2021年中考数学复习：反比例函数与几何结合专题

2021年中考数学一轮复习(通用版)

第11章 反比例函数

考 点 梳 理

考点一 反比例函数的概念、图象和性质

1．反比例函数的概念

一般地，函数y＝ (k为常数，且k≠0)叫做反比例函数．

【点拨】(1)函数y＝kx－1或xy＝k都是反比例函数；(2)反比例函数中自变量的取值范围是x≠0.

2．反比例函数的图象和性质

(1)反比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)的图象是 ．

(2)反比例函数的图象无限接近 ，但永不与 相交．

(3)反比例函数的图象和性质

反比例函数

y＝kx(k≠0)

k的符号 k>0 k<0

大致图象

所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每一象限内，y随x的增大而 ；当x1x2>0，x1y2；当x1<0

；当x1x2>0，x10>y2

对称性 反比例函数的图象关于直线y＝±x成轴对称，关于原点O成 对称

【点拨】双曲线不是连续曲线，是两支不同的曲线，所以比较函数值大小时，要注意所判断的点是否在同一象限，再结合每个象限内反比例函数图象的增减性来比较，解决这种问题的一个有效办法是画出草图，标上各点，再比较大小．

3．确定反比例函数的表达式

(1)求反比例函数的表达式可用待定系数法．由于反比例函数的表达式中只有一个待定系数，因此只需已知一组对应值即可．

(2)求反比例函数表达式的一般步骤：

①设反比例函数的表达式；

①把已知的一组对应值代入函数表达式，建立方程；

①解方程求得待定系数的值．

4．反比例函数的系数k的几何意义

如图，设点P(x，y)是反比例函数y＝kx图象上任一点，过点P作x轴的垂线，垂足为A，则①OPA的面积＝12OA·PA＝12|xy|＝12|k|，这就是反比例函数的系数k的几何意义．

【点拨】根据比例系数k的几何意义，求k值时，要根据双曲线所在的象限正确确定k的符号.

-1

-反比例函数与几何综合问题解题技巧

一、反比例函数中k的几何意义

1．如图，过双曲线上任一点向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为k．

2．如图，过双曲线上任一点向坐标轴作一条垂线，并连接此点和原点，这两条

线与坐标轴所围成三角形的面积为

2k

．

【要点诠释】因为反比例函数k

y

x中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩

形或三角形面积时都应该加上绝对值符号，反过来通过矩形或是三角形面积反求

k的值时要根据具体情况确定k的正负情况．

3．在同一直角坐标系中，随着k的增大，反比例函数k

y

x图象的位置相对于

坐标原点越来越远．

如图，双曲线

1C、

2C、

3C、

4C、

5C对应的函数解析式分别为：1k

y

x、2k

y

x、

3k

y

x、4k

y

x，5k

y

x，那么

1k、

2k、

3k、

4k，

5k的大小顺序为

12345kkkkk

．

-2

-【方法技巧】沿着箭头所指的方向k值越来越大．

二、反比例函数与三角形面积

1．一次函数与反比例函数的两个交点位于同一支上

（1）如图，直线AB与反比例函数k

y

x（0k）交于A、B两点，与x、y轴

的交点分别为C、D，那么

OABOCDOBDOACSSSS

，或

OABOBCOACSSS

，

或

OABOADOBDSSS

，此方法易于掌握，并且在已知点C或点D坐标的前提下

很容易求解

OABS

．

（2）如图，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则根据k的几何意

义可得，

OBFOAESS

，而

OABOAEOBFABFESSSS

梯形，所以

OABABFESS

梯形，

此方法方便快捷，不易出错，并且无需求点C或点D坐标即可求解

OABS

．

2021年中考数学 专题14 反比例函数及其应用

（知识点总结+例题讲解）

一、反比例函数、图像、性质：

1.反比例函数的概念：

（1）定义：一般地，函数kyx(k是常数，k≠0)叫做反比例函数；

（2）变形：反比例函数的解析式也可以写成y=kx-1或xy=k(k≠0)的形式；

（3）自变量x的取值范围：x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

【例题1】下列函数是y关于x的反比例函数的是（ ）

A．y=1x−1 B．y=1x3 C．y=−3x D．y=−x4

【答案】C

【解析】利用反比例函数定义进行分析即可．

解：A、不是y关于x的反比例函数，故此选项不合题意；

B、不是y关于x的反比例函数，故此选项不合题意；

C、是y关于x的反比例函数，故此选项符合题意；

D、不是y关于x的反比例函数，是正比例函数，故此选项不合题意；故选：C．

【变式练习1】若y=(a+1)xa2−2是反比例函数，则a的取值为（ ）

A．1 B．﹣1 C．±1 D．任意实数

【答案】A

【解析】先根据反比例函数的定义列出关于a的方程组，求出a的值即可．

解：∵此函数是反比例函数，∴{a+1≠0a2−2=−1，解得a＝1．故选：A． 2.反比例函数的图象：

（1）反比例函数的图像是双曲线；

它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限；

它们关于原点对称；

（2）反比例函数关于直线y=x和y=-x成轴对称；（对称中心：原点）

（3）由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

【例题2】(2020•德州)函数y=kx和y＝﹣kx+2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )

【答案】D

【解析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．

解：在函数y=kx和y＝﹣kx+2(k≠0)中，

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初中数学

1 / 27 2021年中考数学复习微专题靶向专题练：

《反比例函数之K的几何意义》（压轴）

一．选择题

1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（ ）

A．6 B．10 C．2 D．2

2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（ ）

A．6 B．12 C．18 D．24

3．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝，则k的值为（ ） word版

初中数学

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A．3 B． C．2 D．1

4．如图，A，B是双曲线y＝上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C．若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）

A． B．2 C．4 D．8

5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝上，顶点B在反比例函数y＝上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（ ）

A． B． C．4 D．6

6．如图，反比例函数y＝的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为（ ） word版