2017-2018学年上海市浦东新区高二(上)期末数学试卷
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2017-2018学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1．（3分）已知，则实数a的值为
．
2．（3分）直线l：=的一个方向向量可以是
．
3．（3分）二元一次方程组的增广矩阵为 ．
4．（3分）如图，程序框图中，语句1被执行的次数为 ．
5．（3分）设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n2，则a8= ．
6．（3分）设向量与的夹角为θ，=（1，1），﹣=（﹣1，1），则cosθ= ．
7．（3分）用数学归纳法证明为：1+c+c2+c3+…+cn+1=（c≠1），当n=1时，左边为 ．
8．（3分）已知等差数列{an}中，3a3=7a6，且a1=29，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n= ．
9．（3分）求和：++…+= ．
10．（3分）已知A（2，3）、B（1，0），动点P在y轴上，当|PA|+|PB|取最小值时，则点P的坐标为 ．
11．（3分）若关于x，y的二元一次方程组有无穷多组解，则m的取值为 ．
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12．（3分）我们知道：=﹣﹣﹣．
已知数列{an}中，a1=1，an=2an﹣1+（n≥2，n∈N*），则数列{an}的通项公式an=
．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.
13．（3分）在平面上，四边形ABCD满足=，•=0，则四边形ABCD为（ ）
A．梯形 B．正方形 C．菱形 D．矩形
14．（3分）直线l：ax+by+c=0（a＞0，b＞0）的倾斜角是（ ）
A．arctan（﹣） B．π﹣arctan
C．+arctan D．π+arctan
15．（3分）已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1=1，a3=4，则此数列的前n项和等于（
）
A．2n+1 B．2n﹣1 C．（4n﹣1） D．（4n+1）
16．（3分）动点P到x轴，y轴的距离之比等于非零常数k，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．y=（x≠0） B．y=kx（x≠0） C．y=﹣（x≠0） D．y=±kx（x≠0）
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（8分）已知直线l：x+y﹣2=0与圆O：x2+y2=2相交于A、B两点．
（1）求弦AB的长；
（2）求弦AB的垂直平分线的方程．
18．（10分）已知=（1，2），=（3，1），=﹣k，且．
（1）求向量在向量的方向上的投影；
（2）求实数k的值及向量的坐标．
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19．（10分）过点P（1，2）作直线l交x轴正半轴于A点、交y轴正半轴于B点．
（1）若=3时，求这条直线l的方程；
（2）求当三角形AOB（其中O为坐标原点）的面积为4时的直线l的方程．
20．（10分）设等差数列{an}的前N项和为Sn，a2=8，S10=185，对每个正整数k，在ak与ak+1之间插入3k﹣1个3，得到一个新的数列{bn}．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和Tn．
21．（14分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=a2（a＞0）的面积为π．且与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l：y=k（x+2）与线段AB相交，求实数k的取值范围；
（3）试讨论直线l：y=k（x+2）与圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=a2（a＞0）的交点个数．
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2017-2018学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1．（3分）已知，则实数a的值为
1
．
【解答】解：∵，
∴=a=1，
∴实数a的值为1．
故答案为：1．
2．（3分）直线l：=的一个方向向量可以是 （3，4） ．
【解答】解：直线l：=，即y+1=（x﹣1）的一个方向向量为（3，4）．
故答案为：（3，4）．
3．（3分）二元一次方程组的增广矩阵为 ．
【解答】解：二元一次方程组的增广矩阵为．
故答案为：．
4．（3分）如图，程序框图中，语句1被执行的次数为 34 ．
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【解答】解：由已知中循环变量的初值为1，
循环体中循环变量的步长为3，
结合循环条件可得最后一次进行循环时，循环变量的终值为100，
则循环体被执行的次数n==34．
故答案为：34．
5．（3分）设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n2，则a8=
15
．
【解答】解：根据题意，数列{an}中，Sn=n2，
则a8=S8﹣S7=64﹣49=15；
故答案为：15．
6．（3分）设向量与的夹角为θ，=（1，1），﹣=（﹣1，1），则cosθ=
．
【解答】解：根据题意，=（1，1），﹣=（﹣1，1），则=+（﹣）=（0，2），
则||=，||=2，•=1×0+1×2=2，
则cosθ===；
故答案为：．
7．（3分）用数学归纳法证明为：1+c+c2+c3+…+cn+1=（c≠1），当n=1时，左边为 1+c+c2 ．
【解答】解：当n=1时，左边=1+c+c2，
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故答案为：1+c+c2．
8．（3分）已知等差数列{an}中，3a3=7a6，且a1=29，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n=
8
．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵3a3=7a6，且a1=29，
∴3（29+2d）=7（29+5d），解得d=﹣4．
∴an=29﹣4（n﹣1）=33﹣4n．
令an≥0，解得n≤=8+，
∴n=8时，Sn取得最大值，
故答案为：8．
9．（3分）求和：++…+= ．
【解答】解：∵=﹣．
∴++…+=++…﹣=．
故答案为：．
10．（3分）已知A（2，3）、B（1，0），动点P在y轴上，当|PA|+|PB|取最小值时，则点P的坐标为 （0，1） ．
【解答】解：作出A关于y轴的对称点A'（﹣2，3），
连接A'B，与y轴交于P，即为所求．
此时|PA|+|PB|取最小值|A'B|，
由A'B的斜率为=﹣1，
可得方程：y=﹣（x﹣1），
令x=0，可得y=1，即为P（0，1），
故答案为：（0，1）．
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11．（3分）若关于x，y的二元一次方程组有无穷多组解，则m的取值为
2
．
【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组，
∴D==m2﹣4，
Dx==m2﹣2m，
Dy==m2﹣m﹣2，
当m≠±2时，D≠0方程组有唯一解；
当m=2时，D=Dx=Dy=0，方程组有无穷多组解；
当m=﹣2时，D=0，Dx≠0，Dy≠0，此时方程组无解．
∴若关于x，y的二元一次方程组有无穷多组解，则m的取值为2．
故答案为：2．
12．（3分）我们知道：=﹣﹣﹣．
已知数列{an}中，a1=1，an=2an﹣1+（n≥2，n∈N*），则数列{an}的通项公式an= 3•2n﹣2﹣（n∈N*） ．
【解答】解：a1=1，an=2an﹣1+（n≥2，n∈N*）
=2an﹣1+﹣
=2an﹣1+﹣，
即为an+=2（an﹣1+），
设bn=an+，
则bn=2bn﹣1，
则bn=b1qn﹣1=（1+）•2n﹣1，
可得an+=3•2n﹣2，
即有an=3•2n﹣2﹣（n∈N*）．
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故答案为：3•2n﹣2﹣（n∈N*）．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.
13．（3分）在平面上，四边形ABCD满足=，•=0，则四边形ABCD为（ ）
A．梯形 B．正方形 C．菱形 D．矩形
【解答】解：∵=，
∴||=||，且∥，即四边形ABCD是平行四边形，
∵•=0，∴⊥，即AC⊥BD，
即平行四边形的对角线互相垂直，
则四边形ABCD为菱形，
故选：C．
14．（3分）直线l：ax+by+c=0（a＞0，b＞0）的倾斜角是（ ）
A．arctan（﹣） B．π﹣arctan
C．+arctan D．π+arctan
【解答】解：设直线l：ax+by+c=0（a＞0，b＞0）的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．
∴tanθ=﹣，
解得θ=π﹣arctan．
故选：B．
15．（3分）已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1=1，a3=4，则此数列的前n项和等于（ ）
A．2n+1 B．2n﹣1 C．（4n﹣1） D．（4n+1）
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0a1=1，a3=4，则4=q2，解得q=2．
此数列的前n项和==2n﹣1．
故选：B．
