安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学试卷(理)(含解析)
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安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测
数学试题（理）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知为虚数单位，，则复数的虚部为( ).
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】,故虚部即为i的系数，为-2，故选D。
2.集合，，则=( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解得集合，
所以，故选C。
3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为(
).
A. 63 B. 47 C. 23 D. 7
【答案】C
【解析】n=15,i=2不满足条件，继续循环，得到n=11,i=3不满足条件 ,继续循环，n=23,i=4,满足条件，退出循环，输出n，即可。故选C。
4.已知正项等差数列的前项和为()，，则的值为( ).
A. 11 B. 12 C. 20 D. 22 【答案】D
【解析】结合等差数列的性质，可得，而因为该数列为正项数列，可得
，所以结合，可得，故选D。
5.已知偶函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的( ).
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】结合偶函数的性质可得,而当,所以结合在
单调递增,得到,故可以推出.举特殊例子,,但是,故由无法得到,故是
的充分不必要条件,故选A.
6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上
B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
【答案】D
【解析】A选项，可知90后占了56%，故正确；B选项，技术所占比例为39.65%,故正确；
C选项，可知90后明显比80多前，故正确；D选项，因为技术所占比例，90后和80后不清楚，所以不一定多，故错误。故选D。
7.平面外有两条直线，，它们在平面内的射影分别是直线，，则下列命题正确的是( ).
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若和相交，则和相交或异面
【答案】D 【解析】A选项，若，则m不一定垂直n，可能m,n的夹角为钝角或者锐角，故错误；B选项，若，则a不一定垂直b，可能a,b夹角为钝角或锐角，故错误；C选项，若m平行n，则a与b可能异面，故错误；D选项，若m和n相交，可能a在b的上方，此时异面，a与b也可能相交，故正确。故选D。
8.若展开式的常数项为60，则值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为展开式的通项为，
令，则，所以常数项为，即，所以.
故选D
9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为(
).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本道题结合三视图，还原直观图，计算体积，即可。
【详解】结合三视图，还原直观图，得到
三棱锥P-ABC即为该几何体，结合题意可知AB=4，AC=2，高h为2，故体积为
，故选C。
10.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分两种情况，第一种第一次摸到连号，则概率为，第二种情况对应概率为，所以概率为，故选C。
11.设双曲线()的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点，连结，若，，则双曲线的离心率为( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】结合题意可知,设
则结合双曲线的性质可得,
代入,解得,所以,
对三角形运用余弦定理,得到
,解得
故选B.
12.已知函数有两个不同的极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是( ).
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】计算导数得到，结合构造新函数得到
要使得存在两个不同的极值点，则要求有两个不同的根，且，则，解得，而 ，构造新函数，计算导数得到，结合前面提到的a的范围可知在单调递增，故，因而，表示为区间则是，故选A。
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.设满足约束条件，则的取值范围为_________.
【答案】
【解析】结合不等式组,绘制可行域,得到
转化目标函数,得到,，从虚线平移,运动到A点,z取到最小值，为-1，运动到C点，z取最大值，为-6，故z的范围为
14.若非零向量满足，则__________.
【答案】1
【解析】结合可知，得到
15.在锐角中，，，则中线AD长的取值范围是_________.
【答案】
【解析】设，，对运用正弦定理，得到
，解得，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组 ，解得，故，结合二次函数性质，得到，运用向量得到，
所以
，结合bc的范围，代入，得到的范围为
16.在平面直角坐标系中，点()()，记的面积为，则____________.
【答案】
【解析】结合题意,得到,所以该三个点组成的三角形面积为,对面积求和设得到
,
,
两式子相减,得到,解得
.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期；
(Ⅱ)若，，求.
解：(Ⅰ)∵，
∴函数的最小正周期为.
(Ⅱ)由可得，.
∵，∴.
又∵，∴， ∴，
∴.
18.在四棱锥中，，.
(Ⅰ)若点为的中点，求证：∥平面；
(Ⅱ)当平面平面时，求二面角的余弦值.
(Ⅰ)证明：取的中点为，连结，.
由已知得，为等边三角形，.
∵，，
∴，
∴，∴.
又∵平面，平面，
∴∥平面.
∵为的中点，为的中点，∴∥.
又∵平面，平面，
∴∥平面.
∵，∴平面∥平面.
∵平面，∴∥平面.
(Ⅱ) 解：连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，.
∵平面平面，，
∴平面，，.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.
则(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1). 易知平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则，，∴，
∵，，∴.
令，得，∴，
∴.
设二面角的大小为，则.
19.每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图：
(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；
(Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间近似服从正态分布，其中近似地等于样本平均数，近似地等于样本方差，.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数.
附：.若随机变量服从正态分布，则，.
解：(Ⅰ)；
(Ⅱ)由题意得，，， 所以估计该人群中一周睡眠时间在区间的人数约为(人)；
20.设椭圆()的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为知，，
∴椭圆的方程可设为.
易求得，∴点在椭圆上，∴，
解得，∴椭圆的方程为.
(Ⅱ)当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，由(Ⅰ)知，，
，∴.
当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，，
∴，即.
联立直线和椭圆的方程得，
∴，得.
∵，
∴，
，
∴.
综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点，都有.
在中，由与相似得，为定值.
21.已知函数(为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)若，，试求函数极小值的最大值. 解：(Ⅰ)易知，且.
令，则，
∴函数在上单调递增，且.
可知，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
(Ⅱ)∵，∴.
由(Ⅰ)知，在上单调递增，
当时，；当时，，则有唯一解.
可知，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴函数在处取得极小值，且满足.
∴.
令，则.
可知，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
∴.
∴函数极小值的最大值为1.
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求，交点的直角坐标；
（2）设点的极坐标为，点是曲线上的点，求面积的最大值.
解：(Ⅰ)，，∴，∴.
联立方程组得，解得，，
∴所求交点的坐标为，.
