271.高中数学 3.3.3函数的最大(小) 值与导数教案 新人教A版选修1-1

甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 3.3.3函数的最大（小） 值与导数教案 新人教A版选修1-1

（包括端点ba,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；

⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤

教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．

教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．

教学过程：

一．创设情景

我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果0x是函数yfx的极大（小）值点，那么在点0x附近找不到比0fx更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果0x是函数的最大（小）值，那么0fx不小（大）于函数yfx在相应区间上的所有函数值．

二．新课讲授

观察图中一个定义在闭区间ba,上的函数)(xf的图象．图中)(1xf与3()fx是极小值，2()fx是极大值．函数)(xf在ba,上的最大值是)(bf，最小值是3()fx．

1．结论：一般地，在闭区间ba,上函数()yfx的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()yfx在ba,上必有最大值与最小值．

说明：⑴如果在某一区间上函数()yfx的图像是一条连续不断的曲线，则称函数()yfx在这个区间上连续．（可以不给学生讲）

⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)ab内连续的函数)(xf不一定有最大值与最小值．如函数xxf1)(在),0(内连续，但没有最大值与最小值；

⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，

⑷函数)(xf在闭区间ba,上连续，是)(xf在闭区间ba,上有最大值与最小值的充分条件而非x3x2x1baxOy

必要条件．（可以不给学生讲）

2．“最值”与“极值”的区别和联系

⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．

⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；

⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

3．利用导数求函数的最值步骤:

由上面函数)(xf的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．

一般地，求函数)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求)(xf在(,)ab内的极值；

⑵将)(xf的各极值与端点处的函数值)(af、)(bf比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(xf在ba,上的最值

三．典例分析

例1．（课本例5）求31443fxxx在0,3的最大值与最小值

解： 由例4可知，在0,3上，当2x时，()fx有极小值，并且极小值为4(2)3f，又由于04f，31f

因此，函数31443fxxx在0,3的最大值是4，最小值是43．

上述结论可以从函数31443fxxx在0,3上的图象得到直观验证．

例2．求函数5224xxy在区间2,2上的最大值与最小值

解：先求导数，得xxy443/

令/y＝0即0443xx解得1,0,1321xxx

导数/y的正负以及)2(f，)2(f如下表

X -2 （-2,-1） -1 （-1,0） 0 （0,1） 1 （1,2） 2

y/ － 0 ＋ 0 － 0 ＋

y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13

y=x4-2x2+512108642-4-242xOy从上表知，当2x时，函数有最大值13，当1x时，函数有最小值4

例3．已知23()logxaxbfxx,x∈(0,+∞).是否存在实数ab、,使)(xf同时满足下列两个条件：（1）)(xf)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）)(xf的最小值是1，若存在，求出ab、，若不存在，说明理由.

解：设g(x)=xbaxx2

∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数

∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.

∴3)1(0)1('gg ∴3101bab 解得11ba

经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件.

四．课堂练习

1．下列说法正确的是( )

A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值

C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值

2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) ( )

A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能

3．函数y=234213141xxx，在［－1，1］上的最小值为( )

A.0 B.－2 C.－1 D.1213

4．求函数5224xxy在区间2,2上的最大值与最小值．

5．课本 练习

五．回顾总结

1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；

2．函数)(xf在闭区间ba,上连续，是)(xf在闭区间ba,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；

3．闭区间ba,上的连续函数一定有最值；开区间),(ba内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值

4．利用导数求函数的最值方法．

〖1.2〗函数及其表示

【1.2.1】函数的概念

（1）函数的概念

①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()fx和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:fAB．

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．

（2）区间的概念及表示法

①设,ab是两个实数，且ab，满足axb的实数x的集合叫做闭区间，记做[,]ab；满足axb的实数x的集合叫做开区间，记做(,)ab；满足axb，或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)ab，(,]ab；满足,,,xaxaxbxb的实数x的集合分别记做[,),(,),(,],(,)aabb．

注意：对于集合{|}xaxb与区间(,)ab，前者a可以大于或等于b，而后者必须

ab．

（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

①()fx是整式时，定义域是全体实数．

②()fx是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

③()fx是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．

⑤tanyx中，()2xkkZ．

⑥零（负）指数幂的底数不能为零．

⑦若()fx是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．

⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()fx的定义域为[,]ab，其复合函数[()]fgx的定义域应由不等式()agxb解出．

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．

⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．

（4）求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：

①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．

②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．

③判别式法：若函数()yfx可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程2()()()0ayxbyxcy，则在()0ay时，由于,xy为实数，故必须有2()4()()0byaycy，从而确定函数的值域或最值．

④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．

⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．

⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．

⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．

⑧函数的单调性法．