吉林省重点中学2011届高三数学第一次模拟考试试题 理

吉林省重点中学2011届高三数学第一次模拟考试试题 理

A 卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）

1．已知集合24Mxx，2230Nxxx，则集合MN （ ）

A．}2|{xx B．}3|{xx

C．}21|{xx D．}32|{xx

2．复数i12i (i是虚数单位)的实部是 （ ）

A．25 B．25 C．15 D．15

3．命题“若00,022baba且则”的逆否命题是 （ ）

A．若00,022baba且则 B．若00,022baba或则

C．若则0,0022baba则且 D．若0,0022baba则或

4．函数2ln(1)34xyxx的定义域为 （ ）

A．(4,1) B．(4,1) C．(1,1) D．(1,1]

5．下列命题中，真命题的是 （ ）

A．0sincos22xxx，， B．2(3)31xxx，，

C．2R1xxx， D．()tansin2xxx，，

6．命题甲：p是q的充分条件；命题乙：p是q的充分必要条件，则命题甲是命题乙的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．从总数为N的一群学生中抽取一个容量为100的样本，若每个学生被抽取的概率为41，则N的值 （ ）

A．25 B．75 C．400 D．500

8．一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）

则该几何体的体积（单位：m3）为 （ ）

A．27 B．29 C．37 D．49

9．阅读程序框图，若输出的S的值等于16，那么在程序框图中的

判断框内应填写的条件是 （ ）

A．i＞5 B．i＞6 C．i＞7 D．i＞8

10．正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为60，则该棱锥

的体积为 （ ）

A．3 B．6 C．9 D．18

11．已知等差数列}{na，151a，555S，则过点),3(2aP，

),4(4aQ的直线的斜率为 （ ）

A．4 B．41 C．4 D．41

12．过抛物线)0(22ppxy的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物

线在第一、四象限分别交于A、B两点，则||||BFAF的值等于 （ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

B 卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）

13．过双曲线22221xyab的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为___________．

14．在全运会期间，5名志愿者被安排参加三个不同比赛项目的接待服务工作，则每个项

目至少有一人参加的安排方法有 ．

15．若20daxx，则在251(3)xax的二项展开式中，常数项为 ．

1

2

3

2 3 3 7

1 0 1

4 7 5

4 2 3

2

甲 乙

16．设{}na是一个公差为d（d＞０）的等差数列．若12233411134aaaaaa，且其前6项的和621S，则na＝ ．

三、解答题（本大题共6小题，共计70分）

17．（本小题满分12分）

已知函数)0)(2sin(sin3sin)(2xxxxf的最小正周期为．

（Ⅰ）求()fx；

（Ⅱ）当]2,12[x时，求函数)(xf的值域．

18．（本小题满分12分）

某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示．

（Ⅰ）求甲、乙两名运动员得分的中位数；

（Ⅱ）你认为哪位运动员的成绩更稳定？

（Ⅲ）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．

19．（本小题满分12分）

已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90º，2BCRB．点A、D分别是RB、RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，连结PB、PC．

（Ⅰ）求证：BC⊥PB；

（Ⅱ）求二面角PCDA的余弦值．

20．（本小题满分12分）

设椭圆)0(1:2222babyaxC的离心率，12e右焦点到直线1byax的距离,721dO为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（II）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于,AB两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．

21．（本小题满分12分）

已知函数axxgxxf221,ln（a为常数），直线l与函数xgxf、的图象都相切，且l与函数xf的图象的切点的横坐标为l．

（Ⅰ）求直线l的方程及a的值；

（Ⅱ）当k＞0时，试讨论方程kxgxf21的解的个数．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本小题满分10分）

如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．

（Ⅰ）求证：△ABE≌△ACD；

（Ⅱ）若AB＝6，BC＝4，求AE．

23．（本小题满分10分）

已知函数()213fxxx.

（Ⅰ）解不等式()fx≤4；

（Ⅱ）若存在x使得()fxa≤0成立，求实数a的取值范围．

24．（本小题满分10分）

已知直线l经过点P（1，1），倾斜角6．

（Ⅰ）写出直线l的参数方程

（Ⅱ）设l与圆x2＋y2＝4相交与两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．

参考答案 .21)62sin(21x

18．解：（Ⅰ）运动员甲得分的中位数是22，运动员乙得分的中位数是23………2分

（Ⅱ）21732232224151714甲x…………………3分

12131123273130217x乙…………………4分

2222222221-1421-1721-1521-2421-2221-2321-3223677S甲…………………………………………………………………………………5分

2222222221-1221-1321-1121-2321-2721-3121-3046677S乙……………………………………………………………………………………………6分

22S乙甲S，从而甲运动员的成绩更稳定………………………………7分

（Ⅲ）从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为49

……8分

∵ AABPAABBC,,

∴ BC⊥平面PAB． …… 4分

∵ PB平面PAB,

∴ PBBC． …… 6分

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系xyzA．

则D（－1，0，0），C（－2，1，0），

P（0，0，1）．∴DC=（－1，1，0），

DP=（1，0，1）, ……8分

设平面PCD的法向量为),,(zyxn，则

∴ 二面角PCDA的余弦值是33． ………………12分 zyxRADBCP（第19题图） 20．解：（I）由.3,22121cbcaace即得

由右焦点到直线1byax的距离为,721d

即,0)()1(221212mxxkmxxk

,043843124)1(222222mkmkkmk

即弦AB的长度的最小值是.7214 …………13分

21．解：（1）

axyxaylagxxgxylflfxxf21,121:.211,11','1:1,0111,11',1'即＋，切点为又，即），，切点为（的斜率为故直线

比较①和②的系数得21,121aa。

（2）kxxkxgxf21211ln,1222即由

.1,1,0,1'.11112',21211ln12212221xyxxxxxxxykyxxy解得令设

x 1, －1 (－1,0) 0 (0，1) 1 ,1

1'y + 0 － 0 + 0 －

1y ↗ 极大值ln2 ↘ 极小值21 ↗ 极大值ln2 ↘

由函数1y在R上各区间上的增减及极值情况，可得 ①②（1）当210k时有两个解；

（2）当21k时有3个解；

（3）当2ln21k时有4个解

（4）当k=ln2时有2个解；

（5）当2lnk时无解。

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

解:（Ⅰ）在ΔABE和ΔACD中，

∵ACAB ∠ABE=∠ACD………………2分

又，∠BAE=∠EDC

∵BD//MN

∴∠EDC=∠DCN

∵直线是圆的切线，

∴∠DCN=∠CAD

∴∠BAE=∠CAD

（2）把直线312112xtyt代入422yx

得22231(1)(1)4,(31)2022tttt