江苏大联考2015届高三第三次联考数学(理)试卷 含答案

学必求其心得，业必贵于专精

江 苏 大 联 考

2015届高三第三次联考·数学试卷

考生注意: 1。本试卷共160分.考试时间120分钟。 2。答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚。 3。请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.

4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪。

5.本试卷主要考试内容:前2次联考内容+数列+不等式。

一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共70分。把答案填在答题卷中的横线上。 1.设集合M={x｜x2+x-6〈0},N={x|1≤x≤3｝,则M∩N= ▲ .

2。已知数列｛an}为等差数列，其前9项和为S9=54,则a5= ▲ . 3。用12米的绳子围成一个矩形,则这个矩形的面积最大值为 ▲ .

4.在等比数列{an}中,a1=2,若a1,2a2，a3+6成等差数列，则an= ▲ . 5。若tan θ=1，则cos 2θ= ▲ 。

6。已知在等比数列｛an}中，a3+a6=4,a6+a9=12,则a10+a13=

▲ 。

7。已知a>0，b〉0，ab=4，当a+4b取得最小值时，ab=

▲ 。

8.已知平面向量a、b,|a|=3,｜b｜=2√3且a—b与a垂直,则a与b的夹角为 ▲ 。

学必求其心得，业必贵于专精

9。设变量x,y满足约束条件{x+y≥3x-y≥-12x-y≤3,则目标函数z=2x+3y的最小值与最大值的和为 ▲ 。

10.若对于任意的x〉0,不等式xx2+2x+4≤a恒成立,则实数a的取值范围为 ▲ .

11.已知在各项为正的等比数列｛an}中,a2与a8的等比中项为8，则4a3+a7取最小值时首项a1= ▲ . 12。下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律,并依此规律,写出第16个图形中小正方形的个数是 ▲ .

13.在数列｛an}中,若存在一个确定的正整数T，对任意n∈N＊满足an+T=an，则称{an｝是周期数列,T叫做它的周期。已知数列｛xn}满足x1=1,x2=a(a≤1）,xn+2=｜xn+1—xn|，若数列{xn}的周期为3，则{xn｝的前100项的和为 ▲ .

14。当x，y满足条件|x-1|+｜y+1|〈1时，变量u=x-1y-2的取值范围是

▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15。（本小题满分14分） 已知函数f（x）=x2+ax+6. （1）当a=5时，解不等式f（x）<0; （2)若不等式f(x)〉0的解集为R,求实数a的取值范围. 16.(本小题满分14分） 已知等差数列{an}满足a2=3,a4+a5=16. （1）求｛an｝的通项公式；

（2）设bn=2an-1，求数列{bn}的前n项和Tn.

17.（本小题满分14分)

已知向量m=(2cos x，√3sin 2x）,n=(cos x，1），函数f(x)=m·n。

（1）求f(x)的解析式和函数图象的对称轴方程； （2)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,且满足a+c>2b，求f(B）的取值范围。

18.（本小题满分16分） 学必求其心得，业必贵于专精 某公司新研发了甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元，劳动力5人,可获利润6万元,生产一台乙种型号的机器需资金20万元，劳动力10人，可获利润8万元。若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器,那么每周这两种机器各生产多少台,才能使周利润达到最大,最大利润是多少？

19。（本小题满分16分) 已知函数f（x)=（ax2-1）·ex，a∈R。 （1)若函数f（x）在x=1时取得极值，求a的值； （2)当a≤0时,求函数f(x)的单调区间. 20。（本小题满分16分) 已知等差数列{an}、等比数列｛bn}满足a1+a2=a3,b1b2=b3，且a3,a2+b1，a1+b2成等差数列,a1,a2,b2成等比数列. （1）求数列｛an}和数列{bn}的通项公式; (2)按如下方法从数列{an}和数列｛bn｝中取项: 第1次从数列{an}中取a1， 第2次从数列{bn｝中取b1，b2， 第3次从数列｛an｝中取a2，a3,a4, 第4次从数列{bn｝中取b3,b4,b5，b6, …… 第2n—1次从数列｛an｝中继续依次取2n—1个项， 第2n次从数列{bn｝中继续依次取2n个项， …… 由此构造数列｛cn｝：a1，b1,b2，a2,a3,a4，b3,b4,b5，b6,a5,a6，a7，a8，a9,b7，b8,b9,b10，b11,b12，…，记数列{cn｝的前n项和为Sn,求满足Sn〈22014的最大正整数n.

2015届高三第三次联考·数学试卷

参 考 答 案

1.{x｜1≤x〈2} 由题知集合M=｛x｜-3

2。6 因为S9=9(a1+a9)2=9a5=54,所以a5=6.

3.9 设矩形的一边长为x,则矩形面积S=x（6-x)≤[x+(6-x)2]2=9,当且仅当x=6-x，即x=3时取等号.

4.2n 4a2=a1+a3+6，∴8q—8-2q2=0，q=2，an=2×2n—1=2n.

5。0 cos 2θ=cos2θ-sin2θsin2θ+cos2θ=1-tan2θtan2θ+1=0.

6.132 a6+a9a3+a6=q3=18,q=12，a10+a13=(a6+a9）q4=12×116=132。

7。4 a+4b≥2√4ab=8,当且仅当a=4b时取等号,结合a〉0，b>0，ab=4，所以a=4,b=1，ab=4.

8。π6 因为 a-b与a垂直，所以(a—b)·a=0,所以a·a=b·a,所以cos􀎮a,b􀎮=a·b|a||b|=a·a|a||b|=|a||b|=√32,所以􀎮a,b􀎮=π6.

9.30 作出可行域，如图所示:

当目标函数z=2x+3y经过x+y=3与2x-y=3的交点（2,1)时,有最小值2×2+3=7,经过x-y+1=0与2x-y=3的交点(4，5）时,有最大值2×4+3×5=23,其最值和为30。

10。[16，+∞) xx2+2x+4=1x+2+4x≤12+2√x·4x=16，所以要使xx2+3x+1≤a恒成立,则a≥16,即实数a的取值范围为a≥16。

11。2 由题意知a2a8=82=a52，即a5=8，设公比为q（q>0）,所以4a3+a7=4a5q2+a5q2=32q2+8q2≥2√32q2×8q2=32，当且仅当32q2=8q2，即q2=2时取等号，此时a1=a5q4=2。

12。136 a1=1,a2=3，a3=6，a4=10,所以a2-a1=2，a3—a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n，等式两边同时累加得an—a1=2+3+…+n,即an=1+2+…+n=n(n+1)2,所以第16个图形中小正方形的个数是136。 学必求其心得，业必贵于专精 13.67 由xn+2=｜xn+1—xn｜，得x3=｜x2—x1｜=|a-1｜=1—a，x4=｜x3-x2｜=|1—2a｜,因为数列｛xn}的周期为3，所以x4=x1，即|1-2a｜=1,解得a=0或a=1.当a=0时,数列为1，0,1，1,0，1,…，所以S100=2×33+1=67。当a=1时，数列为1，1，0，1,1，0，…，所以S100=2×33+1=67。

14.（—13,13） u=x-1y-2表示点M（1,2）与点P(x，y）两点连线的斜率的倒数.画出可行域如图，当点P为区域内的点（0,-1）时，umax=13，当点P为区域内的点(2,—1）时，umin=—13.

15。解：(1)当a=5时，f（x）=x2+5x+6. 由f(x)〈0,得x2+5x+6<0, 即(x+2)(x+3）〈0, 所以-3

解得-2√6

16。解:（1）设数列{an｝的公差为d，由题意得{a1+d=32a1+7d=16，解得a1=1，d=2,

所以an=a1+（n-1)d=2n—1,即{an}的通项公式为an=2n—1. .................. 6分

（2）由(1）知bn=22n-2,b1=1,bn+1bn=22n22n-2=4，所以数列{bn｝是以1为首项，4为公比的等比数列,其前n项和Tn=1-4n1-4=13（4n—1). ...................... 14分

17.解：（1)由已知可得：f（x)=2cos2x+√3sin 2x

=1+cos 2x+√3sin 2x=2sin(2x+π6)+1,

∴函数的解析式为f（x)=2sin（2x+π6）+1，

∴函数图象的对称轴方程为x=k2π+π6（k∈Z）。 ............................................. 7分

（2)由题意可得：cos B=a2+c2-b22ac〉a2+c2-(a+c2)22ac=3a2+3c2-2ac8ac≥4ac8ac=12，当且仅当 a=c时等号都成立,∴B∈(0,π3). 学必求其心得，业必贵于专精

∴由（1)知f（B）=2sin（2B+π6）+1,又∵B∈(0,π3）,∴2B+π6∈(π6,5π6)。

∴f（B）∈（2, 3]. ....................................................................................................................... 14分

18。解：设每周生产甲种机器x台,乙种机器y台,周利润z万元，则{ 30x+20y≤3005x+10y≤110x≥0y≥0x,y∈Z,

目标函数为z=6x+8y。 作出不等式组表示的平面区域,且作直线l:6x+8y=0,即3x+4y=0,如图:

........................................................................................................................................................................... 8分

把直线l向右上方平移至l3的位置时，直线l3过可行域上的点M时直线的截距最大,即z取最大值,解方程组{30x+20y=3005x+10y=110（x≥0，y≥0，x，y∈Z）得{x=4y=9,所以点M坐标为(4，9),将x=4,y=9代入目标函数z=6x+8y得最大值z=6×4+8×9=96(万元）.

所以每周应生产甲种机器4台、乙种机器9台时，公司可获得最大周利润为96万元。 ................................................................................................................... 16分 19.解：（1）f'(x）=(ax2+2ax-1)·ex,x∈R. ............................................................... 2分