2016-2017学年上海二中高三(上)期中数学试卷

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2016-2017学年上海二中高三（上）期中数学试卷

一、填空题（4*12=48分）

1．（4分）向量=（3，4）与向量=（1，0）的夹角大小为

．

2．（4分）若cos（﹣θ）=，则sin2（θ﹣）= ．

3．（4分）关于x、y的方程组的增广矩阵经过变换后得到，则= ．

4．（4分）函数y=2sin（2x﹣）与y轴最近的对称轴方程是 ．

5．（4分）设函数f（x）=，若f（a+1）≥f（2a﹣1），则实数a的取值范围是 ．

6．（4分）设函数f（x）的定义域为R，且为奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x．若f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上是单调递增函数，则a的取值范围是 ．

7．（4分）平行四边形ABCD中，已知AB=4，AD=3，∠BAD=60°，点E，F分别满足=2，=，则•= ．

8．（4分）已知数列{an}的前n项和Sn满足4an﹣3Sn=2，其中n∈N*．则数列{an}的通项公式为 ．

9．（4分）若x＞0，则函数y=x+的最小值为 ．

10．（4分）数列{an}中，若ai=k2（2k≤i＜2k+1，i∈N*，k∈N），则满足ai+a2i≥100的i的最小值为 ．

11．（4分）分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科．它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图：

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易知第三行有白圈5个，黑圈4个．我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数．比如第一行记为（1，0），第二行记为（2，1），第三行记为（5，4）．照此规律，第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为（xn，yn），则=

．

12．（4分）已知不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈（﹣∞，0）恒成立，其中a，b是整数，则a+b的取值的集合为{4，10}．

二、选择题（4*6=24分）

13．（4分）已知x，y∈R，则“x＞0，y＜0”是“xy＜0”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

14．（4分）函数f（x）=|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（ ）

A． B． C． D．

15．（4分）在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）

A．a=8b=16A=30° B．a=25b=30A=150°

C．a=30b=40A=30° D．a=72b=60A=135°

16．（4分）执行如图所示的程序框图，如果输出的S=，那么判断框内应填入

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的条件是（ ）

A．i＜3 B．i＜4 C．i＜5 D．i＜6

17．（4分）某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，已知某家庭今年前三个月的煤气费如表

月份 用气量 煤气费

一月份 4m3 4元

二月份 25m3 14元

三月份 35m3 19元

若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（ ）

A．11.5元 B．11元 C．10.5元 D．10元

18．（4分）在n元数集S={a1，a2，…，an}中，设x（S）=，若S的非空子集A满足x（A）=x（S），则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的k元“平均子集”的个数为fs（k）．已知集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，T={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，则下列说法错误的是（ ）

A．fs（9）=fT（1） B．fs（8）=fT（1） C．fs（6）=fT（4） D．fs（5）=fT（4）

三、解答题

19．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，已知2sin2=sinA．

（I）求角A的大小；

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（II）若=2cosB，求的值．

20．（14分）已知函数f（x）=log2．

（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；

（2）求f（x）的反函数f﹣1（x），并求使得函数g（x）=f﹣1（x）﹣log2k有零点的实数k的取值范围．

21．（16分）设Sn是等比数列{an}的前n项和，满足S3，S2，S4成等差数列，已知a1+2a3+a4=4．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{bn}，满足bn=，n∈N*，记Tn=b1b2+b2b3+b3b4+…+bnbn+1，n∈N*，若对于任意n∈N*，都有aTn＜n+4恒成立，求实数a的取值范围．

22．（16分）数列{an}的前n项和为Sn且满足a1=1，2an+1=2an+p（p为常数，n=1，2，3…）．

（1）求Sn；

（2）若数列{an}是等比数列，求实数p的值；

（3）是否存在实数p，使得数列{}满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的值；若不存在，请说明理由．

23．（18分）对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数C，使得对任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且对任意的x∉[a，b]都有f（x）＞C恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“U型”函数．

（1）求证：函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|是R上的“U型”函数；

（2）设f（x）是（1）中的“U型”函数，若不等式|t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）对一切的x∈R恒成立，求实数t的取值范围；

（3）若函数g（x）=mx+是区间[﹣2，+∞）上的“U型”函数，求实数m和n的值．

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2016-2017学年上海二中高三（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（4*12=48分）

1．（4分）向量=（3，4）与向量=（1，0）的夹角大小为 arccos

．

【解答】解：∵向量=（3，4）与向量=（1，0），

∴cos＜＞=．

∴＜＞=arccos．

故答案为：arccos．

2．（4分）若cos（﹣θ）=，则sin2（θ﹣）= ．

【解答】解：∵cos（﹣θ）=，

∴cos（θ﹣）=，

∴sin2（θ﹣）=1﹣cos2（θ﹣）=1﹣（）2=．

故答案是：．

3．（4分）关于x、y的方程组的增广矩阵经过变换后得到，则= ．

【解答】解：矩阵为，对应的方程组为：，解得：，

由题意得：关于x、y的二元线性方程组的解为：，

∴，解得：，

=，

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故答案为：．

4．（4分）函数y=2sin（2x﹣）与y轴最近的对称轴方程是 x=﹣ ．

【解答】解：对于函数y=2sin（2x﹣），令 （k∈Z ）时，，

因此，当k=﹣1 时，得到 ，故直线x=﹣是与y轴最近的对称轴，

故答案为：x=﹣．

5．（4分）设函数f（x）=，若f（a+1）≥f（2a﹣1），则实数a的取值范围是 （﹣∞，2] ．

【解答】解：由于当x＜2时，f（x）=2x为增函数，且f（x）＜f（2）=4

由于当x＞2时，f（x）=x2为增函数，且f（x）≥f（2）=4，

∴f（x）在R上为增函数，

∵f（a+1）≥f（2a﹣1），

∴a+1≥2a﹣1，

解得a≤2，

故a的取值范围为（﹣∞，2]，

故答案为：（﹣∞，2]．

6．（4分）设函数f（x）的定义域为R，且为奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x．若f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上是单调递增函数，则a的取值范围是 1＜a≤3 ．

【解答】解：因为f（x）为R上的奇函数，所以f（x）的图形关于原点成中心对称，图形如图．

由图象可知函数f（x）在区间[﹣1，1]上为单调递增函数，

所以，解得1＜a≤3．

故答案为：1＜a≤3

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7．（4分）平行四边形ABCD中，已知AB=4，AD=3，∠BAD=60°，点E，F分别满足=2，=，则•=

﹣6 ．

【解答】解：如图所示， 由平行四边形可得：．

∵，

∴，，

∴==3×4×cos120°+﹣+×3×4×cos60°=﹣6．

8．（4分）已知数列{an}的前n项和Sn满足4an﹣3Sn=2，其中n∈N*．则数列{an}的通项公式为 an=2•4n﹣1 ．

【解答】解：由4an﹣3Sn=2，①

当n≥2时，4an﹣1﹣3Sn﹣1=2，②4an﹣4an﹣1﹣3（Sn﹣Sn﹣1）=0，即4an﹣4an﹣1﹣3an=0，

整理得：an=4an﹣1，

当n=1时，4a1﹣3S1=2，解得：：：a1=2，由a1=2，得an≠0，

=4，其中n≥2．

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故数列{an}是2为首项，公比为4的等比数列，

由等比数列的通项公式：an=a1•qn﹣1=2•4n﹣1，

故答案为：an=2•4n﹣1．

9．（4分）若x＞0，则函数y=x+的最小值为

．

【解答】解：x＞0，

函数y=x+=（x+）+（）≥2=，当且仅当x=时取等号．

∴函数y=x+的最小值为．

故答案为：．

10．（4分）数列{an}中，若ai=k2（2k≤i＜2k+1，i∈N*，k∈N），则满足ai+a2i≥100的i的最小值为 128 ．

【解答】解：∵ai=k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k=1，2，3，…），

∴ai+a2i=k2+（k+1）2≥100，

故k≥7；

故i的最小值为27=128，

故答案为：128．

11．（4分）分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科．它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图：