高考数学复习：专题二 3第3讲 平面向量与复数

第3讲 平面向量与复数

平面向量的概念与线性运算

[核心提炼]

1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；

2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．

[典型例题]

(1)(2019·杭州模拟)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝( )

A．a－12b

B．12a－b

C．a＋12b D．12a＋b

(2)(2019·金华市十校联考)已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足OP→＝14(OA→＋OB→＋2OC→)，则S△PABS△OAB为( )

A．32 B．23

C．2 D．12

(3)(2019·嘉兴七校联考)在△ABC中，点D满足BD→＝34BC→，当点E在射线AD(不含点A)上移动时，若AE→＝λAB→＋μAC→，则(λ＋1)2＋μ2的取值范围为________．

【解析】 (1)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD→＝12AB→＝12a，

所以AD→＝AC→＋CD→＝b＋12a.

(2)如图，延长CO，交AB中点D，O是△ABC的重心，则OP→＝14(OA→＋OB→＋2OC→)＝14(2OD→＋2OC→)＝14(－OC→＋2OC→)＝14OC→，

所以OP＝14OC＝14×23CD＝16CD；

所以DP＝DO＋OP＝13CD＋16CD＝12CD，DO＝13CD；

所以S△PABS△OAB＝DPDO＝12CD13CD＝32.

(3)因为点E在射线AD(不含点A)上，设AE→＝kAD→(k>0)，又BD→＝34BC→，

所以AE→＝k(AB→＋BD→)＝

kAB→＋34（AC→－AB→）＝k4AB→＋3k4AC→，

所以λ＝k4μ＝3k4，(λ＋1)2＋μ2＝k4＋12＋916k2＝58k＋252＋910>1，故(λ＋1)2＋μ2的取值范围为(1，＋∞)．

【答案】 (1)D (2)A (3)(1，＋∞)

平面向量的线性运算技巧

(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用．

(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．

[对点训练]

1．(2019·瑞安市四校联考)设M是△ABC边BC上的点，N为AM的中点，若AN→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ的值为( )

A.14 B.13 C.12 D.1

解析：选C.因为M在BC边上，所以存在实数t∈[0，1]使得BM→＝tBC→.

AM→＝AB→＋BM→＝AB→＋tBC→＝AB→＋t(AC→－AB→)＝(1－t)AB→＋tAC→，

因为N为AM的中点，

所以AN→＝12AM→＝1－t2AB→＋t2AC→，

所以λ＝1－t2，μ＝t2，所以λ＋μ＝1－t2＋t2＝12，故C正确．

2．(2019·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC中，BC＝7，AC＝6，cos C＝267.若动

点P满足AP→＝(1－λ)AB→＋2λ3AC→，(λ∈R)，则点P的轨迹与直线BC，AC所围成的封闭区域的面积为( )

A．5 B．10

C．26 D．46

解析：选A.设AD→＝23AC→，

因为AP→＝(1－λ)AB→＋2λ3AC→＝(1－λ)AB→＋λAD→，

所以B，D，P三点共线．

所以P点轨迹为直线BC.

在△ABC中，BC＝7，AC＝6，cos C＝267，

所以sin C＝57，

所以S△ABC＝12×7×6×57＝15，

所以S△BCD＝13S△ABC＝5.

3．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB→＋λ2BC→＋λ3CD→＋λ4DA→＋λ5AC→＋λ6BD→|的最小值是________，最大值是________．

解析：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，所以λ1AB→＋λ2BC→＋λ3CD→＋λ4DA→＋λ5AC→＋λ6BD→＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当λ1－λ3＋λ5－λ6＝0λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB→＋λ2BC→＋λ3CD→＋λ4DA→＋λ5AC→＋λ6BD→|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB→＋λ2BC→＋λ3CD→＋λ4DA→＋λ5AC→＋λ6BD→|取得最大值22＋42＝25.

答案：0 25

平面向量的数量积

[核心提炼]

1．平面向量的数量积的两种运算形式

(1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cos θ(其中θ为向量a，b的夹角)；

(2)坐标运算：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，a·b＝x1x2＋y1y2.

2．平面向量的三个性质

(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.

(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.

[典型例题]

(1)(2018·高考浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是( )

A．3－1 B．3＋1

C．2 D．2－3

(2)(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝k，|c|＝2－k且a＋b＋c＝0，则b与c夹角的余弦值的取值范围是________．

【解析】 (1)设O为坐标原点，a＝OA→，b＝OB→＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为π3，所以不妨令点A在射线y＝3x(x>0)上，如图，数形结合可知

|a－b|min＝|CA→|－|CB→|＝3－1.故选A.

(2)设b与c的夹角为θ，由题b＋c＝－a，

所以b2＋c2＋2b·c＝1.

即cos θ＝2k2－4k＋32k2－4k＝1＋32（k－1）2－2.

因为|a|＝|b＋c|≥|b－c|，所以|2k－2|≤1.

所以12≤k≤32.

所以－1≤cos θ≤－12.

【答案】 (1)A (2)－1，－12

(1)平面向量数量积的计算

①涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路

(ⅰ)直接利用数量积的定义；

(ⅱ)建立坐标系，通过坐标运算求解．

②在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算．

(2)求解向量数量积最值问题的两种思路

①直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．

②建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．

[对点训练]

1．(2019·嘉兴市高考一模)已知平面向量a、b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝12，若向量c满足|a－b＋c|≤1，则|c|的最大值为( )

A．1 B．2

C．3 D．2

解析：选D.由平面向量a、b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝12，

可得|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1·1·cos〈a，b〉＝12，

由0≤〈a，b〉≤π，可得〈a，b〉＝π3，

设a＝(1，0)，b＝12，32，c＝(x，y)，

则|a－b＋c|≤1，即有12＋x，y－32≤1，

即为x＋122＋y－322≤1，

故|a－b＋c|≤1的几何意义是在以－12，32为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，|c|的几何意义是表示向量c的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.

2．如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O.记I1＝OA→·OB→，I2＝OB→·OC→，I3＝OC→·OD→，则( )

A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2

C．I3 ＜ I1＜I2 D．I2＜I1＜I3

解析：选C.如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AOI3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，所以OB

所以|OA→|·|OB→|<|OC→|·|OD→|，而cos∠AOB＝cos∠COD<0，所以OA→·OB→>OC→·OD→，即I1>I3.所以I3

3．(2019·金华十校高考模拟)若非零向量a，b满足：a2＝(5a－4b)·b，则cos〈a，b〉的最小值为________．

解析：非零向量a，b满足：a2＝(5a－4b)·b，

可得a ·b＝15(a2＋4b2)＝15(|a|2＋4|b|2)≥15·2|a|2·4|b|2＝45|a|·|b|，

即有cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|≥45·|a|·|b||a|·|b|＝45，

当且仅当|a|＝2|b|，取得最小值45.

答案：45

平面向量与其他知识的交汇

[核心提炼]

平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、数列、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．

[典型例题]

(1)如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，BD→＝3DC→，En(n∈N*)为边AC上的列点，满足EnA→＝14an＋1·EnB→－(3an＋2)EnD→，其中实数列{an}中，an＞0，a1＝1，则数列{an}的通项公式为an＝( )

A．3·2n－1－2 B．2n－1