挑战奥数复杂图形的面积

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本講主要通過求一些不規則圖形的面積，體會一種轉化思想，重點在於把不規則圖形轉化為規則圖形的方法，包括平移、旋轉、割補、差不變原理，通過這些方法的學習，讓學生體會求面積的技巧，提高學生的觀察能力、動手操作能力、綜合運用能力．

【例 1】 你有什麼好的方法計算所給圖形的面積呢？(單位：釐米)

3994399439943994 圖1 圖2

圖3

【考點】不規則圖形的面積 【難度】1星 【題型】解答

【解析】 (方法一)採用分割法，可給原圖分成兩個長方形，(圖1或圖2)兩個長方形的總面積就是所求的

面積．圖1的面積是： 4(93)9375(平方釐米)．圖2的面積是：

(94)39475(平方釐米)．

(方法二)採用補圖法，如果補上一個邊長是9釐米的正方形(圖3)，就成了一個面積是：

(49)(93)156(平方釐米)的大長方形．因此用這個長方形的面積減去所補正方形的面積，就是要求的圖形面積(49)(93)9975(平方釐米)．

【答案】75平方釐米

【鞏固】如圖是學校操場一角，請計算它的面積(單位：米) 例題精講

4-2-6.不規則圖形的面積 ....

..... 30203040

【考點】不規則圖形的面積 【難度】1星 【題型】解答

【解析】 這是一個不規則圖形，怎樣使它能轉化為我們熟悉的基本圖形呢？可以在圖中添上一條輔助線，把多邊形切割成上下兩個長方形或左右兩個長方形；也可以把多邊形補充完整，成為一個長方形；

302030403020304030203040 圖一 圖二 圖三

方法一：如圖一，3040203040120014002600（）(平方米)

方法二：如圖二，203040203060020002600（）(平方米)

小学奥数几何专题--复杂直线型面积-1（六年级）竞赛测试

姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________

题型 选择题 填空题 简答题 xx题 xx题 xx题 总分

得分

一、xx题

（每空xx 分，共xx分）

【题文】如图，正方形ABCD的边长为6，1.5，2．长方形EFGH的面积为多少．

【答案】33

【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．

三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

,所以长方形EFGH面积为33．

【题文】如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？

评卷人 得分

【答案】6.4

【解析】

本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．

证明：连接．(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起)．

∵在正方形中，边上的高，

∴(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)

同理，．

∴正方形与长方形面积相等．

长方形的宽(厘米)．

【题文】长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？

【答案】13.5

【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接、，如下图：

可得：、、，而

即；

而，．

所以阴影部分的面积是：

解法二：特殊点法．找的特殊点，把点与点重合，

那么图形就可变成右图：

这样阴影部分的面积就是的面积，根据鸟头定理，则有：

．

【题文】在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分的面积．

【答案】15

【解析】（法1）

特殊点法．由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点与点重合，则阴影部分变为如上图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面积为平方厘米．

1 巧求图形面积

一、知识要点

1. 基本平面图形特征及面积公式

特征 面积公式

正方形

①四条边都相等。

②四个角都是直角。

③有四条对称轴。

S=a2

长方形

①对边相等。

②四个角都是直角。

③有二条对称轴。

S=ab

平行四边形

①两组对边平行且相等。

②对角相等，相邻的两个角之和为180°

③平行四边形容易变形。

S=ah

三角形

①两边之和大于第三条边。

②两边之差小于第三条边。

③三个角的内角和是180°。

④有三条边和三个角，具有稳定性。

S=ah÷2

梯形

①只有一组对边平行。

②中位线等于上下底和的一半。

S=(a+b)h÷2

2.

基本解题方法：

由两个或多个简单的基本几何图形组合成的组合图形，要计算这样的组合图形面积，先根据图形的基本关系，再运用分解、组合、平移、割补、添辅助线等几种方法将图形变成基本图形分别计算。

【典型例题】

【例1】 已知平行四边表的面积是28平方厘米，

求阴影部分的面积。

【练一练】如果用铁丝围成如下图一样的

平行四边形，需要用多少厘米铁丝？

（单位：厘米）

【例2】下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【练一练】求图中阴影部分的面积。

（单位：厘米）

2

【例3】如图所示，甲三角形的面积比

乙三角形的面积大6平方厘米，求CE的长度。

【练一练】平行四边形ABCD的边长

BC=10厘米，直角三角形BCE的直角

边EC长8厘米，已知阴影部分的面积比

三角形EFG的面积大10平方厘米。

求CF的长。

【例4】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：厘米）

【练一练】下面的梯形ABCD中，下底是

上底的2倍，E是AB的中点，求梯形ABCD

的面积是三角形EDB面积的多少倍？

【练一练】

【练一练】计算下面图形的面积。

【练习与拓展】

第十讲 格点与切割

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格点面积及切割是竞赛考试的一个难点知识，本讲将学习正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题。通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题。

利用格点求图形的面积有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。 格点面积公式=中间格点数+图形一周的格点数÷2﹢1

典型例题

【例1】图中相邻两格点问的距离均为1厘米，三个多边形的面积分别是多少平方厘米?

【例2】图中每个小正方形的面积均为2平方厘米，阴影多边形的面积是多少平方厘米?

【例3】如图所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米，四边形ABCD和三角形EFG的面积分别是多少平方厘米?

【例4】如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH，已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米。求长方形EFGH的面积。

【例5】如图所示，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?

【例6】如图，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，求阴影部分的面积。

【例7】如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点。请问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?

【例8】已知大的正六边形面积是72平方厘米，按图中不同方式切割(切割点均为等分点)，形成的阴影部分面积各是多少平方厘米?

小试身手

（1）下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为l平方厘米。三个多边形的面积分别为多少平方厘米?