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实数

考点一、实数的概念及分类

1、实数的分类

正有理数

有理数 零 有限小数和无限循环小数

实数 负有理数

正无理数

无理数 无限不循环小数

负无理数

整数包括正整数、零、负整数。

正整数又叫自然数。

正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。

2、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如32,7等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；

（3）有特定结构的数，如0.1010010001„等；

（4）某些三角函数，如sin60o等

1．下面几个数：0.23 ，1.010010001„，，3π，，，其中，无理数的个数有（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001„，3π，是无理数

故选C

2.已知数据：13，2，3，π，－2．其中无理数出现的频率为( )

A．20％ B．40％ C．60％ D．80％

分析：，2和3开方开不尽的数，所以2和3都是无理数；л是无限不循环小数，也是无理数；而31，-2都是有理数，所以无理数出现的频率为53＝0.6＝60％，选C．

3.在所给的数据:,57.0,,31,5,2320.585885888588885„(相邻两个5之间8的个数逐次增加1个)其中无理数个数( ). (A)2个 (B)3 (C)4个 (D)5个

解析：作此类题需要掌握实数的分类.判断一个数是哪类数，可以化简后再判断，但是对于代数式分类判断，则不能化简后再判断，如xx2是分式，对于数、式分类时，常用策略是：“数看结果，式看形式”.2422；3355；显然22、31、0.57都是有理数;所以无理数的个数为3.选B.

考点二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。

例1. 2的相反数是（ ）

A．2 B．2 C．22 D．22

分析：本题考查实数的概念――相反数，要注意相反数与倒数的区别，实数a的相反数是-a，选A.要谨防将相反数误认为倒数，错选D

2、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

实数绝对值的应用

4．化简下列各式：

(1) |-1.4| (2) |π-3.142|

(3) |-| (4) |x-|x-3|| (x≤3)

(5) |x2+6x+10|

分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。

解：(1) ∵=1.414„＜1.4

∴|-1.4|=1.4- (2) ∵π=3.14159„＜3.142

∴|π-3.142|=3.142-π

(3) ∵＜, ∴|-|=-

(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,

∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|

=|2x-3| =

说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。

(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|

∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0

∴|x2+6x+10|= x2+6x+10

考点三、平方根、算数平方根和立方根

1、平方根

如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a的平方根记做“a”。

2、算术平方根

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a（a0） 0a

aa2 ；注意a的双重非负性：

-a（a<0） a0

3、立方根

如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：33aa，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

1下列说法中正确的是（ ）

A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、是5的平方根的相反数

【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念， ∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．

∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．

2）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________.

3）___________， ___________，___________.

【答案】1）；.2）-3. 3）， ，

判断下列说法是否正确

（1）的算术平方根是-3； （2）的平方根是±15.

（3）当x=0或2时， （4）是分数

解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故

（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，

故的平方根是.

（3）注意到，当x=0时， =，显然此式无意义，

发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0.

（4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，它是无理数.

3.若11xx2()xy，则x－y的值为（ ）

A．－1 B．1 C．2 D．3

分析：因为x-1≥0，1-x ≥0，所以x≥1，x ≤1，即x＝1.而由11xx2()xy，有1+y＝0，所以y＝-1，x－y＝1-（1）＝2.

已知：一个正数的平方根是2a－1与2－a，求a的平方的相反数的立方根.

分析 由正数的两平方根互为相反得:(2a－1)+(2－a)=0,从而可求出a=－1,问题就解决了.

解 ∵2a－1与2－a是一正数的平方根,∴(2a－1)+(2－a)=0, a=－1. a的平方的相反数的立方根是.113

考点四、科学记数法和近似数

1、有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

2、科学记数法

把一个数写做na10的形式，其中101a，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。

考点五、实数大小的比较

1、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a、b是实数，

,0baba

,0baba

baba0

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，;1;1;1babababababa

（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则baba。

（5）平方法：设a、b是两负实数，则baba22。

（1）比较513与51的大小。 （2）比较1－2与1－3的大小。

解 ∵513－51＝523＜0 ， ∴513＜51。

解 ∵（1－2）－（1－3）=23＞0 ， ∴1－2＞1－3。

1设，则下列结论正确的是（ ）

A. B. C. D.

解析：（估算）因为，所以选B

估计10＋1的值是（ ）

（A）在2和3之间 （B）在3和4之间

（C）在4和5之间 （D）在5和6之间

分析：此题主要考查学生的估算能力，首先要确定10的取值范围，在估算10＋1的取值范围。因为9＜10＜16，所以9＜10＜16，即3＜10＜4，4＜10+1＜5，从而可确定10＋1的取值范围。

解：选C.