九年级数学下册第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质2二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

第二十二章 二次函数

第5讲 二次函数的图象和性质

【板块一】二次函数的图象和性质

题型一 开口方向、对称轴、顶点坐标及位置

【例1】(1)抛物线y＝2x²＋1的开口方向是 向上 ，对称轴是 y轴 ，顶点坐标是 (0，1) ；二次函数y＝－12(x＋1)²﹣2的图象的开口方向是 向下 ，对称轴是直线 x＝﹣1 ，顶点坐标是(﹣1.﹣2).

(2)抛物线y＝2x²＋1在x轴的 上 方；当x＞0时，图象自左向右逐渐 上升 ，它的顶点是最低点；抛物线y＝－12(x＋1)²﹣2，当x 为全体实数 时，它的图象在x轴的 下方 ，顶点是 最高点 。

【解析】当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，y＝a(x﹣h)²＋k的顶点坐标为(h，k)，对称轴是直线x＝h；当a＞0时，抛物线的顶点为最低点，当a＜0时，抛物线的顶点为最高点。

题型二 抛物线的开口大小

【例2】如图，若抛物线y＝ax²与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是( )

A.14≤a≤1 B．12≤a≤2 C.12≤a≤1 D.14≤a≤2

【解析】确定a的取值范围，就是探究抛物线的开口大小，当抛物线经过点D时，开口最小；抛物线经过点B时，开口最大，而这两条抛物线的解析式的a值分别2，14，∴14≤a≤2.

故选Ｄ．

【例3】如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝x²；②y＝－12x²，③y＝－2x²的图象，则三个图象I，Ⅱ，Ⅲ对应的抛物线的解析式依次是 ②③①

.

【解析】当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下；当|a|越大，开口越小，当|a|越小，开口越大。故xy12O1 2D CA BxyⅢⅡⅠO抛物线I的解析式为y＝－12x²，抛物线Ⅱ的解析式为y＝﹣2x²；抛抛物线Ⅲ的解析式为y＝x².故填②③①

九年级数学 二次函数（11） 二次函数图象及性质复习

第 周星期 班别： 姓名： 学号：

[学习目标]进一步二次函数的图象和性质，进一步巩固用待定系数法求二次函数解析式

[学习过程]

一、选择题

1、抛物线2361yx的对称轴是直线（ ）

Ａ．6x Ｂ．1x Ｃ．1x Ｄ．6x

2、已知22yx的图象是抛物线，若把抛物线分别向上、向右平移2个单位，那么在新抛物线的解析式是（ ）．

Ａ．22(2)2yx Ｂ．22(2)2yx

Ｃ．22(2)2yx Ｄ．22(2)2yx

3、若123135143AyByCy，，，，，为二次函数245yxx的图象上的三点，则123yyy，，的大小关系是（ ）

Ａ．123yyy Ｂ．321yyy Ｃ．312yyy Ｄ．213yyy

4、如图1，抛物线的函数表达式是（ ）

A．22yxx B．22yxx

C．22yxx D．22yxx

5、若抛物线22yxxa的顶点在x轴的下方，则a的取值范围是（ ）

Ａ．1a Ｂ．1a

Ｃ．1a≥

Ｄ．1a≤

6、在同一坐标系中一次函数yaxb和二次函数2yaxbx的图象可能为（ ）．

7、二次函数2yaxbx和反比例函数byx在同一坐标系中的图象大致是（ ）

图1

O x y

O x y

O x y

O x y

A B C D

Ａ． x y

O

Ｂ． x y

O

Ｃ． x y

O

Ｄ． x y

O

图6 O y

x

图7

8、（08年巴中）二次函数2(0)yaxbxca的图象如图4所示，

则下列说法不正确的是（ ）

新竹高于旧竹枝，全凭老干为扶持。出自郑燮的《新竹》

前进学校 史爱东

东宫白庶子,南寺远禅师。——白居易《远师》

枫岭头学校 张海泉

古之学者必严其师，师严然后道尊。欧阳修

铁山学校 何逸春

1.会用描点法画出y＝ax2＋k的图象．（重点）

2.掌握形如y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．（重难点）

3.理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系．（重点）

一、情境导入

在边长为15cm的正方形铁片中间剪去一个边长为x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式是什么？它的顶点标是什么？

二、合作探究

探究点一：二次函数y＝ax2＋k的图象与质

【类型一】 y＝ax2＋k的图象与性质的识别

若二次函数y＝ax2＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是( )

A．a＝2

B．当x＜0时，y随x的增大而减小

C．顶点坐标为(2，0)

D．图象有最低点

解析：把x＝－2，y＝10代入y＝ax2＋2可得1＝4a＋2，∴a＝2，∴y＝2x2＋2，抛物线开口向上，有最低点当x＜0时，y随x的增大而减小，∴A、B、D均正确而顶点标为(0，2)，而不是(2，0)．故选C.

方法总结：抛线y＝ax2＋k(a≠0)的顶点坐标为(0，k)，对称轴y轴．

【类型二】二次函数y＝ax2＋k增减性判断

已知点(x1，y1)，(x2，y2)均抛物线y＝x2－1上下列说法中正确的是( )

A．若y1y2，则x1＝x2

．若x1＝－x2，则y1＝－y2C．若0＜x1＜x2则y1＞y2

D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2

解析：如图所示，选项A：若y1＝y2，则x1=x2或x1＝－x2，∴选项A是错误的；选项B：若x1＝－x2，则y1＝y2，∴选项B是错误的选项C：若0＜x1＜x2，在对称轴的右侧，y随x的增大而大，则y1＜y2，∴选项C是错误的；选项D：若x1x2＜0，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则y1＞y2，故选D．

教育学习+K12

教育学习+K12 2.2.1二次函数的图像与性质

一、教学目标

1.探索经历二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.

2.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.

3.能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象间的联系.

二、课时安排

1课时

三、教学重点

会用描点法画二次函数y=ax2的图象，掌握它的性质．

四、教学难点

渗透数形结合思想．

五、教学过程

（一）导入新课

1.二次函数的定义

一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.

2.画函数图象的主要步骤是什么？

（1）列表. （2）描点.（3）连线

（二）讲授新课

活动内容1：

活动1：小组合作 教育学习+K12

教育学习+K12 请你画出二次函数 y=x2 的图象.

1.列表：

（2）描点：

（3）连线：

议一议

根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.

（1）图象与x轴交于原点(0，0).

（2）y≥0.

（3）当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大.

（4）当 x= 0时，y最小值= 0.

（5）图象关于y轴对称.

（三）重难点精讲

说说二次函数y=-x2的图象： 教育学习+K12

教育学习+K12

有哪些性质,与同伴交流：

（1）图象与x轴交于原点(0，0).

（2）y≤0.

（3）当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.

（4）当x=0时，y最大值=0.

（5）图象关于y轴对称.

（四）归纳小结

二次函数y=±x2的性质

１.顶点坐标与对称轴.

２.位置与开口方向.

３.增减性与最值.

（五）随堂检测

1．（盐城·中考）给出下列四个函数：

（1）yx（2）yx（3）2yx（4）1y.xx0当时y随x的增大而减小的函数有（ ）