高中数学 专题1.3.3 函数的最大(小)值与导数教案 新人

1 函数的最大（小）值与导数

【教学目标】

1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．

2．会求某闭区间上函数的最值．

【教法指导】

本节学习重点：会求某闭区间上函数的最值．

本节学习难点：理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．

【教学过程】

☆复习引入☆

极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题．

解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.

☆探索新知☆

探究点一 求函数的最值

思考1 如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗

答 f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y＝f(x)的极小值；

f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y＝f(x)的极大值．

思考2 观察思考1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？

小结 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得．

思考3 函数的极值和最值有什么区别和联系？

答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值， 2 所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．

小结 求一个函数在闭区间上的最值步骤：

1．求导，确定函数在闭区间上的极值点．

2．求出函数的各个极值和端点处的函数值．

3．比较大小，确定结论．

例1 求下列函数的最值：

(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；

(2)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0,2π]．

x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞)

f′(x) ＋ 0 － 0 ＋

f(x) 单调递增 极大值

单调递减 极小值 单调递增

所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)．

因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f(2)＝－82，

f(－2)＝82；

所以当x＝2时，f(x)取得最小值－82；

当x＝3时，f(x)取得最大值18.

(2)f′(x)＝12＋cos x，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，

解得x＝23π或x＝43π.

计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f(23π)＝π3＋32，

f(43π)＝23π－32.

∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；

当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.

反思与感悟 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．

①求出导数为零的点．

②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．

(2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得． 3 跟踪训练1 求下列函数的最值：

(1)f(x)＝13x3－4x＋4，x∈[0,3]；

(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．

∴函数f(x)在[0,3]上的最大值为4，最小值为－43.

(2)∵f(x)＝3ex－exx2，

∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)

＝－ex(x＋3)(x－1)，

∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，

即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，

∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；

x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.

探究点二 含参数的函数的最值问题

例2 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．

(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．

(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．

解 (1)f′(x)＝3x2－2ax.

因为f′(1)＝3－2a＝3，

所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.

(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a3.

当2a3≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，

从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.

当2a3≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，

从而f(x)max＝f(0)＝0.

当0<2a3<2，即0

从而f(x)max＝ 8－4a， 0

综上所述，f(x)max＝ 8－4a， a≤2，0， a>2.

反思与感悟 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．

跟踪训练2 在本例中，区间[0,2]改为[－1,0]结果如何？

从而f(x)max＝f(－1)＝－1－a；

③当－1<23a<0，即－32

f(x)在－1，23a上单调递增；

在23a，0上单调递减，

则f(x)max＝f23a＝－427a3.

综上所述：f(x)max＝ －1－a，a≤－32，－427a3，－32

探究点三 函数最值的应用

思考 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？

答 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题．

如f(x)>0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可．

如f(x)<0恒成立，只要f(x)的最大值小于0即可．

以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数．

例3 设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，

(1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)

∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.

∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)

∴9＋8c9.

∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．

(2)由(1)知f(x)

∴9＋8c≤c2即c≤－1或c≥9，

∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)．

反思与感悟 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．

(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．

跟踪训练3 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．

(1)求f(x)的最小值h(t)；

(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．

解 (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1 (x∈R，t＞0)，

∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，

即h(t)＝－t3＋t－1.

(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，

由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．

当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：

t (0,1) 1 (1,2)

g′(t) ＋ 0 －

g(t) 单调递增 1－m 单调递减

∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，

∵h(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，

也就是g(t)<0，对t∈(0,2)恒成立，

∴只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.

故实数m的取值范围是(1，＋∞) 6 ☆课堂提高☆ 1．定义在闭区间[a，b]上的函数y＝f(x)有唯一的极值点x＝x0，且y极小值＝f(x0)，则下列说法正确的是( )

A．函数f(x)有最小值f(x0)

B．函数f(x)有最小值，但不一定是f(x0)

C．函数f(x)的最大值也可能是f(x0)

D．函数f(x)不一定有最小值

【答案】A

【解析】函数f(x)在闭区间[a，b]上一定存在最大值和最小值，又f(x)有唯一的极小值f(x0)，则f(x0)一定是最小值．

2．已知f(x)＝12x2－cosx，x∈[－1,1]，则导函数f′(x)是( )

A．仅有最小值的奇函数

B．既有最大值又有最小值的偶函数

C．仅有最大值的偶函数

D．既有最大值又有最小值的奇函数

【答案】D

3．函数y＝ln xx的最大值为( )

A．e－1 B．e C．e2 D.103

【答案】 A

【解析】 令y′＝ln x′x－ln x·x′x2＝1－ln xx2＝0.

解得x＝e.当x>e时，y′<0；当x0.

y极大值＝f(e)＝1e，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝1e.

4．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a等于( )