 作 PH ⊥GQ 于点 H ，由 △Q 3△QG ∽ CBO 得：Q 3G ：QG ：Q 3Q =1：2： 5 ，∵Q 3Q =s = 3 5 2t - 5 ，∴Q 3G = 3 2t –1，GQ =3t –2，∴PH =AG =AQ 3–Q 3G =6–（3 7 - t ⎪ ，4 ⎝2 ⎭3 t –1）=7 - t ， 2 2 ∴QH =QG –AP =3t –2–t =2t –2，∵∠HPQ =∠CDN ，∴tan∠HPQ =tan∠CDN =1 ⎛ 3 ⎫ ∴2t –2 = 解得 t =30 ， 191 4， （iii ）由图形可知 PQ 不可能与 EF 平行， 综上，当 PQ 与△OEF 的一边平行时，AP 的长为 16 30 或 . 5 19。