2017届福建省惠安县高三质量检查理科数学试题及答案
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惠安县普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的标准差锥体体积公式1ShV=3其中x为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V =Sh 24S R =π，343VR =π 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数i(1i)-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}012<-=x x A ，{}m x x B <=，若“A a ∈”是“B a ∈”的充分而不必要条件，则实数m 的取值可以是（ ） A ．14B ．13C ． 1D ．123．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，682=+a a ，则=9S （ ） A ．227 B ．27 C ．54 D ．1084．已知平面βα,和直线 m ，给出条件：①//m α；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤//αβ．为使m β⊥，应选择下面四个选项中的（ ） A ．③⑤B ．①⑤C ．①④D ．②⑤5．若直线6π=x 是x x x f ωωcos sin 3)(+=的图象的一条对称轴，则ω可以是（ ） A ．1B ．2C ．4D ．56．执行下面的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是（ ）A ．120B ．720C ．1440D ．50407．若函数)(x f 的图象能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分，则函数)(x f 称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆2214x y +=的“可分函数”为（ ） A ．3)(x x f = B ．()sin f x x = C ．xxx f +-=22ln)( D ．()2x x f x e e -=+- 8．函数x x f sin )(=在区间(0,5)π上可找到n )2(≥n 个不同数1x ，2x ，……，n x ，使得：nn x x f x x f x x f )()()(2211=== ，则自然数n 的所有可能取值集合为（ ）A ．}3,2{ B ．}4,3,2{ C ．}5,4,3,2{ D ．}6,5,4,3{ 9．如图，设圆弧221(0,0)x y x y +=≥≥与两坐标轴正半轴围成的扇形区域为M ，过圆弧上一点A 做该圆的切线与两坐标轴正半轴围 成的三角形区域为N .现随机在区域N 内投一点B ，若设点B 落在 区域M 内的概率为P ，则P 的最大值为（ ）A ．14 B ．8π C ．12 D ．4π 10．如图，点(4,4)P是曲线y =段OP 的中点1M 作x 轴的垂线交曲线于点1P ，再过线段1P P 的中点2M作x 轴的垂线交曲线于点2P ，……，以此类推，过线段1n P P -的中点n M 作x 轴的垂线交曲线于点n P （0P 为原点O ，1,2,3,n = ）．设点(1,0)F ，直线n FM 关于直线1n P P -的对称直线为n l （1,2,3,n = ），记直线1n P P -、n l 的斜率分别为1n P P k -、n l k ．若1n n P P l k k λ-≤+对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ取值范围是（ ）A ．]23,(-∞B ．]1,(-∞C ．]21,(-∞ D ．]0,(-∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．在平面直角坐标系下，满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+002y y x yxA所对应的平面区域面积是 ．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .13．已知二项式3322103)12(x a x a x a a x +++=-， 则=++32132a a a .14．直线2=x 与双曲线14:22=-y x C 的渐近线交于B A ,两点，P 为双曲线C 上的一点，且OB b OA a OP +=(+∈R b a ,，O 为坐标原点)，则11a b+的最小值为______． 15．先阅读下面的材料：采用了如下方法：x=，则有x =，两边同时平方，得21x x =+，解得12x +=（负值舍去）．”————根据以上材料所蕴含的数学思想方法，可以求得函数()F x x =的零点为________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分13分)已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，//,AB CD 且,AC BD⊥AC 与BD 交于O ，,2,2PO ABCD PO AB CD ⊥===底面E（Ⅰ）求证：AC EF ⊥；（Ⅱ）求二面角F OE A --的余弦值．17．(本小题满分13分)已知函数A x A x f -+=)6(cos 2)(2ϕπ（R x ∈,0>A ,2||πϕ<）,)(x f y =的部分图像如图所示,P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点,点P 的坐标为),1(A ．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期及ϕ的值；（Ⅱ）若点R 的坐标为)0,1(,32π=∠PRQ ,求A 的值和PRQ ∆的面积．18．(本小题满分13分)如图，在圆22:4O x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．设M为线段PD 的中点．（Ⅰ）当点P 在圆O 上运动时，求点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）若圆O 在点P 处的切线与x 轴交于点N，试判断直线MN与轨迹E的位置关系．19．(本小题满分13分)持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一.为此，某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了10（Ⅰ）请估计该市公众对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值；（Ⅱ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记η为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率)η(kP=取得最大值的整数k .20．(本小题满分14分)设()(1)x f x e a x =-+(e 是自然对数的底数， 71828.2=e )，且0)0(='f ．（Ⅰ）求实数a 的值，并求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设)()()(x f x f x g --=，对任意)(,2121x x R x x <∈，恒有m x x x g x g >--1212)()(成立．求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若正实数21,λλ满足121=+λλ，)(,2121x x R x x ≠∈，试证明：)()()(22112211x f x f x x f λλλλ+<+；并进一步判断：当正实数n λλλ,,,21 满足121=+++n λλλ )2,(≥∈n N n ，且n x x x ,,,21 是互不相等的实数时，不等式<+++)(2211n n x x x f λλλ )()()(2211n n x f x f x f λλλ+++ 是否仍然成立．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转︒45的变换R 所对应的矩阵为M,将每个点横、纵坐标分别变为原来的2倍的变换T 所对应的矩阵为N ． （Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵1-M ；（Ⅱ）求曲线1=xy 先在变换R 作用下，然后在变换T 作用下得到的曲线方程．（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=6sin 36cos 1ππt y t x （t 为参数）．（Ⅰ）分别求出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 在曲线C 上，且P 到直线l 的距离为1，求满足这样条件的点P 的个数．（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲 已知0>>b a ，且bb a a m )(1-+=． （Ⅰ）试利用基本不等式求m 的最小值t ；（Ⅱ）若实数z y x ,,满足t z y x =++2224，求证：32≤++z y x ．惠安县普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．A ； 2．C ； 3．B ； 4．D ； 5．B ； 6．B ； 7．D ； 8．C ； 9．D ； 10．C*10.解析：随着n 的增大，1n P P k -、nl k 均递减，且当点n P 无限趋近于点P 时，1n P P k -无限趋近于点P 处的切线l 的斜率12，又易得直线FP 关于切线l 的对称直线为4y =，即nl k 无限趋近于0（或由抛物线的光学性质知nl k 无限趋近于0），所以1n n PPl k k -+无限趋近于12．二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．11．1； 12．31； 13．6； 14．4； 15*15.解析：令()f x =()(((()))F x f f f f x x =-．若00()f x x =，则000(())()f f x f x x ==，…，00(((()))f f f f x x =；反过来，若0x 满足00(((()))f f f f x x =，由于()f x 在[0,)+∞上单调递增，由反证法可知，必有00()f x x =．综上可知，方程(((()))f f f f x x =与()f x x =同解，得x 值舍去）．三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．满分13分． 证明：（1）E F 、分别是AB AP 、的中点.EF是APB∆的中位线，//,EF PB ∴ (2)分由已知可知,,PO ABCD PO AC ⊥∴⊥ ………………………………………3分,AC BD ⊥ OP BD O = ,AC POB ∴⊥面 …………………………………4分PB POB ⊂面AC PB ∴⊥ …………………………………………………5分.AC EF ∴⊥…………………………………………………………………………6分（2）以,,OB OC OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由题设，得2,1OA OB OC OD ====， …………………………………………7分()()()()0,2,0,2,0,0,0,1,0,1,0,0,(0,0,2)A B C D P --(1,1,0),(0,1,1),OE OF =-=-…………………………………………………………8分设平面OEF 的法向量为(,,)m x y z =00m OE m OF ⎧∙=⎪∴⎨∙=⎪⎩ 可得(1,1,1)m =， ………………………………………………………10分又平面OAE 的法向量为(0,0,1)n =设二面角F OE A --的大小为α，则|||cos |||||m n m n α⋅== ．α 为锐角，∴二面角F OE A --的余弦值为……………………………13分17. 本小题主要考查三角函数的图像和性质、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合、化归与转化思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）)23cos(]1)6(cos 2[)6(cos 2)(22ϕπϕπϕπ+=-+=-+=x A x A A x A x f ． (2)分所以632==ππT ．将),1(A P 代入得1)23cos(=+ϕπ(2||πϕ<），故6πϕ-=．…6分（Ⅱ）设点Q 的坐标为),(0A x -，由题意可知πππ=-330x ，得40=x ，所以),4(A Q - ．连接PQ,则222249)()14(A A A PQ +=--+-=, (8)分又因为A RP =,22229)0()14(A A RQ +=--+-= ………………………………9分在PRQ ∆中,32π=∠PRQ ,由余弦定理得：2222221cos .22RP RQ PQ PRQ RP RQ +-∠===-⋅解得32=A ，又>A ，所以3=A ． (11)分233231232132sin 92132sin 212=⨯⨯⨯=+⋅⋅=⋅⋅=∆ππA A RQ RP S PRQ ………13分18. 本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解：（Ⅰ）设(,)M x y ，则(,2)P x y ． 点P 在圆224x y +=上，22(2)4x y ∴+=，即点M的轨迹E的方程为2214x y +=．…………………………………………4分（Ⅱ）解法一：（i ） 当直线PN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为2x =或2x =-．显然与轨迹E 相切；（ii ）当直线PN 的斜率存在时，设PN 的方程为(0)y kx t k =+≠，因为直线PN 与圆O 相切，所以2=，即22440t k --=．………………7分又直线MN 的斜率等于2k ，点N 的坐标为(,0)t k-．所以直线MN的方程为()2k ty x k=+，即1()2y kx t =+． …………………………9分 由221(),21,4y kx t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222(1)240k x ktx t +++-=． 222(2)4(1)(4)kt k t ∆=-+- 2224(44)0k t k =--=．故直线MN 与轨迹E 相切．综上（i ）（ii ）知，直线MN 与轨迹E 相切． ……………………………………………13分 解法二：设00(,)P x y （0≠x ），则22004x y +=．……………………………………5分（i ）当00=y 时，直线MN 的方程为2x =或2x =-，此时，直线MN 与轨迹E 相切；（ii ）当00≠y 时，直线PN 的方程为0000()()0x x x y y y -+-=，即004x x y y +=．令0y =，则04x x =．04(,0)N x ∴，又点00(,)2y M x ，所以直线MN的方程为00004()42()y y x x x x =--，即00022x y x y y =-+．………………9分由000222,2440,x y x y y x y ⎧=-+⎪⎨⎪+-=⎩得22220000()84160x y x x x y +--+=即2200240x x x y --+=．22220000(2)4(4)4(4)0x y x y ∆=--+=+-= ．所以，直线MN 与轨迹E 相切．综上（i ）（ii ）知，直线MN 与轨迹E 相切．……………………………………………13分19．本小题主要考查样本频率分布、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解: （Ⅰ）该市公众对“车辆限行”的赞成率约为：%64%1005032=⨯．………………2分被调查者年龄的平均约为：4350570560105015401030520=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯…4分（Ⅱ）依题意得：3,2,1,0=ξ……………………………………………………………5分()22642251061545150=,104522575C C p C C ξ==⋅=⋅= ()21112646442222510510415624102341=,1045104522575C C C C C p C C C C ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅= ()111224644422225105104246666222=,1045104522575C C C C C p C C C C ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅= ()124422510461243=,104522575C C p C C ξ==⋅=⋅=………………………………………7分所以ξ的分布列是：所以ξ的数学期望65E ξ=． ……………………………………………………9分（Ⅲ） 2050201832)(C C C k P k k -==η,其中20,4,3,2 =k . …………………………………10分∴)1)(1()20)(32()()1(2018321918132-+--===+=--+k k k k C C C C k P k P kk kk ηη，…………………………………11分当1)1)(1()20)(32(≥-+--k k k k 即521712+≤k 时，)()1(k P k P =≥+=ηη；当1)11)(1()20)(32(<-+--k k k k 即521712+>k 时，)()1(k P k P =<+=ηη.……………12分即)13()4()3()2(=<<=<=<=ηηηηP P P P ；)20()15()14()13(=>>=>=>=ηηηηP P P P .故有：)(k P =η取得最大值时13=k . ………………………………………13分20．本题考查运用导数知识研究函数的图象与性质、函数的应用、不等式问题、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等.满分14分. 解：（Ⅰ）∵ae xf x -=')(，1)0(=-='a f ，故1=a ．……………………………1分令01)(>-='x e x f 得>x ；令01)(<-='x e x f 得x．………………3分<所以),0(+∞；单调递减区间为(xf的单调递增区间为)(-∞．………………4分)0,其中01>x e ，故上式的符号由因式“1212222)(1x x x x e e ---+-λλλ”的符号确定．令12x x t -=，则函数)0(1)(222>-+-=t e e t t t λλϕλ．]1[)()1(22222-=-='-t t t t e e e e t λλλλλϕ，其中0)1(2<-t λ，得01)1(2<--t e λ，故0)(<'t ϕ．即)(t ϕ在),0(+∞上单调递减，且0)0(=ϕ．所以0)(<t ϕ． 从而有)()()(22112211x f x f x x f λλλλ+<+成立． 该不等式能更进一步推广：已知2,≥∈n N n ，n x x x ,,,21 是互不相等的实数，若正实数n λλλ,,,21 满足121=+++n λλλ ，则<+++)(2211n n x x x f λλλ )()()(2211n n x f x f x f λλλ+++ ．）当n综上，对2,≥∈∀n N n 上述不等式都成立．………………………………………………14分 21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ） ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=22222222M ，1=M ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=∴-222222222222222211M M ．…4分（Ⅱ） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2002N ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=22222222M ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1111NM ⎩⎨⎧+='-='∴y x y y x x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'-='+'=22y x y y x x 代入1=xy 中得：422='-'x y ． 故所求的曲线方程为：422=-x y ．…………………………………………7分（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分7分．解：（Ⅰ）由θρcos 4=得θρρcos 42=，故曲线C 的直角坐标方程为：x y x 422=+，即4)2(22=+-y x ；由直线l 的参数方程消去参数t 得)1(333-=+x y ， 即043=--y x ．………………………………………………………………4分（Ⅱ）因为圆心)0,2(C 到到直线l 的距离为1314032=+-⋅-=d ，d 恰为圆C 半径的21，所以圆C 上共有3个点到直线l 的距离为1．………………………………7分（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲本小题主要考查基本不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分． 解：（Ⅰ）由三个数的均值不等式得：3)(1)(3)(1)(3=-⋅-≥-++-=bb a b b a b b a b b a m （当且仅当b a b b a -==-1即2,1==a b 时取“=”号），故有3=t ． (4)分（Ⅱ）3=++z y x ，由柯西不等式得：2222222)2()111]()2([z y x z y x ++≥++++（当且仅当1121z y x ==即53,56===y z x 时取“=”号） 整理得：9)2(2≤++z y x ，即32≤++z y x ．……………………………7分。
