力学中的刚体转动

刚体力学中的转动惯量与角速度关系

转动惯量是刚体力学中一个重要的概念，它描述了刚体绕某一轴旋转时所表现出的惯性。在刚体的转动运动中，角速度是时间内角度的改变率，而转动惯量则与刚体的质量分布和轴线的位置有关。本文将探讨转动惯量与角速度之间的关系，从而揭示刚体在转动过程中的特性。

刚体的转动惯量可以通过一种量化的方式来描述，即使用转动惯量的概念。对于旋转轴与刚体的质心轴线平行的情况，转动惯量可以表示为I=∫r^2dm，其中r是一个质点到转轴的距离，m是质点的质量。转动惯量可以看作是刚体对转动运动抵抗的程度，转动惯量越大，刚体越难以改变旋转状态。同样的，转动惯量也可以通过质量的分布情况来计算。

在研究转动惯量与角速度之间的关系时，有一个重要的概念需要引入，即角动量。角动量L定义为L=Iω，其中I是刚体的转动惯量，而ω是角速度。可以看出，角动量与转动惯量和角速度有直接的关系，即角动量正比于转动惯量和角速度的乘积。换句话说，刚体的角动量与其转动惯量和角速度息息相关。

根据角动量守恒定律，当没有外力作用在刚体上时，刚体的角动量保持不变。这意味着，在转动过程中，刚体的转动惯量与角速度之间的关系可以通过角动量来刻画。当刚体围绕固定轴线旋转时，由于角动量守恒，只要转动惯量不变，角速度越大，刚体的角动量越大，转动状态越稳定。反之，如果角速度较小，刚体的角动量也会减少，从而导致转动不稳定。

然而，在实际情况中，转动惯量与角速度之间的关系往往并不是简单的线性关系。在考虑了刚体几何形状和转动轴的位置之后，转动惯量可以表示为一组复杂的数学表达式，而角速度也不再是一个简单的常数。这使得将转动惯量与角速度之间的关系一般化变得具有挑战性。 然而，对于一些特殊情况下的刚体，转动惯量与角速度之间的关系是可以通过一些简单的公式来描述的。例如，对于一个绕固定轴线旋转的均质球体，其转动惯量可以表示为I=2/5mr^2，其中m是球体的质量，r是球体的半径。根据这个公式，可以看出当角速度增大时，球体的转动惯量也会增大。

第四章 刚体力学的定轴转动

习 题

4-1 一飞轮以转速n =15001rmin转动，受制动均匀减速，经t=50s后静止．

（1）求角加速度和从制动开始到静止这段时间飞轮转过的转数N；

（2）求制动开始后t=25s时，飞轮的角速度；

（3）设飞轮的半径r=1m,求在t=25s时飞轮边缘上一点的速度和加速度．

4-2 (1) 一个橡皮球，半径R=0．02m，质量m=1kg，绕其直径急速转动，设转速为110revs．求其转动惯量和转动动能．(其转动惯量按球壳公式计算)

（2）地球的质量246.010kgM,半径R取为6．4×610m，求其对自转轴的转动惯量和自转运动的动能．(假定地球密度均匀，其转动惯量可按匀实球体公式计算．)

4-3 飞轮的质量m=60kg，半径R=0.25m,绕其水平中心轴O转动，转速为1900revmin．现利用一制动用的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F，可使飞轮减速．已知闸杆的尺寸如图所示，闸杆与飞轮之间的摩擦系数0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算． 图4-13

（1）设F=100N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转?

（2）如果在2s内使飞轮转速减为一半,需加多大的制动力F?

4-4 转动惯量为220kgm、直径为50cm的飞轮以1105rads的角速度旋转．现用闸瓦将其制动，闸瓦对飞轮的正压力为400N，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0．50．求：

（1）闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩；

（2）从开始制动到停止,飞轮转过的转数和经历的时间；

（3）摩擦力矩所作的功．

4-5 试求均质圆环（m、R为已知）对中心垂直轴的转动惯量．

4-6 一个水平放置的圆盘绕竖直轴旋转，角速度为1，它相对于此轴的转动惯量为1J．现在它的正上方有一个以角速度为2转动的圆盘，这个圆盘相对于其对称轴的转动惯量为2J．两圆盘相平行，圆心在同一条竖直线上．上盘的底面有销钉，如果上盘落下，销钉将嵌入下盘，使两盘合成一体．求：

刚体力学中的转动和平衡条件

刚体力学是物理学中一门重要的学科，它研究的是刚体在外力作用下的运动和平衡条件。转动和平衡是刚体力学中两个基本的概念，它们对于理解物体的力学行为具有重要意义。

一、转动的基本概念

转动是指物体绕固定轴线或转轴进行旋转的运动。在刚体力学中，我们通常使用转动惯量来描述物体在转动时对转轴的旋转惯性。转动惯量与物体的质量和几何形状有关，可以通过质量分布和离转轴距离的积分来计算。

转动的力矩是引起物体转动的力的效果。力矩的大小等于力乘以力臂，力臂是力相对于转轴的垂直距离。根据牛顿第二定律，物体的转动加速度与力矩成正比，与转动惯量成反比。这就是著名的欧拉定理：转动惯量乘以转动加速度等于力矩。

二、平衡的概念和条件

当物体处于平衡状态时，它的重心不会偏离平衡位置，而且旋转加速度为零。平衡可以分为静态平衡和动态平衡。

静态平衡指的是物体在不受外力作用时保持静止的状态。为了实现静态平衡，物体必须满足两个条件：合力为零，合力矩为零。

合力为零意味着物体所受的所有力在任何方向上的分量都相互抵消。这可以通过平行四边形法则来分析，将各力按其作用线的方向绘制成矢量，然后将这些矢量按照平行四边形的法则相加，如果合力为零，则物体处于平衡状态。

合力矩为零意味着物体所受的所有力矩对转轴的合力矩为零。在平衡时，物体上的每一个力矩都可以通过力乘以力臂来计算，然后将这些力矩相加。如果合力矩为零，则物体处于平衡状态。 动态平衡指的是物体在受到外力作用时，保持一种稳定的运动状态。在动态平衡条件下，物体的加速度为零，且物体所受的合力与合力矩也为零。

为了实现动态平衡，物体必须具有一定的角动量和角动量守恒条件。角动量是物体旋转时的运动量，它等于转动惯量乘以角速度。根据角动量守恒定律，当物体在没有外力作用下旋转时，它的角动量保持不变。

三、转动和平衡条件的应用

转动和平衡条件在工程和科学研究中有广泛的应用。在机械工程中，对于各种机械系统的设计和分析，刚体力学的转动和平衡条件是关键要素。

２３酱第３期　郑州铁路职业技术学院学报　Ｖｏ１．２３　Ｎｏ．３　２０　１　１年９月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　ＺｈｅｎｇｚｌｌＯＵ　Ｒａｉｌｗａｙ　Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ＆ＴｅｅｈｎｉｃＭ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｓｅｐ．２０ｌ　１　

刚体转动惯量在体育竞技中的应用　

董天立张超平　

（郑州铁路职业技术学院，河南郑州４５００５２）　

摘要：刚体转动惯量不仅与刚体的质量大小有关，而且与质量分布也有关，工程实际中有许多合理利用　刚体转动惯量的实例。在体育竞技中也不例外，运动员在训练和比赛过程中，若能合理利用转动惯量，对于完　

成高难度动作、提高动作的艺术性、观赏性，获得更好的竞技成绩是很有帮助的。　关键词：转动惯量；动量矩；舞蹈　

转动惯量是刚体动力学中的一个重要概念，工　程实际中有许多合理利用刚体转动惯量的实例，例　如，减小电动机转子的转动惯量，可以提高电动机的　

启动速度；增大发动机飞轮的转动惯量，可以使发动　机运转更平稳等。运动员在训练和比赛过程中，如　

果能合理利用转动惯量，可以使训练更科学，动作更　优美。　

一、刚体转动惯量在体育舞蹈中的应用　体育舞蹈项目以其优美的姿态、明快的节奏以　及强烈的感染力赢得了人们的喜爱，在国际上得到　

了广泛的开展。转体是体育舞蹈项目的一种基本技　术，其主要是指围绕身体垂直轴（纵轴），单脚或双脚　站立的旋转运动。从力学方面讲实现转体运动可以　

分为两个阶段：　１．启动阶段　

运动员转体时，一只脚作为支撑轴，另一只脚用　力蹬地（如图１），根据作用力与反作用力原理，地面　给运动员一个大小相等，方向相反的反作用力，使人　体获得了来自外界的驱动力矩，从而获得了朝着预　

定方向转体的角动量（动量矩）。　圈１　

转动刚体动力学基本原理：　Ｊ＝Ｉｚ・【１）　（１）　

祟＝Ｍ　２）　

式中：Ｊ一角动量，　Ｉ　一转动惯量，　

∞一角速度，　Ｍ－－￣￣力矩。　根据式（１），在此阶段为了获得较大的角动量，　应该设法增大转动惯量，根据刚体转动惯量计算方